專題31幾何變換之翻折模型

內(nèi)容導(dǎo)航：模型分析T典例分析T

【理論基礎(chǔ)】

翻折和折疊問題其實(shí)質(zhì)就是對稱問題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對應(yīng)的邊和角都

是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來考查。那么碰到這類

題型，我們的思路就要以翻折性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)方程

來解題。

對于翻折和折疊題型分兩個(gè)題型來講，一類題型就是直接計(jì)算型，另一類是涉及到分類討論型，由淺入深

難度逐步加大,，掌握好分類討論型的翻折問題，那么拿下中考數(shù)學(xué)翻折題型就沒問題了。

解決翻折題型的策略

1.利用翻折的性質(zhì)：

①翻折前后兩個(gè)圖形全等。對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等

②對應(yīng)點(diǎn)連線被對稱軸垂直平分

2.結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)（三角形，四邊形等）

3.運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。

翻折折疊題型（一），直接計(jì)算型，運(yùn)用翻折的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理

設(shè)方程來解題。一般難度小，我們要多做一些這些題型，熟練翻折的性質(zhì)，以及常見的解題套路。

翻折折疊題型（二），分類討論型，運(yùn)用翻的性質(zhì)，結(jié)合題中的條件，或利用三角形相似，或利用勾股定理設(shè)

方程來解題。般難度較大，需要綜合運(yùn)用題中的條件，多種情況討論分析，需要準(zhǔn)確的畫圖，才能準(zhǔn)確分

析。

【例1】如圖，在ANBC中，點(diǎn)。是線段22上的一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E〃/C交5C于點(diǎn)E,將ABDE沿DE

翻折，得到AB'DE，若點(diǎn)C恰好在線段375上，若48=90。，DC：CB'=3：2,AB=16也,則CE的

長度為（）

B.N

A.4A/2

【例2】如圖，點(diǎn)￡是菱形/BCD的邊CD上一點(diǎn)，將A4DE沿/￡折疊，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)廠恰好在邊5c上,

設(shè)匹=上

CE

(1)若點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，貝蛛=

(2)若點(diǎn)F是邊2c的中點(diǎn)，則上=

[例3](1)發(fā)現(xiàn)如圖①所示，在正方形/BCD中,E為AD邊上一點(diǎn)，將△/班沿BE翻折到42所處,

延長斯交CD邊于G點(diǎn)，求證：4BFG三ABCG.

(2)探究如圖②，在矩形4BCD中，￡1為4D邊上一點(diǎn)，且40=8,4B=6.將A4E2沿BE1翻折到△2EF

處，延長E廠交2C邊于G點(diǎn)，延長3斤交CD邊于點(diǎn)X,且FH=CH,直接寫出/￡的長.

BCB

圖①圖②

一、單選題

1.一張正方形的紙片，如圖進(jìn)行兩次對折，折成一個(gè)正方形，從右下角的頂點(diǎn)，沿斜虛線剪去一個(gè)角剪下

的實(shí)際是四個(gè)小三角形，再把余下的部分展開，展開后的這個(gè)圖形的內(nèi)角和是（）度.

A.1080°

2.如圖，四邊形N8CD為平行四邊形，若將A4C8沿對角線NC翻折得到連接應(yīng)），則圖中與NC/D

度數(shù)一定相等（除4c4。外）的角的個(gè)數(shù)有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.7個(gè)

3.如圖，點(diǎn)。，E是正八45。兩邊上的點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折，點(diǎn)2的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊NC上,

當(dāng)NC=5/斤時(shí)，當(dāng)?shù)闹凳牵ǎ?/p>

4.如圖，在A43C中，AB<AC,ZC=45°,AB=5,3C=4&,點(diǎn)。在/C上運(yùn)動(dòng)，連接3D,把△8CD

沿折疊得到△8C'。，BC交AC于點(diǎn)、E,C'D〃AB,則圖中陰影部分的面積是（）

5.如圖，正方形/BCD中，AB=4,延長DC到點(diǎn)尸（0<CF<4）,在線段C8上截取點(diǎn)P,使得CP=CF,

連接2尸、DP,再將△OCP沿直線DP折疊得到△￡>￡P(guān).下列結(jié)論:

①若延長DP,則DP1F3；

②若連接CK,則CE〃F8；

③連接PF當(dāng)￡、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，CF=4百-4；

④連接/E、AF.EF,若△/斯是等腰三角形，則CF=4a-4；其中正確有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

3

6.已知：如圖，在放A42。中，乙4=90。，48=8,tan^ABC=-,點(diǎn)N是邊/C的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線8c上

的一動(dòng)點(diǎn)（不與2,C重合），連接"N,將沿翻折得連接BE,CE,當(dāng)線段BE的長取

最大值時(shí)，sinRVCE的值為（）

AT

5

7.如圖，nABCD^P,對角線/C與8。相交于點(diǎn)E,NADE=15。,BD=2日將A48c沿/C所在直線

翻折180。到其原來所在的同一平面內(nèi)，若點(diǎn)2的落點(diǎn)記為夕，恰好若點(diǎn)尸為2c上一點(diǎn)，則

的最短距離是（）

Br

A.1

8.如圖，將四邊形紙片ABCD沿過點(diǎn)A的直線折疊,使得點(diǎn)B落在CD上的點(diǎn)”處,折痕為/尸；再將叢PCM,

△4DM分別沿折疊，此時(shí)點(diǎn)C,。落在NP上的同一點(diǎn)N處.下列結(jié)論不正確的是（）

A.〃■是的中點(diǎn)

B.MNLAP

C.當(dāng)四邊形/尸CD是平行四邊形時(shí)，AB=^MN

D.AD//BC

二、填空題

9.如圖，在直角坐標(biāo)系xQy中，一次函數(shù)＞=-2x+2的圖象與x軸相交于點(diǎn)4與y軸相交于點(diǎn)&將

k

沿直線43翻折得到A/BC.若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=—（左片0）的圖象上，則左=

10.如圖，在用乙42。中，乙4=90。，48=4百，NC=4,點(diǎn)D是48的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊3。上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE

所在直線把△8OE翻折到△夕的位置，B'D交邊BC于點(diǎn)F,若八CB'F為直角三角形，則C?的長為

c

B'

F/yE

AD

11.如圖，將口/BCD沿對角線/C折疊，使點(diǎn)8落在點(diǎn)"處，若/1=38。，Z2=31°,貝此。=

12.如圖，/尸。。=90。，定長為。的線段端點(diǎn)A,8分別在射線OP,上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)48不與點(diǎn)。重

合），C為的中點(diǎn)，作關(guān)于直線OC對稱的△OHC,/'O交48于點(diǎn)。，當(dāng)是等腰三角形時(shí),

NOBD的度數(shù)為.

13.如圖，拋物線-2x-3與x軸相交于4,3兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對稱軸上，且位于x軸的上方，將A42C

沿直線NC翻折得到A42'C,若點(diǎn)"恰好落在拋物線的對稱軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

14.四邊形4BCD為平行四邊形，己知/5=后，BC=6,NC=5,點(diǎn)石是2C邊上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將A45E

沿/E折疊，點(diǎn)夕是點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)CE長為x,若點(diǎn)夕落在△//￡>￡內(nèi)（包括邊界），則x的取值范圍為

D

15.如圖，點(diǎn)/、5分別在平面直角坐標(biāo)系的y軸正半軸、x軸正半軸上，且O/=4,0B=3,將A4O3

k

沿45折疊，。的落點(diǎn)為P,若雙曲線尸一過點(diǎn)尸，則上

x

16.如圖，過點(diǎn)/折疊邊長為2的正方形N8CD,使3落在玄，連接點(diǎn)尸為。夕的中點(diǎn)，則CF的

最小值為

AD

三、解答題

17.如圖，四邊形/5CZ）中，AC=AD,ABAC=90°,ABDC=45°.

DD

D

(1)求乙42c的度數(shù)；

(2)把△BCD沿8c翻折得到△BCE,過點(diǎn)/作垂足為尸，求證：BE=2AF；

⑶在(2)的條件下，連接若四邊形/BCD的面積為45,8c=10,求。￡的長.

18.(1)［初步嘗試］如圖①，在三角形紙片4BC中，〃CB=90。,將A42C折疊，使點(diǎn)3與點(diǎn)C重合，折

痕為MN,則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為18:

(2)［思考說理］如圖②，在三角形紙片48c中，AC=BC=6,AB=10,將A48C折疊，使點(diǎn)8與點(diǎn)C重

合，折痕為求有的值；

BM

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片/2C中，AB=9,BC=6,乙4c2=2乙4,將沿過頂點(diǎn)C的直

線折疊，使點(diǎn)3落在邊NC上的點(diǎn)8,處，折痕為CM.

①求線段NC的長；

②若點(diǎn)。是邊NC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段。2'上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到小7初，點(diǎn)N的對應(yīng)

PF

點(diǎn)為點(diǎn)4,AM與CP交于點(diǎn)F,求二的取值范圍.

MF

19.綜合與實(shí)踐

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師和學(xué)生都學(xué)習(xí)到了新知識，掌握了許多新技能.例如教材八年級下冊的數(shù)學(xué)活動(dòng)一

折紙，就引起了許多同學(xué)的興趣.在經(jīng)歷圖形變換的過程中，進(jìn)一步發(fā)展了同學(xué)們的空間觀念，積累了數(shù)

學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：

對折矩形紙片N2CD,使/。與重合，折痕為斯，把紙片展平：再一次折疊紙片，使點(diǎn)”落在即上的

點(diǎn)N處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)3,折痕為8M,把紙片展平，連接NN,如圖①；

(1)折痕3M所在直線是否是線段NN的垂直平分線？請判斷圖中A/8N是什么特殊三角形？請寫出解答過程.

(2)繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)/落在8C邊上的點(diǎn)〃處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)8,得到折痕BG,把紙片展平，如圖

②，求NG8N的度數(shù).

(3)拓展延伸：

如圖③，折疊矩形紙片4BCD,使點(diǎn)/落在BC邊上的點(diǎn)H處，并且折痕交2c邊于點(diǎn)7,交4D邊于點(diǎn)S,

把紙片展平，連接44'交ST于點(diǎn)。，連接/T；求證：四邊形&4Z4,是菱形.

20.圖，一張矩形紙片/BCD,點(diǎn)￡在邊48上，將△8CE沿直線CE對折，點(diǎn)3落在對角線/C上，記為

點(diǎn)、F.

(1)若/8=4,BC=3,求/￡的長.

(2)連接。尸，若點(diǎn)。，F(xiàn),E在同一條直線上，且。尸=2,求/￡的長.

21.如圖1,在A42C中，BC=6,尸是3c邊的一點(diǎn)，且不與3,C重合，將44%沿4P折疊得△/「川,

過點(diǎn)C作NP垂線，垂足為。，連接。3,BB',B'C.

A

A

(1)/2和AB'的數(shù)量關(guān)系是，AP與BB'的位置關(guān)系是；

(2)如圖2,當(dāng)四邊形8OC/是平行四邊形時(shí)，求AP的長；

⑶在(2)的條件下，若BD=CD,求證：AB--AC1=3ADDP.

22.矩形N8CD滿足BC=2N8,E、尸分別為N。、8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接￡尸，沿￡尸將四邊形DEFC翻折

至四邊形GEFH.

(1)①如圖1,若點(diǎn)G落在矩形4BCD內(nèi)，當(dāng)乙8f￡=57。時(shí)，直接寫出乙4EG=.

②如圖2,若點(diǎn)G落在AB邊上，當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，直接寫出sin乙BFH=,

(2)如圖3,若點(diǎn)G落在邊上，且滿足源G,

①求器的值(用含〃的代數(shù)式表示);

Dr

DE+CF

②在￡、尸運(yùn)動(dòng)的過程中，直接寫出的值(用含〃的代數(shù)式表示)

AG

23.小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對稱的經(jīng)驗(yàn)，對線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究.

AD

如圖，在口N8CD中，NN為2C邊上的高,---=m,點(diǎn)”在邊上，且2/=氏0，點(diǎn)E是線段上

AN

任意一點(diǎn)，連接BE,將△4BE沿3E翻折得A五8E.

(1)問題解決:

如圖①，當(dāng)436。。，將△加沿班翻折后’使點(diǎn)廠與點(diǎn)?重合，則應(yīng)一

(2)問題探究:

如圖②，當(dāng)/840=45。