線性代數復習相似矩陣矩陣可對角化條件矩陣對角化的應用機動

目錄上頁下頁返回結束定義

假設A是n階方陣，如果存在數

和非零向量X，使得AX=X

稱

是矩陣A的一個特征值，X是對應于

的一個特征向量。復習機動

目錄上頁下頁返回結束AX=

X

非零向量

特征向量對應

特征值

n階方陣

對應于特征值

的特征向量不唯一。注：求法AX=

X

(

E–A)X=

0

|

E–A|=

0

特征方程|

E–A|=

–a11–a12…–a1n

–a21

–a22…–a2n…………–an1–an2…

–ann

特征多項式

E–A

特征矩陣

特征值

特征向量

機動

目錄上頁下頁返回結束特征值和特征向量的性質：

An×nA－1A*aA+bEAm特征值矩陣A可逆矩陣的互不相同的特征值對應的特征向量線性無關性質一、相似矩陣引例則P－1AP=B1.定義設An×n

,

Bn×n

,若存在可逆陣P,使

P-1AP＝B則稱A相似于B，記A~B.設2.性質

（1）矩陣的相似關系是一種等價關系反身性(A~A)(因為E－1AE＝A)

(由P－1AP＝B得:(由P－1AP＝B,Q－1BQ＝C得:Q－1(P－1AP)Q

＝(PQ)－1APQ＝C)對稱性(A~BB~A)傳遞性.(A~B,B~CA~C)A＝PBP－1

＝(P－1)－1BP－1)（2）相似矩陣的冪仍相似。一般地若A~B，則

f(A)~f(B)

Bk

＝

(

P－1AP)(P－1AP)…(P－1AP)＝P-1AkP)（3）可逆相似矩陣的逆矩陣也相似。(P－1AP＝B兩邊求逆矩陣得：P－1A－1P＝B－1)（4）相似矩陣有相同的特征多項式、特征值、行列式、跡和秩。跡(因為跡等于特征值之和)秩初等變換(∵AB)特征值行列式(行列式等于特征值之積)（特征多項式之根）P－1AP＝B

給定An×n

，與A相似的矩陣很多，即存在B及可逆矩陣P，使得P－1AP＝B～A，故從其中尋找一個“最簡單的”矩陣作為這一相似類的代表。(是什么？怎么求？相應的P=?)與單位矩陣、數量矩陣相似的矩陣只有它自己(P－1(aE)P＝aE)僅次于數量矩陣aE的簡單矩陣即對角矩陣，A能否相似于一個對角矩陣(稱A可對角化問題)

？二、矩陣可對角化條件定理1A有n個線性無關的特征向量即特征值則，P可逆記證:記線性無關=＝

由定理1,矩陣A是否與一對角矩陣相似,只需考察A是否有n個線性無關的特征向量；若求出A的n個線性無關特征向量：,令就能使為對角陣，主對角線上的元素依次為所屬的特征值定理2.An×n有n個不同特征值(充分不必要)定理3.A的每一個ki重特征值對應ki個線性無關的特征向量An×n相似于對角矩陣即每個特征值的代數重數等于其幾何維數例1三個特征值的代數重數、幾何維數均為1.——X1=(1,-1,0)T——X2=(1,-1,1)T——X3=(0,1,-1)T例2代數重數、幾何維數均為1.代數重數、幾何維數均為2.——X1=(1,1,2)T——X2=(1,1,0)T,X3=(-1,0,1)T可以與對角形矩陣相似可以與對角形矩陣相似A只有兩個線性無關特征向量(二重特征根只對應一個線性無關特征向量)，A不可對角化。但A可與若當形矩陣相似：注:設,由AP＝PJ求出a,b,c，確定P.?例3代數重數、幾何維數均為1.代數重數2，幾何維數1.——X1=(0,0,1)T——X2=(1,2,-1)T解:由已知，B的特征值為

1-3+1=-1，8-6+1=3，27-9+1=19解:由于特征向量是3維向量,可知A是3階方陣,而A有3個不同的特征值,所以A可對角化,即存在可逆矩陣P,使得求方陣A．機動

目錄上頁下頁返回結束１.

可對角化矩陣高次冪的計算及其應用計算很簡單三、矩陣對角化的應用解:令例7(00考研)

若4階矩陣A與B相似，A的特征值為由于相似矩陣有相同的特征值從而B－1的特征值為2,3,4,5.故B的特征值為＝120分析2.計算行列式的值機動

目錄上頁下頁返回結束3.應用舉例Fibonacci數列

1202年，意大利數學家Fibonacci出版了他的《算盤書》。他在書中提出了一個關于兔子繁殖的問題：如果一對兔子每月能生一對小兔（一雄一雌），而每對小兔在它出生后的第三個月里，又能生一對小兔，假定在不發生死亡的情況下，由一對出生的小兔開始，一年后會有多少對兔子？

機動

目錄上頁下頁返回結束Fibonacci數列通項公式求解模型模型建立機動

目錄上頁下頁返回結束A的特征值為對應的特征向量分別為模型求解作業:

P152

習題