拋物線

1.拋物線的定義

平面內(nèi)與一定點(diǎn)尸和一條定直線/(P右/)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.氤F

叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的準(zhǔn)線.

2.拋物線的幾何性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程y=2px(p〉。)y=-2px(p>0)x=2py(p>0)xX=-2py(p>0)

此w

圖形rrv7p?

焦點(diǎn)坐標(biāo)(爭(zhēng)。)苫0)(0,j)(0苫)

準(zhǔn)線方程xJ一yJ

2222

范圍x>0x<0y>0yVO

附=為+”

焦半徑\PF\=-X0+^-\PF\=-y0+^

對(duì)稱性X軸y軸

頂點(diǎn)(0,0)

離心率e=l

1.拋物線丁=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)

【答案】D

2.已知拋物線的焦點(diǎn)E(a,0)(a<0),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.y~~4axB.y2=2axC.y~--4tzxD.y2--2ax

【答案】A

3.過(guò)拋物線V=4x的焦點(diǎn)歹作直線交拋物線于A5,%)、5(%,%)兩點(diǎn)，如果

X]+%=6,那么|=()

A.6B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由拋物線方程可知2P=4,得p=2.

/.|AB|=|AF|+|Z?F|=X]+%2+/>=6+2=8.

4.從拋物線y2=4x上一點(diǎn)尸引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,且|PM|=5,設(shè)拋物線

的焦點(diǎn)為F，則APMF的面積為()

A.5B.10C.20D.^/15

【答案】B

【解析】根據(jù)題意得歸⑼=與+勺

**?5—Xp+1,Xp=4,yp—±4.

?,.^=1M-|^|=1X5X4=10.

考點(diǎn)一拋物線的定義及運(yùn)用

【例1】拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P(x,y)為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又已知點(diǎn)A(2,2)是

一個(gè)定點(diǎn)，貝+周的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

x=2fx=2

【解析】由I,，得〈L，

y~=4x[y=±2j2

???20>2,.?.點(diǎn)A(2,2)在拋物線內(nèi)部，

拋物線準(zhǔn)線/:%=—1,如圖，|「耳=|尸Q|,

.?.|B4|+|PF|=|B4|+|Pe|>|AB|=2+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,Q三點(diǎn)共線時(shí)取等

號(hào).

【方法技巧】與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的求解策略

(1)“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”；

(2)構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解.

【變式】已知點(diǎn)P在拋物線＞2=4%上，則點(diǎn)P到直線公4x—3y+6=0的距離和至U直線

的距離之和的最小值為()

3111

A-16B,y02D.3

【答案】C

【解析】?.?點(diǎn)P到直線4的距離等于點(diǎn)。

到拋物線焦點(diǎn)方(1,0)的距離，如圖：

\PA\+\PB\^\PF\+\PB\,

??,|PF|+|PB|的最小值就為點(diǎn)尸(1,0)到直線4的距離.

；,(\PF\+\PB\)mm=^=2,故選C.

考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例2】已知拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)P(-3,m)到焦點(diǎn)的距離為5,則拋物線的標(biāo)

準(zhǔn)方程為()

A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x

【答案】B

【解析】依題意得，3)=5,???p=4.拋物線方程為/=—8x.

【方法技巧】求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法及流程

(1)方法：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p,所以只需一個(gè)條

件確定夕值即可.

(2)流程：因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量.

【變式】過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)尸，且傾斜角為上的直線與拋物線交于A,3兩

4

點(diǎn)，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),則p等于()

2244

A.—B.—C.—D.一

5353

【答案】c

【解析】直線A3的方程為y=

_P

22

由i一萬(wàn)，ny-2py-p=Qf

y2=2px(p>0)

設(shè)4&,%),8(%,%),AB的中點(diǎn)(%,%)，則為=上步=。，％o=%+5=；P，

???弦AB的垂直平分線方程為y-p=-(x--p),

?.?弦A5的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),二？—p=二p=

命題點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)」

【例3】已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸，A、8為拋物線上兩點(diǎn)，若A尸=3EB,。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則AAOB的面積為()

n26

AA/3D8A/3r473

A.B.-----C.-----D.-----

3333

【答案】C

【解析】設(shè)4%,%),B(x2,y2),則="2=-4.

%=26%=-2百

或126?

■:AF=3FB,兇=—3y2，工<,

SAAOB=^\OF\-\yi-y2\=^xlx^=^-

考點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

命題點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)

方法技巧】拋物線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)常用結(jié)論

設(shè)AB是過(guò)拋物線V=2Px3>0）焦點(diǎn)尸的弦,

設(shè)4（無(wú)1，%）,5（無(wú)2，%），則

p2

⑴%[%；,=-

(2)\AB\=xx+x2+p=0—(。為直線AB的傾斜角).

sin23

]]2

⑶兩十而為定值一.

P

（4）以A5為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.

（5）以Ak或3下為直徑的圓與y軸相切.

【變式】如圖，設(shè)拋物線V=4x的焦點(diǎn)為尸，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A,3,C,

其中點(diǎn)A,3在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則ABCF與AACE的面積之比是（）

|BF|-I|BF|2-I

B.J——L—

IMT

|BF|+I|BF|2+I

D.J——L——

|AF|+I|AF|"+1

S^BCx\BF\-1

【解析】CFB

S”AC4\AF\-1'

考點(diǎn)三直線與拋物線的綜合問(wèn)題

【例4]在直角坐標(biāo)系x0y中，直線/：y=WwO）交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C：

丁2=20叱°>0）于點(diǎn)。，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)

（1）求陰；（2）除H以外，直線與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由.

|ON|

【解析】（1）如圖，依題意M（OJ）,則P（h,f）,

2P

國(guó)直線ON的方程為丁=3》.

-t

y=PX

由.t，得V—2療=0,

/=2Px

團(tuán)H的縱坐標(biāo)為2f,團(tuán)色｝=也-=（1=2.

3耳卜|

【解析】（2）由（1）可知X的坐標(biāo)為（工,2。，回直線的斜率左=土9='，

p2/2t

P

國(guó)直線MW的方程為y—/='x,即y='x+/.

"2t'2t

p

,y——x~\~t

由彳It,得:/9一4什+4廠9=0,

V=2Px

回該方程的判別式△=（-402-4x4/=0,

團(tuán)除H以外，直線與C是沒有其它公共點(diǎn).

【方法技巧】直線與拋物線的位置關(guān)系解題策略

（1）直線與拋物線的位置關(guān)系，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；

（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦

點(diǎn)，可直接使用公式|4即=%+/+〃；若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用弦長(zhǎng)公式.

1.40,1）為拋物線好=2加5>0）上一點(diǎn)，則A到其焦點(diǎn)尸的距離為（A）

A.^/2H—1B.一3C.,x/s+1D.2

22

【解析】???4、歷,1）為拋物線上一點(diǎn)，，

/.（V2）2=2夕xl,/.p=1.

...A到其焦點(diǎn)F的距離為1+e=3.

22

2.已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)。，焦點(diǎn)歹在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線C交

于A、3兩點(diǎn)，如果。4?。8=—12,那么拋物線C的方程為（A）

A.x2=SyB.X2=4yC.y2=SxD.y2=4x

【解析】依題意拋物線方程為/=2px（p>0）,

設(shè)4（石,%）,3（%2，%），，%%=一。

2p2p4p~4

p=4,.?.拋物線。的方程為一=8〉.

3.已知/是拋物線/=4x的焦點(diǎn)，P是拋物線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)P尸交拋物線于點(diǎn)。，若

|P尸|=5,貝!1|。尸|=（B）

953

A.—B.—C.—D.2

842

【解析】??,|Pb|=Xp+勺Xp+1=5,

:.xp=4,）尸=±4,

72

yP-yQ=-p=-4，/.=±i，

ieri=%e+-|=|

4.以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,3兩點(diǎn)，交拋物線C的準(zhǔn)線于￡>,E兩點(diǎn)，已知

|Aq=4后，|。國(guó)=2行，則拋物線C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（B）

A.2B.4C.6D.8

【解析】設(shè)拋物線為丁=2.（。〉0）,設(shè)圓的方程為必+丁2=/，

設(shè)A（x0,2夜），依題意，可得Ay

片+(20)2=/,^/-I2p2-64=O,夕2G

(2后)2=2p/

￡rH6、

.?.(/—16)(p2+4)=0,p=4,.?.焦點(diǎn)至！I準(zhǔn)線的距離』

4.

5.若拋物線V=4%上的點(diǎn)/到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是1—

【解析】\MF\=XM+1=10,故%=9.

6.若拋物線V=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10,則M到y(tǒng)軸的距離是一：一

【解析】設(shè)直線A3的方程為％=〃、+1,

x=ny+lc

由，，得y2—4〃y—4=0.

k=4x

設(shè)4>1，%),3(%2，f2)?

由A尸=2必，得乂=—2%.

.(%+%=4〃卜%=4〃.J

〔%為=-41一2只=-44

取”=手，則%+%=0，%%=-4.

近5

：?玉+x2=+%)+2=1'

**?|=石+%2+p=2，

.,.弦A3中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為=(.

7.設(shè)拋物線C：9=?的焦點(diǎn)為尸，直線/過(guò)產(chǎn)且與C交于A,3兩點(diǎn).若|人同=3忸司,

求直線/的方程.

y=k(x-Y)y1

【解析】設(shè)直線/的方程為1),由,