PAGE1-第2課時對數的運算學問點一對數的運算性質若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN，(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．學問點二對數換底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0)．特殊地：logab·logba＝1(a>0，a≠1，b>0，b≠1)．對數的這三條運算性質，都要留意只有當式子中全部的對數都有意義時，等式才成立.例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是錯誤的．對數換底公式常見的兩種變形(1)logab·logba＝1，即eq\f(1,logab)＝logba，此公式表示真數與底數互換，所得的對數值與原對數值互為倒數．(2)logNnMm＝eq\f(m,n)logNM，此公式表示底數變為原來的n次方，真數變為原來的m次方，所得的對數值等于原來對數值的eq\f(m,n)倍．[小試身手]1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)積、商的對數可以化為對數的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由換底公式可得logab＝eq\f(log－2b,log－2a).()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．下列等式成立的是()A．log2(8－4)＝log28－log24B.eq\f(log28,log24)＝log2eq\f(8,4)C．log28＝3log22D．log2(8＋4)＝log28＋log24解析：由對數的運算性質易知C正確．答案：C3.eq\f(log49,log43)的值為()A.eq\f(1,2)B．2C.eq\f(3,2)D.eq\f(9,2)解析：原式＝log39＝2.答案：B4．計算2log510＋log50.25的值為________．解析：原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝log552＝2.答案：2類型一對數運算性質的應用例1(1)若lg2＝a，lg3＝b，則eq\f(lg45,lg12)＝()A.eq\f(a＋2b,2a＋b)B.eq\f(1－a＋2b,2a＋b)C.eq\f(1－b＋2a,2a＋b)D.eq\f(1－a＋2b,a＋2b)(2)計算：lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝________；(3)求下列各式的值．①log53＋log5eq\f(1,3)；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.【解析】(1)eq\f(lg45,lg12)＝eq\f(lg5＋lg9,lg3＋lg4)＝eq\f(1－lg2＋2lg3,lg3＋2lg2)＝eq\f(1－a＋2b,2a＋b).(2)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(3)①log53＋log5eq\f(1,3)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×\f(1,3)))＝log51＝0.②(lg5)2＋lg2·lg50＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg8eq\f(2,3)＋lgeq\f(10,2)·lg(10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.【答案】(1)B(2)－1(3)見解析(1)用對數運算性質把所求式化為用lg2和lg3表示的形式．(2)用對數的運算性質求解．(3)留意對數運算性質loga1＝0的綜合應用．方法歸納(1)對于同底的對數的化簡，常用方法是：①“收”，將同底的兩對數的和(差)收成積(商)的對數；②“拆”，將積(商)的對數拆成對數的和(差)．(2)對數式的化簡、求值一般是正用或逆用公式，要養成正用、逆用、變形應用公式的習慣，lg2＋lg5＝1在計算對數值時會常常用到，同時留意各部分變形要化到最簡形式．跟蹤訓練1求下列各式的值：(1)log318－log36；(2)log3＋2log2；(3)log2eq\r(8＋4\r(3))＋log2eq\r(8－4\r(3))；(4)eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2).解析：(1)原式＝log3eq\f(18,6)＝log33＝1.(2)原式＝log3＋log4＝log12＝－1.(3)原式＝log2[eq\r(8＋4\r(3))eq\r(8－4\r(3))]＝log2eq\r(82－4\r(3)2)＝log2eq\r(64－48)＝log24＝2.(4)原式＝eq\f(lg3＋lg4－1,lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1.利用對數運算性質化簡求值．類型二對數換底公式的應用例2(1)已知2x＝3y＝a，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝2，則a的值為()A．36B．6C．2eq\r(6)D.eq\r(6)(2)計算下列各式：①log89·log2732；②2lg4＋lg5－lg8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))－eq\f(2,3)；③64eq\f(1,3)＋lg4＋2lg5.【解析】(1)因為2x＝3y＝a，所以x＝log2a，y＝log3a，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,log2a)＋eq\f(1,log3a)＝loga2＋loga3＝loga6＝2，所以a2＝6，解得a＝±eq\r(6).又a＞0，所以a＝eq\r(6).(2)①log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(lg32,lg23)·eq\f(lg25,lg33)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(10,9).②2lg4＋lg5－lg8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))＝lg16＋lg5－lg8－eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,\f(27,8))))2)＝lgeq\f(16×5,8)－eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).③64＋lg4＋2lg5＝4＋lg(4×52)＝4＋2＝6.【答案】(1)D(2)見解析1．先把指數式化為對數式，再用換底公式，把所求式化為同底對數式，最終用對數的運算性質求值．2．先用換底公式將式子變為同底的形式，再用對數的運算性質計算并約分．方法歸納(1)換底公式中的底可由條件確定，也可換為常用對數的底，一般來講，對數的底越小越便于化簡，如an為底的換為a為底．(2)換底公式的派生公式：logab＝logac·logcb；loganbm＝eq\f(m,n)logab.,跟蹤訓練2(1)式子log916·log881的值為()A．18B.eq\f(1,18)C.eq\f(8,3)D.eq\f(3,8)(2)(log43＋log83)(log32＋log98)等于()A.eq\f(5,6)B.eq\f(25,12)C.eq\f(9,4)D．以上都不對解析：(1)原式＝log3224·log2334＝2log32·eq\f(4,3)log23＝eq\f(8,3).(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log33,log34)＋\f(log33,log38)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(log38,log39)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2log32)＋\f(1,3log32)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(3log32,2)))＝eq\f(5,6log32)×eq\f(5,2)log32＝eq\f(25,12).答案：(1)C(2)B利用換底公式化簡求值．類型三用已知對數表示其他對數例3已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.解析：方法一因為log189＝a，所以9＝18a.又5＝18b，所以log3645＝log2×18(5×9)＝log2×1818a＋b＝(a＋b)·log2×1818.又因為log2×1818＝eq\f(1,log1818×2)＝eq\f(1,1＋log182)＝eq\f(1,1＋log18\f(18,9))＝eq\f(1,1＋1－log189)＝eq\f(1,2－a)，所以原式＝eq\f(a＋b,2－a).方法二∵18b＝5，∴log185＝b.∴log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log185×9,log184×9)＝eq\f(log185＋log189,2log182＋log189)＝eq\f(a＋b,2log18\f(18,9)＋log189)＝eq\f(a＋b,2－2log189＋log189)＝eq\f(a＋b,2－a).方法一對數式化為指數式，再利用對數運算性質求值．方法二先求出a、b，再利用換底公式化簡求值．方法歸納用已知對數的值表示所求對數的值，要留意以下幾點：(1)增加目標意識，合理地把所求向已知條件靠攏，奇妙代換；(2)巧用換底公式，敏捷“換底”是解決這種類型問題的關鍵；(3)留意一些派生公式的運用．跟蹤訓練3(1)已知log62＝p，log65＝q，則lg5＝________；(用p，q表示)(2)①已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528；②設3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值．解析：(1)lg5＝eq\f(log65,log610)＝eq\f(q,log62＋log65)＝eq\f(q,p＋q).(2)①∵log147＝a,14b＝5，∴b＝log145.∴log3528＝eq\f(log1428,log1435)＝eq\f(log14\f(142,7),log145×7)＝eq\f(log14142－log147,log145＋log147)＝eq\f(2－a,a＋b).②∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，∴eq\f(1,x)＝eq\f(1,log336)＝eq\f(1,\f(log3636,log363))＝log363，eq\f(1,y)＝eq\f(1,log436)＝eq\f(1,\f(log3636,log364))＝log364，∴eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝2log363＋log364＝log36(9×4)＝1.答案：(1)eq\f(q,p＋q)(2)①eq\f(2－a,a＋b)②1,(1)利用換底公式化簡．(2)利用對數運算性質化簡求值．[基礎鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．若a>0，a≠1，x>y>0，下列式子：①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaeq\f(x,y)＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.其中正確的個數為()A．0個B．1個C．2個D．3個解析：依據對數的性質知4個式子均不正確．答案：A2．化簡eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的結果為()A．6eq\r(2)B．12eq\r(2)C．log6eq\r(3)D.eq\f(1,2)解析：eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)＝eq\f(1,2)(1＋log62)－log62＝eq\f(1,2)(1－log62)＝eq\f(1,2)log63＝log6eq\r(3).答案：C3．設lg2＝a，lg3＝b，則eq\f(lg12,lg5)＝()A.eq\f(2a＋b,1＋a)B.eq\f(a＋2b,1＋a)C.eq\f(2a＋b,1－a)D.eq\f(a＋2b,1－a)解析：eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(lg3＋lg4,lg5)＝eq\f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq\f(2a＋b,1－a).答案：C4．若log34·log8m＝log416，則m等于()A．3B．9C．18D．27解析：原式可化為log8m＝eq\f(2,log34)，eq\f(lgm,3lg2)＝eq\f(2,\f(lg4,lg3))，即lgm＝eq\f(6lg2·lg3,2lg2)，lgm＝lg27，m＝27.故選D.答案：D5．若lgx＝m，lgy＝n，則lgeq\r(x)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,10)))2的值為()A.eq\f(1,2)m－2n－2B.eq\f(1,2)m－2n－1C.eq\f(1,2)m－2n＋1D.eq\f(1,2)m－2n＋2解析：因為lgx＝m，lgy＝n，所以lgeq\r(x)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,10)))2＝eq\f(1,2)lgx－2lgy＋2＝eq\f(1,2)m－2n＋2.故選D.答案：D二、填空題(每小題5分，共15分)6．lg10000＝________；lg0.001＝________.解析：由104＝10000知lg10000＝4,10－3＝0.001得lg0.001＝－3，留意常用對數不是沒有底數，而是底數為10.答案：4－37．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，則x等于________．解析：由換底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).答案：eq\f(1,25)8.eq\f(lg2＋lg5－lg1,2lg\f(1,2)＋lg8)·(lg32－lg2)＝________.解析：原式＝eq\f(lg2×5－0,lg\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×8)))×lgeq\f(32,2)＝eq\f(1,lg2)·lg24＝4.答案：4三、解答題(每小題10分，共20分)9．化簡：(1)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27)；(2)(lg5)2＋lg2lg50＋21＋eq\f(1,2)log25.解析：(1)方法一(正用公式)：原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,lg3)＝eq\f(11,5).方法二(逆用公式)：原式＝eq\f(lg\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×9\f(2,5)×27\f(1,2)×\f(3,5)×3－\f(1,2))),lg\f(81,27))＝eq\f(lg3\f(11,5),lg3)＝eq\f(11,5).(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·2log2eq\r(5)＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg2＋2eq\r(5)＝1＋2eq\r(5).10．計算：(1)log1627log8132；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．解析：(1)log1627log8132＝eq\f(lg27,lg16)×eq\f(lg32,lg81)＝eq\f(lg33,lg24)×eq\f(lg25,lg34)＝eq\f(3lg3,4lg2)×eq\f(5lg2,4lg3)＝eq\f(15,16).(2)(log32＋log92)(log43＋log83)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(log32,log39)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log23,log24)＋\f(log23,log28)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log32＋\f(1,2)log32))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log23＋\f(1,3)log23))＝eq\f(3,2)log32×eq\f(5,6)log23＝eq\f(5,4)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg2)＝eq\f(5,4).[實力提升](20分鐘，40分)11．設9a＝45，log95＝b，則()A．a＝b＋9B．a－b＝