專題01利用導函數研究函數的切線問題(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 3題型一：在型求切線方程 3題型二：過型求切線方程 4題型三：已知切線斜率求參數 7題型四：確定過一點可以做切線條數 8題型五：已知切線條數求參數 10題型六：距離問題轉化為相切問題 13題型七：公切線問題 16三、專項訓練 18一、必備秘籍1、切線的斜率：函數在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.2、曲線的切線問題（基礎題）（1）在型求切線方程已知：函數的解析式.計算：函數在或者處的切線方程.步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數中），切點.第二步：計算切線斜率.第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。根據直線的點斜式方程得到切線方程：.（2）過型求切線方程已知：函數的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.步驟：第一步：設切點第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第四步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.3、已知，過點，可作曲線的（）條切線問題第一步：設切點第二步：計算切線斜率；第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.第四步：將代入切線方程，得：，整理成關于得分方程；第五步：題意已知能作幾條切線，關于的方程就有幾個實數解；4、已知和存在（）條公切線問題第一步設的切點設的切點求公切線的斜率寫出并整理切線整理得：整理得：聯立已知條件消去得到關于的方程，再分類變量，根據題意公切線條數求交點個數；消去得到關于的方程再分類變量，根據題意公切線條數求交點個數；二、典型題型題型一：在型求切線方程1．（2024·全國·模擬預測）已知函數（是的導函數），則曲線在處的切線方程為．【答案】．【分析】由導數的幾何意義先求出切線的斜率，再求出切點坐標，有點斜式求出切線方程即可.【詳解】由題意設切點，因為，令，得，由導數幾何意義知：，又，所以，故曲線在處的切線方程為：，整理得：.故答案為：.2．（2024·陜西西安·模擬預測）曲線在處的切線的斜率為.【答案】【分析】根據條件，利用導數的幾何意義，即可求出結果.【詳解】因為，可得，故答案為：.3．（2024·全國·模擬預測）曲線在處的切線方程為．【答案】【分析】求出函數的導數，根據導數的幾何意義，即可求得答案.【詳解】由題意得，且，時，，所以曲線在處的切線方程為，即，故答案為：4．（2024·上海閔行·二模）函數在處的切線方程為.【答案】【分析】切線的斜率是在處的導數，切線過，由直線的點斜式方程可以求出切線方程.【詳解】，，所以，所以在處的切線方程為，即，故答案為：.題型二：過型求切線方程1．（23-24高三上·江蘇徐州·階段練習）過點作曲線的切線，則切線的條數為．【答案】2【分析】設切點為，再根據切線方程得到，化簡得，再構造新函數，利用導數求出其零點個數即可.【詳解】由已知可得，，定義域為，，所以點不在曲線上.當切線斜率不存在時，即直線方程為，此時相交，不合題意，舍去，設切點為，根據導數的幾何意義可知，曲線在點處切線的斜率.所以有，則，則，則有，化簡得，即，其中，令，，則，令，解得，當時，，此時單調遞減，當時，，此時單調遞增，故當，取得最小值，，又因為，且函數連續不間斷，則存在滿足，又因為,且函數連續不間斷，所以存在滿足，綜上，，共有兩個零點，即切線的條數為2.故答案為：2.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是將切線條數轉化為的零點個數，再利用導數和零點存在定理求出其零點個數即可.2．（2024·云南·模擬預測）曲線過坐標原點的切線方程為.【答案】【分析】利用導數的幾何意義可求出結果.【詳解】設切點為，則，，切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過原點，所以，即，解得，所以切線方程為.故答案為：3．（2024·浙江紹興·模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程：.【答案】或（寫出一條即可）【分析】設切點坐標，利用導數的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點坐標，即可得切線方程.【詳解】由可得，設過點作曲線的切線的切點為，則，則該切線方程為，將代入得，解得或，故切點坐標為或，故切線方程為或，故答案為：或4．（23-24高三下·山東德州·開學考試）過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標為.【答案】【分析】設切點坐標，利用導數求出過切點的切線方程，代入已知點求出，即可求出直線與軸的交點坐標.【詳解】設切點坐標為，由，得，則過切點的切線方程為，把點代入切線方程得，，即，因為，而在上單調遞增，在上單調遞減，所以只有一個解，所以，所以切線方程的斜率為，所以切線方程為，令，解得.故過點與曲線相切的直線與軸的交點坐標為.故答案為：.題型三：已知切線斜率求參數1．（2024·全國·模擬預測）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【詳解】根據直線與函數相切，可得以及，即可換元構造函數，利用導數求解函數的最值求解.【分析】設切點坐標為．由已知，得，則，解得．又切點在切線與曲線上，所以，所以．令，則．令，解得．當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減．所以，即，所以，則的最小值為－1．故選：C．2．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習）直線與曲線相切，則實數（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據導數的幾何意義得出切線斜率，再由切點在直線與曲線上列方程即可得解.【詳解】設切點為，則，且，解得，，故選：D3．（2024·湖南婁底·一模）若直線是指數函數且圖象的一條切線，則底數（

）A．2或 B． C． D．或【答案】D【分析】設切點坐標為，根據導數的幾何意義，列式運算求得的值.【詳解】設切點坐標為，對函數，求導得，切線方程化成斜截式為，由題設知，顯然，即，由，得，即，即，即，化簡得，令，即，利用指數函數與一次函數的性質，可知或，即或，解得或.故選：D.4．（23-24高二下·重慶·階段練習）若直線是曲線的一條切線，則實數．（…為自然對數的底數．）【答案】【分析】根據切線的斜率為1，利用導數列方程，求得切點的坐標，代入切線方程，求得的值.【詳解】設切點為，又，切線的斜率，解得，所以切點為，代入切線方程，得.故答案為：.題型四：確定過一點可以做切線條數1．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【分析】利用導數求出斜率，結合斜率公式列方程求出切點坐標即可得解.【詳解】設切點為，由可得，則過坐標原點的切線的斜率，故，即，解得，故過坐標原點的切線共有1條．故選：A．2．（2023·全國·模擬預測）已知函數，過點可作曲線的切線條數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出的導函數，設切點坐標為，寫出切線方程，把代入，得到關于的方程，根據方程解的個數即可得出切線的條數．【詳解】解法一

由，得．設切點坐標為，則切線方程為，把代入可得，即，因為，所以該方程有2個不同的實數解，故切線有2條．解法二

由，得，令，得．當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，故的極小值為，且，則點在曲線的下方，數形結合可知，過點可作曲線的2條切線．故選：B3（多選）（23-24高三上·湖北·期末）設，點是直線上的任意一點，過點作函數圖象的切線，可能作（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】BC【分析】設為直線上任意一點，切點為求出切線方程，將代入切線方程，轉化為根的個數求解即可.【詳解】設為直線上任意一點，過點作的切線，切點為，則函數圖象在點B處的切線方程為，即，

整理得，，解得1或當時，，方程僅有一個實根，切線僅可以作1條；當時，，方程有兩個不同實根，切線可以作2條.故選：.題型五：已知切線條數求參數1．（23-24高二下·福建福州·期中）若曲線有且僅有一條過坐標原點的切線，則正數a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設切點，利用導數的幾何意義求得切線方程，將原點坐標代入，整理得，結合計算即可求解.【詳解】設，則，設切點為，則，所以切線方程為，又該切線過原點，所以，整理得①，因為曲線只有一條過原點的切線，所以方程①只有一個解，故，解得.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查導數的幾何意義，切點未知，設切點坐標，由導數的幾何意義求出切線方程，確定方程的解與根的判別式之間的關系是解決本題的關鍵.2．（23-24高三上·內蒙古錫林郭勒盟·期末）若過點可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出切點，表示出切線方程，將點代入，則關于切點橫坐標的方程有三個實根，通過分離參數，將問題轉化為兩個函數圖象有三個不同交點的問題求解即可．【詳解】由，得，設切點為,，過切點的切線方程為，代入點坐標化簡為，即這個方程有三個不等式實根，令，求導得到，由，得，由，得，或，故函數上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故得,結合，，當時，，時，，得，故選：D．

3．（23-24高二下·遼寧·階段練習）過點可作曲線的三條不同的切線，實數的取值范圍為.【答案】或或.【分析】求導，根據點斜式求解切線方程，將代入切線方程得即可將問題轉化為有兩個不相等的實數根，且利用判別式即可求.【詳解】由.設切點為則曲線在點的切線方程為.又因為切線過點代入切線方程得即所以即方程有兩個不相等的實數根，且所以解得或或故答案為：或或.4．（23-24高二下·陜西咸陽·階段練習）若曲線有且僅有兩條過點的切線，則實數a的值為.【答案】/【分析】構造新函數，利用導數求得其單調性和極值，進而求得實數的取值.【詳解】設點為曲線上一點，則又，則，則曲線在點處的切線方程為，又切線過點，則，即令，則，則時，單調遞減；時，單調遞增；時，單調遞減，則時取得極小值，時取得極大值，又，當時，恒成立，時，，又由題意得方程有2個根，則與圖像有2個交點，則.

故答案為：.題型六：距離問題轉化為相切問題1．（23-24高二下·山東棗莊·階段練習）點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】問題轉化為過點的切線與直線平行時，點P到直線的距離最小，利用導數的幾何意義求得點的坐標，再用點到直線的距離公式即可求得答案.【詳解】因為點是曲線上任意一點，所以當點處的切線和直線平行時，點到直線的距離最?。驗橹本€的斜率等于1，曲線的導數，令，可得或(舍去)，所以在曲線上與直線平行的切線經過的切點坐標為，所以點P到直線的最小距離為.故選：D.2．（23-24高二下·四川成都·階段練習）函數圖象上的點到直線的距離的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】設與直線平行且與函數圖象相切的直線方程為：，利用導數的幾何意義求得切點，再求出切點到直線的距離，即得答案.【詳解】解：設與直線平行且與函數圖象相切的直線方程為：，設切點為，又因為，所以，解得，所以切點，又因為點到直線的距離為，所以函數圖象上的點到直線的距離的最小值是.故選：B.3．（23-24高二下·四川達州·階段練習）若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式可得結論．【詳解】設，函數的定義域為，求導得，當曲線在點處的切線平行于直線時，，則，而，解得，于是，平行于的直線與曲線相切的切點坐標為，所以點到直線的最小距離即點到直線的距離．故選：D4．（2024·山東·一模）已知A，B分別為直線和曲線上的點，則的最小值為．【答案】/【分析】由題意的最小值為到直線上距離的最小值，再設，則當處的切線與平行時取得最小值.【詳解】由題意的最小值為曲線上點到直線距離的最小值，設，則為增函數，令則，故當時，單調遞減；當時，單調遞增.故，即在曲線下方.則當處的切線與平行時取得最小值.設，對求導有，由可得.故當時取最小值.故答案為：題型七：公切線問題1．（23-24高二下·吉林長春·階段練習）已知直線是曲線與曲線的公切線，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】設是圖象上的切點，利用導數的幾何意義求出曲線上的切點，繼而求出t的值，結合切線方程，即可求得答案.【詳解】由題意知直線是曲線與曲線的公切線，設是圖象上的切點，，所以在點處的切線方程為，即①令，解得，即直線與曲線的切點為，所以，即，解得或，當時，①為，不符合題意，舍去，所以，此時①可化為，所以，故選：A2．（23-24高二下·河南·階段練習）過原點的直線與曲線都相切，則實數（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出切點，利用導數的幾何意義結合兩點式斜率公式列式，即可求解.【詳解】由得，由得，設過原點的直線分別與曲線相切于點，則由導數的幾何意義得，且，故，所以直線的斜率為，所以，所以，所以，即，代入得.故選：D3．（2024·遼寧·二模）已知函數的圖象與函數且的圖象在公共點處有相同的切線，則，切線方程為.【答案】【分析】設公共點為，即可得到，再由導數的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設公共點為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點處有相同的切線，所以，即，所以，則，，則，則，所以切線方程為，即.故答案為：；4．（23-24高二下·四川廣安·階段練習）已知直線既是曲線的切線，也是曲線的切線，則.【答案】/【分析】利用導數的幾何意義計算即可.【詳解】設曲線與的切點分別為，易知兩曲線的導函數分別為，，所以，則.故答案為：.三、專項訓練1．（2024·內蒙古呼倫貝爾·二模）已知曲線在處的切線與直線垂直，則（

）A．3 B． C．7 D．【答案】C【分析】利用導數求出切線斜率，再結合垂直關系列式計算即得.【詳解】由，求導得，當時，，由曲線在處的切線與直線垂直，得，所以.故選：C2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期中）若曲線在點處的切線與直線垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用導數幾何意義及導數公式求得切線的斜率，結合兩直線垂直進而求得a的值.【詳解】由題設，知曲線在點處的切線的斜率為，由，則，所以.故選：A3．（23-24高二下·黑龍江大興安嶺地·階段練習）曲線，在點處的切線斜率為（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根據導數的運算求解導函數，再根據導數的幾何意義求切線斜率即可.【詳解】因為，所以，則曲線在點處的切線斜率為.故選：A.4．（2024·河北邯鄲·二模）設函數的圖像與軸相交于點，則該曲線在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令可計算出切點坐標，結合導數的幾何意義可得切線斜率，即可得解.【詳解】令，即，即，解得，故，，則，則其切線方程為：，即.故選：C.5．（23-24高二下·浙江·期中）函數在點處的切線方程（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據導數的幾何意義求解即可.【詳解】因為,所以，所以，所以在點處的切線方程為，即，故選：B.6．（23-24高二下·安徽六安·階段練習）已知直線與曲線相切于點，則（

）A．-3 B．-1 C．5 D．6【答案】B【分析】由題意知在曲線上，可求出a，利用導數的幾何意義即可求得切線斜率，結合切點坐標，即可求得答案.【詳解】由題意知在曲線上，故，即，則，則，則切線方程為，將代入，得，故選：B7．（2024·江蘇泰州·模擬預測）曲線上的點到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設切點，根據導數的幾何意義計算即可求解.【詳解】令，則，設該曲線在點處的切線為，需求曲線到直線的距離最小，必有該切線的斜率為2，所以，解得，則切點為，故切線的方程為，即，所以直線到直線的距離為，即該曲線上的點到直線的最小距離為.故選：C8．（2024高三·全國·專題練習）曲線在點處的切線方程為（

）A．y＝x＋3 B．y＝4x－3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－3【答案】B【分析】對在某點處的切線方程該點為切點，根據導數幾何意義該點處的導數為切線的斜率，求出切線斜率，再利用點斜式即可得出所求切線方程.【詳解】由，得，所以曲線在點處的切線斜率為，所以所求切線方程為，即.故選：B.9．（2024·河南信陽·模擬預測）若直線與曲線相切，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導數的幾何意義計算可得，借助導數得到函數的值域即可得解.【詳解】對于，有，令切點為，則切線方程為，即，即有，令，則，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故，又當趨向于正無窮大時，趨向于負無窮，故，即.故選：A.10．（多選）（23-24高二下·安徽六安·階段練習）若點是曲線上任意一點，點是直線上任意一點，下列選項中，的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】借助導數的幾何意義計算出與相切且平行于的直線方程，結合兩直線間的距離公式即可得曲線上任意一點與直線上任意一點的距離的最小值，即可得解.【詳解】令，則，因為的斜率為，令，，即，解得或（舍），因為，則過點且與直線平行的切線為，即，該直線與直線的距離為，所以曲線上任意一點到直線上任一點的距離最小