2023年八升九數學暑假培優計劃

專題21二次函數綜合題一存在性等腰三角形類

1.如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線丫=（2/+汝一3與苫軸交于點4（6,0）,B（-L,0）,與y軸交于

點C,連接BC,過點N、C作直線2C.

（2）點P為直線4C下方拋物線上一動點，過點尸作PF1AC交力C于點尸，過點尸作PEII4C交x軸于點￡,求

AE+PF的最大值及此時點P的坐標.

⑶在（2）問的條件下，將拋物線丫=磔2+法—3沿射線。3方向平移祗個單位長度得到新拋物線？，新拋

物線V與原拋物線交于點M；連接CP,把線段CP沿直線4C平移，記平移后的線段為C?:當以P、M為

頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出所有符合條件的P'點的坐標.

2.如圖，已知拋物線、=-%：2+6%+4與苫軸相交于/、8兩點，與y軸相交于點C,若已知/點的坐標

（2）連接4C、BC,求線段BC所在直線的解析式；

⑶在拋物線的對稱軸上是否存在點尸，使AACP為等腰三角形？若存在，求出符合條件的P點坐標；若不

存在，請說明理由.

3.如圖，直線y=—x+4與x軸交于點/,與y軸交于點3,拋物線y=—始+bx+c經過/,8兩點，與

X軸的負半軸交于點C,D、￡為直線48上的動點，且點。一直在點E的左側，DE=&,FE1AC,GDI

AC,FGLOB,GD=1.

⑴求拋物線的解析式；

⑵設點D的橫坐標為m,當四邊形DEFG與拋物線有公共點時，求點D橫坐標m的取值范圍；

⑶當以N,E,尸為頂點的三角形為等腰三角形時，請直接寫出點￡的坐標.

4.如圖，拋物線y=ax2+b%+3與x軸相交于點—B,對稱軸是x=l,與y軸相交于點C.

⑴求拋物線的函數表達式；

⑵點P為拋物線對稱軸上一動點，當aPCB是以BC為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標；

⑶在(2)的條件下，在第一象限內，拋物線上是否存在點M,^S^BCM=SABCP^若存在，求出點M的橫

坐標；若不存在，請說明理由.

5.如圖1,拋物線y=—爭2+爭+g與無軸交于A、B兩點(點4在點B的左側)，交y軸于點C.將直線“以

點力為旋轉中心，順時針旋轉90。，交y軸于點D,交拋物線于另一點E.

⑴求直線2E的解析式；

⑵點尸是第一象限內拋物線上一點，當△B4D的面積最大時，求出此時點尸的坐標；

⑶如圖2,將△ACD沿射線4E方向以每秒等個單位的速度平移，記平移后的△4CD為△4C7Z,平移時間

為t秒，當△4C任為等腰三角形時，求t的值.

6.如圖①，拋物線Ci：y=/+2久一3與拋物線C2：y=a/+2a久一1組成一個開口向上的“月牙線"，拋物線

心和拋物線心與x軸有著相同的交點4（—3,0）、3（點3在點/右側），拋物線Ci與了軸交點為G,拋物線C?

與了軸交點為

⑴求。的值.

⑵如圖①，點￡是點“關于拋物線對稱軸的對稱點，連接EG,點尸在x軸上，當點尸的坐標為何值時，

△EFG是以EG為底的等腰三角形？

⑶如圖②點M是x軸下方拋物線Ci上的一個動點，過點M作MNlx軸于點N,交拋物線C2于點。，試探

究：在M點的運動過程中，券的比值是否為一個定值；如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理

由.

7.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線丫=|/+1-2與無軸交于4、2兩點（點/在點2的左側）,

與〉軸交于點C,連接4C、BC.

⑴求的面積；

⑵如圖1,點。為線段AC下方拋物線上一動點，過點。作DE||y軸交線段4C于￡點，過點￡作EGIIBC交y

軸于點G,求DE+當EG的最大值及此時點D的坐標；

⑶如圖2,將拋物線沿射線C4方向平移緣個單位長度得到新拋物線V，點M為原拋物線的頂點，動點N為

新拋物線:/對稱軸上一點，當△BMN為等腰三角形時，請寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點

N坐標其中一種情況的過程.

8.如圖，拋物線L:y=a久2+^+4與x軸交于點4(一1,0)、5(3,0),與y軸交于點C.將拋物線L向右平移一

個單位得到拋物線〃.

(1)求拋物線L與〃的函數解析式；

(2)連接4C,探究拋物線〃的對稱軸上是否存在點P,使得以點aC,P為頂點的三角形是等腰三角形？若存

在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

9.綜合與探究

如圖1,平面直角坐標系％。y中，拋物線y=—/2+人％+3與汽軸交于A,B兩點(點4在點8的左側)，與y軸

交于點C,點4的坐標為(一2,0),拋物線上有一動點P,點P在第一象限，過點P作y軸的平行線分別交X軸

和直線BC于點。和點E.

⑴求拋物線及直線BC的函數關系式；

⑵當點E為線段DP的中點時，求點E的坐標；

(3)如圖2,作射線。P,交直線BC于點F,當AOB尸是等腰三角形時，求點尸的坐標.

10.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的三個頂點B(4,0),C(8,0),D(8,-8),拋物線y=a/+版經

過4C兩點.動點P從點4出發，沿線段4B向終點8運動，同時點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動，運

動速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，過點P作PE1AB交4C于點E.

(1)求點/的坐標及拋物線的函數表達式；

(2)過點E作EF14。于點尸，交拋物線于點G,當f為何值時，線段EG的長有最大值？最大值是多少？

⑶連接EQ,是否存在t的值使AECQ為等腰三角形？若存在，請求出t值若不存在，請說明理由.(參考公

式：平面內兩點匕。1,丫1)、。2(*2-2)間的距離JO1—冷產+(丫2—乃/)

11.綜合與探究

如圖1,拋物線＞=52+6%+3(￡1大0)與苫軸交于4(一2,0),B(4,0)兩點，與〉軸交于點C,點P是拋物線

在第二象限內的一個動點，過點P作POlly軸交直線BC于點。，連接PC,PB,設點尸的橫坐標為相.

圖1圖2

⑴求拋物線的函數表達式.

(2)①請用含m的代數式表示△PBC的面積.

②當aPBC的面積為竽時，求點P的坐標.

(3)如圖2,在(2)②的條件下，點。是射線CO上的一個動點，射線PQ交直線BC于點G,當△CQG是等腰

三角形時，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標.

12.已知拋物線丫=a/+?+8與》軸交于4(一3,0),8(8,0)兩點，交y軸于點C,點尸是拋物線上一個動

點，且點尸的橫坐標為加.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖2,將直線BC沿y軸向下平移5個單位，交x軸于點交y軸于點N.過點尸作x軸的垂線，交

直線MN于點。，是否存在一點尸，使△BMD是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的加的值；若

不存在，請說明理由.

13.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=a久2+。久+c交x軸于點4(-4,0)、B(2,0),交y軸于點C

(0,6),在y軸上有一點E(0,—2),連接4E.

(1)求二次函數的表達式；

(2)若點D為拋物線在x軸負半軸上方的一個動點，求△ADE面積的最大值；

⑶拋物線對稱軸上是否存在點P,使△力EP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有尸點的坐標，若不存

在，請說明理由.

-1___

14.如圖，拋物線丫=一/2+爪％+?與％軸交于4、B兩點，與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點

己知4(-l,0),C(0,2).

⑴求拋物線的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，求出P點的坐標如

果不存在，請說明理由；

⑶點F是第一象限拋物線上的一個動點，當點尸運動到什么位置時，ACBF的面積最大？求出ACBF的最大

面積及此時尸點的坐標.

15.如圖，已知拋物線y=/+。久+c(b,c是常數)與x軸交于4(1,0),B(-3,0)兩點，頂點為C,點P為

線段上的動點(不與4、B重合)，過P作PQIIBC交拋物線于點Q,交4C于點D.

⑴求該拋物線的表達式；

(2)求△CPD面積的最大值；

⑶連接CQ，當CQ1PQ時，求點Q的坐標；

⑷點P在運動過程中，是否存在以4。、。為頂點