東南大學考研數學——極限、連續和間斷極限與連續的重要性理解函數的變化趨勢極限的概念可以幫助我們理解函數在自變量趨近于某個值時的變化趨勢，為后續的微積分學習奠定基礎。判斷函數的性質連續性是函數的重要性質之一，它反映了函數在某點附近的平滑程度，也是許多數學定理成立的條件。解決實際問題極限和連續性在物理、工程、經濟等領域有著廣泛的應用，例如求解物理量、優化工程設計、預測經濟趨勢等。數列極限的定義1定義數列{an}收斂于A，當且僅當，對于任意給定的ε>0，存在正整數N，當n>N時，|an-A|<ε2含義當n充分大時，an與A的距離可以任意小3符號limn→∞an=A函數極限的定義設函數f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義如果存在一個常數A，對于任意給定的正數ε，總存在一個正數δ，使得當0<|x-x0|<δ時，都有|f(x)-A|<ε則稱A為函數f(x)當x趨近于x0時的極限，記為lim(x→x0)f(x)=A極限的基本性質1唯一性如果一個函數的極限存在，那么這個極限值是唯一的。2有界性如果一個函數的極限存在，那么這個函數在趨近于極限點的過程中是有界的。3保號性如果一個函數的極限存在且大于零，那么這個函數在趨近于極限點的過程中也大于零。4加法性兩個函數的極限之和等于這兩個函數的極限之和。極限計算技巧一：利用公式1和差公式lim(x→a)[f(x)±g(x)]=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)2積商公式lim(x→a)[f(x)*g(x)]=lim(x→a)f(x)*lim(x→a)g(x)3常數倍公式lim(x→a)[c*f(x)]=c*lim(x→a)f(x)極限計算技巧二：利用夾逼定理定義如果兩個函數f(x)和g(x)在x趨近于a時，都趨近于同一個極限L，并且在x趨近于a時，f(x)≤h(x)≤g(x)，那么函數h(x)在x趨近于a時，也趨近于L.應用夾逼定理常用于計算難以直接求解的極限，例如含三角函數或分段函數的極限.舉例例如，求解極限lim(x→0)(sin(x)/x)，可以通過構造兩個函數f(x)=cos(x)和g(x)=1，并利用夾逼定理得到極限值為1.極限計算技巧三：利用洛必達法則1條件當極限存在且分子和分母同時趨向于0或無窮大時，可以應用洛必達法則。2步驟對分子和分母分別求導，并計算新函數的極限。3應用洛必達法則可以簡化復雜極限的計算，提高解題效率。無窮小與無窮大的概念無窮小當自變量趨于某個值時，如果函數的極限為零，則稱該函數為無窮小.無窮大當自變量趨于某個值時，如果函數的極限為無窮大，則稱該函數為無窮大.函數的連續性定義若函數f(x)在點x0處連續，則滿足以下條件：極限存在lim(x->x0)f(x)存在函數值存在f(x0)存在極限等于函數值lim(x->x0)f(x)=f(x0)連續函數的性質介值定理連續函數圖像在兩點之間取值范圍內的任意值，都可以在圖像上找到一個對應的點。最大值最小值定理在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值。一致連續性在整個定義域上，函數的連續性是均勻的，即對于任意的ε，都存在一個δ，使得當兩點間的距離小于δ時，函數值之差小于ε。間斷點的分類可去間斷點函數在該點存在極限，但函數值不存在或不等于極限值。跳躍間斷點函數在該點左右極限都存在，但左右極限不相等。無窮間斷點函數在該點至少有一個極限為無窮大。間斷點的判定方法1極限不存在2極限存在，但與函數值不相等3函數值不存在奇函數和偶函數奇函數對于任意實數x，都滿足f(-x)=-f(x)，則稱函數f(x)為奇函數。偶函數對于任意實數x，都滿足f(-x)=f(x)，則稱函數f(x)為偶函數。周期函數定義如果對于任意實數x，都有f(x+T)=f(x)，則稱函數f(x)為周期函數，T為函數的周期。最小的正周期稱為函數的最小正周期。性質周期函數的圖像關于周期為T的區間重復出現。周期函數的周期可以是任何正數，也可以是無窮大。例子三角函數sin(x)和cos(x)是周期函數，它們的最小正周期為2π。函數的單調性單調遞增函數在定義域內，如果自變量的值增大，函數的值也增大，則稱函數為單調遞增函數。單調遞減函數在定義域內，如果自變量的值增大，函數的值減小，則稱函數為單調遞減函數。常數函數函數在定義域內，如果自變量的值改變，函數的值始終不變，則稱函數為常數函數。反函數的連續性單調性如果一個函數在其定義域內是單調的，那么它的反函數也一定在其定義域內是單調的。連續性如果一個函數在其定義域內是連續的，那么它的反函數也一定在其定義域內是連續的。函數的界定義如果存在一個實數M，使得對于定義域內的所有x，都有|f(x)|≤M，則稱函數f(x)在定義域上是有界的。幾何意義函數的界就是指函數圖像在y軸方向上被限制在一定范圍內，不會無限延伸。最大值與最小值最大值函數在定義域內取得的最大值最小值函數在定義域內取得的最小值反函數定理前提條件函數在某一點可導且導數不為零。定理結論該點存在反函數，且反函數在對應點可導。應用利用反函數定理可以求解反函數的導數。中值定理1羅爾定理如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)內至少存在一點ξ，使得f'(ξ)=0。2拉格朗日中值定理如果函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，那么在(a,b)內至少存在一點ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。3柯西中值定理如果函數f(x)和g(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且g'(x)≠0，那么在(a,b)內至少存在一點ξ，使得(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f'(ξ)/g'(ξ)。一致連續定義如果對于任意給定的正數ε，存在一個正數δ，使得當|x-x0|<δ時，有|f(x)-f(x0)|<ε，則稱函數f(x)在點x0處一致連續。重要性一致連續是函數連續的一種更強的條件，它保證了函數在整個定義域上的連續性，即使定義域是一個無限的區間。應用一致連續在微積分和分析中有很多重要的應用，例如，它可以用來證明函數的一致收斂性。復合函數的連續性1復合函數連續性若函數f(x)在點x0連續，且函數g(x)在點f(x0)連續，則復合函數g(f(x))在點x0連續2證明利用極限的性質和連續的定義可證明3應用判定復合函數在某點的連續性隱函數的連續性1定義如果隱函數F(x,y)=0在點(x0,y0)的某個鄰域內連續,且在該鄰域內偏導數Fy(x0,y0)不等于0,則該隱函數在點(x0,y0)處連續.2判定方法可以通過判斷F(x,y)=0是否滿足隱函數連續性的定義來判定隱函數在某點的連續性.3應用隱函數連續性的判定在求解微分方程、計算積分等問題中有著重要的應用.初等函數的連續性1多項式函數在整個定義域上都是連續的。2有理函數在分母不為零的點上連續。3三角函數在定義域內連續。4指數函數在整個定義域上連續。5對數函數在定義域內連續。函數的極限與連續性之間的關系函數在某點連續的充要條件是函數在該點有極限且極限值等于該點函數值。如果函數在某點不連續，則說明函數在該點沒有極限，或者極限值不等于該點函數值。重要極限公式極限一lim(x->0)sinx/x=1極限二lim(x->∞)(1+1/x)^x=e函數間斷點的判定方法1極限不存在左右極限不相等或其中一個極限不存在2極限存在但函數值不存在函數在該點沒有定義3極限存在但函數值不等于極限值函數在該點的值不等于該點的極限值函數性質分析的應用函數的單調性確定函數的單調區間，以了解函數的增長或下降趨勢。函數的凹凸性確定函數的凹凸區間，以了解函數的曲率變化。函數的極值尋找函數的極值點，以確定函數的最大值和最小值。本講重點小結極限的定義理解極限的定義，特別是數列極限和函