《線性代數》課件第四章線性方程組線性方程組是線性代數的核心，它在經濟管理等領域有著廣泛的應用．20世紀40年代末，美國哈佛大學的列昂惕夫(W.Leontief)教授在對美國國民經濟系統的投入與產出進行分析時，將經濟系統分成了500個部門，就每個部門如何向其它部門分配產出列出一個線性方程，這樣就得到了含有500個未知量、500個線性方程的方程組．列昂惕夫提出了投入產出模型，為經濟學研究提供了強有力的手段，因此于1973年獲得了諾貝爾經濟學獎．前面章節已經介紹了通過消元法和克拉默法則求解線性方程組，為了表示其解的結構，本章主要介紹線性方程組的可解性、齊次線性方程組和非齊次線性方程組的解的結構．第四章線性方程組

§4.1線性方程組的可解性

§4.2齊次線性方程組解的結構

§4.3非齊次線性方程組解的結構個方程個未知量的線性方程組的一般形式為

(4.1)

§4.1

線性方程組的可解性令，，，則線性方程組(4.1)可寫成如下矩陣形式，(4.2)

令，則線性方程組(4.1)可寫成如下向量形式:

(4.3)線性方程組(4.1)有解的充分必要條件是向量可由向量組線性表示，即存在一組數，使得成立，從而向量組與向量組等價．由§3.3節定理1的推論知， =，即=．于是有定理2

非齊次線性方程組有唯一解的充分必要條件是，

非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條是．定理1

非齊次線性方程組有解的充分必要條件是．下面我們再討論線性方程組(4.1)有解時，滿足什么條件有唯一解？滿足什么條件有無窮多解？充分性．設有兩個表示式，兩式相減得．因為，所以向量組線性無關，于是有

，即．故表示式是唯一的，意味著非齊次線性方程組有唯一解．證必要性．由于非齊次線性方程組有唯一解，則存在唯一一組數，使得成立．設另有一組數，使得成立．兩式相加得

，所以有，從而向量組線性無關，即．例1

解方程組因為，，所以原方程組無解．.解對方程組的增廣矩陣作初等行變換，得例2

求取何值時，線性方程組有解，在有解時求其解．解對方程組的增廣矩陣作初等行變換，得

，當且時，，方程組有唯一解，且解為

．，當時，，，原方程組無解．當時，，原方程組有無窮多解．令，，故一般解為

（其中，為任意常數）．齊次線性方程組

(4.4)的矩陣形式為．(4.5)對于齊次線性方程組(4.4)，只有零解的充分必要條件是向量組線性無關，即；有非零解的充分必要條件是向量組線性相關，即．于是我們有下面的定理:定理3

齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是．．推論1

當時，齊次線性方程組只有零解的充分必要條件是；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是．推論2

當時，齊次線性方程組必有非零解．下面考慮列昂惕夫提出的一種更簡單的“交換模型”．例3

假設一個經濟系統由煤炭、電力和鋼鐵三個部門組成，各個部門的分配如表4-1所示．其中每一列中的數表示該部門產出分配的比例，由于所有產出必須分配，所以每一列的數字之和1．

用

分別表示煤炭、電力和鋼鐵三部門年度總產出的價格，求平衡價格使每個部門的收支平衡．采購部門部門的產出分配

煤炭電力鋼鐵煤炭0.00.40.6電力0.60.10.2鋼鐵0.40.50.24-1各部門分配表解部門所在的列表示它的產出去向，所在的行表示它從哪些部門獲得了投入。以表中第一行為例，煤炭部門接受了40%的電力產出和60%的鋼鐵產出，因此煤炭部門的總支出是．為使煤炭部門的總收入等于它的總支出，有．．聯立方程組得同理可得對方程組的系數矩陣作初等行變換，得

．令，故一般解為

（其中為任意常數）．因為，所以方程組有非零解．一、齊次線性方程組解的性質二、齊次線性方程組的基礎解系§4.2

齊次線性方程組解的結構對于齊次線性方程組

或，

它的每一個解都是一個向量，稱之為解向量．解向量具有如下的性質：一、齊次線性方程組解的性質性質1

若是的一個解，則為的解，其中為任意常數．證因為是的一個解，所以，而，即為的解，其中為任意常數．證因為是的兩個解，所以，而，即仍為的解．根據上述性質，容易推出：若是的p個解，則線性組合仍為的解，其中為任意常數．性質2

若是的兩個解，則為的解．二、齊次線性方程組的基礎解系設系數矩陣的秩為，不妨設經若干次初等行變換，把化為行最簡階梯形矩陣與原線性方程組同解，即有該矩陣所對應的線性方程組將自由未知量取任意常數，得其一般解寫成向量形式為若令則一般解表示為，其中線性無關．由取值的任意性可知，方程組的任意一個解都可由線性表示，因此稱為齊次線性方程組的通解．為此引入基礎解系的概念．二、齊次線性方程組的基礎解系定義1設是齊次線性方程組的一組解，若(1)線性無關；(2)齊次線性方程組的任一個解都可由線性表示，則稱為齊次線性方程組的一個基礎解系．由上述的推導過程可得：定理1

當齊次線性方程組有非零解時（），則其基礎解系存在并且基礎解系中所含向量的個數等于．例1

求齊次線性方程組的基礎解系和通解．解

利用矩陣的初等變換將系數矩陣化成行最簡形矩陣

，，與原方程組等價的方程組為

即（其中為自由未知量）．令分別取兩個二維向量，代入方程組得基礎解系

，所以通解為或表示為，（）．例2

證明：若，則．證記，則，即(，上式表明矩陣的個列向量都是齊次方程組的解．記方程組的解集為，其秩為．由知有，即．而由定理1有，故．．

解設所求的齊次線性方程組為，矩陣的行向量形如

，根據題意，有，，即

例3

求出一個齊次線性方程組，使它的基礎解系由下列向量組成：設這個方程組的系數矩陣為，對進行初等行變換，有這個方程組的同解方程組為其基礎解系為因此，可取矩陣的行向量為，，即，從而所求的齊次線性方程組，以為基礎解系．一、非齊次線性方程組解的性質二、非齊次線性方程組解的結構§4.3

非齊次線性方程組解的結構一、非齊次線性方程組解的性質設非齊次線性方程組

（或）則其解有下述性質：性質1若是非齊次線性方程組的解，則是對應的齊次線性方程組的解．證因為都是的解，所以，，而，即是對應齊次方程組的解．證因為是非齊次線性方程組的解，為對應齊次方程

的解，所以有，，而，即為非齊次線性方程組的解．．

性質2

若是非齊次線性方程組的解，為對應齊次方程

的解，則為非齊次線性方程組的解．二、非齊次線性方程組解的結構定理1

設是非齊次線性方程組的一個解（稱為特解），

是非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組(稱為非齊次方程組的導出組)的通解，則是非齊次線性方程組的通解．證

根據非齊次線性方程組解的性質，只需證明非齊次線性方程組的任一解一定能表示為與的某一解之和．為此取，由性質1知，是的一個解，故，由此定理知，若非齊次線性方程組有解，則只需求出它的一個解，并求出對應的齊次線性方程組的一個基礎解系，于是通解可表示為