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文檔簡介
專題17圖形的性質壓軸題(綜合)
1.綜合與實踐
“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動,得出結論:對角互補的四邊形四個頂
點共圓.該小組繼續利用上述結論進行探究.
提出問題:
如圖1,在線段/C同側有兩點3,D,連接AB,BC,CD,如果那么
A,B,C,。四點在同一個圓上.
探究展示:
如圖2,作經過點C,。的O。,在劣弧NC上取一點£(不與aC重合),連接
AE,CE,則/4&。+/。=180°(依據1)
?;/B=ND
:.ZAEC+ZB=180°
...點B,C,£四點在同一個圓上(對角互補的四邊形四個頂點共圓)
:,點、B,。在點/,C,E所確定的。。上(依據2)
...點B,C,。四點在同一個圓上
反思歸納:
(1)上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么?
依據1:圓內接四邊形對角互補:依據2:過不在同一直線上的三個點有且只有一
個圓.
(2)如圖3,在四邊形4BCD中,N1=N2,N3=45°,則/4的度數為45°.
拓展探究:
(3)如圖4,已知△/BC是等腰三角形,/8=NC,點。在8C上(不與8c的中點重
合),連接AD.作點C關于AD的對稱點£,連接協并延長交工。的延長線于尸,連接
AE,DE.
①求證:A,D,B,£四點共圓;
②若AB=2虛,?/斤的值是否會發生變化,若不變化,求出其值;若變化,請說明
理由.
試題分析:(1)根據圓內接四邊形的性質、過三點的圓解答即可;
(2)根據四點共圓、圓周角定理解答;
(3)①根據軸對稱的性質得到NE=NC,DE=DC,NAEC=NACE,ZDEC=ZDCE,
進而得到證明結論;
②連接CF,證明△/BDS/I/ES,根據相似三角形的性質列出比例式,計算即可.
答案詳解:(1)解:依據1:圓內接四邊形對角互補;依據2:過不在同一直線上的三
個點有且只有一個圓,
所以答案是:圓內接四邊形對角互補;過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓;
(2)解:VZ1=Z2,
...點B,C,。四點在同一個圓上,
AZ3=Z4,
VZ3=45°,
.*.Z4=45°,
所以答案是:45°;
(3)①證明:':AB=AC,
:.ZABC=ZACB,
,/點E與點C關于的對稱,
C.AE^AC,DE=DC,
NAEC=NACE,NDEC=ZDCE,
:.ZAED=Z.ACB,
NAED=ZABC,
:.A,D,B,E四點共圓;
②解:ND?/斤的值不會發生變化,
理由如下:如圖4,連接CF,
:點E與點C關于AD的對稱,
:.FE=FC,
:.ZFEC=NFCE,
:.ZFED=ZFCD,
,:A,D,B,£四點共圓,
NFED=NBAF,
:.ZBAF=ZFCD,
.'.A,B,F,C四點共圓,
ZAFB=ZACB=ZABC,
':NBAD=NFAB,
:./\ABD^^\AFB,
.ADAB
^~AB=~AF'
:.AD?AF=AB2=8.
圖4
2.已知△/BC會△DEC,AB=AC,AB>BC.
(1)如圖1,CB平分/ACD,求證:四邊形/8DC是菱形;
(2)如圖2,將(1)中的繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于/R4C),BC,DE的
延長線相交于點R用等式表示N/CE與/EFC之間的數量關系,并證明;
(3)如圖3,將(1)中的繞點C順時針旋轉(旋轉角小于N/2C),若NBAD=/
BCD,求/4D8的度數.
試題分柝4)根據全等三角形的性質得到AC=DC,根據角平分線的定義得到Z
ACB,證明四邊形/BCD為平行四邊形,根據菱形的判定定理證明結論;
(2)根據全等三角形的性質得到N/8C=/DEC,根據三角形內角和定理證明即可;
(3)在上取點/,使連接BAf,證明△/MB之△C2D,得到8M=3。,
根據三角形的外角性質、三角形內角和定理計算,得到答案.
答案詳解:(1)證明::AABC沿4DEC,
J.AC^DC,
':AB^AC,
:.ZABC=ZACB,AB=DC,
:。8平分乙4。。,
/DCB=/ACB,
:.NABC=ZDCB,
:.AB//CD,
四邊形ABDC為平行四邊形,
,:AB=AC,
平行四邊形/30C為菱形;
(2)解:ZACE+ZEFC^ISO°,
理由如下:?:LABC/ADEC,
:.NABC=ZDEC,
:.ZACB=ZDEC,
NNCB+N/CF=ZDEC+ZCEF=180°,
:?/CEF=ZACFf
?;/CEF+/ECF+/EFC=180°,
AZACF+ZECF+ZEFC=180°,
AZACE+ZEFC=180°;
(3)解:如圖3,在4D上取點M,使4M=BC,連接員W,
在A4MB和△CAD中,
AM=BC
乙BAM=(DCB,
AB=CD
:.AAMB二ACBD(SAS),
:.BM=BD,ZABM=ZCDB,
:.ZBMD=/BDM,
■:ZBMD=/BAD+/MBA,
:.ZADB=ZBCD+ZBDC,
設/BCD=NBAD=a,ZBDC=^,則N/08=a+B,
?:CA=CD,
:.ZCAD=ZCDA=a+2^,
:.ZBAC=ZCAD-ZBAD=2^,
1
:.ZACB=-x(180°-邛)=90°-P,
/.ZACD=90°-p+a,
CD+ZCAD+ZCDA=180°,
A90°-B+a+a+20+a+2B=18O°,
Aa+P=30°,即N4QB=30°.
3.閱讀材料:小明喜歡探究數學問題,一天楊老師給他這樣一個幾何問題:
如圖1,ZX/BC和△8?!甓际堑冗吶切?,點4在DE上.
求證:以ZE、AD、/C為邊的三角形是鈍角三角形.
【探究發現】(1)小明通過探究發現:連接。C,根據已知條件,可以證明。C=/E,Z
ADC=12Q°,從而得出△4DC為鈍角三角形,故以/£、AD、NC為邊的三角形是鈍角
三角形.
請你根據小明的思路,寫出完整的證明過程.
【拓展遷移】(2)如圖2,四邊形N5CD和四邊形2G村都是正方形,點/在EG上.
①試猜想:以/£、AG.NC為邊的三角形的形狀,并說明理由.
②若/£2+/G2=10,試求出正方形/BCD的面積.
試題分析:(1)連接DC,證LCBD烏AABE(SAS),得CD=AE,NBDC=/E=60°,
則//。。=/2?!?/3。。=120°,即可得出結論;
(2)①連接CG,證(S/S),得CG=NE,/CGB=NAEB=45°,再
證//GC=90°,得a/CG是直角三角形,即可得出結論;
②由勾股定理得CG2+/G2=/C2,貝1J/E2+/G2=/C2=IO,再由正方形的性質和勾股定
理得/82=5,即可得出結論.
答案詳解:(1)證明:如圖1,連接DC,
/\ABC和△ADE都是等邊三角形,
:.AB=BC,BE=BD,/ABC=NDBE=NE=NBDE=60°,
ZABC-ZABD=NDBE-/ABD,
即/C8O=NN3£,
:ACBD沿AABE(S4S),
:.CD=AE,NBDC=NE=60°,
ZADC=ZBDE+ZBDC=120o,
...△4DC為鈍角三角形,
.?.以4E、AD、4C為邊的三角形是鈍角三角形.
(2)解:①以/£、AG.NC為邊的三角形是直角三角形,理由如下:
如圖2,連接CG,
四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形,
:.AB=CB,BE=BG,NABC=/BCD=NEBG=/BGF=90°,/EGB=/GEB
45°,
/ABC-ZABG=ZEBG-ZABG,
即/C8G=//3£,
:.ACBG%4ABE(S4S),
:.CG=AE,ZCGB=ZAEB=45°,
AZAGC=ZEGB+ZCGB=45°+45°=90°,
...△ZCG是直角三角形,
即以4E、AG,NC為邊的三角形是直角三角形;
②由①可知,CG=AE,ZAGC=90°,
C.C^+ACfi^AC1,
:.AE2+AG2=AC2,
,:AE2+AG2=IO,
:.AC2=IO,
:四邊形/BCD是正方形,
;.4B=BC,ZABC^90°,
:.AB2+BC2=AC2=10,
'.AB1=5,
''S正方形ABCD="2=5.
B
圖2
E
A
圖1
4.在△/8C中,/BAC=90°,4B=AC,直線/經過點力,過點5、C分別作/的垂線,
垂足分別為點。、E.
(1)特例體驗:如圖①,若直線/〃8C,AB=AC=?分別求出線段瓦入CE和DE
的長;
(2)規律探究:
(I)如圖②,若直線/從圖①狀態開始繞點/旋轉a(0<a<45°),請探究線段
BD、CE和DE的數量關系并說明理由;
(II)如圖③,若直線/從圖①狀態開始繞點N順時針旋轉a(45°<a<90°),與線
段8c相交于點X,請再探線段AD、CE和的數量關系并說明理由;
(3)嘗試應用:在圖③中,延長線段3。交線段NC于點R若C£=3,DE=\,求“
BFC-
圖②
圖①圖③
試題分析:(1)易證和△/方是等腰直角三角形,再根據等腰直角三角形的三邊
關系可得出AD,DE和CE的長即可.
(2)(I)易證由N/S即可得出△48。注進而解答即可;
(II)易證N48D=/C4£,由44s即可得出進而解答即可;
(3)根據題意可證明由此可得出8尸的長,根據SABFC=SUBC-
ABF,可得出結論.
答案詳解:解:(1)在△NBC中,NBAC=90°,AB=AC,
;?/ABC=/ACB=45°,
u:l//BC,
;./DAB=/ABC=45°,NCAE=NACB=45°,
:?NDAB=/ABD=45°,ZEAC=ZACE=45°,
:.AD=BD,AE=CE,
,:AB=AC=?
:?AD=BD=AE=CE=1,
:.DE=2;
(2)(I)DE=BD+CE,理由如下:
在中,ZABD+ZBAD=90°,
VZBAC=90°,
ZBAD+ZCAE=90°,
???NABD=/CAE,
在△45。和△C4E中,
'NABD=ZCAE
"DA="EC=90。,
AB=AC
???△ABDmACAE(AAS);
;?CE=AD,BD=AE,
:.DE=AE+AD=BD+CE.
(II)DE=BD-CE.理由如下:
在Rt44Z)5中,ZABD+ZBAD=90°,
?:NBAC=90°,
AZBAD+ZCAE=90°,
???NABD=/CAE,
在△45。和△C4E中,
'NABD=ZCAE
^LBDA=^LAEC=90°,
AB=AC
:.AABD^ACAE(AAS);
:?CE=AD,BD=AE,
:.DE=AE-AD=BD-CE.
(3)由(2)可知,NABD=/CAE,DE=AE-AD=BD-CE
?:NBAC=/ADB=90°,
I.△ABDsMBA,
:.AB:FB=BD:AB,
???CE=3,DE=\,
??AE—BD=^,
:.AB=5.
25
:.BF=—.
4
1cl2525
SABFC=S“BC-S^ABF=7><5---X3x—=—.
乙乙4-o
5.問題提出
(1)如圖1,4D是等邊△45C的中線,點尸在4D的延長線上,且NP=/C,則N/PC
的度數為75。.
問題探究
(2)如圖2,在△48C中,CA=CB=6,ZC=120°.過點N作/尸〃8C,S.AP=BC,
過點尸作直線/LBC,分別交48、BC于點0、E,求四邊形OEC4的面積.
問題解決
(3)如圖3,現有一塊△4BC型板材,/NC8為鈍角,NBAC=45;工人師傅想用這
塊板材裁出一個△/8P型部件,并要求NA4尸=15°,AP=AC.工人師傅在這塊板材上
的作法如下:
①以點C為圓心,以C4長為半徑畫弧,交48于點。,連接CD;
②作CD的垂直平分線I,與CD交于點E;
③以點/為圓心,以/C長為半徑畫弧,交直線/于點P,連接4P、BP,得△48P.
請問,若按上述作法,裁得的尸型部件是否符合要求?請證明你的結論.
三線合一得到NP4C=30°,根據三角形內角和定理、等腰三角形的性質計算,得到答
案;
(2)連接尸8,證明四邊形尸5c4為菱形,求出尸8,解直角三角形求出8£、PE、OE,
根據三角形的面積公式計算即可;
(3)過點A作CD的平行線,過點D作AC的平行線,兩條平行線交于點F,根據線段
垂直平分線的性質得到己4=小,根據等邊三角形的性質得到/24尸=60°,進而求出/
加尸=15°,根據要求判斷即可.
答案詳解:解:(1)為等邊三角形,
:.AB=AC,ZBAC=60°,
;AD是等邊△48C的中線,
1
AZPAC=~ZBAC^30°,
':AP=AC,
1
:.ZAPC=~x(180°-30°)=75°,
所以答案是:75°;
(2)如圖2,連接尸2,
':AP//BC,AP=BC,
.?.四邊形尸2。為平行四邊形,
\"CA=CB,
.??平行四邊形P8C4為菱形,
:.PB=AC=6,ZP5C=180°-ZC=60°,
BE=PB?cosZPBC=3,PE=PB*smZPBC=3^3,
;CA=CB,ZC=120°,
AZABC=30°,
OE=BE*tanZABC=
..?S四邊形OEC4=SA^BC-S&OBE
11
=-x6X3V3--X3xV3
-15V3.
2,
(3)符合要求,
理由如下:如圖3,過點工作CD的平行線,過點。作4C的平行線,兩條平行線交于點
F,
":CA=CD,ZDAC=45°,
AZACD=90°,
四邊形EDC/為正方形,
:,PE是CD的垂直平分線,
PE是//的垂直平分線,
:.PF=PA,
':AP=AC,
:.PF=PA=AF,
.?.△P/尸為等邊三角形,
AZPAF=60°,
AZBAP=60°-45°=15
裁得的4/2尸型部件符合要求.
6.如圖,已知半徑為5的經過x軸上一點C,與y軸交于,、8兩點,連接NM、AC,
/C平分NON",AO+CO^6.
(1)判斷OM與x軸的位置關系,并說明理由;
(2)求N2的長;
(3)連接并延長交?!庇邳c。,連接8,求直線CD的解析式.
y
l/M/
BlC7
試題分析:(1)連接(W,由/C平分/04W可得NCMC=/C4M,又MC=AM,所以
ZCAM=ZACM,進而可得NO/C=N/CM,所以O/〃MC,可得兒fC_Lx軸,進而可
得結論;
(2)過點M作兒軸于點M則NN=3M且四邊形MNOC是矩形,設可
分別表達"N和ON,進而根據勾股定理可建立等式,得出結論;
(3)連接4。,可得/CMC,根據勾股定理可求出ND的長,進而可得出點。的坐標,
利用待定系數法可得出結論.
答案詳解:解:(1)猜測與x軸相切,理由如下:
如圖,連接(W,
平分NO/M,
;.NOAC=NCAM,
又,:MC=AM,
:./CAM=AACM,
:.ZOAC=ZACM,
J.OA//MC,
:O/_Lx軸,
.?.MC_L無軸,
:CM是半徑,
二0〃■與x軸相切.
(2)如圖,過點M作兒軸于點N,
1
:.AN=BN=~AB,
VZMCO=ZAOC=ZMNA=9Q°,
二四邊形跖voc是矩形,
:.NM=OC,MC=0N=5,
設AO=m,貝ljOC=6-m,
:.AN=5-m,
在■中,由勾股定理可知,AM1=AN-+MN-,
52=(5-m)2+(6-m)2,
解得加=2或加=9(舍去),
:.AN=3,
.,.AB—6.
(3)如圖,連接40與CW交于點E,
:2D是直徑,
AZBAD=90°,
軸,
C.ADLMC,
由勾股定理可得/。=8,
:.D(8,-2).
由(2)可得C(4,0),
設直線CD的解析式為:y=kx+b,
二{霜曰2,解得{::/
1
直線C。的解析式為:y=—夢+2.
7.如圖,在菱形4BCD中,48=5,3。為對角線.點E是邊48延長線上的任意一點,連
結DE交BC于點、F,BG平分NCBE交DE于點、G.
(1)求證:402G=90°.
(2)若BD=6,DG=2GE.
①求菱形N8CD的面積.
②求tanZBDE的值.
(3)若BE=AB,當/。N8的大小發生變化時(0°),在/£上找一點
T,使GT為定值,說明理由并求出E7的值.
試題分析:(1)由菱形的性質得C8=/2,CD=AD,可證明△AB。咨△C2D,得/CBD
111
=-ZABC,而NCBG=/EBC,所以/O2G=萬(//2C+/E8C)=90°;
1
(2)①連結4C交于點K,交。E于點£,由N4K5=90°,AB=5,DK=BK=《BD
1
=3,根據勾股定理可求得4K=4,則ZC=8,即可由S菱形ABCD=54C?BD求出菱形45cZ)
的面積;
DLDK1
②先由NQAZ=NZ)BG=90°證明4C〃BG,則7T=^77=1,所以?!?G£=/G,
GLDKZ
1CLDL1
再由。G=2GE得GE=T;Z)G,則"=G£=GE,即可由CD〃/8,得77==不可
2ALEL277r
1884
求得C£=pC=子所以值=4一百=不再求出tanNBDE的值即可;
(3)過點G作GT〃5C,交AE于點、T,由N。也=NZ)5G=90°可知,當ND4B的大
EGBE
小發生變化時,始終都有5G〃4C,由△5G£SZ^£E得7K=弁=1,所以EG=£G,
4L(JAD
GTETEG15
同理可得"=£G,再證明AE7Gs得==£^=£"=5,即可求得GT=1
DAEAED33
說明GT為定值,再求出ET的值即可.
答案詳解:(1)證明:如圖1,,?,四邊形45co是菱形,
:?CB=AB,CD=AD,
*:BD=BD,
:.AABD"ACBD,
1
???ZCBD=/ABD=Q/ABC,
1
??,ZCBG=ZEBG=-ZEBC,
11
:.ZDBG=ZCBD+ZCBG=~(ZABC+ZEBC)=~x180°=90°.
(2)解:①如圖2,連結4c交8。于點K,交DE于點L,
9:AC.LBD,
:.ZAKB=90°,
':AB=5,BD=6,
1
.\BK=DK=—BD=3,
:.AK=7AB2-BK2=V52-32=4,
:?CK=AK=4,
:.AC=8f
11
??S菱形/BCQ—~^AC*BD=5X8X6=24.
②?:/DKL=/DBG=90。,
J.AC//BG,
DLDK
,__________1
"GL~BK~f
1
:.DL=GL=~DG,
■:DG=2GE,
1
:.GE=~DG,
:?DL=GL=GE,
,:CD〃AB,
CLDL1
?,瓦=互=5'
118
:.CL=-AC=-xS=~f
84
:.KL=4--=-f
4
-4
KL3
--9-
/.tanZBDE=TT;3
(3)解:如圖3,過點G作G7〃3C,交/£于點7,則GT為定值,
理由:連結/。交AD于點K,交DE于點、L,
VZDKL=ZDBG=90°,
???當ND4B的大小發生變化時,始終都有BG〃4C,
???△BGEs^ALE,
?:BE=AB,
EGBE
"LG~AB~屋
:.EG=LG,
,:KL〃BG,
DLDK
^LG~BK~[,
1
:.DL=LG=EG=-ED,
,:AD〃BC,
:.GT//AD,
:.△ETGSAEAD,
.GTETEG1
=£;4=ED=3?
,:BE=AB=DA=5,
115
GT=~DA=~x5=-,
???G7為定值;
?:EA=BE+AB=\。,
1110
圖3
圖2
DC
圖1
8.如圖1,在△NBC中,ZABC^45°,4D_L2C于點。,在ZX4上取點£,使DE=DC,
連接8£、CE.
(1)直接寫出CE與AB的位置關系;
(2)如圖2,將繞點。旋轉,得到△夕E'D(點夕、E'分別與點8、£對
應),連接CE'、AB',在△BED旋轉的過程中CE'與/夕的位置關系與(1)中的
CE與的位置關系是否一致?請說明理由;
(3)如圖3,當△BED繞點。順時針旋轉30°時,射線CE'與40、AB'分別交于點
G、F,若CG=FG,DC=?求AB'的長.
試題分柝(1)由等腰直角三角形的性質可得,NABC=/DAB=45:/DCE=/DEC
—ZAEH—45°,可得結論;
(2)通過證明可得ND4g=NDCE,由余角的性質可得結論;
(3)由等腰直角的性質和直角三角形的性質可得/8=國。,即可求解.
答案詳解:解:(1)如圖1,延長CE交N3于",
A
圖I
VZABC=45°,ADLBC,
:.ZADC=ZADB=90°,/ABC=NDAB=45°,
■:DE=CD,
:.ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,
:?NBHC=NBAD+/AEH=90°,
:.CE±AB;
(2)在△BED旋轉的過程中與AB'的位置關系與(1)中的C£與45的位置關系
是一致,
理由如下:如圖2,延長CE交45吁H
VZADC=ZADB=90°,
:?NCDE=NADB\
CDAD
又:而=奇=1
???AADB'^ACDE\
:.ND4B』NDCE,
VZDCE+ZDGC=90°,
/.ZDAB'+ZAGH=90°,
ZAHC=90°,
:.CE±AB\
(3)如圖3,過點。作于點H,
瓦?繞點。順時針旋轉30°,
/.ZBDB^=30°,B'D=BD=AD,
:.ZADB^UO0,ZDAB'=ZAB'D=30°,
?:DHLAB\
:.AD=2DH,AH=6DH=B,H,
:.AB'=WAD,
由(2)可知:
:?/DCE=/DAB』30°,
U:ADLBC,CZ)=V3,
:.DG=\,CG=2DG=2,
:.CG=FG=2,
?;ND4R=30°,CEUB',
:.AG=2GF=4,
AD—AG+DG=4+1=5,
:.AB'=aAD=5a.
9.如圖,在正方形48co中,E,尸分別是2C,CD邊上的點(點£不與點瓦C重合),
且NE4F=45°.
(1)當8E=D產時,求證:AE=AF;
(2)猜想BE,EF,。廠三條線段之間存在的數量關系,并證明你的結論;
(3)連接NC,G是C3延長線上一點,GHLAE,垂足為K,交/C于點〃且G/f=
AE.若DF=a,CH=b,請用含a,6的代數式表示斯的長.
圖3
試題分析:(1)證明△NBEgZUDR從而得出結論;
(2)在CD的延長線上截取DG=2E,類比(1)可證得△/AE?四ZVIDG,進而證明^
GAFmAE4F,進一步得出結論;
(3)作印?_L2C于R,證明從而BE=HR,在RtZ\CRH中可得出"?=
b?sin45。=亨,進而8E=苧b,根據(2)可得出結果.
答案詳解:(1)證明:???四邊形/BCD是正方形,
:.AB=AD,ZB=ZD=90Q,
在△N3E和△ND尸中,
'AB=AD
NB=ND,
BE=DF
:.AABE絲LADF(&4S),
:.AE=AF-,
(2)解:如圖1,
一一6
BE+DF=EF,理由如下:
在CD的延長線上截取。G=8£,
同理(1)可得:AABE*AADG(S4S),
AZBAE=ZDAG,AG=AE,
??,四邊形48CZ)是正方形,
AZBAD=90°,
VZEAF=45°,
:./BAE+/DAF=/BAD-/EAF=45
:.ZDAG+ZDAF=45°,
即:ZGAF=45°,
:.NGAF=NEAF,
在AG”和△£4尸中,
AG=AE
Z-GAF=/.EAFf
AF=AF
:.△GAF/AEAF(S4S),
:?FG=EF,
:.DG+DF=EF,
:?BE+DF=EF;
(3)如圖2,
作HR_LBC于R,
:./HRG=90°,
??,四邊形48CZ)是正方形,
AZABE=90°,ZACB=ZACD=45°,
:?/ABE=NHRG,ZBAE+ZAEB=90°,
?;GH_LAE,
:.NEKG=90°,
:.ZG+ZAEB=90°,
:./G=NBAE,
在△45E和△GH”中,
NABE=ZHRG
Z.BAE=Z-G,
AE=GH
:.AABE^AGRH(AAS),
:?BE=HR,
在RtZkCRf/中,NACB=45°,CH=b,
.?.//7?=6?sin45。=^~b,
:.BE=^b,
:.EF=BE+DF=^-b+a.
10.如圖,為。。的直徑,C為圓上的一點,。為劣弧枕的中點,過點。作0。的切線
與NC的延長線交于點P,與45的延長線交于點尸,4D與BC交于點E.
(1)求證:BC//PF;
(2)若O。的半徑為逐,DE=1,求4&的長度;
(3)在(2)的條件下,求△DCP的面積.
試題分機(1)連接O。,利用垂徑定理和圓的切線的性質定理,平行線的判定定理解答
即可;
(2)連接設NE=x,則NO=l+x,利用相似三角形的判定與性質,圓周角定理,
勾股定理列出關于x的方程,解方程即可得出結論;
(3)連接。。,BD,設OD與3c交于點",利用直角三角形的邊角關系定理求得。”,
CE的長度,通過判定四邊形CHDP為矩形得到△DCP為直角三角形和兩直角邊的長,
利用三角形的面積公式即可求得結論.
答案詳解:(1)證明:連接OD,如圖,
p
???。為劣弧就的中點,
:.Cb=BD,
:.OD.LBC.
TPb是OO的切線,
:.OD±PF,
:.BC//PF;
(2)連接5。,如圖,
設則4D=l+x.
???。為劣弧虎的中點,
.*.CD=Bb,
:.CD=BD,ZDCB=ZCAD.
?:NCDE=NADC,
:./\CDE^/\ADC,
.CDAD
=CO'
:.CD2=DE'AD=1X(1+X)=1+X.
:.BD2=1+X.
,.ZB為OO的直徑,
;./ADB=90°,
:.AD2+BD2=AB2.
:o。的半徑為痣,
:.AB=2乖.
A(1+X)2+(1+X)=(2V5)Z,
解得:x=3或x=-6(不合題意,舍去),
:.AE=3.
(3)連接OD,BD,設OD與8c交于點,,如圖,
VZADB=90°,
AD42V5
,-.cosZDAB=—=^==—
*:OA=OD,
:.ZDAB=ZADO,
2A/5
cosAADO—cosZ.DAB=.
':OH±BC,
DH
:.BH=CH,cosZADO=—f
:.DH=DEX粵普
.*.OH=OL=遙一等=等
,_________4A/5
/.BH=VOB2-OH2=
:.CH=BH=^-.
???45為OO的直徑,
AZACB=90°,
由(1)知:ODLPD,OH±BC,
四邊形CHDP為矩形,
2V54V5
;./尸=90°,CP=DH=—^~,DP=CH=-,
14
:.△DCP的面積=5義CP-DP=
11.如圖,平行四邊形/BCD中,DB=2<3,AB=4,AD=2,動點、E、尸同時從N點出發,
點E沿著/-Of2的路線勻速運動,點廠沿著/f2-。的路線勻速運動,當點、E,F
相遇時停止運動.
(1)如圖1,設點E的速度為1個單位每秒,點尸的速度為4個單位每秒,當運動時間
2
為§秒時,設CE與DF交于點、P,求線段£尸與CP長度的比值;
(2)如圖2,設點E的速度為1個單位每秒,點尸的速度為痘個單位每秒,運動時間為
x秒,△/跖的面積為外求了關于x的函數解析式,并指出當x為何值時,y的值最大,
最大值為多少?
1
(3)如圖3,H在線段上且/*=y,M為。尸的中點,當點£、廠分別在線段
AD、上運動時,探究點£、尸在什么位置能使并說明理由.
試題分析:(1)延長。尸交C2的延長線于G,證明△4FDs/Xjg尸G,則言=訴,求出
8G的長,再由/Z)〃CG,則4=亍,即可求解;
rC(JC
(2)分三種情況討論當0W無W2時,E點在AD±.,F點在AB上,過點E作EHLAB
11廣g3c
交于X,y=-xAFXEH=-x[3x^-^-2;此時當x=2時,y有最大值3;當2W
ZZ24yxxx
4\/3
時,E點在BQ上,廠點在48上,過點E作EN_L48交于N,過點。作
45交于Af,y=—xAFXEN=—乎―+亍+孚x;當、=生/時,》有最大值2+夸3;
4V3-1
當禽時,過點E作E0L45交于0,過點廠作EPL45交于尸,y=5X4BX
(EQ-PF)=6+2禽-x—倔■;此時當x=警時,y有最大值2+A;
(3)連接求出4〃=1,可得由直角三角形的性質可得”凡
1
貝!]①彳=/正,可得EF〃BD.
答案詳解:解:(1)延長。歹交C5的延長線于G,
???平行四邊形48CD中,
ACG//AD,
:.ZA=ZGBF,
:.△AFDs^BFG,
.AFAD
^~FB=~BG,
2
??,運動時間為W秒,
8
/?AF=—,
U:AB=4,
4
A^F=-,
??,4D=2,
???BG=1,
???CG=3,
■:AD〃CG,
.EPED
t9~PC='GC9
2
V^£*=~,
4
:.ED=~,
.EP4
??證=5
(2)當0WxW2時,E點在4。上,尸點在45上,
由題意可知,AE=x,AF=y/3x,
■:DB=2g4B=4,4)=2,
???△45。是直角三角形,且NZ=60°,
過點E作交于H,
?s5.小。V3
??EH=AE?sin60=
11廠舊3r
??y=TxAFXEH=TxV3xX-T~X=~X2;
ZZ24
此時當x=2時,y有最大值3;
4A/3
當2Wx〈q-時,£點在8。上,尸點在N8上,
過點E作EN_L45交于N,過點Z)作Dl/_L45交于
':AD+DE=x,40=2,
:.DE=x-2,
,:BD=2M,
BE=2y/3—x+2,
在RtZ\Z5。中,DM=?
,:EN〃DM,
.ENBE
"~DM='BD,
.竺2+2V3-%
「1
:?EN=1+巡一酒
11
.*.y=~XAFXEN=~X(V3x)X(1+V3—亍+
/22
此時當%=一§一時,y有最大值2+三一;
當警WxW2禽時,過點£作E0L4B交于。,過點尸作FPL4B交于產,
AB+BF=V3x,DA+DE=x,
U:AB=4,AD=2,
BE=2V3—x+2,BF—V3x-4,
■:PF//DM,
BFPFV3x-4空
???麗=麗’即刀7=后
PF=~~~x-2,
2
■:EQ〃DM,
BEEQ2V3+2-%絲
???麗=前’即2b二至
-1
=V3+1~2X,
111V3「廣
:.y=-xABX(EQ-PF)=~x4X(V3+1--x-—x+2)=6+2禽一x—岳;
4V32_
此時當x=不一時,y有最大值2+—V3;
綜上所述當0WxW2時,y=彳/;當2?%工生二時,?=—W/+/+Wx;當g
2
xW2迎時,j^=6+2V3—x—V3x;y的最大值為2+§、后;
(3)連接。H
1
9:AH=~HB,/5=4,
:.AH=1,
:.DHLAB,
是。歹的中點,
:?HM=DM=MF,
■:EM=HM,
1
:.EM=~DF,
???△、/汨是直角三角形,
:.EFLAD,
?;AD_LBD,
:.EF//BD.
圖5
圖4
圖3
G
12.如圖,在RtZUBC中,NC=90°,點。在45上,以為直徑的。。與/C相切于
點、E,交BC于點F,連接。R交于點
(1)求證:四邊形EMFC是矩形;
(2)若/£=遮,O。的半徑為2,求FM的長.
c
A
試題分析:(1)利用直徑所對的圓周角是直角及鄰補角互補,可求出/CFD=90°,由
。。與ZC相切于點E,利用圓的切線垂直于過切點的半徑可得出OEL/C,進而可得出
ZOEC=Z0EA=9Q°,結合NC=90°,三個角是直角即可證明矩形即可;
(2)在RtZUE。中,利用勾股定理可求出CM的長,進而可得出的長,由
C,利用“同位角相等,兩直線平行”可得出OE〃8C,進而可得出利
用相似三角形的性質可求出NC的長,結合CE=/C-/E可求出CE的長,再利用矩形
的對邊相等,即可求出可的長.
答案詳解:(1)證明:。是。。的直徑,
:./BFD=90°,
:.NCFD=90°.
:O。與ZC相切于點E,
OELAC,
:.ZOEC^ZOEA^90°.
又:/C=90°,
:.ZC=ZCFD=ZOEC=90°,
:.NEMF=90°,
四邊形EA加C是矩形.
(2)解:在RtZ\NEO中,ZAEO=90°,AE=?OE=2,
:.OA=7AE2+OE2=J(V5)2+22=3,
.*./8=CM+O8=3+2=5.
VZAEO^ZC^90°,
J.OE//BC,
:.△AEOSMCB,
ACABAC5
???樂=而艮廿丁
孚
.?.c-*%=孚
又,:四邊形EMFC是矩形,
:.FM=CE=粵
13.兩個頂角相等的等腰三角形,如果具有公共的頂角的頂點,并把它們的底角頂點連接起
來,則形成一組全等的三角形,把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.
(1)問題發現:
如圖1,若△A8C和是頂角相等的等腰三角形,BC,分別是底邊.求證:BD
=CE;
(2)解決問題:
如圖2,若△/C2和△DCE均為等腰直角三角形,NACB=NDCE=90°,點/,D,E
在同一條直線上,CM為△DCE中。£邊上的高,連接8E,請判斷NN即的度數及線段
CM,AE,BE之間的數量關系并說明理由.
試題分析:(1)根據△NBC和是頂角相等的等腰三角形,證明△/AD0ZX/CE
(&4S),即可得30=CE;
(2)根據△4C8和△DCE均為等腰直角三角形,可得AACD出ABCE(S4S),即有
=BE,ZADC=ZBEC,從而可得N8EC=N/DC=135°,即知N8EC-ZCED
=90°,由C£>=CE,CMLDE,ZDCE=90°,可得。M=Affi=CW,AE=AD+DE=
BE+2CM.
答案詳解:(1)證明::△NBC和△4DE是頂角相等的等腰三角形,
:.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,
:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即ZBAD=ZCAE,
:.AABD咨AACE(”S),
:.BD=CE;
(2)解:ZAEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下:
如圖:
,:AACB和△£>(7£均為等腰直角三角形,
:.AC=BC,DC=EC,ZACB=90°=ZDCE,
:.ZACD=ZBCE,
:./\ACD^/\BCE(S^S),
:.AD=BE,/ADC=NBEC,
,/AC£?E是等腰直角三角形,
:.ZCDE=ZCED=45°,
-NCDE=135°,
:.NBEC=NADC=135°,
:.ZAEB=ZBEC-ZC££>=135°
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