高級中學名校試卷PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2025屆高三上學期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學試卷本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘.第I卷1至3頁，第Ⅱ卷4至8頁.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第I卷注意事項：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：錐體的體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高.一?選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以.故選：C2.已知曲線，則“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】曲線表示橢圓，則，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，即，，即，，所以.故選：D4.某中學組織高中學生參加數(shù)學知識競賽，現(xiàn)從中隨機抽取100名學生成績頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.85 B.86 C.87 D.88【答案】C【解析】由題意可得，解得，所以前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，設這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，則，解得.故選：C5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，一個周期為，則解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于A，，，此時函數(shù)是奇函數(shù)，又最小正周期，故A正確；對于B，因為，所以不是的周期，故B不正確；對于C，，，此時函數(shù)是偶函數(shù)，故C不正確；對于D，因為函數(shù)的最小正周期，所以不是的周期，故D不正確；故選：A.6.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】A：若，則、可能平行或相交，故A錯；B：若，則或，故B錯；C：若，則或，故C錯；D：若，則存在直線，使得，又，所以，所以.故D對.故選：D7.已知函數(shù)的定義域為是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】因為函數(shù)的定義域為是偶函數(shù)，所以，又因為是奇函數(shù)，所以，兩式聯(lián)立，解得，所以，故選：C8.已知雙曲線的虛軸長為為上一點，過點向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，雙曲線漸近線方程為，即，設點，則，即，則到兩漸近線方程的距離分別為，所以，解得，故雙曲線方程為.故選：A9.如圖，在體積為的三棱錐中，分別為棱上的點，且，記為平面的交點，記三棱錐的體積為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設，，連接，，易知平面平面，平面平面，顯然，，，在中，設，，，，由平面向量基本定理得：，解得，即，；在中，設，，，，由平面向量基本定理得：，解得，即，；則在中，，，則，設點到底面的距離分別為，則，，，則，故選：C.第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105分.二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分.10.是虛數(shù)單位，復數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】由，則.故答案為：11.在的展開式中，常數(shù)項為__________.【答案】【解析】的展開式通項公式為，令，得，故.故答案為：12.已知點在拋物線上，過點作圓的切線，若切線長為，則點到的準線的距離為__________.【答案】【解析】設，由切線定義可得，化簡得，即，則，拋物線焦點坐標為，，由拋物線定義可得點到的準線的距離等于，即點到的準線的距離為.故答案為：.13.甲袋中有2個白球4個黑球，乙袋中有4個白球2個黑球.若從兩個袋中分別隨機各取出一個球，則取出的是兩個白球的概率是__________；若先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球，則取出的是白球的概率是__________.【答案】①.②.【解析】設從甲袋取出白球為事件A，再從乙袋取出白球為事件B，若從兩個袋中分別隨機各取出一個球，則取出的是兩個白球為事件則，.；設“從甲袋中取出的一個球為白球”，“從甲袋中取出的一個球為黑球”，“從乙袋中取出的一個球為白球”，根據(jù)全概率公式則有.故答案為：；.14.在中，為的中點，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個動點，線段過點，則可用表示為_______；的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】由，則，由線段過點，則，且，又，，則，即，，則；，由，故.故答案為：；.15.若函數(shù)在上恰有3個零點，則符合條件的的個數(shù)為__________.【答案】5【解析】令，則或，由，當時，在上沒有零點，則在上應有3個零點，因為，所以，即，與聯(lián)立得，因為，所以m的值依次為9，10；當時，在上有1個零點，而在上有3個零點，不滿足題意；當時，在上有2個零點，故在上應有1個零點，因為，所以該零點與的零點不相同，所以，即，與聯(lián)立得，因為，所以的取值依次為2，3，4，綜上得符合條件的的個數(shù)是5．故答案是：5．三?解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）設.（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，則，由，得，又，所以.（2）（i）由（1）及余弦定理，得，整理得，而，解得，所以.（ii）由正弦定理，得，由，得，則，因此，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，，點在平面上的投影為線段的中點分別是線段的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點到平面的距離.（1）證明：點在平面上的投影為線段的中點平面，四邊形是直角梯形，，，且，如圖，以為原點，分別以方向為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標系，由題意可得，，所以，，設平面的一個法向量，則，則，令，故，，平面，平面.（2）解：由（1），，設平面的一個法向量，則，則，令，則，所以，設直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：設點到平面的距離為，由（1），則，所以點到平面的距離為.18.已知橢圓的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且.（1）求橢圓的方程；（2）設斜率不為0的直線過點，與橢圓交于兩點，點分別為直線與軸的交點，記的面積分別為，求的值.解：（1）由點在橢圓上，且，得，即，于是，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，設直線，由消去得，，直線的方程為，令，得點的縱坐標，同理得點的縱坐標，又，所以.19.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項和為成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設，求的最小值，并求取得最小值時的值；（3）設其中，求.解：（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，故數(shù)列的通項公式，.（2）由（1）得，當且僅當，即時，等號成立，，當時，；當時，，所以當時，A取得最小值.（3）當時，，當時，，可知數(shù)列是等差數(shù)列，.20.已知函數(shù)的導函數(shù)為，（為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當時，求函數(shù)在點處的切線的斜率；（2）若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）若滿足，證明：.（1）解：當時，，，所以函數(shù)在點處的切線的斜率為.（2）解：當時，，因為在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，令