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文檔簡介

專題17圖形的性質壓軸題(綜合)

1.綜合與實踐

“善思”小組開展“探究四點共圓的條件”活動,得出結論:對角互補的四邊形四個頂

點共圓.該小組繼續利用上述結論進行探究.

提出問題:

如圖1,在線段/C同側有兩點3,D,連接AB,BC,CD,如果那么

A,B,C,。四點在同一個圓上.

探究展示:

如圖2,作經過點C,。的O。,在劣弧NC上取一點£(不與aC重合),連接

AE,CE,則/4&。+/。=180°(依據1)

?;/B=ND

:.ZAEC+ZB=180°

...點B,C,£四點在同一個圓上(對角互補的四邊形四個頂點共圓)

:,點、B,。在點/,C,E所確定的。。上(依據2)

...點B,C,。四點在同一個圓上

反思歸納:

(1)上述探究過程中的“依據1”、“依據2”分別是指什么?

依據1:圓內接四邊形對角互補:依據2:過不在同一直線上的三個點有且只有一

個圓.

(2)如圖3,在四邊形4BCD中,N1=N2,N3=45°,則/4的度數為45°.

拓展探究:

(3)如圖4,已知△/BC是等腰三角形,/8=NC,點。在8C上(不與8c的中點重

合),連接AD.作點C關于AD的對稱點£,連接協并延長交工。的延長線于尸,連接

AE,DE.

①求證:A,D,B,£四點共圓;

②若AB=2虛,?/斤的值是否會發生變化,若不變化,求出其值;若變化,請說明

理由.

試題分析:(1)根據圓內接四邊形的性質、過三點的圓解答即可;

(2)根據四點共圓、圓周角定理解答;

(3)①根據軸對稱的性質得到NE=NC,DE=DC,NAEC=NACE,ZDEC=ZDCE,

進而得到證明結論;

②連接CF,證明△/BDS/I/ES,根據相似三角形的性質列出比例式,計算即可.

答案詳解:(1)解:依據1:圓內接四邊形對角互補;依據2:過不在同一直線上的三

個點有且只有一個圓,

所以答案是:圓內接四邊形對角互補;過不在同一直線上的三個點有且只有一個圓;

(2)解:VZ1=Z2,

...點B,C,。四點在同一個圓上,

AZ3=Z4,

VZ3=45°,

.*.Z4=45°,

所以答案是:45°;

(3)①證明:':AB=AC,

:.ZABC=ZACB,

,/點E與點C關于的對稱,

C.AE^AC,DE=DC,

NAEC=NACE,NDEC=ZDCE,

:.ZAED=Z.ACB,

NAED=ZABC,

:.A,D,B,E四點共圓;

②解:ND?/斤的值不會發生變化,

理由如下:如圖4,連接CF,

:點E與點C關于AD的對稱,

:.FE=FC,

:.ZFEC=NFCE,

:.ZFED=ZFCD,

,:A,D,B,£四點共圓,

NFED=NBAF,

:.ZBAF=ZFCD,

.'.A,B,F,C四點共圓,

ZAFB=ZACB=ZABC,

':NBAD=NFAB,

:./\ABD^^\AFB,

.ADAB

^~AB=~AF'

:.AD?AF=AB2=8.

圖4

2.已知△/BC會△DEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分/ACD,求證:四邊形/8DC是菱形;

(2)如圖2,將(1)中的繞點C逆時針旋轉(旋轉角小于/R4C),BC,DE的

延長線相交于點R用等式表示N/CE與/EFC之間的數量關系,并證明;

(3)如圖3,將(1)中的繞點C順時針旋轉(旋轉角小于N/2C),若NBAD=/

BCD,求/4D8的度數.

試題分柝4)根據全等三角形的性質得到AC=DC,根據角平分線的定義得到Z

ACB,證明四邊形/BCD為平行四邊形,根據菱形的判定定理證明結論;

(2)根據全等三角形的性質得到N/8C=/DEC,根據三角形內角和定理證明即可;

(3)在上取點/,使連接BAf,證明△/MB之△C2D,得到8M=3。,

根據三角形的外角性質、三角形內角和定理計算,得到答案.

答案詳解:(1)證明::AABC沿4DEC,

J.AC^DC,

':AB^AC,

:.ZABC=ZACB,AB=DC,

:。8平分乙4。。,

/DCB=/ACB,

:.NABC=ZDCB,

:.AB//CD,

四邊形ABDC為平行四邊形,

,:AB=AC,

平行四邊形/30C為菱形;

(2)解:ZACE+ZEFC^ISO°,

理由如下:?:LABC/ADEC,

:.NABC=ZDEC,

:.ZACB=ZDEC,

NNCB+N/CF=ZDEC+ZCEF=180°,

:?/CEF=ZACFf

?;/CEF+/ECF+/EFC=180°,

AZACF+ZECF+ZEFC=180°,

AZACE+ZEFC=180°;

(3)解:如圖3,在4D上取點M,使4M=BC,連接員W,

在A4MB和△CAD中,

AM=BC

乙BAM=(DCB,

AB=CD

:.AAMB二ACBD(SAS),

:.BM=BD,ZABM=ZCDB,

:.ZBMD=/BDM,

■:ZBMD=/BAD+/MBA,

:.ZADB=ZBCD+ZBDC,

設/BCD=NBAD=a,ZBDC=^,則N/08=a+B,

?:CA=CD,

:.ZCAD=ZCDA=a+2^,

:.ZBAC=ZCAD-ZBAD=2^,

1

:.ZACB=-x(180°-邛)=90°-P,

/.ZACD=90°-p+a,

CD+ZCAD+ZCDA=180°,

A90°-B+a+a+20+a+2B=18O°,

Aa+P=30°,即N4QB=30°.

3.閱讀材料:小明喜歡探究數學問題,一天楊老師給他這樣一個幾何問題:

如圖1,ZX/BC和△8?!甓际堑冗吶切?,點4在DE上.

求證:以ZE、AD、/C為邊的三角形是鈍角三角形.

【探究發現】(1)小明通過探究發現:連接。C,根據已知條件,可以證明。C=/E,Z

ADC=12Q°,從而得出△4DC為鈍角三角形,故以/£、AD、NC為邊的三角形是鈍角

三角形.

請你根據小明的思路,寫出完整的證明過程.

【拓展遷移】(2)如圖2,四邊形N5CD和四邊形2G村都是正方形,點/在EG上.

①試猜想:以/£、AG.NC為邊的三角形的形狀,并說明理由.

②若/£2+/G2=10,試求出正方形/BCD的面積.

試題分析:(1)連接DC,證LCBD烏AABE(SAS),得CD=AE,NBDC=/E=60°,

則//。。=/2?!?/3。。=120°,即可得出結論;

(2)①連接CG,證(S/S),得CG=NE,/CGB=NAEB=45°,再

證//GC=90°,得a/CG是直角三角形,即可得出結論;

②由勾股定理得CG2+/G2=/C2,貝1J/E2+/G2=/C2=IO,再由正方形的性質和勾股定

理得/82=5,即可得出結論.

答案詳解:(1)證明:如圖1,連接DC,

/\ABC和△ADE都是等邊三角形,

:.AB=BC,BE=BD,/ABC=NDBE=NE=NBDE=60°,

ZABC-ZABD=NDBE-/ABD,

即/C8O=NN3£,

:ACBD沿AABE(S4S),

:.CD=AE,NBDC=NE=60°,

ZADC=ZBDE+ZBDC=120o,

...△4DC為鈍角三角形,

.?.以4E、AD、4C為邊的三角形是鈍角三角形.

(2)解:①以/£、AG.NC為邊的三角形是直角三角形,理由如下:

如圖2,連接CG,

四邊形ABCD和四邊形BGFE都是正方形,

:.AB=CB,BE=BG,NABC=/BCD=NEBG=/BGF=90°,/EGB=/GEB

45°,

/ABC-ZABG=ZEBG-ZABG,

即/C8G=//3£,

:.ACBG%4ABE(S4S),

:.CG=AE,ZCGB=ZAEB=45°,

AZAGC=ZEGB+ZCGB=45°+45°=90°,

...△ZCG是直角三角形,

即以4E、AG,NC為邊的三角形是直角三角形;

②由①可知,CG=AE,ZAGC=90°,

C.C^+ACfi^AC1,

:.AE2+AG2=AC2,

,:AE2+AG2=IO,

:.AC2=IO,

:四邊形/BCD是正方形,

;.4B=BC,ZABC^90°,

:.AB2+BC2=AC2=10,

'.AB1=5,

''S正方形ABCD="2=5.

B

圖2

E

A

圖1

4.在△/8C中,/BAC=90°,4B=AC,直線/經過點力,過點5、C分別作/的垂線,

垂足分別為點。、E.

(1)特例體驗:如圖①,若直線/〃8C,AB=AC=?分別求出線段瓦入CE和DE

的長;

(2)規律探究:

(I)如圖②,若直線/從圖①狀態開始繞點/旋轉a(0<a<45°),請探究線段

BD、CE和DE的數量關系并說明理由;

(II)如圖③,若直線/從圖①狀態開始繞點N順時針旋轉a(45°<a<90°),與線

段8c相交于點X,請再探線段AD、CE和的數量關系并說明理由;

(3)嘗試應用:在圖③中,延長線段3。交線段NC于點R若C£=3,DE=\,求“

BFC-

圖②

圖①圖③

試題分析:(1)易證和△/方是等腰直角三角形,再根據等腰直角三角形的三邊

關系可得出AD,DE和CE的長即可.

(2)(I)易證由N/S即可得出△48。注進而解答即可;

(II)易證N48D=/C4£,由44s即可得出進而解答即可;

(3)根據題意可證明由此可得出8尸的長,根據SABFC=SUBC-

ABF,可得出結論.

答案詳解:解:(1)在△NBC中,NBAC=90°,AB=AC,

;?/ABC=/ACB=45°,

u:l//BC,

;./DAB=/ABC=45°,NCAE=NACB=45°,

:?NDAB=/ABD=45°,ZEAC=ZACE=45°,

:.AD=BD,AE=CE,

,:AB=AC=?

:?AD=BD=AE=CE=1,

:.DE=2;

(2)(I)DE=BD+CE,理由如下:

在中,ZABD+ZBAD=90°,

VZBAC=90°,

ZBAD+ZCAE=90°,

???NABD=/CAE,

在△45。和△C4E中,

'NABD=ZCAE

"DA="EC=90。,

AB=AC

???△ABDmACAE(AAS);

;?CE=AD,BD=AE,

:.DE=AE+AD=BD+CE.

(II)DE=BD-CE.理由如下:

在Rt44Z)5中,ZABD+ZBAD=90°,

?:NBAC=90°,

AZBAD+ZCAE=90°,

???NABD=/CAE,

在△45。和△C4E中,

'NABD=ZCAE

^LBDA=^LAEC=90°,

AB=AC

:.AABD^ACAE(AAS);

:?CE=AD,BD=AE,

:.DE=AE-AD=BD-CE.

(3)由(2)可知,NABD=/CAE,DE=AE-AD=BD-CE

?:NBAC=/ADB=90°,

I.△ABDsMBA,

:.AB:FB=BD:AB,

???CE=3,DE=\,

??AE—BD=^,

:.AB=5.

25

:.BF=—.

4

1cl2525

SABFC=S“BC-S^ABF=7><5---X3x—=—.

乙乙4-o

5.問題提出

(1)如圖1,4D是等邊△45C的中線,點尸在4D的延長線上,且NP=/C,則N/PC

的度數為75。.

問題探究

(2)如圖2,在△48C中,CA=CB=6,ZC=120°.過點N作/尸〃8C,S.AP=BC,

過點尸作直線/LBC,分別交48、BC于點0、E,求四邊形OEC4的面積.

問題解決

(3)如圖3,現有一塊△4BC型板材,/NC8為鈍角,NBAC=45;工人師傅想用這

塊板材裁出一個△/8P型部件,并要求NA4尸=15°,AP=AC.工人師傅在這塊板材上

的作法如下:

①以點C為圓心,以C4長為半徑畫弧,交48于點。,連接CD;

②作CD的垂直平分線I,與CD交于點E;

③以點/為圓心,以/C長為半徑畫弧,交直線/于點P,連接4P、BP,得△48P.

請問,若按上述作法,裁得的尸型部件是否符合要求?請證明你的結論.

三線合一得到NP4C=30°,根據三角形內角和定理、等腰三角形的性質計算,得到答

案;

(2)連接尸8,證明四邊形尸5c4為菱形,求出尸8,解直角三角形求出8£、PE、OE,

根據三角形的面積公式計算即可;

(3)過點A作CD的平行線,過點D作AC的平行線,兩條平行線交于點F,根據線段

垂直平分線的性質得到己4=小,根據等邊三角形的性質得到/24尸=60°,進而求出/

加尸=15°,根據要求判斷即可.

答案詳解:解:(1)為等邊三角形,

:.AB=AC,ZBAC=60°,

;AD是等邊△48C的中線,

1

AZPAC=~ZBAC^30°,

':AP=AC,

1

:.ZAPC=~x(180°-30°)=75°,

所以答案是:75°;

(2)如圖2,連接尸2,

':AP//BC,AP=BC,

.?.四邊形尸2。為平行四邊形,

\"CA=CB,

.??平行四邊形P8C4為菱形,

:.PB=AC=6,ZP5C=180°-ZC=60°,

BE=PB?cosZPBC=3,PE=PB*smZPBC=3^3,

;CA=CB,ZC=120°,

AZABC=30°,

OE=BE*tanZABC=

..?S四邊形OEC4=SA^BC-S&OBE

11

=-x6X3V3--X3xV3

-15V3.

2,

(3)符合要求,

理由如下:如圖3,過點工作CD的平行線,過點。作4C的平行線,兩條平行線交于點

F,

":CA=CD,ZDAC=45°,

AZACD=90°,

四邊形EDC/為正方形,

:,PE是CD的垂直平分線,

PE是//的垂直平分線,

:.PF=PA,

':AP=AC,

:.PF=PA=AF,

.?.△P/尸為等邊三角形,

AZPAF=60°,

AZBAP=60°-45°=15

裁得的4/2尸型部件符合要求.

6.如圖,已知半徑為5的經過x軸上一點C,與y軸交于,、8兩點,連接NM、AC,

/C平分NON",AO+CO^6.

(1)判斷OM與x軸的位置關系,并說明理由;

(2)求N2的長;

(3)連接并延長交?!庇邳c。,連接8,求直線CD的解析式.

y

l/M/

BlC7

試題分析:(1)連接(W,由/C平分/04W可得NCMC=/C4M,又MC=AM,所以

ZCAM=ZACM,進而可得NO/C=N/CM,所以O/〃MC,可得兒fC_Lx軸,進而可

得結論;

(2)過點M作兒軸于點M則NN=3M且四邊形MNOC是矩形,設可

分別表達"N和ON,進而根據勾股定理可建立等式,得出結論;

(3)連接4。,可得/CMC,根據勾股定理可求出ND的長,進而可得出點。的坐標,

利用待定系數法可得出結論.

答案詳解:解:(1)猜測與x軸相切,理由如下:

如圖,連接(W,

平分NO/M,

;.NOAC=NCAM,

又,:MC=AM,

:./CAM=AACM,

:.ZOAC=ZACM,

J.OA//MC,

:O/_Lx軸,

.?.MC_L無軸,

:CM是半徑,

二0〃■與x軸相切.

(2)如圖,過點M作兒軸于點N,

1

:.AN=BN=~AB,

VZMCO=ZAOC=ZMNA=9Q°,

二四邊形跖voc是矩形,

:.NM=OC,MC=0N=5,

設AO=m,貝ljOC=6-m,

:.AN=5-m,

在■中,由勾股定理可知,AM1=AN-+MN-,

52=(5-m)2+(6-m)2,

解得加=2或加=9(舍去),

:.AN=3,

.,.AB—6.

(3)如圖,連接40與CW交于點E,

:2D是直徑,

AZBAD=90°,

軸,

C.ADLMC,

由勾股定理可得/。=8,

:.D(8,-2).

由(2)可得C(4,0),

設直線CD的解析式為:y=kx+b,

二{霜曰2,解得{::/

1

直線C。的解析式為:y=—夢+2.

7.如圖,在菱形4BCD中,48=5,3。為對角線.點E是邊48延長線上的任意一點,連

結DE交BC于點、F,BG平分NCBE交DE于點、G.

(1)求證:402G=90°.

(2)若BD=6,DG=2GE.

①求菱形N8CD的面積.

②求tanZBDE的值.

(3)若BE=AB,當/。N8的大小發生變化時(0°),在/£上找一點

T,使GT為定值,說明理由并求出E7的值.

試題分析:(1)由菱形的性質得C8=/2,CD=AD,可證明△AB。咨△C2D,得/CBD

111

=-ZABC,而NCBG=/EBC,所以/O2G=萬(//2C+/E8C)=90°;

1

(2)①連結4C交于點K,交。E于點£,由N4K5=90°,AB=5,DK=BK=《BD

1

=3,根據勾股定理可求得4K=4,則ZC=8,即可由S菱形ABCD=54C?BD求出菱形45cZ)

的面積;

DLDK1

②先由NQAZ=NZ)BG=90°證明4C〃BG,則7T=^77=1,所以?!?G£=/G,

GLDKZ

1CLDL1

再由。G=2GE得GE=T;Z)G,則"=G£=GE,即可由CD〃/8,得77==不可

2ALEL277r

1884

求得C£=pC=子所以值=4一百=不再求出tanNBDE的值即可;

(3)過點G作GT〃5C,交AE于點、T,由N。也=NZ)5G=90°可知,當ND4B的大

EGBE

小發生變化時,始終都有5G〃4C,由△5G£SZ^£E得7K=弁=1,所以EG=£G,

4L(JAD

GTETEG15

同理可得"=£G,再證明AE7Gs得==£^=£"=5,即可求得GT=1

DAEAED33

說明GT為定值,再求出ET的值即可.

答案詳解:(1)證明:如圖1,,?,四邊形45co是菱形,

:?CB=AB,CD=AD,

*:BD=BD,

:.AABD"ACBD,

1

???ZCBD=/ABD=Q/ABC,

1

??,ZCBG=ZEBG=-ZEBC,

11

:.ZDBG=ZCBD+ZCBG=~(ZABC+ZEBC)=~x180°=90°.

(2)解:①如圖2,連結4c交8。于點K,交DE于點L,

9:AC.LBD,

:.ZAKB=90°,

':AB=5,BD=6,

1

.\BK=DK=—BD=3,

:.AK=7AB2-BK2=V52-32=4,

:?CK=AK=4,

:.AC=8f

11

??S菱形/BCQ—~^AC*BD=5X8X6=24.

②?:/DKL=/DBG=90。,

J.AC//BG,

DLDK

,__________1

"GL~BK~f

1

:.DL=GL=~DG,

■:DG=2GE,

1

:.GE=~DG,

:?DL=GL=GE,

,:CD〃AB,

CLDL1

?,瓦=互=5'

118

:.CL=-AC=-xS=~f

84

:.KL=4--=-f

4

-4

KL3

--9-

/.tanZBDE=TT;3

(3)解:如圖3,過點G作G7〃3C,交/£于點7,則GT為定值,

理由:連結/。交AD于點K,交DE于點、L,

VZDKL=ZDBG=90°,

???當ND4B的大小發生變化時,始終都有BG〃4C,

???△BGEs^ALE,

?:BE=AB,

EGBE

"LG~AB~屋

:.EG=LG,

,:KL〃BG,

DLDK

^LG~BK~[,

1

:.DL=LG=EG=-ED,

,:AD〃BC,

:.GT//AD,

:.△ETGSAEAD,

.GTETEG1

=£;4=ED=3?

,:BE=AB=DA=5,

115

GT=~DA=~x5=-,

???G7為定值;

?:EA=BE+AB=\。,

1110

圖3

圖2

DC

圖1

8.如圖1,在△NBC中,ZABC^45°,4D_L2C于點。,在ZX4上取點£,使DE=DC,

連接8£、CE.

(1)直接寫出CE與AB的位置關系;

(2)如圖2,將繞點。旋轉,得到△夕E'D(點夕、E'分別與點8、£對

應),連接CE'、AB',在△BED旋轉的過程中CE'與/夕的位置關系與(1)中的

CE與的位置關系是否一致?請說明理由;

(3)如圖3,當△BED繞點。順時針旋轉30°時,射線CE'與40、AB'分別交于點

G、F,若CG=FG,DC=?求AB'的長.

試題分柝(1)由等腰直角三角形的性質可得,NABC=/DAB=45:/DCE=/DEC

—ZAEH—45°,可得結論;

(2)通過證明可得ND4g=NDCE,由余角的性質可得結論;

(3)由等腰直角的性質和直角三角形的性質可得/8=國。,即可求解.

答案詳解:解:(1)如圖1,延長CE交N3于",

A

圖I

VZABC=45°,ADLBC,

:.ZADC=ZADB=90°,/ABC=NDAB=45°,

■:DE=CD,

:.ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°,

:?NBHC=NBAD+/AEH=90°,

:.CE±AB;

(2)在△BED旋轉的過程中與AB'的位置關系與(1)中的C£與45的位置關系

是一致,

理由如下:如圖2,延長CE交45吁H

VZADC=ZADB=90°,

:?NCDE=NADB\

CDAD

又:而=奇=1

???AADB'^ACDE\

:.ND4B』NDCE,

VZDCE+ZDGC=90°,

/.ZDAB'+ZAGH=90°,

ZAHC=90°,

:.CE±AB\

(3)如圖3,過點。作于點H,

瓦?繞點。順時針旋轉30°,

/.ZBDB^=30°,B'D=BD=AD,

:.ZADB^UO0,ZDAB'=ZAB'D=30°,

?:DHLAB\

:.AD=2DH,AH=6DH=B,H,

:.AB'=WAD,

由(2)可知:

:?/DCE=/DAB』30°,

U:ADLBC,CZ)=V3,

:.DG=\,CG=2DG=2,

:.CG=FG=2,

?;ND4R=30°,CEUB',

:.AG=2GF=4,

AD—AG+DG=4+1=5,

:.AB'=aAD=5a.

9.如圖,在正方形48co中,E,尸分別是2C,CD邊上的點(點£不與點瓦C重合),

且NE4F=45°.

(1)當8E=D產時,求證:AE=AF;

(2)猜想BE,EF,。廠三條線段之間存在的數量關系,并證明你的結論;

(3)連接NC,G是C3延長線上一點,GHLAE,垂足為K,交/C于點〃且G/f=

AE.若DF=a,CH=b,請用含a,6的代數式表示斯的長.

圖3

試題分析:(1)證明△NBEgZUDR從而得出結論;

(2)在CD的延長線上截取DG=2E,類比(1)可證得△/AE?四ZVIDG,進而證明^

GAFmAE4F,進一步得出結論;

(3)作印?_L2C于R,證明從而BE=HR,在RtZ\CRH中可得出"?=

b?sin45。=亨,進而8E=苧b,根據(2)可得出結果.

答案詳解:(1)證明:???四邊形/BCD是正方形,

:.AB=AD,ZB=ZD=90Q,

在△N3E和△ND尸中,

'AB=AD

NB=ND,

BE=DF

:.AABE絲LADF(&4S),

:.AE=AF-,

(2)解:如圖1,

一一6

BE+DF=EF,理由如下:

在CD的延長線上截取。G=8£,

同理(1)可得:AABE*AADG(S4S),

AZBAE=ZDAG,AG=AE,

??,四邊形48CZ)是正方形,

AZBAD=90°,

VZEAF=45°,

:./BAE+/DAF=/BAD-/EAF=45

:.ZDAG+ZDAF=45°,

即:ZGAF=45°,

:.NGAF=NEAF,

在AG”和△£4尸中,

AG=AE

Z-GAF=/.EAFf

AF=AF

:.△GAF/AEAF(S4S),

:?FG=EF,

:.DG+DF=EF,

:?BE+DF=EF;

(3)如圖2,

作HR_LBC于R,

:./HRG=90°,

??,四邊形48CZ)是正方形,

AZABE=90°,ZACB=ZACD=45°,

:?/ABE=NHRG,ZBAE+ZAEB=90°,

?;GH_LAE,

:.NEKG=90°,

:.ZG+ZAEB=90°,

:./G=NBAE,

在△45E和△GH”中,

NABE=ZHRG

Z.BAE=Z-G,

AE=GH

:.AABE^AGRH(AAS),

:?BE=HR,

在RtZkCRf/中,NACB=45°,CH=b,

.?.//7?=6?sin45。=^~b,

:.BE=^b,

:.EF=BE+DF=^-b+a.

10.如圖,為。。的直徑,C為圓上的一點,。為劣弧枕的中點,過點。作0。的切線

與NC的延長線交于點P,與45的延長線交于點尸,4D與BC交于點E.

(1)求證:BC//PF;

(2)若O。的半徑為逐,DE=1,求4&的長度;

(3)在(2)的條件下,求△DCP的面積.

試題分機(1)連接O。,利用垂徑定理和圓的切線的性質定理,平行線的判定定理解答

即可;

(2)連接設NE=x,則NO=l+x,利用相似三角形的判定與性質,圓周角定理,

勾股定理列出關于x的方程,解方程即可得出結論;

(3)連接。。,BD,設OD與3c交于點",利用直角三角形的邊角關系定理求得。”,

CE的長度,通過判定四邊形CHDP為矩形得到△DCP為直角三角形和兩直角邊的長,

利用三角形的面積公式即可求得結論.

答案詳解:(1)證明:連接OD,如圖,

p

???。為劣弧就的中點,

:.Cb=BD,

:.OD.LBC.

TPb是OO的切線,

:.OD±PF,

:.BC//PF;

(2)連接5。,如圖,

設則4D=l+x.

???。為劣弧虎的中點,

.*.CD=Bb,

:.CD=BD,ZDCB=ZCAD.

?:NCDE=NADC,

:./\CDE^/\ADC,

.CDAD

=CO'

:.CD2=DE'AD=1X(1+X)=1+X.

:.BD2=1+X.

,.ZB為OO的直徑,

;./ADB=90°,

:.AD2+BD2=AB2.

:o。的半徑為痣,

:.AB=2乖.

A(1+X)2+(1+X)=(2V5)Z,

解得:x=3或x=-6(不合題意,舍去),

:.AE=3.

(3)連接OD,BD,設OD與8c交于點,,如圖,

VZADB=90°,

AD42V5

,-.cosZDAB=—=^==—

*:OA=OD,

:.ZDAB=ZADO,

2A/5

cosAADO—cosZ.DAB=.

':OH±BC,

DH

:.BH=CH,cosZADO=—f

:.DH=DEX粵普

.*.OH=OL=遙一等=等

,_________4A/5

/.BH=VOB2-OH2=

:.CH=BH=^-.

???45為OO的直徑,

AZACB=90°,

由(1)知:ODLPD,OH±BC,

四邊形CHDP為矩形,

2V54V5

;./尸=90°,CP=DH=—^~,DP=CH=-,

14

:.△DCP的面積=5義CP-DP=

11.如圖,平行四邊形/BCD中,DB=2<3,AB=4,AD=2,動點、E、尸同時從N點出發,

點E沿著/-Of2的路線勻速運動,點廠沿著/f2-。的路線勻速運動,當點、E,F

相遇時停止運動.

(1)如圖1,設點E的速度為1個單位每秒,點尸的速度為4個單位每秒,當運動時間

2

為§秒時,設CE與DF交于點、P,求線段£尸與CP長度的比值;

(2)如圖2,設點E的速度為1個單位每秒,點尸的速度為痘個單位每秒,運動時間為

x秒,△/跖的面積為外求了關于x的函數解析式,并指出當x為何值時,y的值最大,

最大值為多少?

1

(3)如圖3,H在線段上且/*=y,M為。尸的中點,當點£、廠分別在線段

AD、上運動時,探究點£、尸在什么位置能使并說明理由.

試題分析:(1)延長。尸交C2的延長線于G,證明△4FDs/Xjg尸G,則言=訴,求出

8G的長,再由/Z)〃CG,則4=亍,即可求解;

rC(JC

(2)分三種情況討論當0W無W2時,E點在AD±.,F點在AB上,過點E作EHLAB

11廣g3c

交于X,y=-xAFXEH=-x[3x^-^-2;此時當x=2時,y有最大值3;當2W

ZZ24yxxx

4\/3

時,E點在BQ上,廠點在48上,過點E作EN_L48交于N,過點。作

45交于Af,y=—xAFXEN=—乎―+亍+孚x;當、=生/時,》有最大值2+夸3;

4V3-1

當禽時,過點E作E0L45交于0,過點廠作EPL45交于尸,y=5X4BX

(EQ-PF)=6+2禽-x—倔■;此時當x=警時,y有最大值2+A;

(3)連接求出4〃=1,可得由直角三角形的性質可得”凡

1

貝!]①彳=/正,可得EF〃BD.

答案詳解:解:(1)延長。歹交C5的延長線于G,

???平行四邊形48CD中,

ACG//AD,

:.ZA=ZGBF,

:.△AFDs^BFG,

.AFAD

^~FB=~BG,

2

??,運動時間為W秒,

8

/?AF=—,

U:AB=4,

4

A^F=-,

??,4D=2,

???BG=1,

???CG=3,

■:AD〃CG,

.EPED

t9~PC='GC9

2

V^£*=~,

4

:.ED=~,

.EP4

??證=5

(2)當0WxW2時,E點在4。上,尸點在45上,

由題意可知,AE=x,AF=y/3x,

■:DB=2g4B=4,4)=2,

???△45。是直角三角形,且NZ=60°,

過點E作交于H,

?s5.小。V3

??EH=AE?sin60=

11廠舊3r

??y=TxAFXEH=TxV3xX-T~X=~X2;

ZZ24

此時當x=2時,y有最大值3;

4A/3

當2Wx〈q-時,£點在8。上,尸點在N8上,

過點E作EN_L45交于N,過點Z)作Dl/_L45交于

':AD+DE=x,40=2,

:.DE=x-2,

,:BD=2M,

BE=2y/3—x+2,

在RtZ\Z5。中,DM=?

,:EN〃DM,

.ENBE

"~DM='BD,

.竺2+2V3-%

「1

:?EN=1+巡一酒

11

.*.y=~XAFXEN=~X(V3x)X(1+V3—亍+

/22

此時當%=一§一時,y有最大值2+三一;

當警WxW2禽時,過點£作E0L4B交于。,過點尸作FPL4B交于產,

AB+BF=V3x,DA+DE=x,

U:AB=4,AD=2,

BE=2V3—x+2,BF—V3x-4,

■:PF//DM,

BFPFV3x-4空

???麗=麗’即刀7=后

PF=~~~x-2,

2

■:EQ〃DM,

BEEQ2V3+2-%絲

???麗=前’即2b二至

-1

=V3+1~2X,

111V3「廣

:.y=-xABX(EQ-PF)=~x4X(V3+1--x-—x+2)=6+2禽一x—岳;

4V32_

此時當x=不一時,y有最大值2+—V3;

綜上所述當0WxW2時,y=彳/;當2?%工生二時,?=—W/+/+Wx;當g

2

xW2迎時,j^=6+2V3—x—V3x;y的最大值為2+§、后;

(3)連接。H

1

9:AH=~HB,/5=4,

:.AH=1,

:.DHLAB,

是。歹的中點,

:?HM=DM=MF,

■:EM=HM,

1

:.EM=~DF,

???△、/汨是直角三角形,

:.EFLAD,

?;AD_LBD,

:.EF//BD.

圖5

圖4

圖3

G

12.如圖,在RtZUBC中,NC=90°,點。在45上,以為直徑的。。與/C相切于

點、E,交BC于點F,連接。R交于點

(1)求證:四邊形EMFC是矩形;

(2)若/£=遮,O。的半徑為2,求FM的長.

c

A

試題分析:(1)利用直徑所對的圓周角是直角及鄰補角互補,可求出/CFD=90°,由

。。與ZC相切于點E,利用圓的切線垂直于過切點的半徑可得出OEL/C,進而可得出

ZOEC=Z0EA=9Q°,結合NC=90°,三個角是直角即可證明矩形即可;

(2)在RtZUE。中,利用勾股定理可求出CM的長,進而可得出的長,由

C,利用“同位角相等,兩直線平行”可得出OE〃8C,進而可得出利

用相似三角形的性質可求出NC的長,結合CE=/C-/E可求出CE的長,再利用矩形

的對邊相等,即可求出可的長.

答案詳解:(1)證明:。是。。的直徑,

:./BFD=90°,

:.NCFD=90°.

:O。與ZC相切于點E,

OELAC,

:.ZOEC^ZOEA^90°.

又:/C=90°,

:.ZC=ZCFD=ZOEC=90°,

:.NEMF=90°,

四邊形EA加C是矩形.

(2)解:在RtZ\NEO中,ZAEO=90°,AE=?OE=2,

:.OA=7AE2+OE2=J(V5)2+22=3,

.*./8=CM+O8=3+2=5.

VZAEO^ZC^90°,

J.OE//BC,

:.△AEOSMCB,

ACABAC5

???樂=而艮廿丁

.?.c-*%=孚

又,:四邊形EMFC是矩形,

:.FM=CE=粵

13.兩個頂角相等的等腰三角形,如果具有公共的頂角的頂點,并把它們的底角頂點連接起

來,則形成一組全等的三角形,把具有這個規律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發現:

如圖1,若△A8C和是頂角相等的等腰三角形,BC,分別是底邊.求證:BD

=CE;

(2)解決問題:

如圖2,若△/C2和△DCE均為等腰直角三角形,NACB=NDCE=90°,點/,D,E

在同一條直線上,CM為△DCE中。£邊上的高,連接8E,請判斷NN即的度數及線段

CM,AE,BE之間的數量關系并說明理由.

試題分析:(1)根據△NBC和是頂角相等的等腰三角形,證明△/AD0ZX/CE

(&4S),即可得30=CE;

(2)根據△4C8和△DCE均為等腰直角三角形,可得AACD出ABCE(S4S),即有

=BE,ZADC=ZBEC,從而可得N8EC=N/DC=135°,即知N8EC-ZCED

=90°,由C£>=CE,CMLDE,ZDCE=90°,可得。M=Affi=CW,AE=AD+DE=

BE+2CM.

答案詳解:(1)證明::△NBC和△4DE是頂角相等的等腰三角形,

:.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,即ZBAD=ZCAE,

:.AABD咨AACE(”S),

:.BD=CE;

(2)解:ZAEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下:

如圖:

,:AACB和△£>(7£均為等腰直角三角形,

:.AC=BC,DC=EC,ZACB=90°=ZDCE,

:.ZACD=ZBCE,

:./\ACD^/\BCE(S^S),

:.AD=BE,/ADC=NBEC,

,/AC£?E是等腰直角三角形,

:.ZCDE=ZCED=45°,

-NCDE=135°,

:.NBEC=NADC=135°,

:.ZAEB=ZBEC-ZC££>=135°

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