高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市徐匯區(qū)2025屆高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)試題（考試時間120分鐘滿分150分）2024.12一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.不等式的解集為__________.【答案】【解析】不等式化為，解得，不等式的解集為.故答案為：.2.已知函數(shù)，其中，則__________.【答案】0【解析】由解析式知.故答案為：03.在的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則正整數(shù)的值為__________.【答案】5【解析】因為，且各項系數(shù)和為32，令，則，解得，所以正整數(shù)的值為5.故答案為：5.4.已知向量，若，則實數(shù)的值為__________.【答案】-2【解析】因為，所以，所以.故答案為：-25.設(shè).若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則__________.【答案】1【解析】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，可知，再由，所以，故答案為：1.6.已知為空間中兩條不同的直線，為兩個不同的平面，若，則是的__________條件.（填：“充分非必要”?“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個）【答案】充要【解析】充分性：因為，所以共面，又因為為兩個不同的平面，，所以，所以，故充分性成立；必要性：因為，所以，又因為，所以，故必要性成立，所以是充要條件.故答案為：充要.7.某景點對30天內(nèi)每天的游客人數(shù)（單位：萬人）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖（如圖所示），則該樣本的第75百分位數(shù)是__________.【答案】51【解析】因為，所以該樣本的第75百分位數(shù)是按照從小到大的順序排列的第個數(shù)，即為.故答案為：.8.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，因為，所以，則.故答案為：.9.設(shè)，若函數(shù)存在兩個不同的極值點，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】易知函數(shù)的定義域為，，因為函數(shù)y=fx所以在內(nèi)有兩個不等根，設(shè)，，則只需g(0)>0Δ>0-所以，則的取值范圍為.故答案為：10.已知橢圓的左?右焦點分別為，為橢圓上一點，且，若此橢圓的離心率為，則的大小為__________.【答案】【解析】如圖，設(shè)，則，因，故，由余弦定理，，即，將代入，整理得：，解得，則有，，由正弦定理：，即，解得，因，故.故答案為：.11.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個主會場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個圓臺的組合體，上面圓臺的上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下面圓臺的上?下底面直徑分別為和，且兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等.若上面圓臺的高為8cm，則該花盆上?下兩部分母線長的總和為__________.【答案】【解析】設(shè)上面圓臺的母線長為，上面半徑為下半圓半徑為高為，根據(jù)圓臺的母線長公式，帶入數(shù)值計算得到；設(shè)下面圓臺的母線長為，上面半徑為下半圓半徑為由于兩個圓臺側(cè)面展開圖的圓弧所對的圓心角相等，可以得到，帶入數(shù)值計算得到；所以該花盆上?下兩部分母線長的總和為.故答案為：12.已知定義域為函數(shù)的值域也是，所有這樣的函數(shù)形成全集.設(shè)非空集合且中的每一個函數(shù)都是中的兩個函數(shù)（可以相同）的復(fù)合函數(shù)，則集合的元素個數(shù)的最小值為__________.【答案】2【解析】因為定義域為的函數(shù)y=fx的值域也是，所以這樣的不同的函數(shù)有個，所以集合有6個不同的元素，又非空集合，且，又中的每一個函數(shù)都是中的兩個函數(shù)（可以相同）的復(fù)合函數(shù)，若中只有1個函數(shù)，則中有5個函數(shù)，又中函數(shù)與自身的復(fù)合函數(shù)只能表示一個函數(shù)，故不能得到中5個函數(shù)，不符合題意，若中只有2個函數(shù)，則中有4個函數(shù)，若中2個函數(shù)的復(fù)合函數(shù)有，如果這4個函數(shù)是中4個函數(shù)時，符合題意，此時只需驗證即可.6個不同函數(shù)為，，，，，若，此時，，，，，所以集合的元素個數(shù)的最小值為2.故答案為：2.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.下列拋物線中，焦點坐標(biāo)為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，焦點坐標(biāo)為，由題意得，所以，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：.14.一個不透明的盒子中裝有若干個紅球和5個黑球，這些球除顏色外均相同.每次將球充分?jǐn)噭蚝螅我饷?個球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在0.1左右，則據(jù)此估計盒子中紅球的個數(shù)約為（）A.40個 B.45個 C.50個 D.55個【答案】B【解析】設(shè)紅球個數(shù)為，由題意可得：，解得：.故選：B15.已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.若函數(shù)是偶函數(shù)且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為取值的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，則f-x=f所以可知導(dǎo)函數(shù)y=f由于函數(shù)y=fx與它的導(dǎo)函數(shù)y=f'所以，又因為y=f'x在所以y=f'x由于y=fx則y=f'x即y=fx在0,+故AC顯然錯誤，而D的變化率越來越小，所以只能選B，故選：B.16.已知數(shù)列的前項和為，設(shè)（為正整數(shù)）.若存在常數(shù)，使得任意兩兩不相等的正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列為“輪換均值數(shù)列”.現(xiàn)有下列兩個命題：①任意等差數(shù)列都是“輪換均值數(shù)列”.②存在公比不為1的等比數(shù)列是“輪換均值數(shù)列”.則下列說法正確的是（）A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，②是真命題C.①?②都是真命題D.①?②都是假命題【答案】A【解析】對于①，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，代入可得，即可得到，①正確；對于②，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，代入，可得要使其為常數(shù)，化簡后會發(fā)現(xiàn)很難對于任意的都滿足為常數(shù)（因為公比），故不存在公比不為1的等比數(shù)列是“輪換均值數(shù)列.②不正確.故選：A三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知，若定義在上的函數(shù)的最小正周期為，且對任意的，都有.（1）求實數(shù)的值；（2）設(shè)，當(dāng)時，，求的值.解：（1），由的最小正周期為，知，，∴.（2）由（1）可得：，，或，即或，，又，則不妨令，故.18.如圖，在四棱錐中，.為棱的中點，異面直線與所成角的大小為.（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為為棱的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形.所以，又平面不在平面上，由線面平行的判定定理知，平面.（2）解：方法一：因為，即，且異面直線與所成的角為，即，又平面平面，又，由三垂線定理可得，因此是二面角的平面角，，所以，不妨設(shè)，則，以為坐標(biāo)原點，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，（其中，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，可得，令，則，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.方法二：過作，交的延長線于，連接，由（1）知：，因為，所以，因為，即，又平面，所以平面，因為平面，所以，又是在平面上的射影，由三垂線定理知，，又，所以平面，再過作，交于，因為平面平面，所以，又，所以平面，所以即為直線與平面的所成角，因為平面，由三垂線定理，因此是二面角的平面角，，設(shè)，則，因為所以四邊形為正方形，所以，所以，所以，所以，即直線與平面所成角的正弦值為.19.某企業(yè)招聘員工，指定“英語聽說”?“信息技術(shù)”?“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；方案二：在三門課程中，隨機選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是.，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.（1）分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率和選方案二考試通過的概率；（2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.解：（1）記該應(yīng)聘者對三門指定課程考試及格的事件分別為，則.應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率應(yīng)聘者選方案二考試通過概率（2），因為，所以,即.故，即選方案一，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.20.已知過點的雙曲線的漸近線方程為.如圖所示，過雙曲線的右焦點作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于兩點.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點，求證：；（3）若以為直徑的圓被直線截得的劣弧為，則所對圓心角的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.（1）解：因為雙曲線的漸近線方程為，所以設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點，則，所以雙曲線的方程為，即.（2）證明：由(1)可知，的斜率存在且不為0，所以設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，由題意得，所以，且，所以，所以，即得證.（3）解：由(2)可知恒成立，，所以圓心到的距離，半徑，設(shè)所對圓心角為，則，因為為劣弧，所以，所以，所以，即所對圓心角的大小為定值.21.已知定義域為的函數(shù)y=fx，其導(dǎo)函數(shù)為y=f'x，若點在導(dǎo)函數(shù)y=f'x圖象上，且滿足，則稱為函數(shù)y=fx的一個“類數(shù)”，函數(shù)y=fx的所有“類數(shù)”構(gòu)成的集合稱為“（1）若，分別判斷和是否為函數(shù)y=fx的“類數(shù)”，并說明理由；（2）設(shè)y=f'x的圖象在R上連續(xù)不斷，集合.記函數(shù)y=fx的“類集”為集合，若，求證：；（3）已知，若函數(shù)y=fx的“類集”為R時的取值構(gòu)成集合，求當(dāng)時的最大值.（1）解：，是函數(shù)的“類數(shù)”；，不是函數(shù)的“類數(shù)”.（2）證明：因