回顧與思考第二章

一元二次方程九年級數學上冊?北師大版知識回顧一元二次方程1.定義：只含有一個未知數x的整式方程，并且都可化成ax2+bx+c=0（a，b，c是常數，a≠0）的形式2.解法：（1）直接開平方法（2）配方法（3）公式法ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的解為：（4）因式分解法3.應用：其關鍵是能根據題意找出等量關系.知識技能1.兩個數的差等于4，積等于45，求這兩個數.【選自教材P56復習題】解：設其中一個數為x，另一個數為x+4，x(x+4)=45，x

=5或-9，這兩個數是5和9；-5和-9.2.解下列方程：解：（1）x1=0，x2=14.【選自教材P56復習題】（1）x(x-14)=0；（2）x2+12x+27=0；（2）由題意，得x1+x2=-12，x1x2=27.解得x1=-3，x2=-9.（3）x2=x+56；（4）x

(5x+4)=5x+4；（3）x2–x-56=0(x+7)(x-8)=0解得x1=-7，x2=8.（4）5x2–x-4=0解得x1=，x2=1.2.解下列方程：【選自教材P56復習題】（5）4x2-45=31x；（6）-3x2+22x-24=0；（7）(x+8)(x+1)=-12；（8）(3x+2)(x+3)=x+14.（5）4x2–31x-45=0x1+x2=，x1x2=.解得x1=，x2=9.（6）3x2–22x+24=0x1+x2=，x1x2=8.解得x1=，x2=6.（7）x2+9x+20=0(x+4)(x+5)=0解得x1=-4，x2=-5.（8）3x2+10x-8=0x1+x2=，x1x2=.解得x1=，x2=-4.3.解下列方程：【選自教材P56復習題】（1）2(x+3)2=x(x+3)；（2）x2-x+2=0；（3）(x+1)2-3(x+1)+2=0.解：（1）移項，化簡得(x+3)(x+6)=0x1=-6，x2=-3.（2）（3）將x+1看作一個整體[(x+1)-2][(x+1)-1]=0(x+1)-2=0(x+1)-1=0x1=1，x2=0.4.不解方程，判斷下列方程的根的情況：【選自教材P56復習題】（1）2x2+x-1=0;（2）4(x2-x)=-1;（3）7x2+2x+3=0.解:（1）方程有兩個不相等的實數根;（2）方程有兩個相等的實數根;（3）方程沒有實數根．5.利用根與系數的關系，求下列方程的兩根之和、兩根之積：【選自教材P56復習題】（1）x2-5x-6=0;（2）3x2+5x+1=0.x1+x2=5，x1x2=-6.x1+x2=，x1x2=，6.（1）當x

為何值時，代數式x2-13x+12的值等于0？（2）當x

為何值時，代數式x2-13x+12的值等于42？（3）當

x為何值時，代數式x2-13x+12的值與代數式-4x2+18的值相等？【選自教材P56復習題】解：（1）x2-13x+12=0(x-1)(x-12)=0x1=1，x2=12.（2）x2-13x+12=42(x+2)(x-15)=0x1=-2，x2=15.（2）x2-13x+12=-4x2+185x2-13x-6=0x1=，x1=3.7.某公司前年繳稅40萬元，今年繳稅484萬元.該公司這兩年繳稅的

年均增長率為多少？【選自教材P56復習題】解:設該公司繳稅的年均增長率為x．40(1＋x)2＝48.4，解得x1＝－2.1(舍去)，x2＝0.1＝10％．所以，該公司繳稅的年均增長率為10％．8.將一塊正方形鐵皮的四角各剪去一個邊長為4cm的小正方形，

做成一個無蓋的盒子.已知盒子的容積是400cm3，求原鐵皮的

邊長.【選自教材P57復習題】解:設原鐵皮的邊長為xcm．4(x-8)2＝400，解得x1＝18，x2＝－2(舍去)．所以，原鐵皮的邊長為18

cm．9.一塊長方形草地的長和寬分別為20m和15m，在它四周外圍環繞著寬度相等的小路.已知小路的面積為246m2，求小路的寬度.【選自教材P57復習題】解:設小路的寬度為xm．(20＋2x)(15＋2x)－20×15＝246,解得x1＝－(舍去)，x2＝3．所以，小路的寬度為3

m．10.某劇場共有1161個座位，已知每行的座位數都相同，

且每行的座位數比總行數少16，求每行的座位數.【選自教材P57復習題】解:設每行的座位數為x．(x＋16)x＝1161，解得x1＝－43(舍)，x2＝27．所以，每行的座位數為27．【選自教材P57復習題】11.將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于100cm2，該怎么剪？（2）要使這兩個正方形的面積之和等于196cm2，該怎么剪？（3）這兩個正方形的面積之和可能等于200cm2

嗎？數學理解解:設第一段為xcm，

兩個正方形之和為S．則（1）令S＝100，即解得x1＝24，x2＝32．∴要使兩個正方形的面積之和等于100cm2，則一個剪24cm，一個剪32

cm．【選自教材P57復習題】11.將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于100cm2，該怎么剪？（2）要使這兩個正方形的面積之和等于196cm2，該怎么剪？（3）這兩個正方形的面積之和可能等于200cm2

嗎？解:設第一段為xcm，

兩個正方形之和為S．則數學理解（2）令S＝196，即解得x1＝0，x2＝56．∴要使兩個正方形的面積之和等于196cm2，則一個剪0cm，一個剪56

cm．【選自教材P57復習題】11.將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段鐵絲做成一個正方形.（1）要使這兩個正方形的面積之和等于100cm2，該怎么剪？（2）要使這兩個正方形的面積之和等于196cm2，該怎么剪？（3）這兩個正方形的面積之和可能等于200cm2

嗎？解:設第一段為xcm，

兩個正方形之和為S．則數學理解（3）令S＝200，即解得x1＝

，x2＝．∴這兩個正方形的面積之和不可能等于200cm2．12.解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0時，我們可以將x-1看成一個整體，設x-1=y，則原方程可化為y2-5y

+4=0，解得y1=1，y2=4.當y=1時，即x-1=1，解得x=2;當y=4時，即x-1=4，解得x=5．所以原方程的解為x1=2，x2=5.請利用這種方法解方程:(3x＋5)2-4(3x＋5)+3=0.【選自教材P57復習題】解:設3x＋5＝y．則原方程可化為y2－4y＋3＝0,解得y1＝1，y2＝3．當y＝1時，即3x＋5＝1，解得x＝－;當y＝3時，即3x＋5＝3，解得x＝－．∴原方程的解為x1＝－，x2＝－．13.已知2+是方程x2-4x+c=0的一個根，脊方程的另一個根及c

的值.【選自教材P57復習題】方程的另一個根為2-，c＝1．問題解決14.某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s(m)和時間t(s)之間的

關系為：S=10t+3t2，那么行駛200m需要多長時間？【選自教材P57復習題】解:當S＝10t＋3t2＝200時，t1＝－10(舍去)，t2＝．所以，行駛200m需s．15.如圖，在一塊長92m、寬60m的矩形耕地上挖三條水渠(水渠的寬都相等)，水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊，水渠應挖多寬？【選自教材P57復習題】解:設水渠寬xm．60x·2＋92x－2x2＝92×60－885×6,解得x1＝105(舍去)，x2＝1．所以，水渠應挖1m寬．16.某果園原計劃種100棵桃樹，一棵桃樹平均結1000個桃子，現準備多種一些挑樹以提高產量.試驗發現，每多種1棵桃樹，每棵桃樹的產量就會減少2個，但多種的桃樹不能超過100棵.如果要使產量增加15.2%，那么應多種多少棵桃樹？【選自教材P57復習題】解:設應多種x

棵桃樹．則有(100＋x)(1000－2x)＝1000×100(1＋15.2％),解得x1＝380(舍去)，x2＝20．所以，要使產量增加15.2％，應多種20棵桃樹．17.一個直角三角形的斜邊長7cm，一條直角邊比另一條直角邊長1cm，求兩條直角邊的長度.【選自教材P57復習題】設一條直角邊為xcm，另一條直角邊是x-1cm.x2+(x-1)2=72兩直角邊分別為cm和cm.某軍艦以20kn的速度由西向東航行，一艘電子偵察船以30kn的速度由南向北航行，它能偵察出周國50nmile(包括50nmile）范圍內的目標.如圖所示，當該軍艦行至A

處時,電子偵察船正位于A處正南方向的B處，且AB=90nmile.如果軍艦和偵察船仍按原速度沿原方向繼續航行,那么航行途中偵察船能否偵察到這艘軍艦？如果能，最早何時能偵察到？如果不能，請說明理由.【選自教材P57復習題】解:能.設最早xh能偵察到,則有(20x)2＋(90－30x)2＝502,解得x1＝2，x2＝．而2＜，故最早2

h能偵察到這艘軍艦．【選自教材P58復習題】一次會議上，每兩個參加會議的人都相互握了一次手，經統計所有人一共握了66次手.這次會議到會的人數是多少？解:設這次會議的人數是x．解得x1＝12，x2＝－11(舍去)．所以，這次會議到會的人數是12．如圖，一次函效y=-2x＋3的圖象交x軸于點A，交y軸于點B，點P在線段上(不與點A，B重合)，過點P分別作OA和OB的垂線，垂足為C，D.點P在何處時，矩形OCPD的面積為1？【選自教材P58復習題】解:設點P

坐標為(m,n)．P

在y

＝－2x＋3上，則有－2m

＋3＝n，S矩形OCPD

＝mn＝m(－2m

＋3)＝1，解得或．

∴當P

在(,2)或(1，1)處時，矩形OCPD

面積為1．m＝,n＝2,m

＝1,n＝1【選自