《量子力學(xué)》題庫(kù)

一、簡(jiǎn)答題

1試寫(xiě)了德布羅意公式或德布羅意關(guān)系式，簡(jiǎn)述其物理意義

答：微觀粒子的能量和動(dòng)量分別表示為：

E=hv=Tico

p=—n=lik

2

其物理意義是把微觀粒子的波動(dòng)性和粒子性聯(lián)系起來(lái).等式左邊的能量和動(dòng)量是描述粒

子性的；而等式右邊的頻率和波長(zhǎng)則是描述波的特性的量。

2簡(jiǎn)述玻恩關(guān)于波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)催@種解釋?zhuān)鑼?xiě)粒子的波是什么波？

答：波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋是：波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的平方）和在該點(diǎn)找

到粒子的幾率成正比。按這種解釋?zhuān)鑼?xiě)粒子的波是幾率波。

3根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋?zhuān)f(shuō)明量子力學(xué)中的波函數(shù)與描述聲波、光波等其它

波動(dòng)過(guò)程的波函數(shù)的區(qū)別，

答：根據(jù)量子力學(xué)中波函數(shù)的幾率解釋?zhuān)驗(yàn)榱Ｗ颖囟ㄒ诳臻g某一點(diǎn)出現(xiàn)，所以粒子在空

間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和為1,因而粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點(diǎn)的

相對(duì)強(qiáng)度而不決定于強(qiáng)度為絕對(duì)大小；因而將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子狀態(tài)不

變，這是其他波動(dòng)過(guò)程所沒(méi)有的。

4設(shè)描寫(xiě)粒子狀態(tài)的函數(shù)“可以寫(xiě)成”3+。2%，其中q和C2為復(fù)數(shù)，仍和仍為粒

子的分別屬于能量片和邑的構(gòu)成完備系的能量本征態(tài)。試說(shuō)明式子”=%的含

義，并指出在狀態(tài)〃中測(cè)量體系的能量的可能值及其幾率。

答：〃二C、（P\+C2（p2的含義是：當(dāng)粒了?處于（P、和外的線性疊加態(tài)獷時(shí)，粒子是既處于01態(tài)，

又處于心態(tài)。或者說(shuō)，當(dāng)例和仍是體系可能的狀態(tài)時(shí)，它們的線性疊加態(tài)”也是體系一個(gè)

可能的狀態(tài)；或者說(shuō)，當(dāng)體系處在態(tài)沙時(shí)，體系部分地處于態(tài)仍、心中。

在狀態(tài)w中測(cè)鼠體系的能量的可能值為&和E2，各自出現(xiàn)的幾率為卜、丁和同2。

5什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？

答：定態(tài)是指體系的能量有確定值的態(tài)。在定態(tài)中，所有不顯含時(shí)間的力學(xué)量的幾率密度及

向率流密度都不隨時(shí)間變化。

6什么是全同性原理和泡利不相容原理？?jī)烧叩年P(guān)系是什么？

答:全同性原理是指由全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。

泡利不相容原理是指不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)。

兩者的關(guān)系是由全同性原理出發(fā)，推論出全同粒子體系的波函數(shù)有確定的交換對(duì)稱(chēng)性，將這

一性質(zhì)應(yīng)用到費(fèi)米子組成的全同粒子體系，必然推出費(fèi)米不相容原理。

7試簡(jiǎn)述波函數(shù)中的標(biāo)準(zhǔn)條件。

答：波函數(shù)在變量變化的全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)滿足三個(gè)條件：有限性、連續(xù)性和單值性。

8為什么表示力學(xué)量的算符必須是厄米算符？

答：因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)。而表示力學(xué)量的算符的本征值是這個(gè)力學(xué)量的可能值,

所以表示力學(xué)量的算符的本征值必須是實(shí)數(shù)。厄米算符的本征值必定是實(shí)數(shù)。所以表示力學(xué)

量的算符必須是厄米算符，

9請(qǐng)寫(xiě)出微擾理論適用條件的表達(dá)式。

10試簡(jiǎn)述微擾論的基本思想。

答：復(fù)雜的體系的哈密頓量身分成2°與自'兩部分。2°是可求出精確解的，而可看

成對(duì)的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級(jí)修正量，逐級(jí)迭代，逐級(jí)逼近，就可得

到接近問(wèn)題真實(shí)的近似解。

11簡(jiǎn)述費(fèi)米子的自旋值及其全同粒子體系波函數(shù)的特點(diǎn)，這種粒子所遵循的統(tǒng)

計(jì)規(guī)律是什么？

答：由電子、質(zhì)子、中子這些自旋為4的粒子以及自旋為&的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體

22

系的波函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的，這類(lèi)粒子服從費(fèi)米（Fermi）—狄拉克（Dirac）統(tǒng)計(jì)，稱(chēng)為費(fèi)米子。

12通常情況下，無(wú)限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱(chēng)為什么態(tài)？一般情況

下，這種態(tài)所屬的能級(jí)有什么特點(diǎn)？

答：束縛態(tài)，能級(jí)是分立的。

13簡(jiǎn)述兩個(gè)算符存在共同的完備本征態(tài)的充要條件，并舉一例說(shuō)明（要求寫(xiě)出本征函數(shù)

系）。在這些態(tài)中，測(cè)量這兩個(gè)算符對(duì)應(yīng)的力學(xué)量時(shí)，兩個(gè)測(cè)量值是否可以同時(shí)確定？

答：兩個(gè)算符存在共同的完備本征函數(shù)系的充要條件是這兩個(gè)算符對(duì)易。例如，[占,￡[=（）,

這兩個(gè)算符有共同的完備本征函數(shù)系｛〃，（夕⑼｝。

14若兩個(gè)力學(xué)量的算符不對(duì)易，對(duì)這兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，一般地它們是否可以同

時(shí)具有確定值？它們的均方偏差之間有什么樣的關(guān)系？

答：不可能同時(shí)具有確定值。它們的均方偏差之間滿足海森堡不確定性關(guān)系。

15請(qǐng)寫(xiě)出線性諧振子偶極躍遷的選擇定則。

答：A/=/_/=±]

△m=m-m=0,±1

16指出下列算符哪個(gè)是線性的，說(shuō)明其理由。

①②[尸；③之

dx~念

解：①4/6是線性算符

,解，屋，儲(chǔ)

22

,/4x--(CM+)=4x--(qt/1)+4廠--(c^u2)

cbC“~dx"dx”一

人、d?.,d1

=G?4廠—ru,+c-y-4x—r/

dx1dx2-

②［『不是線性算符

2CU

*/+C2u2]=C：〃；+2cle2〃1〃2+22

wcJqF+j%】？

③￡是線性算符

K=\

nNNNN

X+c2u2=X。必+Zc2u2=qX%+qZ%

K=1K=1K=\K=\K=\

17指出下列算符哪個(gè)是厄米算符，說(shuō)明其理由。

2

d.dAd

dxdxdx"

解：f3*40c/x="=一f*'(|>dx

J-/dxLsdx

當(dāng)x—>±co,▼TO,。—>0

[ip^—(t)dx=-\—i//Ai(l)dx=-\-甲)*0dx

J-/dxJ-^dxJ-8dx

fxd

*f(丁〃)*。公

J-8dX

?.鄉(xiāng)不是厄米算符

ax

,<?d

y/^i—(f>dx=iy/

Jdx

=-zf(—y/)^(/)dx=[(i—i//)^(/)dx

J-00dxJ—dx

「.i；是厄米算符

dx

1

18下列函數(shù)哪些是算符受的本征函數(shù)，其本征值是什么？

dx-

x

①N,②e,?sinx>④3cosJV,?sinx+cosx

解：①飆=2

???/不是g的本征函數(shù)。

dx-

②幺/=，

dM

???靖不是《的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。

dx~

j2J

③^7（sinx）=—（cosx）=一sinx

dx~dx

可見(jiàn)，sinx是9的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為f

④《(3cosx)=j-(-3sinx)=-3cosx-(3cosx)

dxdx

女。”是條的本征函數(shù)’其對(duì)應(yīng)的本征值為一I。

/PX-^-r(sinx+cosA：)=—(cosx-sin.r)=-sinx-cosx

◎dx~dx

=-(sinx+cosx)

Siw是9的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為f

[w*4r?dii/^d(b,

在041=4夕*區(qū),x-4—--ax

J-oOJydxdx

dw*d%x二戶，*〃dh/*

=-4匚-0+4

dxdxdx

=—4「（/）dx=f（44^哈洋,dx

J-oodx~Jf改

.?.4卓是厄米算符

dx-

19問(wèn)下列算符是否是厄米算符：

①初②，￡氏+力./）

解：①JV；（即）〃2?7=］“￡他〃2）八

=J（攵臼）*pxi//2dr=

因?yàn)橥摺旯?、

￡心不是厄米算符。

②J〃/g（即、+）#1%"匯=gJ"（初加2d7+3JV：（力/）%"r

=1f（力/%）'%dr+：卜/Mi）'〃2〃子

乙乙

="3（初-力/）泌］“憶介

二］《（力/+筋\WJ%dT

???g（￡A+Q/）是厄米算符。

20全同粒子體系的波函數(shù)應(yīng)滿足什么條件？

答：描寫(xiě)全同粒子體系的波函數(shù)只能是對(duì)稱(chēng)的或是反對(duì)稱(chēng)的，且它們的對(duì)稱(chēng)性不

隨時(shí)間改變。

二、證明題

1已知粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，試證明￡,（角動(dòng)量在x方向的分量）是守恒量。

證：因?yàn)榱Ｗ釉趧?shì)函數(shù)為U⑺的中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，哈密頓算答是

自尸方23°￡2

2〃⑺2//rdrdr2〃⑺

因?yàn)橐遗c夕、。有關(guān)而與r無(wú)關(guān),且乙/2］=0

所以，￡,方］=（）

2試證：對(duì)于一維運(yùn)動(dòng)，設(shè)有兩個(gè)波函數(shù)以及憶是對(duì)應(yīng)于同一級(jí)量E的解，則

-%心=常數(shù)。其中，是對(duì)X的微商。

證：因?yàn)椋垡?冬+七匕X），所以

%-=-2m(E-U)/M

5

^-=-2m(E-U)/ti2

憶

??tt

"=%_

W\W\

湊全微分得：(〃心-憶〃；)=0

積分得：〃|匕-憶以二常數(shù)

3試證明：一維運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)都是不簡(jiǎn)并的。

證明：設(shè)心和憶是對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)E的不同本征態(tài)，=常數(shù)。

在特例下，令“W；-匕”=0,即

必="

5%

蘆公蘆公+C

由此得：甲\=Ci//2

所以必和“2描述同一個(gè)態(tài)。

4試在?維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。

證明：考慮一維情況

,A2d244

H=-99+叭x)=T+叭x)

2max

［吟x)^(x)dx=fT*4?⑼小

Jax)axax

7%.=噫冬7*。

一亭MM學(xué)）=”梟亭處

ax1JaxJaxax

Qf=_七貯

di為厄密算符，-2wd/為厄密算符，"（X）為實(shí)數(shù)

fq.（x）b（x）歹（x"x=JWg=卜曰）?岫

°（力為厄密算符二A=?+。為厄密算符

5已知軌道角動(dòng)量的兩個(gè)算符以和￡z共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為匕明取

￡”￡*土立h試證明：U8也是以和4共同本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)本征值分別為:

證丫[比4]=o

加5）=區(qū)位％）=川+以也二）。

A-?

4%是以的對(duì)應(yīng)本征值為，（/?1）的本征函數(shù)

|￡「上」二場(chǎng)&

4%晶卜仁4土心X?=M±i》&及）

??2士4?是￡?的對(duì)應(yīng)本征值為（相士1》的本征函數(shù)

6.證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。

證：對(duì)于定態(tài)，可令

卬(＞，，)="(￥)/(，)

_--Et

-i//(r)eh

洗

J=—(甲

2m

jtj~Et~Ei~Ei~E(

=--[i//(r)ehV(i//(r)eh)*-i//\r)ehV(i//(r)eb)]

2m

/方

2m

可見(jiàn)7與，無(wú)關(guān)。

7在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：U(-x)=U(x),證明粒子的定

態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱(chēng)。

證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為

'」2

一上不〃(幻+U(xW(x)=E〃(幻①

2//d犬

將式中的工以(-幻代換，得

一.(r)+=Ey/(—x)②

27〃d/x~,

利用U(r)=U(x),得

方272

一「力”(r)+U(xW(r)=EM—x)③

2/zdx~

比較①、③式可知，〃(-用和必工)都是描寫(xiě)在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)

的波函數(shù)。由于它們描寫(xiě)的是同一個(gè)狀態(tài)，因此/(-丫)和“(X)之間只能相差一個(gè)

常數(shù)C。方程①、③可相互進(jìn)行空間反演(XC-此而得其對(duì)方，由①經(jīng)XT-X

反演，可得③，

=y/(-x)=ci//(x)④

由③再經(jīng)-XfX反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。

=〃(x)=ci//(-x)⑤

④乘⑤，得

夕(X)夕(—X)=cV(x)^(-x)

可見(jiàn)，C2=1

C=±1

當(dāng)C=+1時(shí)，必-x)=-(x),=＞以燈具有偶字稱(chēng)，

當(dāng)C=-1時(shí)，==＞以幻具有奇宇稱(chēng)，

當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足U(-x)=U(x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱(chēng)。

8證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是

Js=J,。二°

，仁|以I2

證：電子的電流密度為

je==-e察(〃，.▽W(xué)；一〃:佃▽加)

2〃

▽在球極坐標(biāo)中為

V=e—+-e—+

rdrr°PdO,“rsin0d(p

式中可、00為單位矢量

77訪「_1a、《

Je=_eJ=—+-^—+—?Aa)W〃加

2〃drrdOrsin0d(p

*d1_d_1d.1

一〃〃加(，或十一e。二+e——丁)"〃，”』

drroOrsinc/d(p

ieh「_/d.”d、-/1d

丁[/(”出~dr▼獻(xiàn)m-憶加加心“e°S"；防W或m

2〃

*ieid*i*e

Wrtf"iGQWnfm)+；~~~▼nfm-Wn(m~~7?〃nf>?―

rdursm0d(prsin0d(p

?.?憶^中的，和6部分是實(shí)數(shù)。

八一前"㈠咻』一,嘛扁2七"懸^扁2

可見(jiàn)，Jcr=Je0=o

.ehrn.p

Jetp~~1Knfm

jursmO

9如果算符&、力滿足關(guān)系式胡-/6=1,求證

?aft2-p2a=ip

②遁邛&=3仗

證：①ap2-p-a=(\+p2a)-p-a

人-人A人?

=伊+伙\+/)_儼&

A

二24

(2)胡3_0@=(2/+伊&)B-祖&

=2爐+井胡_/3日

=2升+加(]+/4)_/%

人C

=3優(yōu)

10證明:無(wú)3、仇=i

證：由對(duì)易關(guān)系da=2@及對(duì)易關(guān)系aC+6■、仇=0,得

人人?人

人J=。,

上式兩邊乘現(xiàn)，得

人人人人2??八2；

i?a..a,=1

w4=44?

?八人八?

???叫巴=]

11證明姆,￡),源)和心組成的正交歸一系。

證：姍+婕=0/2(兀)42(SQ]+%2(幾/20)]

=Zl/2（^2z）Zl/2（^k）Zl/2（,^lj）Zl/2（^2z）

Z|4/2（^2z）Zl/2（,^2z）=1

Xs）Zs2）=[Zl/2（^lz）Zl/2（^2z）l[Z-l/2（^lz）Z-1/2（^2z）l

=Zk2（^2：）Zl/2（^k）Z-l/2（^k）Z-l/2（,^2z）=°

只”3出2（幾）瑞2（SQ「

+

,［Zl/2（,^k）Z-l/2（,^22）Z-l/2（^k）Zl/2（^2：）］

=tZl/2（$22）Z；2（Ez）名/2（Sz）/-1/2（$22）+

+Zl/2（,^2z）Zl/2（,^lz）Z-l/2（^12）Zl/2（,^2:）1

=［Zl/2（^2z）Z-l/2（,^2z）+=。

同理可證其它的正交歸一關(guān)系。

zl3）Zs3）=^[Z|/2（^lz）Z-l/2（^2z）+Z-l/2（^lz）Zl/2^2z）]+,

,[2I/2（S|Z）%T/2（S2Z）+4-1/2（S1Z），“2（S2Z）]

="^tZl/2（^lz）Z-l/2（^2z）］+［Zl/2（^ls）Z-l/2（,^2z）］

+捫?屋2二）山"?1］

+5［2/2（S2：）7-1/2（S1Z）］+［，1/2（S1Z）NT/2（S1Z）］

+^lZl/2（^22）Z-l/2（,^12）］lZl/2（,^2:）Z-l/2（4^lz）］

=-+0+0+-=l

22

12對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子（如圖所示）證明

-/7—2a.6

X=—（x-x）=-（1——^—7）

212/病

并證明當(dāng)〃T8時(shí)上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。I-a-I

［解］寫(xiě)出歸一化波函數(shù)：

=J^-sin—（I）

Vaa

先計(jì)算坐標(biāo)平均值：

-「，“/JCa2.2〃G,1f?,2〃7ZX\,

x=Wxax=-sin------xdx=-（z1-cos-------）xdx

11

J。J。QaaJ。a

利用公式:

.,xcospxsinpx

xsinpxclx--------4----；—(2)

PP~

r.xsinpxcospx

得xcospxax=-------\-----f—

JP/I

-lx2(a\.2〃玄(a2n/ixa

x=-----------xsin-----------cos----

a2VJa12n7r)a2

計(jì)算均方根值用(x-A?一(J2[以知，可計(jì)算了

3a仁"二序si"等公4。“皿等公

?2?

利用公式(x2cospxdx=—x2sin〃_r+--xcospx---sinpx(5)

JPP-P

22

a.2n/cxaInJix

ALj2sin----?2xcos

a32nl2刀乃2刀乃

0

a2a2

32〃/

"__J

(6)

豆—2/萬(wàn)2

在經(jīng)典力學(xué)的一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題中，因粒子局限在(0,a)范圍中運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)的幾率密

度看作相同，由于總幾率是1，幾率密度。=,。

a

x=[coxdx=P-xdx=-

JoJoa2

(x-x)2=x2-fc)2=------

\J32〃2/[2)

故當(dāng)〃-8時(shí)二者相一致。

13設(shè)L，p]=i〃J(q)是q的可微函數(shù)，證明下述各式：[一維算符]

⑴L〃"(/]=2句孤

（證明）根據(jù)題給的對(duì)易式及⑷]=0;

Lp2f]=qp2f-p2fii=qp\f-p2af

=qppf-p(pq)f=qppf-p(qp-訪)/

=(qp-pq+hi)pf=2hipf

(2)[q,pj\q)p]=ih(jq+pf)

(證明)同前一論題

\q,pfp\=qpfp-pfpq=Qpfp-PKQP-〃，)

=qpfp-pfpq+hipf=qpfp-pqfp+hipf

=(qp-pq)fp+hipf=做勿+pf)

(3)[q,f(q)p2]=2ihjp

[證明]同前一題論據(jù)：

[4，力2]=q仙)-力pq=fiipp-力pq

=fQPP-于P9P-川)=fqpp-fpqp+hifp

=f(qp-PGP+hifp=2hifp

h

(4)[p,p2/(q)]=二p2/

i

[證明]根據(jù)題給對(duì)易式外，另外應(yīng)用對(duì)易式

"，f(q)l=±fi(/)哼

iaq

l/A/r/l=P2f-P~JP=P2(Pf-JP)

=P2tpJ]=^P2f

h

(5)lp,pf(q)pl=upfP

i

(證明)論據(jù)同(4)：

[P>R加1=P2.fP-PJP1=P(P.f一介)P

h2

=~PfP

i

⑹⑷/白:勺尸//

i

（證明）論據(jù)同（4）：

[〃，"】=/而一勿2=（Pf-fP）P2=土尸產(chǎn)

I

14設(shè)算符A,B與它們的對(duì)易式[A,B]都對(duì)易。證明

nnA

[AfB]=nB[AtB]

K

[AtB]=修例

（甲法）遞推法，對(duì)第一公式左方，先將原來(lái)兩項(xiàng)設(shè)法分裂成四項(xiàng)，分解出一個(gè)因式，再次

分裂成六項(xiàng)，依次類(lèi)推，可得待證式右方，步驟如下：

xXK

[AtB]=AB-BA

==AB1*^-2-BX-2AB^BX-2AB2AB+B^IA,B]

=[AB1

按題目假設(shè)

[A,B]B=B[AfB]

因而[A,*]=[/爐,T；]+28Z[4B]

重復(fù)運(yùn)算n-1次以后，得

nA

[AfB]=[金滑]，例+5?1）*」[4例

=[<3-52]3i+5?l）3*T[43]

=nBnA[A,B]

15證明是厄密算符

證明）本題的算符可以先行簡(jiǎn)化，然后判定其性質(zhì)

，出X-X段）=a出cX-P'XPx+PxXPx-X*）

=i{Px3xrPx）+（PE-m）0J

=i*2%x=2也

是厄密算符，因此原來(lái)算符也是厄密的。

另一方法是根據(jù)厄密算符的定義：

J,o(fdx—J(oV)0dx

令。=面,積）=捫（噎-親）

j/"'（%（翳血*彳=-2J/'j/dx

用于積分最后一式：

前式=

.

2加J張。“工

=J［力~（彳普-2加］［dx

說(shuō)明題給的算符滿足厄密算符定義。

16定義口,囪+三,4分+筋（反對(duì)易式）證明：

人A人AAAAAAAAA人人A

IA,BC\=A(他CL—[8,ClA+QA,BL-[A,CLB

[akbB]=而」AB]+而[A,B]+

其中d,b與4,3對(duì)易。

人人AA人一人A人———AA/\人人人A人-A人一

(證明)第一式等號(hào)右方=ABC+ACB-BCA-CBA+CAB+CBA-ACB-CAB

AA人AAA-A

=ABC-BCA=IA.BC]

=第一式等號(hào)左方

第二式等號(hào)右方=-(ah+ba)(AB-BA)4--(ab-ha)(AB+BA)

22

A八人AAA人人A人-A人人人人人A八人AA人

=；(abAB-abBA+baAB-baBA+6bAB+abBA-baAB-baBA)

人人AA入A

=abAB-baBA

因力，力與A,*對(duì)易,bA=Ab,aB=Ba

前式=aAbB-bBaA=[aA.bB]

17證明力學(xué)量4(不顯含/)的平均值對(duì)時(shí)間的二次微商為：

>2_---------------

h2—A=tE由,H](H是哈密頓量)

dt

（解）根據(jù)力學(xué)量平均值的時(shí)間導(dǎo)數(shù)公式，若力學(xué)量4不顯含，，有

dA1*~*

—=—[A,H](1)

dt訪

將前式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，將等號(hào)右方看成為另一力學(xué)量,院,方］的平均值，則有:

iti

CLAI1-'AA1-AA

（2）

drih由h“

此式遍乘方？即得待證式。

18試證明：一維運(yùn)動(dòng)的束縛態(tài)都是不簡(jiǎn)并的。

證明：設(shè)心和〃2是對(duì)應(yīng)于同一能級(jí)E的不同本征態(tài)，則獷〃2-%”二常數(shù)。在

特例下，令WW「WNi=。，即

dx+C

由此得：%=C“2

所以也和心描述同一個(gè)態(tài)。

證明泡利矩陣滿足關(guān)系。

19AJ乙=i

br%+%4=0

【證】

2ala>,=q叫％=

20試在一維情況下證明哈密頓算符是厄米算符。

證明：考慮一維情況

充a

加（哈吠x）d“［嗯（%）dx

7處=噫冬7方

…器匕+m整）小幺號(hào)心

d7i''dx3dxdx

d】才二八d【

d/為厄密算符，-2mdx2為厄密算符，/⑶為實(shí)數(shù)

|T*（x）r（x）^（x）Jx=jW?/Wx=J（呻）\iZr

°（彳）為厄密算符.1.R=為厄密算符

21己知軌道角動(dòng)量的兩個(gè)算符力和心共同的正交歸一化本征函數(shù)完備集為

AAA

Z,取4=二土遼〃試證明：4、也是以和乙共同本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)本

征值分別為：,（/+/佃士巾。

證「。

川5）=區(qū)/%）=巾+比也二）。

?-區(qū)也是它的對(duì)應(yīng)本征值為W?1）的本征函數(shù)

14.41=±*4

￡&、）=仁4士％月=（冽±1或1）

??￡士4?是4的對(duì)應(yīng)本征值為（用土〔為的本征函數(shù)

22

22證明：描寫(xiě)全同粒子體系的波函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性不隨時(shí)間改變

證明：設(shè)，時(shí)刻波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的，用①、,表示，

因?yàn)榉绞菍?duì)稱(chēng)的，所以而、,在f時(shí)刻也是對(duì)稱(chēng)的，

由

知，學(xué)在/時(shí)刻也是對(duì)稱(chēng)的，故在下一時(shí)刻的態(tài)函數(shù)：

dt

①+膽力也是對(duì)稱(chēng)的

$dt

以此類(lèi)推，波函數(shù)在以后任意時(shí)刻都是對(duì)稱(chēng)的。

同理可證，若某一時(shí)刻波函數(shù)反對(duì)稱(chēng)，則以后任一時(shí)刻的波函數(shù)都是反對(duì)稱(chēng)的。

三、計(jì)算題

I由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度:

(1)/=-eikr(2)匕=~e-!kr

rr

從所得結(jié)果說(shuō)明外表示向外傳播的球面波，也表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球

面波。

解：Z和，2只有7分量

在球坐標(biāo)中"*+*2+卻焉2

-*I力**

(1)3=「(乙▽乙一乙▽%)

2m

=-[-eikr—(-e-ikr)--e，—(-*)尻

2mrdrrrdrr

法r1/1“1、1z1-1

=—[-(-——(--7+淺一)用

2mrr'rrr"r

hk_hk_

L與亍同向。表示向外傳播的球面波。

—?**

⑵L=丁(匕V〃2一%V”)

2m

-ikrtoikT

=-[-e-1-(le)--e

2mrdrrrdrr

話」/1ik1/1rI、1-

方k一力k_

肅【一言「

可見(jiàn)，刃與『反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn))傳播的球面波。

2一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)

oo,x<0

U(x)=,0,0<x<a

8,x>a

中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。

解：U(x)與/無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài)S—方程

〃(x)+U(x)y/(x)=Eif/(x)

2mdx2

在各區(qū)域的具體形式為

方2d2

I：x<0①

一4S#2(X)-E歹式X)

II：0<x<a②

2mdx“

III：x>ak(x)+U(x)〃3(x)=石憶(x)③

2nidx2

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)=oo,要等式成立，必須

W\(x)=0

匕(x)=0

即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)法以外的地方去。

方程⑵可變?yōu)橹?也七”,(x)=0

dx~力~

令八等,得

2

+ki//2(x)=0

dx2

其解為y/2(x)=AsinZrx+Bcoskx④

根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A,B,由連續(xù)性條件，得

八(0)=%(0)⑤

y/2(a)=y/3(a)⑥

⑤=8=()

⑥==>Asinka=O

?「Aw0

/.sinhz=0

=>ka=n;r("=1,2,3,…)

n7t

“2(x)=Asin——x

由歸一化條件

J|^(x)|2tZr=l

得AIsnr——xdx=\

Joa

2*2

“Q-~1〃2(〃一123,…)可見(jiàn)E是量子化的。

2ma

對(duì)應(yīng)于E“的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為

[2.〃乃4修

h

,、A—sin——xe,0<x<ci

0,x<a,x>a

3求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。

dx4^

令幽?=0,得

dx

x=0x=±-x=±co

a

由3](x)的表達(dá)式可知，X=(),X=±00時(shí)，@](x)=0。顯然不是最大幾率的位置。

而^^!^="[(2一6八.2)

-2a2x(2x-2a:x3)]e-a：

dx~J"

2244a：?y

=^[(1-5?X-2ax)]e-丁

d%\(/_04a3

-<0

&1^1&e

2

是所求幾率最大的位置

后1rv--a-2-x---2ia)t，求：

4一維諧振子處在基態(tài)〃(X),

(1)勢(shì)能的平均值7=,〃〃7；

2

(2)動(dòng)能的平均值亍="■；

2M

(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。

解：⑴子酬』

12。31&12112力

3—7=?2——7——=~UCD——7=一〃3-------

y/7r22a2a22ct24//〃)

=~tlCD

4

吟鏟12.JI

(2)了=￡=；/y/\x)p2y/(x)dx

2〃2〃人。n

「…0o—J2a丫x2、(J12—ax

=^L±\|e2(-/?■--)e2dx

62〃?'-xdx-

1

ah/「(\-a2x2)e-c2xldx

&2KJ-8

a力2

=-；=——a2[jZe~a2x：dx-a21x2e~a2x2dx]

JTT)//

曦/哼3?各

a方22品力22力2N(D

.——a'----=—cc~=-----------

J乃2〃2a4〃4〃1i

=—五0)

4

__111

或T=E—U=-hco—hco=-hco

244

⑶c(p)=J*(x)W(幻公

動(dòng)量?jī)郝史植己瘮?shù)為

啰（p）=k（p）/=

5氫原子處在基態(tài)—（r,8，w）=7^=0-"",求:

（l）r的平均值;

（2）勢(shì)能-幺的平均值;

r

⑶最可幾半徑；

（4）動(dòng)能的平均值；

（5）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。

解：⑴>=（匚。，⑼廣北二~^7工sinO由z/Od。

如（）

=二「八-2〃如力.

城J。

f*'〃！

xne-axdjx=——-

J。。向

4313

(2)U=(--)=PPr-e~2r,a°r2s^OdrdOd(p

r刀J。r

=[7f27[e2r/a°rsin0drdOd(p

rialJ。

*Jo

⑶電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為

a)(r)dr=jj[i//(r,O,(p)]2r2sin0drdOd(p=±e”"a。r2d「

°°ao

以廠)_二A_0-2〃廝戶

%

如見(jiàn)=4-(2-—r)re~2r'^

dr%〃。

令。⑺二。0。：。，勺=8,r3=Q()

dr

當(dāng)o=0,&=8時(shí)，以廣)=0為幾率最小位置

=4(2-—r+4r")"2"的

drci(\四4、

=%是最可幾半徑。

⑷心獷，且?n。2)+-V3

sin0dOdOsin-0d(p'

八-打『I」-e-r,a^2(e-r,^)rs\nOdrdOd(p

2y￡/07HIQ

)]r2smOdrdOd(p

(5)c(p)=(>)〃(，,

c（p）=__L_「—力sineg『期

（2就嚴(yán)J。胸J。J。

=公『J”o，（_cos。）

（2加產(chǎn)2向fJ。J。

=rref?dr匹”

（2宓產(chǎn)2胸Joipro

_____1__________4ip

而忍切萬(wàn)即心心）

即力

4W

，24：方3兀。（）（。02P?+力之尸

（24方嚴(yán)力

萬(wàn)（%2〃2十方2）2

動(dòng)量幾率分布函數(shù)

dp)=卜(〃)廣=乃-、(&8p"-I+力…-廣

6設(shè)匚0時(shí)，粒子的狀態(tài)為

^(x)=Afsin2Zx+acos&x]

求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。

解：材(x)=A[sin2H+ycosZrxJ=A[i(1-cos2kx)+3coskx]

=y[l-cos2攵x+cosXrx]

=-[l-i(e'2h-"'")+X*+6一依)]

2

_A42^iOx

~r[e

可見(jiàn)，動(dòng)量p“的可能值為02kh