第一學期期末質量監測試卷

局一數學

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在

答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在

試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試卷、草稿紙和

答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

1,已知集合T}6{T。」},則A5=（）

A.[0,1]B.{0,1}c.{-1,0,1}D.（-l,+oo）

2.cos300°=（）

R超

A11D.一3

D.---------c.——

2222

3.命題夕：[-1,4],兀2一3九一4<0,則R（）

A.X/x￡[—1,4],%2—3%—4>0B.Hx￡[-1,4],%2—3x-4Vo

C.Hx￡[—1,4],X21—3x—4>0D.X/x￡（-oo,—1）（4,+oo^,x2—3x—4>0

4.已知〃=3S5]=log30.5,c=log3（）.9,則它們的大小關系為（）

A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.b<c<a

5.己知幕函數y=/（x）的圖象過點；2,當j,下列說法正確的是（）

A.f[x）=4xB.九）的定義域是（一8,+<6）

C./（X）在（0,+。）上為減函數D.八%）為奇函數

6.設函數〃耳=1中;卜二，則使得〃2x）>/（x—3）成立x的取值范圍是（）

A.(-3,+00)B.(^20,-3)O(l,+<?)c.(-3,1)D.(-00,-3)

7.設函數/(x)=sinox,若函數g(x)=/(%)—1在［0,可上恰有3個零點，則正實數0的取值范圍是

()

(913、「913、(1317、「1317、

A，［I'T)BL2^J。［彳，5JD.［了，萬J

3

8.當xe(—l,l)時，不等式2日2—日——<0恒成立，則上的取值范圍是()

8

A.(—3,0)B,[-3,0)C.^-3,—jD.1一3,可

二、選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

9.下列函數為偶函數的是()

A./(x)=x4+cosxB./(x)=x5+tzsinx

C.f(x)=—+xD./(X)=X2+|X|+2

X

10,已知a>0,b>。，且Q+Z?=1,貝ij()

71

A.ab<—B.log2di+log2/2<-2

4

c.6Z2+/?2>1D.2a+2b>242

11.如圖某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數

y=24cos(如+0)+Z7(A>O,G>OJ4<兀)，則(

B.A=20

I7171)

D.這段曲線解析式是y=20cosgx+工+10

_|_2x_3犬<0

12.已知函數/(%)='—'設/(%)=左的實數解個數為方,則()

[Inx,x>0,

A.當『=1時，^e(-00,-4]B.當/=2時，左e(—3,+e)

C.當/=3時，旌(T—3]D.函數”力的值域為R

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

已知cos(a—45。)=1,貝ij5山(45。+?)=

13.

Y

14.函數y=------------(%>0)的最大值為.

x2%+4

71兀

15.將函數y=2cos(2x+§)的圖象向右平移I個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得

到函數y=g(x)的圖象，則函數g(x)的解析式是.

16.我們知道，函數y="x)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=/(x)為奇函數，有

同學發現可以將其推廣為:函數y=/(x)的圖象關于點尸(“力)成中心對稱圖形的充要條件是函數

y=/(x+a)-b為奇函數，函數/(%)=/-6必圖象的對稱中心為.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.己知集合A={x|lVx<5},集合3={%|1+機4%?2-〃2}.

(1)若機=-1,求Au35；

(2)若集合A,3滿足條件：①人。5=5；②AB=A；③xeA是xeB的必要條件.從以上三個條

件中任選一個，求實數加的取值范圍.

18.⑴計算12：：-(喬]+log2次+小.

(2)某工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質含量為3%,現

進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少,，求使產品達到市場要求的過濾的最少次數(參考數據：

3

lg2?0.301,lg3?0.477).

19.(1)tan70°cos10°(A/3tan200-1).

(2)已知cos。=±cos(a+/)=一巳，且0,^,求夕的值.

20.已知函數〃%)=sinxcosX+百sin?%———.

(1)求函數/(%)的最小正周期及單調遞減區間；

JTJT

(2)求函數在區間一1，工上的最大值、最小值.

21.已知/(XHZ'+bNr奇函數，ga)=ln(e*+l)—依是偶函數.

(1)求a力的值；

(2)若不等式/^(冷》/何—力恒成立，求xe[0,+8)時實數加的取值范圍.

22.若函數/(%)的定義域為R,且/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),/[g]=；

(1)求/(0)的值，并證明函數/(%)是偶函數；

(2)判斷函數“X)是否為周期函數并說明理由，求出”—2024)+42024)的值

2023-2024學年第一學期期末質量監測試卷

局一數學

本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號

條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案

標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內.寫在試

卷、草稿紙和答題卡上的非答題區域均無效.

4.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并上交.

一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的)

1.已知集合L，I則A()

A.[0,1]B,{0,1}C.{-1,0,1}D.

(-l,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】根據集合的交集運算求解即可.

【解析】因為集合4={目%>-1},3={-1,0,1},

所以AB=

故選：B.

2.cos300°=()

【答案】A

【解析】

【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數值計算即可.

［解析］cos300°=cos(360°-60°)=cos60°=-.

2

故選：A

3.命題夕：VX￡[—1,4],%2—3%—4<0,則力為（）

A.X/尤￡[—1,4],%2—3%—4>0B.3%￡[—1,4],%?—3x—440

C.3%G[—1,4],x2—3x—4>0D.

Vxe（-co,-l）（4,+co）,%2-3x-4>0

【答案】C

【解析】

【分析】根據含有一個量詞的否定即可得到答案.

【解析】因為命題p:Vxe[—3x—4W0,

所以根據含有一個量詞的否定可知-TP：3XG[-1,4],X2-3X-4>0,

故選：C.

4.己知。=3°5）=log30.5,c=log3（）.9,則它們的大小關系為（）

A.a<c<bB.b<a<cC,a<b<cD.

b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】根據指數函數、對數函數的單調性及指數、對數運算判定大小即可.

【解析】易知y=iog3》在定義域（0,+“）上單調遞增，故）<c,

05

又y=3,也在定義域R單調遞增，所以a=3.〉3°=1=log33>log30.9=c,

所以b<c<a.

故選：D

5.已知累函數y=/（x）的圖象過點2,^-,下列說法正確的是（）

I2）

A./（x）=V%B.“X）的定義域是（一8,4<0）

C.在（0,+8）上為減函數D.為奇函數

【答案】C

【解析】

【分析】由幕函數圖象上的點，求出解析式，利用解析式分析函數性質.

B1

【解析】設事函數=由/（2）=2。=/，解得a=—

_11

由/（x）=x2=—尸，A選項錯誤；

yjx

“X）的定義域是（0,+"）,B選項錯誤；

了（%）在（0,+。）上減函數，c選項正確；

由定義域可知，函數/（%）為非奇非偶，D選項錯誤.

故選：C

6.設函數/（%）=1川乂—二，則使得〃2x）＞/（x—3）成立的x的取值范圍是（）

X

A.（-3,+GO）B.（ro,-3）U（l,+oo）C.D.

S,-3）

【答案】B

【解析】

【分析】分析函數性質，得了（%）為偶函數且在（0,+。）上單調遞增，不等式等價于

|2x|＞|^-3|,解出即可.

【解析】函數"x）=ln|x|—』，定義域為（y,0）U（0,+s）,

/(-x)=ln|-x|--^-y=ln|x|-4=/W,

函數為偶函數,

(一"工

當冗＞0時，/（犬）=ln%——?

由函數y=Inx和y=-4在（0,+。）上都單調遞增，得〃尤）在（0,+。）上單調遞增,

X

則"%）在（—8,0）上單調遞減，

由/（2x）＞/（x—3）,得|2（4-3|,即（2x）2〉（％-3六解得x＜—3或x〉l,

所以X的取值范圍是(Y,—3)U(1,+8).

故選：B

7.設函數/(x)=sin&a,若函數g(x)=/(x)-l在[0,兀]上恰有3個零點，則正實數。的

取值范圍是()

9139131317

2'T25T萬'萬

1口)

h52J

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦函數的圖象與性質計算即可.

【解析】由題意可知g(x)=/(%)—1=0,即sinox=l在[0,可上恰有3個解,

因為xe[0,7i]=>QXW[0,6OT],

9兀13兀913

所以由正弦函數的圖象與性質可知：coneT,-noe25T

故選：B

3

8.當xe(—L1)時，不等式2日2—履—§<0恒成立，則上的取值范圍是(

A.(-3,0)B.[-3,0)

-3-

'8

【答案】D

【解析】

【分析】對二項式系數進行分類，結合二次函數定義的性質，列出關系式求解.

3

【解析】當xe(—1,1)時，不等式2履2—履—§<o恒成立,

當左=0時，滿足不等式恒成立;

3

當上wO時，令/（x）=2而2—依——，則/（力＜0在（—1,1）上恒成立,

8

函數/（%）的圖像拋物線對稱軸為X=；,

左＞（）時，”X）在卜1,；）上單調遞減，在m上單調遞增，

3

f(-l)=2k+k<0

8

則有《解得0＜V；

3O

f(l)=2k-k--<0

o

左＜0時，/（X）在上單調遞增，在上單調遞減,

則有七（1}=正2k一7k丁3①解得-3*0.

綜上可知，女的取值范圍是［-3,g.

故選：D.

【小結】方法小結：分類討論思想是高中數學一項重要的考查內容，分類討論思想要求在不

能用統一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現問題的求解,

體現了對數學問題的分析處理能力和解決能力.

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0

分）

9.下列函數為偶函數的是（）

A./(x)=x4+cos%B.f(A:)=x5+asinx

2

C.f(x)=-T+xD./(x)=x+|%|+2

【答案】AD

【解析】

【分析】根據偶函數的定義判斷四個選項即可.

【解析】對于A選項，〃力=犬+85%定義域為區，關于原點對稱,

/(-x)=(-X)4+cos(-x)=X4+COSX,所以/(%)為偶函數，故A正確;

對于B選項，/(%)=■?+〃sinx定義域為R,關于原點對稱,

〃一%)=(-%)5+“sin(-司二一/一窿血=-/(%),所以/(%)為奇函數，故B錯誤;

對于C選項，/(%)=3+］定義域為(—8,0)°(0,+8),關于原點對稱,

X

/(—￡*=1卞+(—￡)=*—X，所以/(%)為非奇非偶函數，故c錯誤;

對于D選項，/(x)=f+W+2定義域為R,關于原點對稱，

/(—%)=(—尤了+卜乂+2=/+國+2=/(%),所以“X)為偶函數，故D正確,

故選：AD.

10.已知a>03>0,且=貝U(

,1

A.ab<—B.log2tz+log2/?<-2

4

C.a2+Zj2>1D.2a+2b>2y/2

【答案】ABD

【解析】

【分析】由基本不等式求各選項是否正確.

【解析】已知a>0/>0,且。+人=1,

ab<{^\=-，當且僅當a=人=，等號成立，A選項正確；

I2J42

log2a+log2Z?=log2a/?<log2^=-2,當且僅當a=Z?=萬等號成立，B選項正確；

l=(a+b)1=a-+b2+2ab<2^a-+b~),a2+b2>^,當且僅當a=b=；等號成立，C

選項錯誤；

2"+2"22也"x2'=2A/F7r=20，當且僅當2"=2"，即a=b=g等號成立，D選項

正確；

故選：ABD

11.如圖某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數

y=Acos(5+0)+Z?(A>OM>O,|a<兀),則()

y

30,

20

O\vv68101214x

71

A.(D=一B.A=20

8

一兀

C.cp=一D.這段曲線解析式是

4

71

y=20cos—兀x+—+1m0

84)

【答案】AC

【解析】

【分析】由最值求出A力，由周期求出由曲線上的點求出9,驗證各選項即可.

A+b=3Q

【解析】依題意有《-A+"=l。’解得A=l°”2。，B選項錯誤;

27rTT

函數最小正周期7=2(14-6)=16=—,得@=可，A選項正確;

CO

f37T),

x=6時，10cos^6x—++20—10,貝|]叫彳+9)=-1,

3兀71

得彳+°=兀+2左兀(左wZ),由〈兀，得。="c選項正確;

(771171\

所以這段曲線的解析式是y=10COS-x+-+20,D選項錯誤.

故選：AC

d+2%—3,xWO,z、

12.己知函數/'(%)=<設/(x)=上的實數解個數為乙則()

lux,x>0,

A.當/=1時，左e(-co,B.當/=2時，左e(—3,+8)

C.當力=3時,左￡(—4,—3]D.函數7(%)的值域為R

【答案】CD

【解析】

【分析】利用函數圖像，得到函數值域，由/(%)=左實數解的個數，判斷左的取值范圍.

【解析】利用二次函數和對數函數的圖像和性質，作出了(%)的函數圖像，如圖所示,

/(-1)=-4,/(0)=-3,

由函數圖像可知，當/=1時，左e(Yo,-4),A選項錯誤;

當/=2時，左e(—3,+。){T},B選項錯誤；

當r=3時，左e(-4,—3],C選項正確；

函數7(%)的值域為R，D選項正確.

故選：CD.

【小結】方法小結：

方程的根或函數零點個數的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令/(無)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間上是連續不斷的曲線，且

/(a)-/(/?)<0,還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少

個零點.

(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫

坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

（a—45。）=[,貝!]sin（45o+tz）=

13.已知COS

4

【答案】1##0.8

【解析】

【分析】根據（45。+。）一（。一45。）=90。，

sin（45°+。）=sin[90。+（a-45。）]=cos（a—45。）求解即可.

【解析】因為cos（a—45。）=[,（45°+。）—（。—45。）=90°,

Li4

所以sin（45°+o）=sin[90。+（a-45°）J=cos（a-45°）二—,

4

故答案為：—.

x

14.函數y=-y--------（x>0）的最大值為.

x2%+4

【答案】1##0.5

【解析】

—2_y+4

【分析】利用基本不等式，求出%>0時，-―三士？的最小值，可得函數

4

當且僅當x=一，即尤=2時等號成立,

x

則有丁——

x—2%+42

所以當、=2時’函數尸"的最大值為1

故答案為：3

JT7T

15.將函數y=2cos（2x+§）的圖象向右平移I個單位，再將橫坐標伸長到原來的2倍，縱

坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，則函數g。）的解析式是.

【答案】g(x)=2cos(x—《)(答案不唯一，如g(x)=2sin[x+(J)

【解析】

【分析】根據給定的信息，利用三角函數圖象變換法則求出解析式.

JT7T

【解析】將函數y=2cos(2x+])的圖象向右平移I個單位，得函數

JiJIJI

y=2cos[2(%——)+—]=2cos(2x——)的圖象，

436

再把所得圖象上各點橫坐標伸長到原來2倍，縱坐標不變，得y=2cos(x-2)的圖象，

6

所以函數g(x)的解析式是g(x)=2cos(x-》,

6

JT

故答案為：g(x)=2cos(x--)

6

16.我們知道，函數＞=/(尤)的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數

y=/(元)為奇函數，有同學發現可以將其推廣為:函數y=的圖象關于點P(a,b)成中心

對稱圖形的充要條件是函數y=/(x+a)—人為奇函數，函數/(x)=x3-6x2圖象的對稱中

心為.

【答案】(2,-16)

【解析】

【分析】首先設/(%)=必—6必的對稱中心為3〃)，根據函數y=/(x+a)—b為奇函數

可得/(—X+a)-b=-f(x+a)+b,構造方程組即可解得a=2,b=-16.

【解析】根據題意，設/(x)=V—6必對稱中心為(a,切，

則由函數y=/(x+a)—b為奇函數可得/(_%+a)_6=_/(x+a)+6,

變形可得/(—x+a)+/(x+a)=2b,即

(一九+。)3—6(一九+a)~+(x+a)3-6(x+a)-=2b；

6a-12=0

整理可得(6a—12)f+2a3_i2a2=2b,所以＜

2a3—12/=2。

解得a=2,b=-16,所以其對稱中心為(2,—16).

故答案為：（2T6）

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過

程或演算步驟）

17.己知集合4={可1<%?5},集合5={%|1+機《%?2-"?）.

（1）若m=-l,求Au條3；

（2）若集合AB滿足條件:①=②A3=A；③尤eA是xeB的必要條件.從

以上三個條件中任選一個，求實數加的取值范圍.

【答案】⑴ADQ3={HX<0或x?l}

（2）答案見解析

【解析】

【分析】（1）由補集和并集的定義直接求解；

（2）由所選條件，得兩個集合的包含關系，列不等式求實數加的取值范圍.

【小問1解析】

由相=-1,得3={可0Vx?3},則為3={x|尤<0或x>3},

所以4°為3={可％<0或％之1}.

【小問2解析】

選擇①

因為AD5=5，所以

1+7W<1

則有Lu,解得力K—3，

2-m>5

所以實數用的取值范圍為（-*-3].

選擇②

因為A「B=A,所以AgB,

1+<1

則有Lu,解得力K—3，

2-m>5

所以實數用的取值范圍為（-*-3].

選擇③

因為xeA是xwB的必要條件，所以BoA,

當5=0時，有1+機>2-機，解得機>］,此時符合50A；

當6片0時，由5=^\<\+m<2—m<5,WW1Q<m<—

~2

所以實數m的取值范圍為［0,+。）

￡

18.（1）計算121J—（為］+Iog2g+/3.

（2）某工廠生產一種溶液，按市場要求雜質含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質

含量為3%,現進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少工，求使產品達到市場要求的過濾

3

的最少次數（參考數據：lg220.301,lg3”0.477）.

24

【答案】（1）y；（2）9

【解析】

【分析】（1）由指數式和對數式的運算規則化簡計算.

（2）由題意列指數不等式，利用兩邊取對數的方法，結合對數式的運算規則求解.

【解析】（1）

1J..、-3

ln3ln3

閶2—（珂+log2^/2+e+log22^+e=|-1+|+3=y-

（2）設經過幾次過濾，產品達到市場要求，

<------

1000

2

所以祖g§K—lg30,即〃(坨2—Ig3)<—(1+坨3),

1+坨31.477

即“2《8.4,

Ig3-lg20.176

所以使產品達到市場要求的過濾的最少次數為9次.

19.（1）計算tan70°cos10°（由tan20°-1）.

I17兀T

(2)已知cosa=g,cos(o+/)=-一,且0,-,求￡的值.

1422

7T

【答案】（1）-1;（2）-

3

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函數的關系和輔助角公式化簡求值;

（2）13=（a+/3）-a,利用同角三角函數的關系和兩角差的余弦公式求值.

包匕。’Gsin20。/

【解析】(1)tan70°cos10°(V3tan200-l)=coslO

cos70°、cos20°,

包"xcosl。。(百sin20。-cos20。)

cos70°cos20°

7

您迎xcoslO。

sin20°

7

2cos10°sin100_1

sin20°—:

71111

(2)因為0,—,cosa=—,cos(a+，)=-

2714,

所以。+/?￡[5，兀），所以sin。=A/1-COS26Z=士叵,

755/3

sin(6Z+/)=^1-cos2(a+P)=——

、了)14

所以cos/?=cos+尸)一a]=cos[a+/?)cosa+sin(a+4)sini

(15A/34A/31

=--------X—H---------------X----------=—,

V14j71472

jrrr

又因為，e0,-,所以〃=§.

20.已知函數/(x)=sinxcosx+Gsin?》-

（1）求函數/（%）的最小正周期及單調遞減區間;

（2）求函數/（%）在區間-上的最大值、最小值.

57r11兀

【答案】（1）最小正周期為兀，單調遞減區間為fer+—,for+—（左eZ）

（2）最大值是:，最小值是-1

【解析】

【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡函數解析式，由公式計算最小正周期及單調遞

減區間；

（2）由函數定義區間，利用正弦函數的圖像和性質，求出值域.

【小問1解析】

f（x）=sinxcosx+V3sin2x--=—sin2x-cos2x=sinflx-—,

V'2223J

27r

所以，函數外力的最小正周期/=々-二兀.

由24兀+]<2阮+三（左GZ）,得：+<x<kjt+^^-[kGZ）,

Sjr11jr

所以函數八％）的單調遞減區間為kn+—,kn+—（左eZ）.

【小問2解析】

.兀//兀/口57r-7T7T.兀）

由—一,得----K2xK—,貝14sin2x---<一,

446363J2

所以函數了（%）在區間一上的最大值是最小值是T.

21.已知/（力=2'+62,是奇函數，g（x）=ln（ex+l）—◎是偶函數.

（1）求。力的值；

（2）若不等式/'e（％））>“根一%）恒成立，求行[0,轉）時實數加的取值范圍.

【答案】（1）a=[，b=-l

(2)(T?,ln2)

【解析】

【分析】(1)由函數的奇偶性，求