PAGE1微專題02三角函數的范圍與最值【秒殺總結】一、三角函數中的大小及取值范圍1、任意兩條對稱軸之間的距離為半周期的整數倍，即；2、任意兩個對稱中心之間的距離為半周期的整數倍，即；3、任意對稱軸與對稱中心之間的距離為周期加半周期的整數倍，即；4、在區間內單調且5、在區間內不單調內至少有一條對稱軸，6、在區間內沒有零點且7、在區間內有個零點．二、三角形范圍與最值問題1、坐標法：把動點轉為為軌跡方程2、幾何法3、引入角度，將邊轉化為角的關系4、最值問題的求解，常用的方法有：（1）函數法；（2）導數法；（3）數形結合法；（4）基本不等式法．要根據已知條件靈活選擇方法求解．【典型例題】例1．（2024·江蘇泰州·高三統考期末）函數，若恰有6個不同實數解，正實數的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題知，的實數解可轉化為或的實數解，即，當時，所以時，，單調遞增，時，，單調遞減，如圖所示：所以時有最大值：所以時，由圖可知，當時，因為，，所以，令，則則有且，如圖所示：因為時，已有兩個交點，所以只需保證與及與有四個交點即可，所以只需，解得．故選：D例2．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學校校考階段練習）設函數若恰有5個不同零點，則正實數的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題知，零點的個數可轉化為與交點的個數，當時，所以時，，單調遞增，時，，單調遞減，如圖所示：所以時有最大值：所以時，由圖可知必有兩個交點；當時，因為，，所以，令，則則有且，如圖所示：因為時，已有兩個交點，所以只需保證與有三個交點即可，所以只需，解得.故選：D例3．（2024·廣東·統考模擬預測）已知函數，則下述結論中錯誤的是（

）A．若在有且僅有個零點，則在有且僅有個極小值點B．若在有且僅有個零點，則在上單調遞增C．若在有且僅有個零點，則的范圍是D．若圖像關于對稱，且在單調，則的最大值為【答案】B【解析】利用正弦函數的圖象和性質對每一個選項逐一分析判斷得解.因為,因為在有且僅有個零點，所以，所以.所以選項C正確；此時，在有且僅有個極小值點，故選項A正確；因為，因為，所以當時，所以，此時函數不是單調函數，所以選項B錯誤；因為圖像關于對稱，所以.如果函數在單調遞增，令，所以，令時，函數的增區間為，所以此時不滿足題意，所以該情況不存在.若在，單調遞減，則，且，，即，且，，由上面兩式可得，，故奇數的最大值為11．當時，，，，．此時在，上不單調，不滿足題意．當時，，，，，此時在，上單調遞減，滿足題意；故的最大值為9．故選項D正確.故選：B例4．（2024·河南·高三校聯考期末）在中，角所對的邊分別為，，若表示的面積，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，令，則，當且僅當，即時取等號，所以，故選：D.例5．（2024·山西臨汾·校考模擬預測）在中，點D在上，，，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，由，得，設，由，得，在中，，在中，，則，令，則，由，解得，由，解得，因此在上單調遞增，在上單調遞減，即當時，取得最大值，因此當時，取得最大值為，所以的最大值為.故選：B.例6．（2024·山東德州·高三校考階段練習）已知中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，D是AB上的四等分點（靠近點A）且，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由正弦定理得，可得，即，所以，，則，設，則，且，在中，且，則，在中，由，則，由，即，又由正弦定理知（為的外接圓半徑），所以，則，即，又因為，故當，即時，所以.故選：B.例7．（2024·全國·河南省實驗中學校考模擬預測）已知三角形中，，角的平分線交于點，若，則三角形面積的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】在中，在中，故，，因為，故，又角的平分線交于點，則，故.故.以為坐標原點建立如圖平面直角坐標系，則因為，，故，，設，則，即，故，化簡可得，即，故點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除去）.故當縱坐標最大，即時面積取最大值為.故選：C例8．（2024·山東·高三校聯考階段練習）如圖，在中，，點P在邊BC上，且．(1)若，求PB﹔(2)求面積的最小值．【解析】（1）因為，所以在中由余弦定理可得，所以，解得，由正弦定理得，即，解得，所以，，在三角形ABC中由正弦定理得：，則，解得，所以；（2）設，則，由于，則，在中由正弦定理得：，解得，過A點做BC的垂線，交BC于M點，設三角形的面積為S，則，所以，所以，所以即三角形ABC面積的最大值為.例9．（2024·山東青島·高三統考期末）記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知．(1)若，求C；(2)若，且，求的最小值．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴或者，由，得，從而，由得，∴，則，而，故綜上，或；（2）∵，∴，即，由（1）知，，又，∴，∴，由正弦定理，，，，當且僅當時取等號，∴的最小值為.例10．（2024·全國·河南省實驗中學校考模擬預測）記的內角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若是上的一點，且，求的最小值．【解析】（1），又，則或，若，則；若，則，又，不符合題意，舍去，綜上所述.（2）①，又②，①÷②得：令，又，，令令，令，當時，當時，由對勾函數性質可得當時，為減函數，故，同理當時，所以當三角形為等邊三角形時最小，最小值為【過關測試】一、單選題1．（2024·江蘇南京·高三期末）已知函數在區間上恰有兩個最大值，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，則，所以由題意得：，解得.故選：D.2．（2024·安徽馬鞍山·高三馬鞍山二中校考階段練習）如圖，四邊形中，，若，且，則面積的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】線段上取點E使得，又，則，故，所以，則，設，則.由上易知，且，而，所以，則，結合及，且，由三角形內角性質，所以，綜上，.故選：C3．（2024·浙江杭州·高三統考期末）設函數．若為函數的零點，為函數的圖象的對稱軸，且在區間上有且只有一個極大值點，則的最大值為（

）A． B． C． D．12【答案】A【解析】由已知得，，，則，其中，因為，當時，當時，，因為在區間上有且只有一個極大值點，所以，解得，即，所以，當時，，此時，此時有兩個極大值點，舍去；當時，，此時，此時有一個極大值點，成立；所以的最大值為.故選：A.4．（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則下列4個結論中正確的有（

）個.①；②的取值范圍為；③的取值范圍為；④的最小值為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【解析】在中，由正弦定理可將式子化為，又，代入上式得，即，因為，則，故，所以或，即或（舍去），所以，故A錯誤；選項B：因為為銳角三角形，，所以，由解得，故B錯誤；選項C：，因為，所以，，即的取值范圍為，故C正確；選項D：，當且僅當，即時取等號，但因為，所以，，無法取到等號，故D錯誤.故選：B.5．（2024·湖北武漢·高三統考期末）已知函數，，若函數在上存在最大值，但不存在最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，則，又因為，函數在上存在最大值，但不存在最小值，所以當，即時，只需滿足，此時，當，即時，函數一定存在最大值，要讓函數無最小值，則，此時，綜上，，即的取值范圍是.故選：D6．（2024·四川綿陽·統考模擬預測）已知函數在區間上的最小值恰為，則所有滿足條件的的積屬于區間（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，因為此時的最小值為，所以，即.若，此時能取到最小值，即，代入可得，滿足要求；若取不到最小值，則需滿足，即，在上單調遞減，所以存在唯一符合題意；所以或者，所以所有滿足條件的的積屬于區間，故選：C二、多選題7．（2024·湖北·高三校聯考階段練習）在中，內角的對邊分別為，則下列說法中正確的有（

）A．若，則面積的最大值為B．若，則面積的最大值為C．若角的內角平分線交于點，且，則面積的最大值為3D．若為的中點，且，則面積的最大值為【答案】BCD【解析】對于A，由余弦定理可得，即，由基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，所以，所以A錯誤；對于B，由余弦定理可得，所以，因為，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即面積的最大值為，故B正確；對于C，設，，則，，在和中，分別運用正弦定理，得和.因為，所以，即，所以，由余弦定理可得，所以，，當且僅當時，等號成立，所以面積的最大值為3，所以C正確；對于D，設，則，在中，由余弦定理得，解得，則，所以，所以當即時，，D正確.故選：BCD.8．（2024·山西·高三期末）函數，則以下說法正確的有（

）A．若，則在內恰有3個零點B．若，則在內恰有3個極值點C．若在內有最小值點，則D．若在區間單調，則【答案】ACD【解析】對于A，當時，，其零點滿足，故，故，其中在區間內恰有3個，故A正確；對于B，當時，，其極值點滿足，故，故，其中在區間內只有2個，故B錯誤；對于C，的最小值點滿足，解得，因為，則最小值為，令，得，故C正確；對于D，的極值點滿足，即，若在單調，需（*），由得，即，當時，解得；當時，解得；當，解（*）得，又，故；當時，對應的均為負值，故D正確.故選：ACD.三、填空題9．（2024·云南·高三云南師大附中校考階段練習）已知函數，，下述五個結論：①若，且在有且僅有5個零點，則在有且僅有3個極大值點；②若，且在有且僅有4個零點，則在有且僅有3個極小值點；③若，且在有且僅有5個零點，則在上單調遞增；④若，且在有且僅有4個零點，則的范圍是；⑤若的圖象關于對稱，為它的一個零點，且在上單調，則的最大值為11.其中所有正確結論的編號是.【答案】①③④【解析】畫出的大致圖象，即可判斷①②；對于③，由題可得，當時，，所以，故判斷③；對于④，由得范圍，故可判斷④；對于⑤，由題知，又在上單調，所以，，將，代入驗證即可.①若，在上有5個零點，可畫出大致圖象，由圖3可知，在有且僅有3個極大值點，故①正確；②若，且在有且僅有4個零點，同樣由圖可知在有且僅有2個極小值點，故②錯誤；③若，由在上有5個零點，得，即，當時，，所以，所以在上單調遞增，故③正確；④若，因為，∴，∴，因為在有且僅有4個零點，所以，所以，所以④正確；⑤若的圖象關于對稱，為它的零點，則(，T為周期)，得，又在上單調，所以，，又當時，，，在上不單調；當時，，，在上單調，滿足題意，故的最大值為9，故⑤不正確.故答案為：①③④10．（2024·四川成都·高三石室中學開學考試）函數，已知在區間恰有三個零點，則的范圍為.【答案】【解析】由題意可得，令，即恰有三個實根，三根為：①，k∵，∴∴或，當k=-1時，解得的范圍為故答案為11．（2024·河南南陽·高三統考期末）如圖，點為內一點，，，，過點作直線分別交射線，于，兩點，則的最大值為．【答案】/【解析】如圖：設，，則.在中，由正弦定理得：；同理，在中，.所以（當且僅當時取等號）故答案為：12．（2024·河南·模擬預測）如圖，四邊形中，，，，，則面積的最大值為.【答案】【解析】以E為坐標原點，為x軸正方向建立平面直角坐標系，則，，A在圓①：上，D在圓②：上，作圓③：，延長交圓③于點F，則，所以.設直線與圓②交于點G，取，連接，，得，則，則，為圓②內接三角形，當且僅當為正三角形時，最大，此時，所以的最大值為，即的最大值為.故答案為：13．（2024·天津·高三統考期末）已知函數滿足.若在上恰好有一個最小值和一個最大值，則；若在上恰好有兩個零點，則的取值范圍是.【答案】4【解析】因為，設的最小值正周期為，若在上恰好有一個最小值和一個最大值，且，則，所以；若在上恰好有兩個零點，則，解得，即，且，可得，因為，則，且，且，可得或或，解得或或，所以的取值范圍是.故答案為：4；.14．轉化意識：利用三角恒等變換將所求函數轉化為的形式．15．整體意識：類比的性質，只需將中的“”看成中的“x”，采用整體代入求解．16．（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考階段練習）在中，，，當取最大值時，．【答案】【解析】設，，，，，，，，，，，其中，，，，當時取最大值，，，，，即的值為.17．（2024·重慶·高三校聯考階段練習）在中，角的對邊分別為，，，滿足，，則，的面積最大值為．【答案】123【解析】由可得，由，則，，因為，所以，故，又，，則，因為，所以，則，即，故，由正弦定理得，由余弦定理得，則，則；因為，則，則，當且僅當，即時取得等號．故，面積最大值為．故答案為：12，318．（2024·全國·高三成都七中校聯考開學考試）的外心為，三個內角、、所對的邊分別為、、，，，則面積的最大值是【答案】【解析】取邊的中點，連接、，∵為的外心，∴，即，∵為邊的中點，∴為邊的中線，，∴，又∵，∴，整理得，∴由余弦定理可得，∴，又，由余弦定理，即，∴由基本不等式，即，當且僅當時，等號成立，∴的面積，即當且僅當時，面積的最大值為.故答案為：.19．（2024·四川遂寧·高三射洪中學校考階段練習）已知函數，對都有，且是的一個零點.若在上有且只有一個零點，則的最大值為.【答案】【解析】因為函數，對都有，且是的一個零點，則，解得,因為函數在上有且只有一個零點，則方程在上有且只有一個根，因為，所以，存在唯一的，使得函數取到最大值，且，則，解得，令，則，且，所以，、的奇偶性相同，由可得，解得，即，當時，，為奇數，則，所以，，由可得，此時，當或時，函數取最大值，不合乎題意；當時，，為偶數，，即，由可得，此時，當時，函數取最大值，合乎題意.綜上所述，的最大值為.故答案為：.20．（2024·四川成都·高三樹德中學校考期末）在銳角三角形中，角所對的邊為，且.若點為的垂心，則的最小值為．【答案】【解析】根據，由正弦定理得，，因為銳角三角形，所以，，又，，易知，，又，所以，然后利用面積公式和和差角公式求解即得.如圖，連接AH并延長，與BC交于點D，延長CH與AB交于點E，則，，所以，，，所以，所以，所以，又，，又，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，所以，，故答案為：21．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）已知，，，且，是函數的兩個零點，，若函數在區間上至少有個零點，則實數的最小值為．【答案】【解析】因為，，，所以，令，即，故當，是的兩個零點時，為的一個周期，即，解得，故有，令，則，令，因為在區間上至少有個零點，則在區間上至少有個不等根，即與在區間上至少有個交點，其中，，由圖可知，即，，的最小值為.故答案為：．22．（2024·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯考模擬預測）已知內角分別為，且滿足，則的最小值為.【答案】16【解析】由題設，所以，所以，即，又，，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故答案為：23．（2024·安徽·高三校聯考階段練習）已知為的內切圓圓心，，，成等差數列，則的最小值等于.【答案】/【解析】設角的對邊為，由已知得，故，由余弦定理得，，即，當且僅當時等號成立，又，，所以，又，所以，故答案為：24．（2024·福建龍巖·高三福建省連城縣第一中學校考期末）在中，角，角A的平分線AD與BC邊相交于點D，則的最小值為.【答案】16【解析】依題意，，設，依題意是角A的角平分線，，由三角形的面積公式得，整理得，則，所以.當且僅當，即時，等號成立.故答案為：.25．（2024·全國·模擬預測）在中，，D為邊BC上一點，滿足且，則面積的最小值為．【答案】【解析】因為，所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因為，所以，故，又，故，所以AD是的平分線．記，，，則，又因為，由面積公式可得，化簡得，因為，當且僅當時取等號，所以．故答案為：26．（2024·河北唐山·模擬預測）已知為與的交點，若為等邊三角形，則正數的最小值為．【答案】/【解析】如下圖所示：由題意聯立與得,所以，所以不妨依次設，則中點，因為邊三角形邊長，不妨設，又因為，因此，解得，結合可知當且僅當時，正數取最小值.故答案為：.四、解答題27．（2024·山西運城·統考模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）求證：；（2）若是銳角三角形，，求的范圍.【解析】（1）由兩角差的正弦公式，可得，又由正弦定理和余弦定理，可得，所以（2）由（1）知因為是銳角三角形，所以，可得，又由，可得，所以，所以，所以，可得，符合.所以實數的取值范圍是.28．（2024·全國·高三專題練習）在中，．（1）D為線段上一點，且，求長度；（2）若為銳角三角形，求面積的范圍．【解析】（1）在中，依題意得：，則有，于是得，而，則，又，則，在中，從而得等邊，即，，在中由余弦定理得，解得；（2）在中，，設，由正弦定理得：，于是得，因是銳角三角形，則，且，于是有，則，即，，從而得，所以面積的取值范圍是．29．（2024·福建莆田·高三莆田第六中學校考階段練習）請從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下列問題中，并加以解答．（如未作出選擇，則按照選