18.1勾股定理第18章勾股定理第2課時勾股定理的應用情景引入數學來源于生活，勾股定理的應用在生活中無處不在，觀看下面視頻，你們能理解小賢和一菲的做法嗎？問題觀看下面同一根長竹竿以三種不同的方式進門的情況，并結合小賢和一菲的做法，對于長竹竿進門之類的問題你有什么啟發？這個跟我們學的勾股定理有關，將實際問題轉化為數學問題勾股定理的簡單實際應用例1一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的長方形薄木板能否從門框內通過?為什么?2m1mABDC典例精析解：在Rt△ABC中，根據勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5，因為

AC大于木板的寬2.2m，所以木板能從門框內通過.

分析：可以看出木板橫著，豎著都

不能通過，只能斜著過.門框的對角線

AC的長度是斜著能通過的最大長度，只要AC的長大于木板的寬就能通過.ABDCO

解：在Rt△AOB中，根據勾股定理得OB2=AB2

-

OA2=2.62-

2.42=1，∴OB=1.在Rt△COD中，根據勾股定理得OD2

=CD2-

OC2=2.62-

(2.4-

0.5)2=3.15.∴梯子的頂端沿墻下滑0.5m時，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移約0.77m.例2

如圖，一架2.6m長的梯子

AB斜靠在一豎直的墻

AO上，這時

AO為2.4m.如果梯子的頂端

A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端

B也外移0.5m嗎?例3

在一次臺風的襲擊中，小明家房前的一棵大樹在離地面

6

米處折斷，樹的頂部落在離樹根底部

8

米處.你能告訴小明這棵樹折斷之前有多高嗎？8米6米8米6米ACB解：根據題意可以構建一個直角三角形模型，如圖.在

Rt△ABC

中，AC

=

6

米，BC

=

8

米，由勾股定理得∴這棵樹在折斷之前的高度是

6

+

10

=

16（米）.利用勾股定理解決實際問題的一般步驟：（1）讀懂題意，分析已知、未知間的關系；（2）構造直角三角形；（3）利用勾股定理等列方程；（4）解決實際問題.歸納總結數學問題直角三角形勾股定理實際問題轉化建構利用決解1.湖的兩端有

A，B兩點，從與

BA方向成直角的

BC方向上的點

C測得

CA=130米，CB=120米，則

AB為()ABCA.50米B.120米C.100米D.130米130120?A練一練解：(1)在Rt△ABC中，根據勾股定理得

∴

這條“近路”的長為5米.CAB2.如圖，學校教學樓前有一塊長為4米，寬為3米的長方形草坪，有極少數人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內走出了一條“近路”，卻踩傷了花草.(1)求這條“近路”的長；(2)他們僅僅少走了幾步(假設

2

步為

1

米)？別踩我,我怕疼!(2)他們僅僅少走了

(3+4-

5)×2=4(步).例4如圖，在平面直角坐標系中有兩點

A(-3，5)，B(1，2)，求

A，B兩點間的距離.A21-3-2-1-123145yOx3BC解：如圖，過點

A作

x軸的垂線，過點

B作

x，y軸的垂線，相交于點

C，連接

AB.則

AC=5-2=3，BC=3+1=4.在Rt△ABC中，由勾股定理得∴A，B兩點間的距離為5.利用勾股定理求兩點間的距離及驗證“HL”方法總結：兩點間的距離公式：一般地，設平面上有任意兩點

思考在八年級上冊中，我們曾經通過畫圖得到結論：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(HL)．學習了勾股定理后，你能證明這一結論嗎？已知：如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′

．求證：△ABC≌△A′B′C′．ABCABC′

′′證明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′

=90°，根據勾股定理得

ABCABC′

′′CBA問題在

A點的小狗，為了盡快吃到

B點的香腸，它選擇

AB路線，而不選擇

A

C

B路線，難道小狗也懂數學？AC+CB＞AB（兩點之間，線段最短）思考在立體圖形中，怎么尋找最短路線呢？利用勾股定理求最短距離AB

螞蟻從

A→B的路線問題：在一個圓柱形石凳上，小明在吃東西時留下了一點食物在

B處，恰好在

A處的一只螞蟻捕捉到這一信息，于是它想沿側面從

A處爬向

B處，問怎么走最近？最短路程怎么求？BA將側面展開后，根據“兩點之間線段最短”可得最近路線.若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3.BA3O12側面展開圖123πABA'A'解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得

立體圖形中求表面上兩點間的最短距離，一般把立體圖形展開成平面圖形，根據“兩點之間線段最短”確定最短路線，再根據勾股定理求最短路程.歸納例5有一個圓柱形油罐，要以

A點環繞油罐建梯子，正好建在

A點的正上方點

B處，問梯子最短需多少米(已知油罐的底面半徑是2m，高

AB是5m，π取3)?ABABA'B'解：油罐的展開圖如圖，則

AB'

為梯子的最短距離.AA'

=2×3×2=12，

A'B'=5，根據勾股定理得

即梯子最短需13米.數學思想：立體圖形平面圖形轉化展開B牛奶盒A【變式題】看到小螞蟻終于找到食物的興奮勁兒，小明靈光乍現，又拿出了長方體形狀的牛奶盒，把小螞蟻放在了點

A處，并在點

B處滴了一滴蜂蜜，你能幫小明求出螞蟻找到蜂蜜的最短路程么？6cm8cm10cmBB18AB2610B3AB12=102+(6+8)2=296，AB22=82+(10+6)2=320，AB32=62+(10+8)2=360，解：由題意知有三種展開方法，

如圖.∴AB1＜AB2＜AB3.∴小螞蟻找到蜂蜜的最短路程為

AB1，長為

.866108由勾股定理得例6如圖，一個牧童在小河的南

4

km

的

A

處牧馬，而他正位于他的小屋

B

的西

8

km

北

7

km

處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？解：如圖，作出點

A

關于河岸的對稱點

A′，連接

A′B，則

A′B

的長就是最短路程.由題意得

A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.在

Rt△A′CB

中，由勾股定理得

即最短路程是17km.牧童

A小屋

BA′C東北

求直線同側的兩定點到直線上一動點的距離之和最小的方法：先作其中一定點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一定點的線段的長就是最小的距離之和，以此線段為斜邊構造直角三角形，再結合勾股定理就能求出這個最小的距離之和．歸納

如圖是一個邊長為

1

的正方體硬紙盒，現在

A處有一只螞蟻，想沿著正方體的外表面爬到

B處吃食物，求螞蟻爬行的最短路程是多少？AB解：由題意得

AC=2，BC=1.在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=22+12=5.∴AB=，即最短路程為.21ABC練一練1.從電線桿上離地面

5

m

的

C

處向地面拉一條長為

7

m的鋼纜，則地面鋼纜

A

到電線桿底部

B

的距離是

(

)A.

24mB.

12

mC.mD.mD3.已知點(2，5)，(-4，-3)，則這兩點的距離為____.102.如圖，一支鉛筆放在圓柱形筆筒中，筆筒的內部底面直徑是

9

cm，內壁高

12

cm，則這只鉛筆的長度可能是(

)A.9

cmB.12

cmC.15

cmD.18

cmD4.如圖，有兩棵樹，一棵高8米，另一棵高2米，兩棵樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵的樹梢，問小鳥至少飛行多少米？ABC解：如圖，過點

A作

AC⊥BC于點

C.由題意得

AC=8(米)，BC=8-2=6(米)，

答：小鳥至少飛行10米.5.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別等于55cm，10cm和6cm，A和

B是這個臺階的兩個相對的端點，A點上有一只螞蟻，想到

B點去吃可口的食物.這只螞蟻爬行的最短路程是多少？BAABC解：臺階的展開圖如圖，連接

AB.在Rt△ABC中，根據勾股定理得AB2=BC2＋AC2=552＋482=5329=732.∴

AB=73cm.6.為籌備迎接新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周