高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省”南太湖“聯盟2024-2025學年高二上學期第一次聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為直線的斜率為，所以直線的一個方向向量為，又因為與共線，所以一個方向向量可以是，故選：A.2.已知點，，，若A，B，C三點共線，則a，b的值分別是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】因為，，，所以，，因為A，B，C三點共線，所以存在實數，使，所以，所以，解得.故選：D3.過點作圓的兩條切線，切點分別,為坐標原點，則的外接圓方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，，，四邊形有一組對角都等于，四邊形的四個頂點在同一圓上，此圓的直徑是，的中點為，，四邊形的外接圓方程為，外接圓的方程為.故選：A4.中，，，，則頂點的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得頂點的軌跡是以為焦點的橢圓(扣除左右頂點)，設其方程為所求軌跡方程為：，故選B.5.已知拋物線的焦點為F，過點F作斜率為1的直線交拋物線C于P,Q兩點，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】拋物線C：y2=4x的焦點為F（1，0），過點F作斜率為1的直線l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP+xQ=6，xPxQ=1，|PF|=xP+1，|QF|=xQ+1，|PF||QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8，則故答案為：C6.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過的直線與C的左支交于A，B兩點，且，，則C的漸近線為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖．設，，則，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以漸近線方程為：.故選：A．7.已知點為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左右焦點，且，為的內心，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設的內切圓半徑為，因為，所以，可得，因為點為雙曲線右支上一點，所以，可得，解得，又因為，可得，整理得，即，解得或（舍去）.故選：D.8.如圖所示，四面體的體積為V，點M為棱的靠近B的三等分點，點F分別為線段的中點，點N為線段的中點，過點N的平面與棱，，分別交于O，P，Q，設四面體的體積為，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示，連接，可得，；令，則，所以，因為N，O，P，Q四點共面，可得，當且僅當時取等號，所以；設點到平面的距離為，則點到平面的距離為，又因為，，所以，即的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線，下列說法正確的是（）A.若，則直線的傾斜角為 B.若直線的在兩坐標軸的截距相等，則C.直線與直線垂直，則 D.若直線不過第二象限，則【答案】AC【解析】對于選項A，當時，直線l可化為，故直線的斜率為，所以傾斜角為，故選項A正確；對于選項B，由題意，令，得，令，得，若截距相等，則有，解得或，故選項B錯誤；對于選項C，由直線垂直的充要條件得，解得，故選項C正確；對于選項D，直線l可化為，因為不過第二象限，所以，解得，所以，故選項D錯誤.故選：AC.10.已知橢圓的左，右兩焦點分別是，，其中.直線與橢圓交于A，B兩點.則下列說法中正確的有（）A.當時，的周長為4aB.當時，若AB的中點為M，則C.若，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若AB的最小值為3c，則橢圓的離心率【答案】AC【解析】對于A，由橢圓定義得：的周長，A正確；對于B，由消去y并整理得：，則弦AB中點，而，則，即，B不正確；對于C，設，則，，而，于是得，由得，解得，C正確；對于D，由橢圓的性質知，橢圓的通徑是過焦點的橢圓的最短弦，當時，即，即，解得，因直線l不垂直于x軸，則弦AB不能取到，即，D不正確.故選：AC11.正方體的棱長為2，點M為側面內的一個動點（含邊界），點P、Q分別是線段、的中點，則下列結論正確的是（）A.存在點M，使得二面角大小為B.最大值為6C.直線與面所成角為時，則點M的軌跡長度為D.當時，則三棱錐的體積為定值.【答案】BCD【解析】在正方體中，可得平面，因為平面，平面，所以，所以二面角的平面角為，其中，A錯誤；如圖建系，設，，存在時，取最大值為6，B正確；

設面法向量為n=0,1,0，直線與面所成角為時，可得，所以，則點M的軌跡是以E0,0,1為球心，2點M為側面內的一個動點，則點M的軌跡在側面內是以E0,0,1為圓心，2為半徑的劣弧，如圖所示，分別交，于，，如圖所示，，則，則，劣弧的長為，C正確當時，，所以，所以，可得為，則三棱錐的體積為，所以當時，三棱錐的體積為定值，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，則_____.【答案】【解析】易知在中，，焦點為，故橢圓的焦點在軸上，故，解得.故答案為：13.設半徑為3的圓被直線截得的弦的中點為,且弦長，則圓的標準方程__________.【答案】或.【解析】由題意設所求的圓的方程為：.圓心到直線的距離為，圓被直線：截得的弦的中點為，，解得或，即所求的圓的方程為：或.故答案為：或.14.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點和，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個公共點，且（為坐標原點）.若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點和在x軸上，點P在y軸右側，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓.（1）若直線l經過點，且與圓C相切，求直線l的方程；（2）若圓與圓C相切，求實數m的值.解：（1）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，與圓C相切，符合題意.若直線l的斜率存在，設直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.（2）圓的方程可化為.若圓與圓C外切，則，解得.若圓與圓C內切，則，解得.綜上，或.16.如圖，四棱錐中，側面為等邊三角形且垂直于底面，，，E是PD的中點．（1）證明：平面；（2）當點為棱中點時，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取中點，連接，．為中點，且，，，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）取中點，連接，．正三角形，，面面，面面，面，又，，所以為正方形，所以．如圖以為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設面的一個法向量為，則，不妨取，設與平面所成角，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知曲線經過點．（1）若經過點，求的離心率；（2）若表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍．解：（1）因為點在上，所以，，因為經過點，所以，，代入得，所以的標準方程為，，，，所以的離心率．（2）的方程可化為，因為表示焦點在軸上的橢圓，所以，即，因為，所以，解得，所以的取值范圍是．18.已知曲線M是平面內到和的距離之和為4的點的軌跡．（1）求曲線M的方程；（2）過點作斜率不為0的直線l交曲線M于兩點，交直線于點P，過點P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C點，直線BQ交x軸于D點，求線段CD中點的坐標．解：（1）設,由題意，可得,由橢圓的定義可知點的軌跡是橢圓，故可設曲線M的方程為：，則，，故，，曲線M的方程為：；（2）方法一：直線l的斜率存在且不為0，設直線l方程為，聯立，整理得，則，設，則，，直線l交直線于點，則，則直線的方程為：，，令，解得，則，直線的方程為：，，令，解得，則，，所以線段CD中點的坐標為；方法二：直線l的斜率存在且不為0，設直線l方程為，聯立，整理得，，設，則，，直線l交直線于，則，則直線AQ的方程為：，，令，解得，則，同理可得，，所以線段CD中點的坐標為.19.已知兩個非零向量，在空間任取一點，作，，則叫做向量與的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個向量，它與向量,都垂直,它的模．如圖,在正四棱錐中，，且．（1）求正四棱錐的體積；（2）若為側棱上的點，且平面，求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點是側棱（包含端點）上的一個動點，當直線與平面所成角最大時，求的值．解：（1）設和相交于點，取的中點為，連接，因為，故的夾角即為的夾角，故，所以，所以，所以正四棱錐的體積．（2）以為原點，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，