瀘縣五中高2022級第二次診斷性模擬考試數學試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至4頁.共150分.考試時間120分鐘.注意事項：1，答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題的答案標號涂黑.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內，作圖題可先用鉛筆繪出，確認后再用0.5毫米黑色簽字筆描清楚，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得.故選：C.2.已知，是虛數單位，若與互為共軛復數，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據共軛復數的概念可求得的值，進而根據復數的乘法運算即可求得結果.【詳解】由已知可得，所以.故選：C.3.已知正三角形的邊長為2，那么的直觀圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】根據斜二測畫法求解.【詳解】如圖(1)為的實際圖形，圖（2）為的直觀圖.由斜二測畫法得：，作，則，所以.故選：D4.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后結合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據此可知：是的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎題.5.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．6.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式求得，其中k是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數．現有的物體，放在的空氣中冷卻．1min后物體的溫度是，那么該物體的溫度降至還需要冷卻的時間約為（參考數據：）（）A.2.9min B.3.4minC.3.9min D.4.4min【答案】D【解析】【分析】根據給定的函數模型，列式并借助對數運算求解即得.【詳解】依題意，由的物體，放在的空氣中冷卻，后物體的溫度是，得，解得，該物體的溫度降至需要冷卻的時間為，則，于是，兩邊取對數得，所以該物體的溫度降至還需要冷卻的時間約為.故選：D7.我國古代數學名著《九章算術》中記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無廣.芻，草也.甍，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長為2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF與平面ABCD的距離為2，該芻甍的體積為（）A.6 B. C. D.12【答案】B【解析】【分析】在幾何體中，作FN//AE，FM//ED，將多面體被分割為三棱柱與四棱錐兩部分求解.【詳解】如圖，作FN//AE，FM//ED，則多面體被分割為棱柱與棱錐部分，因為EF與平面ABCD的距離為2，所以四棱錐FNBCM的高為2，所以V四棱錐FNBCM=SNBCMV棱柱ADENMF=S直截面所以該芻甍的體積為V=V四棱錐FNBCM+V棱柱ADENMF=.故選：B【點睛】本題考查空間幾何體的體積，考查空間想象能力和運算求解能力，屬于基礎題.8.定義：如果函數在區間上存在，滿足，，則稱函數是在區間上的一個雙中值函數，已知函數是區間上的雙中值函數，則實數的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】，∵函數是區間上的雙中值函數，

∴區間上存在，

滿足∴方程在區間有兩個不相等的解，

令，則，解得∴實數的取值范圍是.故選:A．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某校隨機抽取了100名學生測量體重，經統計，這些學生的體重數據（單位：kg）全部介于45至70之間，將數據整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.頻率分布直方圖中a值為0.07B.這100名學生中體重低于60kg的人數為60C.據此可以估計該校學生體重的第78百分位數約為62D.據此可以估計該校學生體重的平均數約為62.5【答案】AC【解析】【分析】運用頻率分布直方圖中所有頻率之和為1及頻數、百分位數、平均數計算公式計算即可.【詳解】對于A項，因為，解得：，故A項正確；對于B項，人，故B項錯誤；對于C項，因為，，，所以第78百分位數位于之間，設第78百分位數為x，則，解得：，故C項正確；對于D項，因為，即：估計該校學生體重的平均數約為，故D項錯誤.故選：AC.10.下列說法正確的是（）A.若的定義域為，則的定義域為B.函數值域為C.函數的值域為D.函數在上的值域為【答案】AC【解析】【分析】根據抽象函數定義域的求解判斷A；利用分離常數化簡函數解析式，結合反比型函數的值域判斷B；利用換元法，結合二次函數的性質求得其值域，判斷C；利用配方法，結合二次函數的性質判斷D.【詳解】對于A，因為的定義域為，所以，解得，即的定義域為，故A正確；對于B，，所以，即函數的值域為，故B不正確；對于C，令，則，，所以，，所以當時，該函數取得最大值，最大值為，所以函數的值域為，故C正確；對于D，，其圖象的對稱軸為直線，且，，所以函數在上的值域為，故D不正確．故選：AC．11.已知函數及其導函數的定義域均為，若是奇函數，，且對任意x，，，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據賦值法，結合原函數與導函數的對稱性，奇、偶函數的定義、函數周期性進行求解即可.【詳解】令，得，因為，所以，所以A錯誤；令，得①，所以，因為是奇函數，所以是偶函數，所以②，由①②，得，即，所以，所以，是周期為3的函數，所以，，所以B正確，C錯誤；因為，在①中令得，所以，，所以D正確．故選：BD．【點睛】對于可導函數有：奇函數的導數為偶函數偶函數的導數為奇函數若定義在R上的函數是可導函數，且周期為T，則其導函數是周期函數，且周期也為T第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分12.曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積為___________.【答案】【解析】【分析】欲求切線與坐標軸所圍成的三角形的面積，只須求出切線在坐標軸上的截距即可，故先利用導數求出在x＝0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后求出切線的方程，從而問題解決．【詳解】解：依題意得y′＝ex+1，因此曲線在點處的切線的斜率等于，相應的切線方程是y﹣3＝2（x﹣0），當x＝0時，y＝3即y＝0時，x＝，∴切線與坐標軸所圍成的三角形的面積為：S3×＝．故答案為．【點睛】本小題主要考查直線的方程、三角形的面積、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．13.已知雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交點坐標為，則雙曲線的焦距為_______________.【答案】【解析】【分析】由準線上的點得準線方程和拋物線焦點坐標，得到雙曲線左頂點坐標可求，由雙曲線的一條漸近線上的點得漸近線方程，可求出，從而可求雙曲線的焦距.【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交點坐標為，即點在拋物線的準線上，故，得則拋物線的焦點坐標為，雙曲線的左頂點與拋物線的焦點的距離為4，得雙曲線的左頂點為，即，又點在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為，則有，進而，得焦距為.故答案為：14.將函數的圖象向右平移個單位后得到函數的圖象，若，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】先利用平移變換得到，然后根據，滿足，利用正弦函數的性質得到或，即或求解.【詳解】函數的圖象向右平移個單位后得到函數，因為，由，得或，當時，，當時，當，，當時，綜上：的最小值為故答案為：【點睛】本題主要考查三角函數圖象的變換以及正弦函數性質的應用，還考查了轉化求解問題的能力，屬于中檔題.四、解答題：本大題共5小題，共77分、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖為函數（，，，）的部分圖象.（1）求函數的解析式；（2）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若方程在上有兩個不相等的實數根，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據圖象依次求得的值.（2）根據三角函數圖象變換的知識求得，根據在區間上的單調性求得的取值范圍.小問1詳解】由圖可知，，所以，由，得，由于，所以，所以【小問2詳解】的圖象向右平移個單位長度，得到，當時，，所以當，即時，遞增，當，即時，遞減，，，由于方程在上有兩個不相等的實數根，所以的取值范圍是.16.如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱的中點，為棱上一點，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取BC中點E，連AE，以點A為原點，建立空間直角坐標系，探討與平面的關系即可推理作答.（2）利用（1）中相關信息，求出平面的法向量，借助空間向量即可計算作答.【小問1詳解】取BC中點E，連AE，如圖，因，則，而，有，又平面，以點A為原點，射線AE，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，則，，顯然，則，而，因此有，即平面，又平面，所以平面.【小問2詳解】設平面的法向量為，由（1）知，令，得，而平面的一個法向量是，則，顯然二面角是銳角，所以二面角的余弦值.17.已知數列滿足，（1）記，寫出，，并求數列的通項公式；（2）求的前20項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)方法一：由題意結合遞推關系式確定數列的特征，然后求和其通項公式即可；(2)方法二：分組求和，結合等差數列前項和公式即可求得數列的前20項和.【詳解】解：（1）[方法一]【最優解】：顯然為偶數，則，所以，即，且，所以是以2為首項，3為公差的等差數列，于是．[方法二]：奇偶分類討論由題意知，所以．由（為奇數）及（為偶數）可知，數列從第一項起，若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．所以，則．[方法三]：累加法由題意知數列滿足．所以，，則．所以，數列的通項公式．（2）[方法一]：奇偶分類討論．[方法二]：分組求和由題意知數列滿足，所以．所以數列的奇數項是以1為首項，3為公差的等差數列；同理，由知數列的偶數項是以2為首項，3為公差的等差數列．從而數列的前20項和為：．【整體點評】(1)方法一：由題意討論的性質為最一般的思路和最優的解法；方法二：利用遞推關系式分類討論奇偶兩種情況，然后利用遞推關系式確定數列的性質；方法三：寫出數列的通項公式，然后累加求數列的通項公式，是一種更加靈活的思路.(2)方法一：由通項公式分奇偶的情況求解前項和是一種常規的方法；方法二：分組求和是常見的數列求和的一種方法，結合等差數列前項和公式和分組的方法進行求和是一種不錯的選擇.18.已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.（1）若離心率時，求的值．（2）若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．（3）連接，直線交雙曲線于另一點，若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據離心率公式計算即可；（2）分三角形三邊分別為底討論即可；（3）設直線，聯立雙曲線方程得到韋達定理式，再代入計算向量數量積的等式計算即可.【小問1詳解】由題意得，則，．【小問2詳解】當時，雙曲線，其中，，因為為等腰三角形，則①當以為底時，顯然點在直線上，這與點在第一象限矛盾，故舍去；②當以為底時，，設，則,聯立解得或或，因為點在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；（或者由雙曲線性質知，矛盾，舍去）；③當以為底時，，設，其中，則有，解得，即．綜上所述：.【小問3詳解】由題知，當直線的斜率為0時，此時，不合題意，則，則設直線，設點，根據延長線交雙曲線于點，根據雙曲線對稱性知，聯立有，顯然二次項系數，其中，①，②，，則，因為在直線上，則，，即，即，將①②代入有，即化簡得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因為，則，綜上知，，．【點睛】關鍵點點睛：本題第三問的關鍵是采用設線法，為了方便運算可設，將其與雙曲線方程聯立得到韋達定理式，再寫出相關向量，代入計算，要注意排除聯立后的方程得二次項系數不為0.19.已知函數．（1）當時，證明：；（2）數列的前項和為，且；（ⅰ）求；（ⅱ）求證：．【答案】（1）證明見解析（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析．【解析】【