第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)、不等式第2節(jié)常用邏輯用語(yǔ)1.理解充分條件、必要條件、充要條件的含義.2.理解判定定理與充分條件的關(guān)系、性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系.3.理解全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的含義，能正確對(duì)兩種命題進(jìn)行否定.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的______條件，q是p的______條件p是q的____________條件p?q且q?/

pp是q的____________條件p?/

q且q?pp是q的______條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?/

q且q?/

p充分必要充分不必要必要不充分充要2.全稱(chēng)量詞與存在量詞(1)全稱(chēng)量詞：短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“____”表示.(2)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“____”表示.??3.全稱(chēng)量詞命題和存在量詞命題名稱(chēng)全稱(chēng)量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對(duì)M中的任意一個(gè)x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡(jiǎn)記_____________?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)______________?x∈M，p(x)?x∈M，綈p(x)1.會(huì)區(qū)別A是B的充分不必要條件(A?B且B?/

A)，與A的充分不必要條件是B

(B?A且A?/

B)兩者的不同.2.p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件.3.含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”.4.命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難，可判斷此命題否定的真假.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為π是全稱(chēng)量詞命題.(

)(2)寫(xiě)全稱(chēng)量詞命題的否定時(shí)，全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~.(

)(3)當(dāng)p是q的充分條件時(shí)，q是p的必要條件.(

)(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，則p是q的充分不必要條件.(

)×√√√解析(1)錯(cuò)誤，至少有一個(gè)三角形的內(nèi)角和為π是存在量詞命題.2.(必修一P22習(xí)題1.4T2改編)命題“三角形是等邊三角形”是命題“三角形是等腰三角形”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析由“三角形是等邊三角形”可得到“該三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.3.(必修一P30例4(3)改編)命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”的否定是________________________.任意一個(gè)偶數(shù)都不是素?cái)?shù)4.使－2＜x＜2成立的一個(gè)充分條件是________(答案不唯一，寫(xiě)出一個(gè)即可).0＜x＜2解析只要是{x|－2＜x＜2}的一個(gè)子集都是使－2＜x＜2成立的充分條件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一充分條件、必要條件的判定例1

(1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件B解析若a2＝b2，則當(dāng)a＝－b≠0時(shí)，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2?/

a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，則有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，則有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab?a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分條件.(2)(2023·全國(guó)甲卷)設(shè)甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B解析甲等價(jià)于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等價(jià)于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推導(dǎo)出sinα＋cosβ＝0；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推導(dǎo)出甲.綜上，甲是乙的必要不充分條件.(3)(多選)ab＋b－a－1＝0的一個(gè)充分不必要條件可以是(

)A.a＝－1 B.a＝bC.b＝1 D.ab＝1AC解析由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故選AC.感悟提升充分、必要條件的兩種判定方法：(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問(wèn)題.(2)集合法：根據(jù)p，q對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍的推斷問(wèn)題.ACD解析對(duì)于A，由a>b?/ac2>bc2(c＝0時(shí)不成立)，由ac2>bc2?a>b，則“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分條件，A中命題是真命題；(2)(2023·泰安模擬)下列選項(xiàng)中，p是q的必要不充分條件的是(

)A.p：a>1，q：f(x)＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上為增函數(shù)B.p：a>1，b>1，q：f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1)的圖象不過(guò)第二象限C.p：x≥2且y≥2，q：x2＋y2≥4D.p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>dD解析對(duì)于A，p是q的充要條件；對(duì)于B，函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象不過(guò)第二象限，則a>1，1－b≤0，即a>1，b≥1，所以p是q的充分不必要條件；對(duì)于C，p是q的充分不必要條件；對(duì)于D，結(jié)合不等式的性質(zhì)知p是q的必要不充分條件，D符合題意.考點(diǎn)二充分、必要條件的應(yīng)用例2

已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要條件，求m的取值范圍.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}.由x∈A是x∈B的必要條件，知B?A.即所求m的取值范圍是[0，3].遷移

本例中，若把“x∈A是x∈B的必要條件”改為“x∈A是x∈B的充分不必要條件”，求m的取值范圍.解∵x∈A是x∈B的充分不必要條件，∴A

B，解得m≥9，故m的取值范圍是[9，＋∞).感悟提升充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).訓(xùn)練2(1)(2023·衡水調(diào)研)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b為實(shí)數(shù).

①若A是B的充要條件，則b＝___________；

②若A是B的充分不必要條件，則b的取值范圍是______________.②若A是B的充分不必要條件，則A

B，(2)(2024·駐馬店模擬)已知p：x2－x－12≤0，q：(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0).若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.[3，＋∞)解析由不等式x2－x－12≤0，解得－3≤x≤4，設(shè)p對(duì)應(yīng)的集合為A，則A＝[－3，4].由不等式(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0)，解得－m≤x≤2m＋1(m>0)，設(shè)q對(duì)應(yīng)的集合為B，則B＝[－m，2m＋1](m>0).因?yàn)閜是q的充分不必要條件，所以A是B的真子集，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[3，＋∞).考點(diǎn)三全稱(chēng)量詞與存在量詞角度1含量詞命題的否定例3(1)(2024·西安模擬)若命題p：?x∈R，ex≥x＋1，則綈p是(

)A.?x∈R，ex≤x＋1 B.?x∈R，ex<x＋1C.?x∈R，ex≤x＋1 D.?x∈R，ex<x＋1D解析?x∈R，ex≥x＋1的否定是?x∈R，ex<x＋1，故選D.(2)已知命題p：?n∈N，n2≥2n＋5，則綈p為(

)A.?n∈N，n2≥2n＋5B.?n∈N，n2≤2n＋5C.?n∈N，n2＜2n＋5D.?n∈N，n2＝2n＋5C解析綈p為?n∈N，n2＜2n＋5，所以C正確.角度2含量詞命題的真假判斷例4

(2024·九江聯(lián)考)下列命題的否定是真命題的為(

)A.任意兩個(gè)等邊三角形都相似B.?x∈R，x2－x＋1＝0C.存在一個(gè)四邊形，它的兩條對(duì)角線互相垂直D.?x∈R，x＋|x|≥0B解析對(duì)于A，任意兩個(gè)等邊三角形都相似是真命題，所以其否定是假命題，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4<0，所以方程無(wú)解，所以該命題是假命題，其否定是真命題，故B正確；對(duì)于C，存在一個(gè)四邊形，它的兩條對(duì)角線互相垂直，是真命題，其否定是假命題，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，?x∈R，x＋|x|≥0是真命題，其否定是假命題，故D錯(cuò)誤.D所以m≤(sinx)min，感悟提升1.含量詞命題的否定，一是要改寫(xiě)量詞，二是要否定結(jié)論.2.判定全稱(chēng)量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判定存在量詞命題“?x∈M，p(x)”是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)x，使p(x)成立即可.3.由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的含義，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍；二是利用等價(jià)命題，即p與綈p的關(guān)系，轉(zhuǎn)化成綈p的真假求參數(shù)的范圍.訓(xùn)練3

(1)已知命題p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4＝3x.下列說(shuō)法正確的是(

)A.p為真命題，綈p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xB.p為假命題，綈p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xC.p為真命題，綈p：?x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xD.p為假命題，綈p：?x?(0，＋∞)，3x＋4≠3xC解析方程3x＋4＝3x可化為3x＋4－3x＝0，設(shè)f(x)＝3x＋4－3x，則方程3x＋4＝3x的根就是函數(shù)f(x)＝3x＋4－3x的零點(diǎn)，當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝3×2＋4－32>0，當(dāng)x＝3時(shí)，f(3)＝3×3＋4－33<0，由零點(diǎn)存在定理知函數(shù)f(x)＝3x＋4－3x在區(qū)間(2，3)內(nèi)存在零點(diǎn)，故方程3x＋4＝3x在(0，＋∞)上有解，故p為真命題.根據(jù)存在量詞命題的否定方法可得綈p：?x∈(0,＋∞)，3x＋4≠3x，所以C正確.(2)已知命題“?x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______________________.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析若原命題為真命題，則?x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，則－4<m<6；故若原命題為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－4]∪[6，＋∞).課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.命題“?x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(

)A.?x＞0，x2－2|x|≥0 B.?x≤0，x2－2|x|≥0C.?x＞0，x2－2|x|≥0 D.?x≤0，x2－2|x|≥0C解析由存在量詞命題的否定為全稱(chēng)量詞命題知“?x＞0，x2－2|x|＜0”的否定為“?x＞0，x2－2|x|≥0”.2.(2022·浙江卷)設(shè)x∈R，則“sinx＝1”是“cosx＝0”的(

)A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件A3.已知命題：“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(－∞，4) B.(－∞，4]C.(4，＋∞) D.[4，＋∞)B解析“?x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命題，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.CA解析由2a＞2，得a＞1；D對(duì)于B，因?yàn)楫?dāng)x＝5時(shí)，25＝32>52＝25，所以?x∈R，2x>x2為真命題，其否定為假命題，故B錯(cuò)誤；7.(2021·全國(guó)甲卷)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則(

)A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件B

解析當(dāng)a1＜0，q＞1時(shí)，an＝a1qn－1＜0，此時(shí)數(shù)列{Sn}遞減，所以甲不是乙的充分條件.

當(dāng)數(shù)列{Sn}遞增時(shí)，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，則qn＞0(n∈N*)，即q＞0；

若a1＜0，則qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要條件.

綜上，甲是乙的必要條件但不是充分條件.8.(2024·云南名校聯(lián)考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}.

若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則a的取值范圍為(

)A.[－1，0] B.(－1，0)C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)A解析由題意，x2－x－2<0，解得－1<x<2，則A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則集合A是集合B的真子集，解得－1≤a≤0，所以a的取值范圍為[－1，0].解析因?yàn)椤皊inx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”，10.(2023·北京海淀區(qū)模擬)設(shè)a>0，b>0，則使得命題“若ln(a＋b)>0，則lna＋lnb>0”為假命題的一組a，b的值是_____________(答案不唯一).a＝1，b＝1解析根據(jù)題意，滿足題意的a，b需滿足ln(a＋b)>0，則lna＋lnb≤0，即ln(a＋b)>ln1，ln(ab)≤ln1，解得a＋b>1，ab≤1，不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，滿足題意.12.(2023·湖南部分名校調(diào)研)已知p：?x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，則綈p是q的______________條件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中選一個(gè)填入).必要不充分解析若綈p：?x∈R，ax2＋2x＋1≥0為真命題，則a>0且Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.因?yàn)?1，＋∞)

[1，＋∞)，所以綈p是q的必要不充分條件.AD對(duì)于B，命題“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閤≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性質(zhì)得x2＋y2≥8時(shí)，取x＝0，y＝3，不滿足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)a≠0，b＝0時(shí)，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件，故D正確.14.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“a>