微專題02立體幾何中的動態問題

立體幾何中的動態問題是指空間圖形中的某些點、線、面的位置是不確定的，

是一類可變的開放性問題.由于位置的不確定性，學生在解題時容易遇到困難，常

規的思考方式和解題方法可能不太適用.這類問題要求學生具備較強的空間想象

能力和靈活的思維轉換能力，能夠多角度分析問題.

考向1J最值（范圍）問題

典例精析

典例1如圖所示，在三棱錐尸-ABC中，BCL^PAC,PALAB,PA=AB=4,且

E為尸3的中點，AfUPC于點當AC變化時，三棱錐P-AER體積的最大值

是（）.

A.2B.V2C.延D笆

333

方法總結：

將待解決的立體幾何中的最值問題轉化為一個變量或多個變量的函數問題，借助

函數求最值的方法來解決立體幾何中的最值問題.此外，用變量表示出立體幾何

中待求的問題后，也常利用基本不等式的方法加以解決.

培優精練

已知正方體A5CD-4BCD1的棱長為2,P為線段GDi上的動點，則三棱錐P-

BCD的外接球半徑的取值范圍為（）.

A.呼,2]B.[等,V3]

C?呼，V3]唔,V3]

考向2J翻折問題

典例精析

典例2如圖，在平面四邊形A3CD中，AB=8,CD=3,AD=5y[3,ZADC=9Q°,

NR4D=30。，點E,R滿足荏乏而，AF^AB，將△AER沿ER翻折至△PER

使得PC=4V3.

(1)證明：EFLPD.

(2)求平面PCD與平面P3R所成的二面角的正弦值.

培優精練

如圖1,在矩形A3CD中，AB=2,AD=2y/3,將△A3。沿3。折起，得到三棱錐

M-BCD,如圖2,其中△M3。是折疊前的△A3D,過點”作3。的垂線，垂足

為H,MC=V10.

(1)證明：MHLCD.

(2)過點”作M3的垂線，垂足為N,求點N到平面的距離.

考向3J動點軌跡問題

典例精析

典例3多選題在正三棱柱A3C-A向。中,A3=A4=1,點P滿足品=汨？+〃西,

其中7G[0,1],4G[0,1],則().

A.當7=0,〃=1時，AP與平面A3C所成的角為一

q

B.當4三時，有且僅有一個點P,使得AiPLBP

C.當丸=1,〃三時，平面AB1P，平面A1A3

D.若AP=1,則點尸的軌跡長度為］

方法總結：

方法總結：

(1)幾何法：根據平面圖形的性質判定.

(2)定義法：轉化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數法計算.

(3)特殊值法：根據空間圖形線段的長度關系取特殊值或特殊位置排除.

培優精練

已知P是邊長為1的正方體ABCD-AiBrCiDx表面上的動點，若直線AP與平面

A3CD所成角的大小為9則點P的軌跡長度為().

A.3V2

B.2\^2+TI

c.爭4+兀)

D.2V2+^

參考答案

微專題02立體幾何中的動態問題

考向1最值（范圍）問題

典例1c

【解析】在三棱錐P-ABC中，由平面PAC,得BCLAC.

又A3=4,AC1+BC2=AB2=16.

、，[]BC

由題意可知V三棱鏈P-AEF=V三棱鏈E-R1F=§，SA戶5

因為平面PAC,R1U平面PAC,所以BCLPA.XPA±AB,ABHBC=B,AB,

3Cu平面ABC,所以平面ABC,所以出，AC.

XAFXPC,所以△必Rs^pc4,

所以沁二駕=手工

SZ

LPCAPCP/'+AC*

又SAPCA=9AC必，必=4,

所以s*『昔,

所以v=w考*?

設AC=〃，0<a<4,貝!JBC='\6—十,

所以V三棱錐E-fii尸二學，a116；.

316+a2

令"2二層+16,易知16＜相＜32,貝!JV二棱錐及公尸二16（32-6）二學.

3m3

令X」'則X*限H

m

所以V三棱錐E-E4/二可-'.5]2K2+48x—!_，

令於）=-512^+48左-1忌＜%臉）,

由二次函數於）=-512x2+48x-l的性質知，當產斗寸，段）有最大值，最大值為1

o4o

所以V二棱錐及出尸的最大值為學X《=苧，故三棱錐PAER體積的最大值是苧.故

選C.

培優精練C

【解析】

如圖，連接AC,3D,且AC交3。于點E,易得E為△BCD的外心，連接AiG,

B1D1,且4G交及Di于點孔連接ER易知EfU平面BCD,.：三棱錐P-3CD

的外接球的球心。在EF上.

設△PCD的外接圓的圓心為O,連接C。，，CO,00',則。平面PCD由正

方體ABCD-ALBIGDI中的棱3C,平面CC—,得。。〃3c

又E,R分別是3D,BA的中點，/.OO'=1.

設^PCD的外接圓半徑為r,三棱錐P-BCD的外接球半徑為R,則R2=l+^.

設PG=x,x￡[0,2],則SAPCD=2=^PCPDsinNCPD,

.：---=&+4](24)2+4.

sinzCPD4------~1——

4

又r=CD=1,

2sinzCPDsinzCPD

?3_024[+4y2+4)

16

設兀0=(5-4*+8)(/+4),[0,2],

則人為=4。3-3爐+6.4).

設g(,x)=f(x),則gf(x)=12(x2-2x+2)>0,

.](x)在[0,2]上單調遞增，又八1)=0,

.憂x)在[0,1]上單調遞減，在[1,2]上單調遞增.

又火1)=25,汽0)=/(2)=32,

.：?e[25,32],2]

.：R=VI不/?[手，遮].故選c.

考向2翻折問題

典例2

【解析】(1)由A3=8,AD=5y[3,AE=^AD,AF^AB,得AE=2E，AF=4.

因為ZBAD=30°,所以在△AEF中，由余弦定理，得EF^=A^+AF^-

2AE-AFCOSZBAD=12+16-2X2V3X4X^=4,所以踞+￡尸=4產，所以AELER,

即EfUAD,所以EfUPE,EFLDE.

又PECDE=E,且PE,DEu平面PDE,所以ER,平面PDE.又PDu平面PDE,

所以EF±PD.

⑵連接CE,由NADC=90°,ED=343,CD=3,得C^=ED2+CD2=36,所以CE=6.

在△PEC中，PC=4V3,PE=2y[3,EC=6,^Ef^+P^PC2,所以PELEC

由(1)知PELER又ECCEF=E,EC,Eft平面A3CD,所以PE,平面A3CD

又EDu平面ABC。，所以PELED,貝ljPE,EF,ED兩兩垂直，建立如圖所示

的空間直角坐標系，

則E(0,0,0),P(0,0,2百)，D(0,3V3,0),C(3,3舊，0),F(2,0,0),A(0,

-2y/3,0).由R是A3的中點，得3(4,2V3,0),所以而=(3,38，-28)，麗=(0,

3V3,-2V3),PB=(4,2y/3,-2^3),PF=(2,0,-2^3).

設平面PCD和平面P3R的法向量分別為〃=(為，"，zi),〃z=(X2,加Z2),

則jn.PC=3%1+2bzi=0,

\nPD=3V3y1_2V3z1=0,

z

(mPB—4久2+2y/3y2,2^2=°，

Z

1m.PF—2X2-2^32=0，

令y=2,%2=V3；得XI=0,ZI=3,竺=-1,Z2=l,所以“=(0,2,3)是平面PCD的

一個法向量，m=(V3,-1,1)是平面P3R的一個法向量，

所以|cos<m,n>\=lm,nl=r-1

嚴|嚴|V5xV1365

設平面PCD和平面P3R所成的二面角的平面角為仇則sinH—cos?〕里!!,

65

即平面PCD與平面P3R所成的二面角的正弦值為電fl

65

培優精練

【解析】

⑴如圖，連接CH.由MB=CD=2,MD=BC=2W，NBMD=NBCD=90。,得3。=4,

ZMDB=ZDBC=3Q°,MH=43,BH=1.

在中，由余弦定理，22=

MCH=VBH+BC.2BH.BCCOS30OV7.

因為舷G,所以

又MHLBD,CHCBD=H,CH,BDu平面BCD,所以MH,平面BCD

又CDu平面BCD,所以MHLCD

(2)在4MBD中，由NH±MB,MD±MB,得NH〃MD.因為Affi>u平面MCD,

NWC平面MCD,所以NH〃平面MCD,所以點N到平面MCD的距離等于點H

到平面MCD的距離.設點B到平面MCD的距離為力，點H到平面MCD的距離

為d.

因為需=需=3'所以。=制

又cosNMDC=：+：2謂=組,所以sinNMDC=逗，S^MCD=^2X243^—=—,

2x2x2V344242

$△BCD=.

1

得-x解得

由V三棱錐B-MCD=V三棱錐M-BCD,35MCD-h=^S^BCD-MH,BP-^/i=2V3V3,

A32

狂警.

所以點N到平面MCD的距離4=扣=誓.

考向3動點軌跡問題

典例3ACD

【解析】

0：

B

圖1

如圖1,當2=0,〃=1時，點尸與點31重合，由已知得313,平面A3C,所以

N31A3就是AP與平面ABC所成的角，因為A3=AAi=1,所以tanZBiAB=^=1,

又/即鉆G(0,5),所以NBA34即AP與平面ABC所成的角為3，故A正

確.

\/

獷C

B

圖2

當24時，取線段BC,51G的中點分別為M,Mi,連接MMi,如圖2,因為

麗=2阮+〃西，即痛=〃函，所以加〃西,則點P在線段MMi上，設

MP=x(0<x<l),則PM=l-x,

則3P2=5肝+”產=(；)2+%2,AiP-=AiM^+PMl=^+(l-x)2,AiB2=2,

若AxPLBP,則AXB2=BP2+AP2,則2=丹/+升(1-鏟，整理得(x-l)=0,解得

X44x

x=l或x=0,則當點P與點M或跖重合時，AxPLBP,即當7弓時，存在兩個

點P,使得AiP上BP,故B錯誤.

當i=1,時，BP=BC+^BBI，則標仁兩，所以P是"1的中點，取3c的

中點為。，5cl的中點為以。為原點，QA,QB,QH所在直線分別為x軸、

y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖3,則A(噂，0,0),B(0,0),5,(

0,(1)，尸(0,》

所以同=卜槳I，0),初=西=(0,0,1),麗=卜噂，>1)，AP=(-^V

N乙Z乙/乙

!)?

設平面AiAB和平面ABiP的法向量分別為機=(xi,yi,zi),n=(xi,yi,zi),

則產初=一苧%1+/i=0,

'-V31

%z

AB1,n——2-2+2y2+2—0>

[一V311

(ZP.Ti——2-^2.2y2