試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（浙江專用）黃金卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知，，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知點P在拋物線M：上，過點P作圓C：的切線，若切線長為，則點P到M的準線的距離為（

）A．5 B． C．6 D．5．已知隨機變量，且，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．6．已知函數是定義在上的偶函數，且在區間單調遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知圓錐的母線長為2，表面積為，O為底面圓心，為底面圓直徑，C為底面圓周上一點，，M為中點，則的面積為（

）．A． B． C． D．8．已知函數，若，則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．歐拉公式（i為虛數單位，）是由數學家歐拉創立的，該公式建立了三角函數與指數函數的關聯，被譽為“數學中的天橋”.依據歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數為10．已知函數的部分圖象如圖所示，令，則（

）A．的一個對稱中心是B．的對稱軸方程為C．在上的值域為D．的單調遞減區間為11．在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．ABC．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區域的面積大于4第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．兩個線性相關變量與的統計數據如表：99.51010.5111110865其回歸直線方程是，則相對應于點的殘差為．13．雙曲線的左焦點為，點P為雙曲線右支上的動點，且周長的最小值為14，則雙曲線的離心率為.14．2024年新高考數學Ⅰ卷多選題的計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，共18分；②每小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對的得6分，有選錯或不選的得0分；③部分選對的得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．考生甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個選項，第二小題選了兩個選項，第三小題選了一個選項，則他多選題的所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的第80百分位數為．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數.(1)求的最大值；(2)當時，證明：.16．（15分）已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．17．（15分）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點．(1)證明：平面；(2)若，且二面角的大小為120°，求的值．18．（17分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的兩個焦點分別是，，點M在上，且.(1)求的標準方程；(2)若直線與交于A，B兩點，且的面積為求的值.19．（17分）已知編號為的三個袋子中裝有除標號外完全相同的小球，其中1號袋子內裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號袋子內裝有兩個1號球，一個3號球；3號袋子內裝有三個1號球，兩個2號球和一個3號球．現按照如下規則連續摸球兩次；第一次先從1號袋子中隨機摸出1個球，并將摸出的球放入與球編號相同的袋子中，第二次從剛放入球的袋子中再隨機摸出1個球．(1)若第二次摸到的是3號球，計算此3號球在第二次摸球過程中分別來自號袋子的概率；(2)設是樣本空間上的兩個離散型隨機變量，則稱是上的二維離散型隨機變量．設的一切可能取值為，記表示在中出現的概率，其中．若表示第一次摸出的是號球，表示第二次摸出的是號球．①求；②證明：．

【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（浙江專用）黃金卷05·參考答案（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CDCCDDAA二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABDABDABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．13四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）【詳解】（1），令得，…………………2分當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；…………………4分當時，取得最大值，且最大值為.……6分（2）設，，則，……7分在上單調遞增，……8分，即在上的最小值為4，……10分，，，……12分當時，.……13分16．（15分）【詳解】（1）當時，，即，……1分當時，①，②，……2分②得，即，……3分所以．……5分因為，……6分所以數列是首項為3，公比為3的等比數列．則，即．……7分（2）由（1）得，，……9分所以，，……11分故，……14分所以．……15分17．（15分）【詳解】（1）如圖，取棱的中點，連接．……1分因為是棱的中點，所以且．……2分又因為四邊形是矩形，是棱的中點，故且，……3分所以四邊形是平行四邊形，所以．……4分又平面平面，故平面．……5分（2）取棱的中點，則在正三角形中，，所以平面．……6分以為坐標原點，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系……7分設，則．……8分所以．……9分設平面的法向量為，則即可取．……11分設平面的法向量為，則即可取．……13分由題設知，故，……14分即．……15分18．（17分）【詳解】（1）由題意，設的標準方程為，則，，即，……2分所以，……4分所以的標準方程為；……5分（2）設Ax1,由聯立得，……7分由題意，即，……9分，，……10分顯然直線過定點，所以，……12分所以，即，……14分所以，解得或，均滿足，……16分所以或.……17分19．（17分）【詳解】（1）設第一次摸到球的事件為，第二次摸到的是3號球的事件為，第二次在第號袋子里摸到的是3號球的事件為，，，……2分于是，…………4分所以第二次摸到的是3號球，它來自1號袋子的概率；…………6分第二次摸到的是3號球，它來自2號袋子的概率；…………8分第二次摸到的是3號球，它來自3號袋子的概率.…………10分（2）①依題意，，即第一次摸出1號球，并放入1號袋子，第二次從該袋子摸出2號球的概率，所以.…………13分②由定義及全概率公式知，，所以.…………17分【贏在高考·黃金8卷】備戰2025年高考數學模擬卷（浙江專用）黃金卷05（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，若，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據，可求得，則得，從而可求解.【詳解】由題意可知，只需，解得，故C正確.故選：C.2．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先應用同角三角函數公式切化弦，再應用兩角和與差的正弦公式計算即可.【詳解】由，得，所以，又，所以，，所以．故選：D.3．已知平面向量滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，由投影向量的定義可得，再由向量的夾角公式，代入計算，即可求解.【詳解】因為在上的投影向量為，即，所以，又，，所以，且，則.故選：C4．已知點P在拋物線M：上，過點P作圓C：的切線，若切線長為，則點P到M的準線的距離為（

）A．5 B． C．6 D．【答案】C【分析】根據點P的位置以及切線長可解得點橫坐標為5，再由焦半徑公式可得結果.【詳解】設點，由圓的方程可知圓心，半徑；又切線長為，可得，即，解得，可得；再由拋物線定義可得點P到M的準線的距離為.故選：C5．已知隨機變量，且，則的最小值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據正態分布的對稱性求得，利用基本不等式求得正確答案.【詳解】根據正態分布的知識得，則，，當且僅當，即時取等.故選：D6．已知函數是定義在上的偶函數，且在區間單調遞減，若，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數的奇偶性、單調性、對數運算等知識列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，是偶函數，且在區間單調遞減，由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范圍是.故選：D7．已知圓錐的母線長為2，表面積為，O為底面圓心，為底面圓直徑，C為底面圓周上一點，，M為中點，則的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】先由圓錐的表面積公式求出底面半徑，在中由余弦定理解出，然后在中由勾股定理求出，最后由余弦定理和三角形的面積公式求出結果即可；【詳解】設，由題意可得，即，解得或（舍去），連接，因為M為中點，所以，過作于，連接，則，在中，，即，解得，又在中，，所以，所以，所以的面積為，故選：A.8．已知函數，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函數的奇偶性，由奇偶性得，接著利用導數工具二次求導研究函數在0,+∞上單調性，由單調性即可判斷的大小關系.【詳解】因為，所以函數定義域為，，所以函數為偶函數，故，當時，，所以，因為，所以，所以在0,+∞單調遞增，故即f'x所以在0,+∞單調遞增，又，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．歐拉公式（i為虛數單位，）是由數學家歐拉創立的，該公式建立了三角函數與指數函數的關聯，被譽為“數學中的天橋”.依據歐拉公式，下列選項正確的是（

）A．的虛部為 B．C． D．的共軛復數為【答案】ABD【分析】根據題意，由歐拉公式，利用復數的基本概念，結合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，其虛部為，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，由，則，所以C錯誤；對于D中，由，故的共軛復數為，所以D正確．故選：ABD．10．已知函數的部分圖象如圖所示，令，則（

）A．的一個對稱中心是B．的對稱軸方程為C．在上的值域為D．的單調遞減區間為【答案】ABD【分析】觀察圖象確定的最小值，周期求，結合對稱性可得函數過點由此可求，通過三角恒等變換求，驗證是否為的對稱中心判斷A，求的對稱軸判斷B，由條件求的范圍，結合余弦函數性質判斷C，結合余弦函數性質求函數的單調遞減區間判斷D.【詳解】由題圖可得函數的最小值為，，又，，，所以，結合對稱性可得函數的圖象過點，所以，解得，又，所以，所以，所以，所以.對于A，當，，所以是的一個對稱中心，故A正確；對于B，令，，可得，，故的對稱軸方程為，，故B正確；對于C，時，，所以，故在上的值域為，故C錯誤；對于D，令，解得，所以的單調遞減區間為，故D正確.故選：ABD.11．在2024年巴黎奧運會藝術體操項目集體全能決賽中，中國隊以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術體操隊在奧運會上獲得的第一枚金牌．藝術體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點分別逆時針旋轉后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區域），為與其中兩條曲線的交點，若，則（

）A．開口向上的拋物線的方程為B．ABC．直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D．陰影區域的面積大于4【答案】ABD【分析】對于A，利用旋轉前后拋物線焦點和對稱軸變化，即可確定拋物線方程；對于B，聯立拋物線方程，求出點的坐標，即得；對于C，將直點線與拋物線方程聯立求出的坐標，由兩點間距離公式求得弦長，利用換元和函數的圖象即可求得弦長最大值；對于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對陰影部分面積大小進行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點在原點，焦點為,將其逆時針旋轉后得到的拋物線開口向上，焦點為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據A項分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設直線與第一象限花瓣分別交于點,由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經過點時取最大值4，經過點時取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設，則，且，代入得，，（）由此函數的圖象知，當時，取得最大值為，即C錯誤；對于D，根據對稱性，每個象限的花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點，使過點的切線與直線平行，由可得切點坐標為,因,則點到直線的距離為，于是,由圖知，半個花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.【點睛】思路點睛：本題主要考查曲線與方程的聯系的應用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯立，計算判斷，并運用函數的圖象單調性情況，有時還需要以直代曲的思想進行估算、判斷求解.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．兩個線性相關變量與的統計數據如表：99.51010.5111110865其回歸直線方程是，則相對應于點的殘差為．【答案】0.2/1【分析】根據線性回歸方程一定經過樣本點中心，進而求解參數，再根據殘差的計算公式即可得出答案.【詳解】，所以樣本點中心為，代入回歸方程得:，解得，所以回歸方程為，當時，，所以殘差為:.故答案為：0.2.13．雙曲線的左焦點為，點P為雙曲線右支上的動點，且周長的最小值為14，則雙曲線的離心率為.【答案】32/【分析】利用雙曲線的定義將轉化為，然后利用三點共線時取最小值求解即可.【詳解】∵，，∵周長的最小值為14，∴的最小值為14，即的最小值為，設右焦點為，則，即，則，即三點共線時最小，此時，即最小值為，得，∵，∴離心率.故答案為：14．2024年新高考數學Ⅰ卷多選題的計分標準如下：①本題共3小題，每小題6分，共18分；②每小題的四個選項中有兩個或三個正確選項，全部選對的得6分，有選錯或不選的得0分；③部分選對的得部分分（若某小題正確選項為兩個，漏選一個正確選項得3分；若某小題正確選項為三個，漏選一個正確選項得4分，漏選兩個正確選項得2分）．考生甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個選項，第二小題選了兩個選項，第三小題選了一個選項，則他多選題的所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的第80百分位數為．【答案】13【分析】根據多選題的計分標準，結合甲在此卷多選題的作答情況、百分位數的定義進行求解即可.【詳解】甲在此卷多選題的作答中，第一小題選了三個選項，因此甲此題的得分可以是分，或分；第二小題選了兩個選項，因此甲此題的得分可以是分，或分，或分；第三小題選了一個選項，因此甲此題的得分可以是分，或，或，因此甲多選題的所有可能總得分為分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，分，共種情況，因為，所以甲多選題的所有可能總得分（相同總分只記錄一次）的第80百分位數為分，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數.(1)求的最大值；(2)當時，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導，即可根據函數的單調性求解最值，（2）利用導數求解的最小值，即可根據的最大值求解.【詳解】（1），令得，…………………2分當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；…………………4分當時，取得最大值，且最大值為.……6分（2）設，，則，……7分在上單調遞增，……8分，即在上的最小值為4，……10分，，，……12分當時，.……13分16．（15分）已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據的關系，作差可得為等比數列，即可由等比通項求解，（2）利用錯位相減法，結合等比數列求和公式即可求解.【詳解】（1）當時，，即，……1分當時，①，②，……2分②得，即，……3分所以．……5分因為，……6分所以數列是首項為3，公比為3的等比數列．則，即．……7分（2）由（1）得，，……9分所以，，……11分故，……14分所以．……15分17．（15分）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點．(1)證明：平面；(2)若，且二面角的大小為120°，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）取棱的中點，連結，，可證四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定即可證明；（2）建立空間直角坐標系，利用二面角的向量公式求出參數，即可求解【詳解】（1）如圖，取棱的中點，連接．……1分因為是棱的中點，所以且．……2分又因為四邊形是矩形，是棱的中點，故且，……3分所以四邊形是平行四邊形，所以．……4分又平面平面，故平面．……5分（2）取棱的中點，則在正三角形中，，所以平面．……6分以為坐標原點，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系……7分設，則．……8分所以．……9分設平面的法向量為，則即可取．……11分設平面的法向量為，則即可取．……13分由題設知，故，……14分即．……15分18．（17分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的兩個焦點分別是，，點M在上，且.(1)求的標準方程；(2)若直線與交于A，B兩點，且的面積為求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由已知可得，由橢圓的定義可得，根據橢圓中，，的關系可得，即可求解；（2）設Ax1,y1，Bx2,y2，聯立直線和橢圓構成的方程組，根據可得，由韋達定理可得，，再根據【詳解】（1）由題意，設