同學們已經學過了四則混合運算，在這里我們先簡單復習一下四則混合運算

的各種運算律，包括交換律、結合律、分配律、去括號和添括號的法則等等.

一、交換律：

加法交換律：a+b=b+a；乘法交換律：axb=bxa.

例如：123+234=234+123:123x234=234x123.

二、結合律：

加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；乘法結合律：("b)xc=ax(bxc).

例如：(123+234)+345=123+(234+345)：(10x11)x12=10x(11x12).

三、分配律:

(a+b)xc=axc+bxccx(a+b)=cxa+cxb

乘法分配律:

(a-￡?)xc=?xc-/>xccx^a-b)=cxa-cxb

例如：(234-123)x5=234x5-123x5；5x(234-123)=5x234-5x123.

除法分配律：*+?+c=a+，+b+c.

\^a-b)+c=a+c-b-t-c

例如：(100-40)+10=100+10-40+10；避免錯誤使用：18+(3+6)/18+3+18+6.

四、去（添）括號：

1.力口、減法去（添）括號：括號前面是“+”，去（添）括號后不變號；括

號前面是去（添）括號后要變號.

例如：234+（345-123）=234+345-123,345-（234-123）=345-234+123.

2.乘、除法去（添）括號：括號前面是“x”，去（添）括號后不變號；括

號前面是“+”，去（添）括號后要變號.

例如：8X（5+8）=8X5+8,93+（31+3）=93+31X3.

五、帶符號搬家：

同級運算時，可以帶符號搬家，改變運算順序.

注意：加、減法同為第一級運算，乘、除法同為第二級運算.

例如：241-164+59=241+59-164;165x29+5=165+5x29.

四則混合計算時要先算乘除法、后算加減法，同級運算按照從左到右的順序

計算，有括號時先算括號內的.

由這些性質出發，我們能總結出很多種巧算的方法，比如透聚法、售公國藜

法等等.

例題1

（1）125x71x8；（2）124x24-4-31；（3）28x7+28x7.

「分析」按照從左往右的順序依次計算會很麻煩，可不

可以改變運算順序使得計算非常簡便呢？

練習1

計算：(1)25x123454321x4；(2)96x25+24.

同級運算時，可以通過添（去）括號改變運算順序.

例題2

(1)222-64x32;(2)123+(41+32);(3)125x21x60+(7+8x15).

「分析」通過除法我們可以把數變小，進而使得計算更加簡便.添去括

號時要注意符號哦！

練習2

計算：(1)72x27x88+(9x11x12)：(2)25x121+2+(11x5+4).

提取公因數是最常用、最重要的巧算方法之一，很多時候還需要我們自己構

造公因數.

例題3

(1)222x33+889x66;(2)21x32+58x68+32x37;

(3)12x21+23x12+52x11.

「分析」部分有公因數就先提一提吧！沒有公因數時可

以試著去構造哦！倍數關系往往是構造公因數的關鍵.

練習3

計算：23x5?46x25i69x15

例題4

(1)(16+32+36+40)+4;(2)96+4+176+4+128+4;

(3)15+6+53+6-20+6.

「分析」除法中，我們就把“提以公因數”改稱“提取公除數”吧!

練習4

計算：(1)52+7-13+7+3+7：(2)】1+5+】11+5+】+5-23+5.

例題5

(1)15x16+12;(2)64+28x35.

「分析」除數太大,除不開？拆一拆!

例題6

(1)56x47+46x44;(2)55x45-56x44.

「分析」本題的兩小題中都沒有公因數，但是有些因數

很接近，我們能不能構造公因數呢？比如(1)題中的47可

以看成46加1,接下來怎么辦？

課堂內外

數學以外的括號

括號，又稱括弧號或夾注號

k}(]()|

,西:序的符號,<>

在數學中，括號主耍是用來規定運

小括理”[]叫|

主要分為四大類，包括大括號7}”、

小括號“（）”以及比較少用的括線?

而數學以外，括號主要用于作注釋之用.寫文章寫到

某個地方，為了讓讀者了解得更透徹，有時需要加個注

釋.這種注釋，要用括號表明.注釋的性質是多種多樣

的.但是小括號內只能對前面的語句進行附加說明，不能

引入新的內容.

用作注釋的括號主要包括：方括號“[]”、六角括號

“（）”、方頭括號“【】”和書名號“<>”等形式.

它們各自用途不同，不可混淆.

方括號“口”用來標示行文中的補缺或訂誤、國際音

標、參考文獻等.

六角括號“（）”用來標示公文編號中的發文年份，

作者國籍、朝代等.

方頭括號“”又稱“魚尾號”，常用來標示工具

書的條目.

最早出現的括號是小括號“（）”，于1544年出現.直

至17世紀，中括號才出現于英國瓦里斯

（1616-1703）的著作中，至于括線則由1591年韋達

（1540-1603）首先采用，而大括號“{}”則約在1593年

由韋達首先引入；至1629年，荷蘭的基拉德采用了全部

括號，18世紀后開始在世界通用.

進入計算機時代，括號又有了新的任務，各種編程語

言中都會大量地用到

小括號“（）”和大括號.

作業

1.計算：（1）75x24+25；（2）46-5-13x26+23.

2.計算：(1)50x27x771-(25x11x9)；(2)110x47-125-5-100x(47x8).

3.計算：13x29+26x19+11x39.

4.計算：49X3-107+13+110+13.

5.計算：50x27+45.

三年級我們學習過，當題目中包含兩個以上的對象時，最簡單的解決方法就

是：把其中的若干對象“打包”，變成一個對象，從而減少對象的數量，最終把

問題變成兩個對象間的和差倍問題.這種“打包”的方法就是所謂的分組法.在

有多個對象的和差倍問題中，分組法和比較法是常用的方法.

我們先來看這么一個簡單的問題：

甲、乙、丙三人去稱體重，由于秤出了點問題，只能準確稱出60千克與90

千克之間的重量，因此他們三人只能兩人兩人一起稱重.甲和乙一起稱，總重量

是73千克；乙和丙一起稱，總重量是80千克；丙和甲一起稱，總重量是75千

克.三人的體重分別是多少千克？

我們把甲、乙兩人看成一組，乙、丙兩人也看成一組（其中乙同時屬于兩組），

比較這兩組我們發現丙比甲重_（千克）.再結合甲、丙總重量為

75千克，可以根據和差關系穿出甲、8雷W昔晶重量.

在這個例子中，我們既考慮兩人一組的總重量，也把兩組的總重量作比較.

除此之外，還有另外一種利用分組進行比較的分析方法：同樣的，我們把甲、

乙、丙三個人兩兩的體重看做一組，把三組相加，即為三個人體重和的2倍.由

此可得三人體重之和為（千克），再分別與每一組進

行比較，即可得到三個人的祖童.+80+75片2=114

由此可見，用分組法與比較法在處理多個刈象的和差倍關系M，可以把條件

之間的關系變得更清晰.而且，一個題目往往是可以從不同的角度去采用不同的

分析方法進行解決的.所以我們要根據題目的實際情況進行合理的比較.

有些題目直接列出算式去比較會很麻煩，所以我們可以用畫圖的方法來幫助

我們比較.

例題1

高思舉辦吃包子大賽，高高比思思多吃3個，萱萱比卡莉婭多吃

9個，高高和卡莉婭共吃了87個.那么這四個人共吃了多少個包子？

「分析」按畫出分組圖，比較兩組中有關聯的人，你有什么發現嗎？

練習1

有來自陽光、燦爛、雨天、清風這四所小學的同學參加高思吃包子比賽,

其中陽光學校參賽人數比燦爛學校多5人，雨天學校參賽人數比清風學校多

7人.如果燦爛、雨天兩校一共有40人參加比賽，那么陽光、清風兩校一共

有多少人參加比賽？

例題2

在神秘的星球上只有四種水果，其中火龍果和水龍果共83個，

水龍果和金龍果共86個，金龍果和木龍果共88個.請問：火龍果和

木龍果共多少個？

「分析」這三組的總數之間有什么聯系嗎？比較其中兩

組的水果數量，你有什么發現嗎？或者試試比較法中“累加”

的思想，能有什么發現呢？

練習2

西瓜太郎有四種西瓜，其中紅西瓜和綠西瓜共23個，綠西瓜和粉西瓜共35

個，粉西瓜和黃西瓜共39個.問：紅西瓜和黃西瓜共多少個？

在以前學習盈虧問題時，我們也經常把兩種情況進行對比，然后分析其中的

差別，只要找出差別的原因，問題也就隨之解決了.而在和差倍問題中，我們也

會使用類似的辦法.不止如此，以后五六年級面對更復雜的應用題時，比較法仍

然是一個非常重要的思考方法.通過本講的學習，大家對比較法會有更深刻的理

解.

例題3

某學生到工廠勤工儉學，按合同規定，干滿30天，工廠將給他

一套工作服和1000元錢.但由于學校另有安排，他工作了10天后便

中止了合同.按天計算所得的報酬，工廠需要給他一套工作服和200

元錢.請問：這套工作服值多少元？

「分析」工作10天比工作30天要少拿20天的報酬，究竟是少拿了多

少我呢？

練習3

在海洋王國里，海豚在鯨魚開的餐廳打工.它倆說好工作滿30天，鯨魚就

付給海豚100個海洋幣和1顆珍珠.但是工作了25天，海豚便決定不干了.按

天算工資，鯨魚只付給它50個海洋幣和1顆珍珠.請問：這顆珍珠值多少個海

洋幣？

例題4

某食堂買來的大米的袋數是面粉的4倍，該食堂每天消耗面粉

20袋，大米60袋，幾天后面粉全部用完，大米還剩下200袋.這個

食堂買來大米多少袋？

「分析」由于大米的袋數是面粉的4倍，我們可以把1

份面粉和4份大米分成一組，怎么分組才能使每天恰好消耗

完一組中的面粉呢？這時一組里剩下多少袋大米呢？你能

算出一共用了多少天嗎？

練習4

箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數是白球數的3倍.每次從箱子里取出7

個白球，15個紅球.經過若干次后，箱子里白球恰好被取完，只剩下54個紅球.那

么箱子里原有紅球、白球各多少個？

例題5

四年級有甲、乙、丙、丁四個班，不算甲班，其余三個班的總人

數是121人；不算丁班，其余三個班的總人數是134人；丁班人數的

2倍比甲班多9人.請問：這四個班共有多少人？

「分析」把題目給出的條件列舉出來，進行比較分析，

能得出什么關于丁、甲兩班的關系嗎？

例題6

四年級有甲、乙、丙、丁四個班，不算甲班，其余三個班的總人

數是131人；不算丁班，其余三個班的總人數是140人：乙、丙兩個

班的總人數比甲、丁兩個班的總人數少1人.請問：這四個班共有多

少人？

「分析」我們把乙、丙兩班分成一組，甲、丁兩班分成

一組，你知道這兩組人數之間都有哪些關系嗎？

課堂內外

真差25倍嗎？

在秋天的賽季里，有兩匹馬一一星期天和戈爾一一被公認是發揮最出色的.星期天

輕吃地獲得肯塔基的冠軍，戈爾取得了貝爾盟的桂冠.而在這兩項比賽里，兩匹馬都取

得了一項賽事的冠軍，打成了平手.關鍵在于另一項總決賽，即普力克.在普力克這場

比賽里，這兩匹馬都奮力向終點沖去，超過其它馬有一匹馬的身位.電子記錄顯示，星

期天獲得了勝利，但僅比對手快了?個鼻子那么一丁點.

在這一單項賽事里，星期天獲得了50萬美元的獎勵.再加上總成績第一的100萬

獎金，這樣就達到了150萬美元.而第二名一一戈爾只得到了6萬美元.星期天得到的

是戈爾的25倍，那么星期天做的真的比戈爾好25倍嗎？不可能.完成這3項比賽得要

5人星期的時間，需要跑4公里的路程，一匹馬只是比其對手快了2英寸而已，實際上

差別并不大，甚至可以說幾乎沒有差別.而它們的回報卻相差25倍！這就是微小邊緣

原理在起作用.

也許只是多一點點的訓練.也許只是多一點點的奮爭，也許計劃方法只是好那么一

點點，也許所有這些因素或者還有其它更多的原因.每一項幾乎都是微不足道的，然而

把這一些加起來，優勢和利益將令你難以置信.

其實，人與人之間的差別和精明與否，是通過許多小的步驟取得的.每次只是一小

步而已.許多人失敗后，就灰心喪氣，然后放棄.倘若把注意力先放在小的改變上面將

會更容易，更高效并且少受挫折，之后再看它們累加起來的效果.

注意微小的邊緣，專心致志，不遺余力，尋求突破，你將揮別失敗

與痛苦，笑迎成功與歡樂.

作業

1.學校舉行聯歡會.如果甲、乙、丙三個班的學生參加，共60人：如果只1T甲、乙兩班

的學生參加，共40人：如果只有乙、丙兩班的學生參加，共32人.則乙班有多少人？

2.某次數學考試，甲、乙的成績和是184分，乙、丙的成績和是188分，那么甲比丙少多

少分？

3.一個油桶里有一些油，如果把油加到原來的2倍，油桶連油共重38千克：如果把油加

到原來的4倍，這時油和桶共重46千克.那么桶重多少千克？

4.森林學校里，有的學生愛吃蘋果，有的學生愛吃桔子.于是，兔子廚帥就專門針對不同

學生的口味訂購了一批蘋果和桔子，己知蘋果數成是楂子的5倍，小朋友們每天一共要

吃30個桔子和90個蘋果，幾天后桔子全部被吃完了，蘋果卻還剩下600個.請問兔子

廚師一共訂購了多少個單果？

5.老大、老二、老三是張家二兄弟，今年老大與老二的年齡之和是23歲，老二與老二的

年齡之和是18歲，老大與老三的年齡之和比老二年齡的2倍多1歲.請問：今年三兄

弟的年齡和是多少歲？

在幾何中，所謂直線形就是指由線段構成的圖形.在日常生活中，我們最常

見的直線形有以下幾種：正方形、長方形、平行四邊形、三角形、梯形.

在有關直線形的計算中，計算周長和計算面積是最常見的兩類.我們已經學

過了如何計算直線形的周長，接下來我們將學習如何計算直線形的面積.

N21.正方形利長方形的面積

正方形的面積和長方形的面積公式是我們所熟悉的，如下圖:

J正方形的面積=邊氏X邊氏||［長方形的面積」&X寬I

試一試

1.正方形的邊長是6厘米，面積是平方厘米.

2.長方形的長為8厘米，寬為4厘米，面積是平方厘米.

3.正方形的面積是121平方厘米，它的邊長是厘米.

4.長方形的面積是48平方厘米，寬為4厘米，長為厘米.

例題1

如下圖，有一塊長方形田地被分成了五小塊，分

別栽種了茄子、黃瓜、豆角、黃筍和苦瓜.其中栽種

茄子的面積是16平方米，栽種黃瓜的面積是28平方

米，栽種豆角的面積是32平方米，栽種葛筍的面積是

72平方米，而且左上角栽種茄子的田地恰好是一個正

方形.請問：剩下的栽種苦瓜的田地面積是多少？

「分析」左上角是面積為16的正方形，那么它的邊長

是多少？你還能求出哪些線段的長度呢？

練習1

如圖，有一塊長方形田地被分成了四小塊，分別栽種了冬瓜、西瓜、南瓜、

黃瓜，其中冬瓜地的面積是24平方米，西瓜地的面積是36平方米，南瓜地的面

積是18平方米，而且左下角西瓜地恰好是一個正方形.請問：剩下的黃瓜地的

面積是多少？

9

18

N22.平行四邊形的面積

如下圖，平行四邊形的兩組對邊平行且相等，我們把兩組對邊用不同顏色

標出來.

為了計算平行四邊形的面枳，我們可以把平行四邊形切成兩塊，然后拼成一

個長方形，如下圖.

這個平行四邊形的面積和拼成的長方形的面積相同，都等于長方形的長乘以

寬,長方形的長和寬在平行四邊形中都可以找到對應線段.在平行四邊形中，這

兩條線段分別叫做底和高.于是我們有：

如圖所示，同學們可以畫出這條底對應的若T條高，并且這些高是相等的，

都等于上下兩條平行線間的距離.

當然我們可以用另一種方式把上面的平行四邊形明拼成一個長方形，如下面

左圖所示.同樣得到相對于這條底的若干條高，如下面右圖所示，這些高也是相

等的，都等于左右兩條平行線間的距離.

要計算平行四邊形的面積，需要知道一條底，以及它所對應的高.大家看看

下面的幾個圖形，試著畫出與底邊相對應的高.

例題2

下圖是由兩個邊長分別為4和7的正方形拼

成的，請求出陰影平行四邊形的面積.

「分析」陰影部分是平行四邊形，應該選哪條

邊作為底呢？相應的高是多少呢？

練習2

如圖，大正方形里有一個小正方形還有一個陰影平行四

邊形.如果大正方形的邊長是20厘米，小正方形的邊長是

8厘米.那么陰影平行四邊形的面積是多少？

>3.三角形的面積

三角形中也有相對應的底和高.過二:角形的?個頂點向所對的邊做?條垂

線，所得的垂線段叫做三角形的高，所對的邊叫做三角形的底.每個三角形有三

組對應的底和高.

要計算三角形的面積，同樣要利用底和高的長度.觀察下圖，我們把一個三

角形倒過來和原圖形拼在一起，可以得到一個平行四邊形.

平行四邊形的底與三角形的底相等，高也與三角形的高相等.而平行四邊形

的面枳等于“底X高”，正好是三角形面積的2倍，所以我們有三角形面積公式:

從形狀上講，三角形有三類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.由于

三角形的形狀多變，在初學階段要找準三角形相對應的底和高很不容易.因此要

想算出三角形的面積，最關鍵的還在于準確地找到底與相應的高.下面是?個簡

單的作圖練習，大家不妨畫一畫.

例題3

如下圖所示，兩個正方形并排放在一

起，大正方形的邊長是8厘米，小正方形的

邊長是6厘米.請問：陰影三角形的面積是

多少？

「分析」陰影部分是三角形，應該選哪條邊作為底呢？相應的高是多少

呢？

練習3

右圖是由兩個邊長分別為4和6的正方形拼成的，請求出陰

影三角形的面積.

>4.梯形的面積

三角形和平行四邊形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有.在梯形中，

平行的一組對邊分別叫做上底和下底，不平行的一組對邊叫做腰，上底和下底之

間的距離叫做梯形的高.

下底

如下圖所示，把兩個相同的梯形拼在?起，可以得到?個平行四邊形.

從圖中可以看出，這個平行四邊形的面積是梯形面積的2倍.同時平行四邊

形的底由梯形的上底和下底拼接而成，高與梯形的高相等.所以：

［梯形的面積=（上底+下底）X高+21

例題4

一個正方形和一個長方形按下圖的方

式排放，已知正方形的面積是49平方厘米,

長方形的長為11厘米，寬為8厘米，那么

陰影部分的面積是多少？

「分析」陰影部分是梯形，要求面積，關鍵是找清楚它的上底、下底、

高分別是多少.

練習4

如下圖，大正方形的邊長是8厘米，小正方形的邊長是6

厘米.請問：圖中的陰影圖形的面積是多少平方厘米？

例題5

如下圖所示，兩個邊長10厘米的正

方形相互錯開3厘米，那么圖中陰影平

行四邊形的面積是多少？

「分析」陰影部分是平行四邊形，應該選哪條邊作為底呢？相應的高是

多少呢？

例題6

如圖，把兩個正方形拼在一起，小正

方形的邊長是5厘米，大正方形的邊長是

7厘米.請問：陰影部分的面積是多少？

「分析」陰影部分由兩個三角形組成，你能分

別求出這兩個三角形的面積嗎？以哪條邊作為底最容易計算呢？

課堂內外

小歐拉與大羊圈

歐拉是著名的數學家，他在數論、幾何學、天文數學、微積分等好幾個數學的分支

領域中都取得了出色的成就.不過，這個大數學家在孩提時代卻一點也不討老師的喜歡，

他是一個被學校除了名的小學生.

小歐拉因為問老師天上星星有多少顆，老師也答不上來，只知道天上的星星是上帝

鑲上去的.小歐拉感覺上帝真是太粗心了，竟然忘記了星星的數目！在歐拉的年代，對

上帝是絕對不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，絕對不允許自由思考.小歐拉沒有與

上帝“保持致”，老師就讓他離開學校回家.

回家后無事，他就幫助爸爸放羊，成了一個牧童.他一面放羊，一面讀書.他讀的

書中，有不少數學書.爸爸的羊漸漸增多了，達到了100只.原來的羊圈有點小了，爸

爸決定建造一個新的羊圈.他用尺量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一

算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米.正打算動工的時候，他發現

他的材料只夠圍100米的籬笆，不夠用.若要羽成長40米，寬15米的羊圈，其周長將

是110米.父親感到很為難，若要按原計劃建造，就要再添10米長的材料；要是縮小

面積，每頭羊的面積就會小于6平方米.

小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，也不用擔心每頭羊的領地會小于原來的計劃.他

有辦法.父親不相信小歐拉會有辦法，聽了沒有理他.小歐拉急了，大聲說，只要稍稍

移劭一下羊圈的樁了?就行了.父親聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣簡單的事情？”

但是，小歐拉卻堅持說，他一定能兩全齊美.父親終于同意讓兒子試試看.

小歐拉見父親同意了，站起身來，跑到準備動工的羊圈旁.他以一個木樁為中心，

將原來的40米邊長截短，縮短到25米.父親若急了，說：“那怎么成呢？那怎么成呢？

這個羊圈太小了，太小了."小歐拉也不回答，跑到另一條邊上，將原來15米的邊長

延長，又增加了10米，變成了25米.經這樣一改，原來計劃中的羊圈變成了一個25

米力長的正方形.然后，小歐拉很自信地對爸爸說：“現在，籬笆也夠了，面積也夠了.”

父親照著小歐拉設計的羊圈扎上了籬笆，100米長的籬笆真的夠了，不多不少，全

部用光.面積也足夠了，而且還稍梢大了一些.父親心里感到非常高興.孩子比自己聰

明，真會動腦筋，將來一定大有出息.父親感到讓這么聰明的孩子放羊實在是太可惜

了,后來，他想辦法讓

小歐拉認識了一個大數學家伯努利.通過這位數學家的推薦，1720年，小歐拉成

了巴塞

爾大學的大學生.這一年，小歐拉13歲，是這所大學最年輕的大學生.

作業

1.在下面的每個平行四邊形與三角形中，作出以A8為底的

高.

2.如圖，大正方形被分成三塊區域.左上角的正方形面積為

4,右上角的長方形面積為6,請問：大正方形的面積是

多少2_______

3.下圖中，大正方形的面積是64,小正方形的面積是36.求

平行四邊形的面積.

4.下面兩幅圖都是邊長為8和6的兩個正方形拼成的，根據

圖中所示的線段長度，求兩個陰影三角形的面積.

5.如圖，兩個正方形并排放在一起，小正方形的邊

長是9厘米，大正方形的邊長是13厘米.請問陰影梯形

的面積是多少平方厘米？

豎式問題中常用的突破口有:首位、末位、位數、進位及重復出

現的漢字或字母.

一、尾數分析

①X2、X4、X6、X8（有兩個答案），如：口乂_2=_4,口有2、7兩個答案;

②XI、X3、X7、X9（有一個答案），如：IZIX_3=_8,□只有6一個答案：

③X5,偶數一0、奇數一5；

④X0,乘積個位為0：

圖A.能為：（=,、5,6.

二、首位分析一位數分析一估算，如:A=l.2或3.

__________________■o

三、進、借位分析，如：

沒有借

_________________>,O

4=1A=n

②黃金倒三角

一般來說，在包含字母（或漢字）的豎式中，不同的字母（或漢字）代表不

同的數字，相同的字母（或漢字）代表相同的數字.

在加法與減法豎式中，進位與借位是非常重要的分析突破口.尤其是相同數

位上重復出現的漢字或字母，有的時候，會略帶一些有關奇偶性的簡單應用.

例題1

在下圖的加法豎式中，不同的漢字代表

不同的數字，相同的漢字代表相同的數字.那

么每個漢字各代表什么數字？

「分析」觀察首位，“車”是加出來的呢？

末位三個數字都是“卒二那“卒”又是多少呢？

練習1

在下圖所示的豎式中，相同的字母代表相同的數字，不同

的字母代表不同的數字.其中“G”代表5,“D”代表0,

代表6.請問：代表的數字是多少？

例題2

在下圖的減法豎式中，不同的漢字代表不

同的數字，相同的漢字代表相同的數字.那么

每個漢字各代表什么數字？

「分析」觀察百位，相同的數字差為0,那

么“馬”可以是。嗎？究竟是怎么回事呢？

練習2

F面豎式中，每個字母代表一個數字.。=

例題3

在圖中的字母豎式中，相同的字母代表相同

的數字，不同的字母代表不同的數字.已知個位

向十位的進位為2,且￡是奇數，則A、8、C、D、

E分別代表什么數字？

「分析」題目給的條件“進位為2、￡是奇數”

是解決本題的關鍵哦!

練習3

在右圖所示的算式中，相同的漢字代表相同的數字，不

同的漢字代表不同的數字.那么“喜歡”這兩個漢字所代表

的兩位數是多少？

一般來說，乘法豎式比加減法豎式要難一些.乘法豎式中不僅有第一個乘數

與第二個乘數每一位數字的乘法，還有計算這些乘積之和的加法.

例題4

在右下圖的豎式中，相同的字母表示相同

的數字，不同的字母表示不同的數字，那么

ABCDE7所代表的六位數是多少?

「分析」觀察個位，ABCxC=DEAC、

ABCxD=7ED，你能判斷出C是多少嗎？

練習4

在下圖的豎式中，相同的字母表示相同的數字，不同的

字母表示不同的數字，那么而麗所代表的五位數是多

少？

在豎式問題中，還有一類特殊的、類似于應用題的文字題.在這類題目中并

沒有明確給出豎式,而是要大家根據題R條件寫出正確的豎式來.這就好比是“翻

譯”，我們要把“文字”翻譯成“數學語言”，然后再推理計算.

例題5

（1）一個自然數的個位數字是4,將這個4移到左動首位數字

前面，所構成的新數恰好是原數的4倍，那么原數最小是多少？

（2）一個五位數，將它的各位數字順序顛倒就可以得到一個新

的五位數，而且這個五位數恰好是原數的4倍，那么原來的五位數是

多少？

「分析」在第（1）問中，我們可以把問題轉化為豎式來考

\廖?\

在第（2）問中，我們可以假設原來的五位數是而M再

列出豎式分析.

例題6

下圖中的豎式里，“江”、“峽”、“美”

三個漢字分別代表三個各不相同的

數字，請把這個豎式寫出來.

「分析」本題已知條件大都集中

在個位，觀察“江峽美*美=□□口美”、

“江峽美*江=口□江”、

“江峽美*峽=口□□峽”，你能判斷出“美”是多少嗎？“江”

和“峽”又有什么特點呢？

課堂內外

結繩記數

結繩記數這種方法，不但在遠古時候使用，而且一直在

某些民族中沿用下來.宋朝人在一本書中說：“靴靶無文字.

每調發軍馬，即結草為約，使人傳達，急于星火.”這是用

結草來調發軍馬，傳達要調的人數呢！其他如藏族、彝族等,

雖都有文字，但在一般不識字的人中間都還長期使用這種方

法.中央民族大學就收藏著一副高山族的結繩，由兩條繩組

成：每條上有兩個結，再把兩條繩結在一起.有趣的是，不

但我們東方有過結繩，西方也結過繩.看樣子，咱們這個星

球早就像個地球村了，只不過那時還沒有電報電話.傳說古

波斯王有一次打仗，命令手下兵馬守一座橋，要守60天.為

了讓將士們不少守一天也不多守一天，波斯王用一根長長的

皮條，把上面系了60個扣.他對守橋的官兵們說：“我走

后你們一天解一個扣，什么時候解完了，你們就可以回家

了.“

回頭我們再來看一件有趣的事情.在我國古代的甲骨文

中，數學的“數”，它的右邊表示一只右手，左邊則是一根

打了許多繩結的木棍：一一“數”者，圖結繩而記之也.所

以，數學研究所的門口，最好用木棍打幾個繩結作標“記”，

連招牌都不用掛了.

作業

1.在下面的加法豎式中，相同的漢字代表相同的數字，不同

的漢字代表不同的數字，請問：霰I?表示的四位數是多

少？

學

2.在左下圖中的字母豎式中，相同的字母代表相同的數字,

不同的字母代表不同的數字.如果C是

一個偶數，請問三位數痂是多少？

3.在下面的減法豎式中，相同的字母代表相同的數字，不同

的字母代表不同的數字.請問：六位數誨斯是多少？

4.下圖的豎式中，每一個英文字母代表0,1,2,…，9中

的一個數字，相同的字母代表相同的數字，不同的字母代

表不同的數字，請問字母F代表數字幾？

5.一個六位數的個位數字是7,將這個7移到左邊首位數字

前面，所構成的新數恰好是原數的5倍，請問：原六位數

是多少？

“加法原理與乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！

我們以前學習過枚舉計數的方法，但枚舉法對于很多計數問題來說太麻煩

了,今天我們要學習的加法原理、乘法原理是計數問題中的兩種新的計算方法.先

舉一個例子：

餐廳里有4種炒菜和2種燉菜，4種妗菜分別是：紅燒魚塊、滑溜里脊、清

炒蝦仁和三鮮豆腐，2種燉菜分別是：土豆燉牛肉和蘿卜燉排骨.

點菜時如果只點一個菜，有點炒菜和點燉菜這兩類方式.也就是說，可以點:

紅燒魚塊、滑溜里脊、清炒蝦仁、三鮮豆腐、土豆燉牛肉和蘿卜燉排骨之一，有

4+2=6種點菜方法，其中4代表4種炒菜，2代表2種燉菜.這就是加法原理.

加法原理：如果完成一件事有幾美方民，在每一類方式中又有不同的方法,

那么把每類的方法數相加就得到所有的方法數.

如果要求炒菜和燉菜各點一個，這時我們可以把一個炒菜和一個燉菜看成一

個點菜組合，點炒菜是一第一步，點燉菜是第二步，這兩步缺一不可.炒菜選紅

燒魚塊的點菜方法有2種：（紅燒魚塊，土豆燉牛肉）、（紅燒魚塊，蘿卜燉排骨）;

類似地，選滑溜里脊的也有2種：（滑溜里脊，土豆燉牛肉）、（滑溜里脊，蘿卜

燉排骨）；選清炒蝦仁的也有2種：（清炒蝦仁，土豆燉牛肉）、（清炒蝦仁，蘿卜

燉排骨）：選三鮮豆腐的也有2種：（三鮮豆腐，土豆燉牛肉）、（三鮮豆腐，蘿卜

燉排骨）.合在一起就有4x2=8種點菜方法，其中4代表4種炒菜，2代表2種

燉菜.這就是乘法原理.

乘法原理：如果完成一件事分為幾個步驟，在每一個步驟中又有不同的方法,

那么把每步的方法數相乘就得到所有的方去救.

例題1

小高一家人外出旅游，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以坐飛機.經

過網.上查詢，出發的那一天中火車有4班,汽車有3班,飛機有2班.任

意選擇其中一個班次，有多少種出行方法？

r分析」選擇不同的交通工具是分類還是分步？是用加法原理還是乘法

原理呢？

練習1

書架上有8本不同的小說和10本不同的漫畫，大頭要從書架上任意取一本

書，有多少種不同的取法？

例題2

用紅、黃兩種顏色給圖中房子的屋頂、煙囪、

門、窗四個部分染色，每個部分只能染一種顏色,

一共有多少種不同的染色方法？

「分析」要給四個部分染色，我們很容易想到要

依次染每個部分，這是分類還是分步呢？只染一個部分能完成這件事情嗎？

練習2

用紅、黃兩種顏色給圖中鴨子的眼睛、嘴巴、身子

三個部分染色，每個部分只能染一種顏色，一共有多少

種不同的染色方法？

分類是指完成一件事情有幾類不同

方法，從中任意選取一類即可，它們之間可以相互替代，任

意選取一類都可以完成這件事.這種情況下一般要用到加法

原理.

分步是指完成一件事情有幾步不同步驟，每一步都必須

執行，它們之間不可以相互替代，少一步都不能完成這件

事.這種情況下一般要用到乘法原理.

例題3

從甲地到乙地有3條路，從乙地到丙地有3

條路，從甲地到丁地有2條路，從丁地到丙地有4

條路.如果要求所走路線不能重復，那么從甲地

到丙地共有多少條不同的路線？

「分析」要從甲地到丙地，就必須途徑乙、丁兩

地之一.“甲一乙一丙”與“甲一丁一丙”這兩類路線各有多少條呢？

練習3

任意兩地之間的路線都已在下圖中標示出來，如果要

求所走路線不能重復，那么從甲地到丙地共有多少條不同

的路線？

通過上面這幾個例題，我們總結一下加法原理與乘法原理之間的區別.

加法原理

類與類之間會滿足下列要求：

1.只能選擇其中的某一類，而不能幾類同時選：

2.類與類之間可以相互替代，只需要選擇某一類就可以滿足要求.

比如例題1中，飛機、火車或汽車是可以隨意選擇的，小高一家人只選擇其

中一種交通工具，就能到達目的地了.

乘法原理

步與步之間滿足下列要求：

1.每步都只是整件事情的一個部分，必須全部完成才能滿足結論：

2.步驟之前有先后的順序，先確定好一步，再做下一步...直到最

后.

比如例題2中，衣服和帽子都要選擇，只是可以有先后的步驟關系.在這里,

衣服和帽子先選哪種都可以.但有的時候卻不能隨意安排順序，這種問題稍微難

一些，我們在日后會接觸到.

加法原理與乘法原理的混合

有些問題中，既有分類的關系，又有分步的關系.這時應該分清主次關系，

弄清楚到底是“分類中含有分步”，還是“分步中含有分類”.如果是某一大類里

面又可以再分為幾小步，那么應該這一類里用乘法原理進行計算，最后再用加法

原理把各類中的情況加在一起，比如例題3.當然我們以后也會碰到某一大步里

面又可以再分為幾小類的情況，這就要先用加法原理算出每?大步中有多少種情

況，再用乘法原理把總數算出來.

在本講的最后，我們來介紹標數法.標數法是解決路徑條數問題的重要方法.

如下圖所示，我們要計算蛆蟻從A點沿箭頭的方向爬到8點的不同路線有

多少條.

由于螞蟻只能向上走或者向右走，因此對于最下面一行中的每個點，螞蟻只

有一種方法可以到達，對于最左邊一列中的點也是同樣的結論（特別地，我們把

A點處標上1,表示螞蟻從4點出發到達A點，只有原地不動這一種方式）.我

們用標數法標出螞蟻到達每個點的路線數，已經得到的結果如下圖所示.

容易看出，螞蟻可以從C點或者。點到達￡點，而且只有這兩類不同的方

式，那么我

們可以在E點處標上數字1+1=2（把C點與D點的數字相加），表示螞蟻到

達￡點有兩條路線.同樣道理，螞蟻可以從￡點或者F點到達G點，那么螞蟻到

達G點就有2+1=3條路線（把E點與F點的數字相加）.最后可以得到螞蚊到達

8點有4條路線，如下圖所示.

例題4

在下圖中，從A點沿線段走到B點，每

次只能向上或向右走一步，共有多少種不同

走法？

「分析」標數法其實就是要找到前一步可能

在的所有點，把它們的方法數加起來.

練習4

在下圖中，從A點沿線段走到8點，每次只能向

上或向右走一步，共有多少種不同走法？

例題5

老師要求墨莫在黑板上寫出一個減法算式，要求被減數必須是三

位數，減數必須是兩位數.請問墨莫共有多少種不同的寫法？

「分析」被減數與減數都有很多種寫法，只寫其中一個能完成這個減法

算式嗎？寫被減數和寫減數是寫出減法算式的兩類還是兩步？

例題6

書架上有三層書，第一層放了15本小說，第二層放了

10本漫畫，第三層放了5本科普書，并且這些書都各不相

同.請問：

（1）如果從所有的書中任取1本，共有多少種不同的取法？

（2）如果從每一層中各任取1本，共有多少種不同的取法？

（3）如果從中取出2本不同類別的書，共有多少種不同的

取法？

「分析」從第一層取1本書、從第二層取1本書、從第三層取1本書，

這三件事對于前兩問來說是分類還是分步？

課堂內外

加減乘除的由來

加減乘除（+、一、X、+）等數學符號是我們每一個人最熟悉的符號，因為不光

在數學學習中離不開它們，幾乎每天的日常的生活也離不開它們.別看它們這么簡單，

亢到17世紀中葉才全部形成.

法國數學家許凱在1484年寫成的《算術三篇》中，使用了一些編寫符號，如用。

表示加法，用M表示減法.這兩個符號最早出現在德國數學家維德曼寫的《商業速算

法》中，他用“十”表示超過，用“一”表示不足.到1514年，荷蘭的赭克首次用“十”

表示加法，用表示減法.1544年，德國數學家施蒂費爾在《整數算術》中正式用

“+”和表示加減，這兩個符號逐漸被公認為真正的算術符號，廣泛采用.

以符號“X”代表乘是英國數學家奧特宙德首創的.他于163T年出版的《數學之

鑰》中引入這種記法.據說是由加法符號“+”變動而來，因為乘法運算是從相同數的

連加運算發展而來的.后來，萊布尼茲認為“X”容易與“X”相混淆，建議用表

示乘號，這樣，“?”也得到了承認.

除法符號“+”，最初這個符號是作為減號在歐洲大陸流行，奧屈特用“：”表示

除或比，也有人用分數線表示比，后來有人把二者結合起來就變成了“+瑞士的數

學家拉哈的著作中正式把作為除號.符號是英國的瓦里斯最初使用的，后

來在英國得到了推廣.除的本意是分，符號“子”的中間的橫線把上、下兩部分分開，

形象地表示了“分”.

至此，四則運算符號齊備了.

作業

1.題庫中有三種類型的題目，數量分別為30道、40道和45

道，每次考試要從三種類型的題目中各取一道組成一張

試卷.問：由該題庫共可組成多少種不同的試卷？

2.小琴、小惠、小梅三人報名參加運動會的跳繩、跳高和短

跑這三個項目的比賽，每人只能參加一項比賽，不一定

三項比賽都要有人參加.請問報名的情況有多少種？

3.圖書館有30本不同的數學書、20本不同的英語書和10

本不同的語文書.

（1）墨莫要去圖書館借1本書，有多少種不同的選擇？

（2）墨莫三種書都要各借1本，有多少種不同的選擇？

4.萱萱要從4幅水墨畫、3幅油畫和2幅水彩畫中選取兩幅

不同類型的畫布布置客廳，有幾種選法？

5.在下圖中，從A點沿線段走到B點，每次只能向上或向右

走一步，共有多少種不同走法？

院子里兩棵槐樹之間的距離是10米，一只小貓從一棵槐樹跑到10米外的另

一棵槐樹需要5秒，那么小貓每秒跑10?5=2米.

行程問題是研究路程、時間和速度之間的關系.速度是衡量運動快慢的量.一

般我們選用1個單位的時間，如用1小時或1分鐘或1秒，用1個單位的時間內

經過的路程的多少來表示速度的大小.因比，我們有了速度的定義：

||速度就一單位時間內所經過的路:1|

速度、時間和路程是行程問題中最重要的三個量，它們之間的關系如下：

］路程=速度XI洞|

r玉度-路桿：一高?

那么本文一開始提到的小貓跑過的距離10米就為路程，行程問題中常用的

路程單位是米和千米.而小貓跑了5秒就是時間，時間的常用單位有秒、分鐘和

小時.那么小貓的速度就是2米/秒，行程問題中常用的速度單位有米/秒、米

/分和千米/時.

練一練

1.汽車以每小時15千米的速度行駛，那么5，.、時內，它行駛了千米.

2.長跑運動員每秒蹌4米，如果按照這個速度跑完10000米，需要秒.

3.一顆子彈射出后2秒鐘，恰好擊中1800米處的目標，那么它的速度是每秒

米.

4.一名長跑運動員以每秒4米的速度奔跑，那么2分鐘內，他跑了米.

5.小高每分鐘騎100米，如果要耕完6000米的路程，需要小時.

例題1

甲、乙兩地相距360千米，一輛汽車原計劃用8小時從甲地到乙

地，那么汽車每小時應該行駛多少千米？實際上汽車行駛了一半路程

后發生了故障，在途中停留了1小時,如果按照原定的時間到達乙地,

汽車在后一半路程上每小時應該行駛多少千米？

「分析」要計算速度，找清楚對座的路程和時間即可.

練習1

兔子和烏龜賽跑，從A地跑到8地，全程共6000米.兔子計劃5分鐘跑完

全程，結果比賽時兔子實際每分鐘跑的路程要比計劃的要少200米.那么兔子實

際跑完全程用了多長時間？

例題2

4、B兩地相距4800米，甲、乙兩人分別從A、8兩地同時出發,

相向而行，如果甲每分鐘走60米，乙每分鐘走100米，請問：

(1)甲從A走到8需要多長時間？

(2)兩個人從出發到相遇需要多長時間？

「分析」從出發到相遇，兩人一共走了多遠？他倆每分鐘一共走多遠

呢？

練習2

阿呆和阿瓜從相距5000米的4、8兩地同時出發，相向而行.阿呆每分鐘

走150米，阿瓜每分鐘走35