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文檔簡介

線性代數分塊矩陣的概念分塊矩陣的運算特殊分塊矩陣及有關結論分塊矩陣的逆矩陣對象:

行數,列數較高的大型矩陣,采用分塊法.目的:大矩陣運算轉化為若干特殊的小矩陣運算,使運算更簡單.引例:一、分塊矩陣的概念

概念:子塊:用縱、橫線分成的若干個小矩陣分塊矩陣：以子塊為元素的矩陣矩陣分塊的原則：一個矩陣可根據需要把它寫成不同的分塊矩陣.例如：二、分塊矩陣的運算1.加法:A、B同型，且以同樣方式分塊，則A±B＝對應子塊相加減.2.數乘：kA＝數k乘以各個子塊.3.乘法:A列數=B行數,A列的分法與B行的分法相同,

則AB＝以子塊為元素，矩陣相乘.4.轉置:分塊矩陣行列互換,且各子塊都轉置.

,求AB

例1.設解：AB＝B11＋A12B21＝設例2

設EOA1A2

用分塊矩陣乘法求A2.解：EOA1A2A2＝A1＋A1A2例3.設解：由分塊矩陣乘法運算得：另一方面,AEn＝A＝＝(A1

A2

…

An)證明：A的第i行行向量[注]Am×sBs×n＝A(B1,B2,…,Bn)＝(AB1,AB2,…,ABn)(A列不分塊,B行不分塊)特別地:Am×sBs×n＝O時經常會聯系線性方程組Am×sX=O.三、特殊分塊矩陣及有關結論1.分塊三角形矩陣

及其中Aii(i=1,2,…,s)是

ri

階方陣.結論:①

②同結構的分塊三角形矩陣的和、積仍是分塊三角形矩陣.

特別地,

則[注](由拉普拉斯定理易得)

若An×n中非零元都集中在主對角線附近,有時可分為對角塊矩陣.即：2.

分塊對角矩陣(準對角矩陣)

其中Ai(i=1,2,…,s)是ri階方陣，.(它是1的特例)則四、分塊矩陣的逆矩陣1.設，則A可逆(易驗證)2.A1,A2…,As可逆,且

3.當A、B均可逆時,令

∵

A,B可逆

∴M可逆由得:AX＋CZ

＝EAY＋CW＝OBZ＝OBW＝EZ

＝OW＝B－1X＝A－1Y＝－A－1CB－1設AX＝E證明：AY＝－CB－1例10.利用矩陣分塊，求下列矩陣的逆矩陣：

＝1-33-52＝-1-1-314解：類似地五、幾個矩陣分塊的應用矩陣按行分塊設，記則

矩陣按列分塊：則2.線性方程組的表示

若記

則線性方程組可表示為

則線性方程組可表示為或若記

設則線性方程組可表示為或3.矩陣相乘的表示

設

則

則

記

4.對角陣與矩陣相乘將會看到它的作用。作業:

P69

習題2.4

1,2，4

線性代數是一種語言，必須用學習外語的方法每天學習這種語言．

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