eq\o(\s\up7(第10章計數原理、概率、隨機變量及其分布),\s\do5())10．1分類加法計數原理與分步乘法計數原理[知識梳理]1．兩個計數原理分類加法計數原理分步乘法計數原理條件完成一件事有幾類不同的方案．在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法結論完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法2．兩個計數原理的區別與聯系[診斷自測]1．概念思辨(1)在分類加法計數原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分步乘法計數原理中，只有各個步驟都完成后，這件事情才算完成．()(3)在分步乘法計數原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的．()(4)如果完成一件事情有n個不同的步驟，在每一步中都有若干種不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成這件事共有m1m2m3…mn種方法．(答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(選修A2－3P10T4)某公共汽車上有10名乘客，沿途有5個車站，乘客下車的可能方式有()A．510種B．105種C．50種D．以上都不對答案A解析要完成這件事可分10步，即10名乘客分別選一個車站下車，由于每個乘客都有5個車站進行選擇，由分步乘法計數原理知，乘客下車的可能方式有N＝＝510(種)．故選A.(2)(選修A2－3P10T1)某種彩票規定：從01至36共36個號中抽出7個號為一注，每注2元，某人想從01至10中選3個連續的號，從11到20中選2個連續的號，從21至30中選1個號，從31至36中選1個號組成一注，則這人把這種特殊要求的號買全，至少要花()A．3360元B．6720元C．4320元D．8640元答案D解析這種特殊要求的號共有8×9×10×6＝4320(注)，因此至少需花費4320×2＝8640(元)，所以選D.3．小題熱身(1)(2018·杭州質檢)從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數，使這三個數成等比數列，這樣的等比數列的個數為()A．3B．4C．6D．8答案D解析當公比為2時，等比數列可為1,2,4或2,4,8；當公比為3時，等比數列可為1,3,9；當公比為eq\f(3,2)時，等比數列可為4,6,9.同理，公比為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)時，也有4個．故根據分類加法計數原理共有8個等比數列．故選D.(2)現有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．24種B．30種C．36種D．48種答案D解析需要先給C塊著色，有4種結果；再給A塊著色，有3種結果；再給B塊著色，有2種結果；最后給D塊著色，有2種結果，由分步乘法計數原理知共有4×3×2×2＝48(種)．故選D.題型1分類加法計數原理的應用eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))三個人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A．4種B．6種C．10種D．16種本題用樹狀圖法．答案B解析分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件有3種方法(如圖)，甲乙丙乙甲甲乙甲丙甲同理，甲先傳給丙時，滿足條件有3種踢法．由分類加法計數原理，共有3＋3＝6種傳遞方法．故選B.方法技巧1．分類加法計數原理的用法及要求(1)用法：應用分類加法計數原理進行計數時，需要根據完成事件的特點，將要完成一件事的方法進行“分類”計算．(2)要求：各類的方法相互獨立，每類中的各種方法也相互獨立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事．2．使用分類加法計數原理遵循的原則有時分類的劃分標準有多個，但不論是以哪一個為標準，都應遵循“標準要明確，不重不漏”的原則．提醒：對于分類類型較多，而其對立事件包含的類型較少的可用間接法求解．沖關針對訓練(2018·信陽期末)用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，不同的支付方法有()A．3種B．5種C．9種D．12種答案C解析用10元、5元和1元來支付20元錢的書款，有以下幾類辦法：①用2張10元錢支付；②用1張10元錢和2張5元錢支付；③用1張10元錢、1張5元錢和5張1元錢支付；④用1張10元錢和10張1元錢支付；⑤用1張5元錢和15張1元錢支付；⑥用2張5元錢和10張1元錢支付；⑦用3張5元錢和5張1元錢支付；⑧用4張5元錢支付；⑨用20張1元錢支付．故共有9種方法．故選C.題型2分步乘法計數原理eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例1))從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數中任取2個不同的數分別作為一個對數的底數和真數，則可以組成不同對數值的個數為()A．56B．54C．53D．答案D解析第一步選取1個數作為底數有8種選擇方法，第二步選取1個數作為真數有7種方法，共有8×7＝56個對數，其中對數值相等的有log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94共4個，故選D.[結論探究]典例1中條件不變，將結論“可以組成不同的對數值”改為“可以組成不同的分數值”，則結果如何，其中有多少個不同的真分數？解第一步，從8個數中選取1個作為分母．第二步，再從剩下的7個數中選取1個作為分子，共有8×7＝56個分數，其中重復出現的為12個，故可構成56－12＝44個不同的分數值，其中真分數有22個．eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例2))定義集合A與B的運算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，則集合A*B的元素個數為________(用數字作答)．答案12解析顯然(a，a)，(a，c)等均為A*B中的關系，確定A*B中的元素是A中取一個元素來確定x，B中取一個元素來確定y，由分步計數原理可知A*B中有3×4＝12個元素．方法技巧1．分步乘法計數原理的用法及要求(1)用法：應用分步乘法計數原理時，需要根據要完成事件的發生過程進行“分步”計算．(2)要求：每個步驟相互依存，其中的任何一步都不能單獨完成這件事，只有當各個步驟都完成，才算完成這件事．2．應用分步乘法計數原理的注意點(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事，必須要經過幾步才能完成這件事．(2)解決分步問題時要合理設計步驟、順序，使各步互不干擾，還要注意元素是否可以重復選取．沖關針對訓練(2018·浙江杭州質檢)用1,2,3,4,5組成不含重復數字的五位數，數字2不出現在首位和末位，數字1,3,5中有且僅有兩個數字相鄰，則滿足條件的不同五位數的個數是________．(用數字作答)答案48解析根據題意，可以分為兩步：第一步將1,3,5分為兩組且同一組的兩個數排序，共有6種方法；第二步，將第一步的兩組看成兩個元素，與2,4排列，其中2不在兩邊且第一步兩組(記為a，b)之間必有元素，即4，a,2，b；a,2,4，b；a,4,2，b；a,2，b,4，其中a，b可以互換位置，所以共有8種．根據分步乘法計數原理知，滿足題意的五位數共有6×8＝48個.題型3兩個計數原理的綜合應用角度1組數、組隊、抽取問題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2018·貴陽模擬)已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7)，從兩個集合中各選一個數作為點的坐標，則這樣的坐標在直角坐標系中可表示第三、四象限內多少個不同點()A．18B．10C．16D．答案B解析第三、四象限內點的縱坐標為負值，分2種情況討論．①取M中的點作橫坐標，取N中的點作縱坐標，有3×2＝6(種)情況；②取N中的點作橫坐標，取M中的點作縱坐標，有4×1＝4(種)情況．綜上共有6＋4＝10(種)情況．故選B.角度2涂色問題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數．解可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數，用分步乘法計數原理即可得出結論．由題設，四棱錐S－ABCD的頂點S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法．當S，A，B染好時，不妨設其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當S，A，B已染好時，C，D還有3＋2＋2＝7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420種．角度3與計數原理有關的新定義問題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2018·湖北模擬)回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數．如22,121,3443,94249等．顯然2位回文數有9個：11,22,33，…，99.3位回文數有90個：101,111,121，…，191,202，…，999.則：(1)4位回文數有________個；(2)2n＋1(n∈N*)位回文數有________個．答案(1)90(2)9×10n解析(1)4位回文數相當于填4個方格，首尾相同，且不為0，共9種填法；中間兩位一樣，有10種填法．共計9×10＝90(種)填法，即4位回文數有90個．(2)根據回文數的定義，此問題也可以轉化成填方格．由計數原理，共有9×10n種填法．方法技巧1．組數、組點、組線、組隊及抽取問題的解題思路(1)組數、組點、組線、組隊問題：一般按特殊位置由誰占領分類，每類中再分步計數，當分類較多時，也可用間接法求解．見角度1典例．(2)有限制條件的抽取問題：一般根據抽取的順序分步或根據選取的元素特點分類，當數目不大時，可用枚舉法，當數目較大時，可用間接法求解．2．涂色(種植)問題的解題關注點和關鍵(1)關注點：分清元素的數目，其次分清在不相鄰的區域內是否可以使用同類元素．(2)關鍵是對每個區域逐一進行，分步處理．見角度2典例．提醒：對于較復雜的兩個原理綜合應用的問題，可恰當畫出示意圖或列出表格，使問題形象化、直觀化，以圖助解．3．新定義問題的解題思路從特殊情形入手，通過分析、歸納、發現問題中隱含的一些本質特征和規律，然后再推廣到一般情形，必要時可以多列舉一些特殊情形，使規律方法更加明確．解決此類問題時，注意化歸思想的應用，如角度3典例，將確定回文數的問題轉化為填方格問題，進而利用分步乘法計數原理求解，將新信息轉化為數學知識．沖關針對訓練(2018·湖州模擬)如圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，現在用四種顏色給這四個直角三角形區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則有多少種不同的涂色方法()A．24B．72C．84D．120答案C解析如圖，設四個直角三角形順次為A，B，C，D，按A→B→C→D順序涂色，下面分兩種情況：①A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(種)．②A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(種)．共有84種．故選C.1．(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為()A．24B．18C．12D．9答案B解析分兩步，第一步，從E→F，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從F→G，有3條可以選擇的最短路徑．由分步乘法計數原理可知有6×3＝18條可以選擇的最短路徑．故選B.2．(2018·昆明模擬)某市汽車牌照號碼可以上網自編，但規定從左到右第二個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這十個數字中選擇(數字可以重復)，有車主第一個號碼(從左到右)只想在數字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他的車牌號碼可選的所有可能情況有()A．180種B．360種C．720種D．960種答案D解析按照車主的要求，從左到右第一個號碼有5種選法，第二個號碼有3種選法，其余三個號碼各有4種選法．因此車牌號碼可選的所有可能情況有5×3×4×4×4＝960(種)．故選D.3．(2017·廣東模擬)4個小電燈并聯在電路中，每一個電燈均有亮與不亮兩種狀態，總共可表示________種不同的狀態，其中至少有一個亮的有________種狀態．答案1615解析電燈狀態共分5類，當都不亮時，有Ceq\o\al(0,4)＝1(種)；當有一個亮時，有Ceq\o\al(1,4)＝4(種)；當有2個亮時，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)；當有3個亮時，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)；當4個全亮時，有Ceq\o\al(4,4)＝1(種)．共有1＋4＋6＋4＋1＝16(種)．其中至少有一個亮的有16－1＝15(種)．4．(2018·石家莊模擬)為舉辦校園文化節，某班推薦2名男生、3名女生參加文藝技能培訓，培訓項目及人數分別為：樂器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只參加一個項目，并且舞蹈和演唱項目必須有女生參加，則不同的推薦方案的種數為________．(用數字作答)答案24解析若參加樂器培訓的是女生，則各有1名男生及1名女生分別參加舞蹈和演唱培訓，共有3×2×2＝12(種)方案；若參加樂器培訓的是男生，則各有1名男生、1名女生及2名女生分別參加舞蹈和演唱培訓，共有2×3×2＝12(種)方案，所以共有24種推薦方案．[基礎送分提速狂刷練]一、選擇題1．有不同的語文書9本，不同的數學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，則不同的選法有()A．21種B．315種C．143種D．153種答案C解析可分三類：一類：語文、數學各1本，共有9×7＝63種；二類：語文、英語各1本，共有9×5＝45種；三類：數學、英語各1本，共有7×5＝35種；∴共有63＋45＋35＝143種不同選法．故選C.2．如果把個位數是1，且恰有3個數字相同的四位數叫做“好數”，那么在由1,2,3,4四個數字組成的有重復數字的四位數中，“好數”共有________個．()A．8B．12C．14D．9答案B解析由題意知本題是一個分類計數問題．當組成的數字有三個1，三個2，三個3，三個4共有4種情況，當有三個1時：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，有9種，當有三個2,3,4時：2221,3331,4441，有3種，根據分類計數原理得到共有12種結果，故選B.3．高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有()A．16種B．18種C．37種D．48種答案C解析自由選擇去四個工廠有43種方法，甲工廠不去，自由選擇去乙、丙、丁三個工廠有33種方法，故不同的分配方案有43－33＝37種．故選C.4．某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了2個新節目．如要將這2個節目插入原節目單中，那么不同插法的種類為()A．42B．30C．20D．12答案A解析將新增的2個節目分別插入原定的5個節目中，插入第一個有6種插法，插入第2個時有7個空，共7種插法，所以共6×7＝42(種)．故選A.5．(2017·石家莊模擬)教學大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有()A．10種B．25種C．52種D．24種答案D解析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計數原理，共有24種不同的走法．故選D.6．如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數是()A．60B．48C．36D．24答案B解析長方體的6個表面構成的“平行線面組”個數為6×6＝36，另含4個頂點的6個面(非表面)構成的“平行線面組”個數為6×2＝12，故符合條件的“平行線面組”的個數是36＋12＝48.故選B.7．(2017·山東模擬)用0,1，…，9十個數字，可以組成有重復數字的三位數的個數為()A．243B．252C．261D．279答案B解析由分步乘法計數原理知：用0,1，…，9十個數字組成三位數(可有重復數字)的個數為9×10×10＝900，組成沒有重復數字的三位數的個數為9×9×8＝648，則組成有重復數字的三位數的個數為900－648＝252，故選B.8．(2018·南寧調研)我們把各位數字之和為6的四位數稱為“六合數”(如2013是“六合數”)，則“六合數”中首位為2的“六合數”共有()A．18個B．15個C．12個D．9個答案B解析依題意，這個四位數的百位數、十位數、個位數之和為4.由4,0,0組成3個數，分別為400,040,004；由3,1,0組成6個數，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3個數，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個數，分別為211,121,112，共計3＋6＋3＋3＝15(個)．故選B.9．有A，B兩種類型的車床各一臺，現有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，若從三名工人中選2名分別去操作以上車床，則不同的選派方法有()A．6種B．5種C．4種D．3種答案C解析若選甲、乙2人，則包括甲操作A車床，乙操作B車床或甲操作B車床，乙操作A車床，共有2種選派方法；若選甲、丙2人，則只有甲操作B車床，丙操作A車床這1種選派方法；若選乙、丙2人，則只有乙操作B車床，丙操作A車床這1種選派方法．∴共有2＋1＋1＝4種不同的選派方法．故選C.10．(2018·湖南長沙模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有()A．12對B．18對C．24對D．30對答案C解析依題意，注意到在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線AC構成異面直線且所成的角為60°的直線有BC1，BA1，A1D，DC1，注意到正方體ABCD－A1B1C1D1中共有12條面對角線，可知所求的“黃金異面直線對”共有eq\f(4×12,2)＝24對，故選C.二、填空題11．已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B為集合M的非空子集，若對?x∈A，y∈B，x＜y恒成立，則稱(A，B)為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有________個．答案17解析當A＝{1}時，B有23－1＝7種情況；當A＝{2}時，B有22－1＝3種情況；當A＝{3}時，B有1種情況；當A＝{1,2}時，B有22－1＝3種情況；當A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}時，B均有1種情況．故滿足題意的“子集對”共有7＋3＋1＋3＋3＝17個．12．(2018·湖南十二校聯考)若m，n均為非負整數，在做m＋n的加法時各位均不進位(例如：134＋3802＝3936)，則稱(m，n)為“簡單的”有序對，而m＋n稱為有序對(m，n)的值，那么值為1942的“簡單的”有序對的個數是________．答案300解析第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2種組合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5種組合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3種組合方式．根據分步乘法計數原理，值為1942的“簡單的”有序對的個數為2×10×5×3＝300.13．已知數列{an}是公比為q的等比數列，集合A＝{a1，a2，…，a10}，從A中選出4個不同的數，使這4個數成等比數列，這樣得到4個數的不同的等比數列的個數為________．答案24解析當公比為q時，滿足題意的等比數列有7種，當公比為eq\f(1,q)時，滿足題意的等比數列有7種，當公比為q2時，滿足題意的等比數列有4種，當公比為eq\f(1,q2)時，滿足題意的等比數列有4種，當公比為q3時，滿足題意的等比數列有1種，當公比為eq\f(1,q3)時，滿足題意的等比數列有1種，因此滿足題意的等比數列共有7＋7＋4＋4＋1＋1＝24(種)．14．如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，若要求相鄰區域不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有________種(用數字作答)．答案72解析解法一：區域1有Ceq\o\al(1,4)種著色方法；區域2有Ceq\o\al