2025二輪復習專項精練3

聚焦熱點情境，弘揚數學文化

【模擬精練】

一、單選題

1.（23-24高一上?山東青島?期中）十七世紀，數學家費馬提出猜想："對任意正整數

n>2,關于x，XZ的方程x"+y'=z"沒有正整數解”，經歷三百多年，1995年數學家安德魯

懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否定為（）

A.對任意正整數2,關于尤,y，z的方程x"+y"=z"都沒有正整數解

B.對任意正整數〃>2,關于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數解

C.存在正整數〃W2,關于x，y，z的方程x"+y”=z”至少存在一組正整數解

D.存在正整數〃>2,關于％y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數解

2.（2024?四川成都?模擬預測）華羅庚是享譽世界的數學大師，國際上以華氏命名的數學科

研成果有“華氏定理""華氏不等式”“華氏算子""華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推

崇.他曾說："數缺形時少直觀，形缺數時難入微"，告知我們把"數"與"形"，"式"與"圖"結

合起來是解決數學問題的有效途徑.在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數

的性質，也常用函數的解析式來分析函數圖象的特征.已知函數，=〃尤）的圖象如圖所

示，則/（x）的解析式可能是（）

A./（x）=3皿B./（x）=3co?C./（x）=RjD./（x）=l11

3.（2024?重慶?一模）英國著名數學家布魯克?泰勒（TaylorBrook）以微積分學中將函數展

開成無窮級數的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數的泰勒級數，泰勒級數用無限連

加式來表示一個函數，如：sinA=x-—+,其中加=lx2x3x…X”.根據該展

3!5!7!

開式可知，與2-々+二-2+…的值最接近的是（）

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

4.（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，

圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若

正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,尸是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，貝|

圖1圖2

B.0C.-2^2D.-472

5.（2023?湖北武漢?二模）"中國剩余定理"又稱"孫子定理"，1852年英國來華傳教士偉烈亞

力將《孫子算經》中"物不知數"問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符

合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，

“中國剩余定理"講的是一個關于同余的問題.現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余

1且被2除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列｛%,｝,貝！］%＜）=（）

A.55B.49C.43D.37

6.（2024?陜西西安?一模）"中國剩余定理"又稱"孫子定理"，最早可見于中國南北朝時期的

數學著作《脅子算經》卷下第二十六題，叫做"物不知數"，原文如下：今有物不知其數，

三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?現有這樣一個相關的問題：被3

除余2且被5除余3的正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列｛%｝,記數列｛%｝的

前〃項和為S“，則至上色的最小值為（）

n

A.60B.61C.75D.76

7.（2024?黑龍江?二模）祖唯是我國南北朝時期偉大的數學家.祖晅原理用現代語言可以描

述為“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截

得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等".例如，可以用祖曬原理推導半球的體積

公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在

圓柱內挖去一個半徑為R,高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個平行于底面

的平面a去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾

何體的體積相等.若用平行于半球底面的平面。去截半徑為R的半球，且球心到平面a的

距離為正R,則平面a與半球底面之間的幾何體的體積是（

D..

8.（22-23高三上?江西撫州?期中）數學美的表現形式多種多樣，我們稱離心率e=。（其中

的橢圓為黃金橢圓‘現有一個黃金橢圓方程為1+%=人＞。）’若以原

點。為圓心，短軸長為直徑作。。尸為黃金橢圓上除頂點外任意一點，過尸作。。的兩條

22

切線，切點分別為A3,直線A3與龍廣軸分別交于兩點，貝|二b^+^a^=

|0M||ON|

（）

1

A.—B.刃C.一3D.

CDco

9.（2024?遼寧沈陽?二模）我國古代典籍《周易》用"卦”描述萬物的變化，每一"重卦"由從

下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻",和陰爻"------------"，如圖就

是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，記事件A="取出的重卦中至少有1個陰爻"，事

件3="取出的重卦中至少有3個陽爻貝”國力=（）

10.（2024?內蒙古赤峰?一模）棣莫弗公式（cos%+i-sin%）〃=cos5x）+Lsin（〃x）（其中i為虛

數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數

fcos-|-+i-sin-|-^在復平面內所對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多選題

11.（2024?湖北?模擬預測）對于正整數小。⑺是小于或等于〃的正整數中與〃互質的數

的數目.函數。⑺以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如夕（9）=6（1,2,4,5,7,8

與9互質），貝I（）

A.若〃為質數，則=〃-1B.數列｛夕（叫單調遞增

C.數列l斌的最大值為1D.數歹|｛。（3"）｝為等比數列

12.（23-24高二上?江蘇南京?階段練習）由倍角公式cos2x=2cos2尤-1可知，cos2x可以表

示為cosx的二次多項式.一般地，存在一個w（〃eN*）次多項式

x

P?（t）=ant"+an_f~+---+a0（aQ,al,...,aneR）,使得cosnr=勺（cos^r）,這些多項式月⑺稱

為切比雪夫（P.LTschebyscheff）多項式.運用探究切比雪夫多項式的方法可得（）

A,《（r）=4/_3rB.4［）=8/-8/+1

C.cos54°=D.sin54°=^^-

64

13.（2024?江西宜春?三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波

羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A,B之間的距離為。（非零常數），動點M到

A,8的距離之比為常數4（2>0,且/wl）,則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓.在平

面直角坐標系中，已知A（T,0）,B（2,0）,點M滿足1MAi=2|MB|,則下列說法正確

的是（）

A.AAA/B面積的最大值為12B.布的最大值為72

C.若Q（8,8）,貝”加4|+2|〃0的最小值為10口.當點M不在x軸上時，始終平分

ZAMB

14.（22-23高三上?山東濰坊?期中）斐波那契數列又稱黃金分割數列,因意大利數學家列昂

納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為"兔子數列"，在現代物理、準晶體結構、化

學等領域都有直接的應用.在數學上，斐波那契數列被以下遞推的方法定義:數列｛4｝滿足：

q=%=1,q+2=%+4SeN*）.則下列結論正確的是（）

A./=13B.。2023是奇數

C*Id?ICI3I******I^^2021^^2021^*2022D.“2022被4除的余數為0

15.（22-23高三下?湖南長沙?階段練習）設a,6為兩個正數，定義”,6的算術平均數為

A（a,6）=等,幾何平均數為G（a,b）=?F,則有：G（a,b）￡A（a,b）,這是我們熟知的

基本不等式.上個世紀五十年代，美國數學家DHZMmer提出了"LMmer均值〃，即

4（。/）=Yr±J，其中P為有理數?下列關系正確的是（）

A.A（a，，）B.4（a,6）NG（a,A）

C.D.Ln+1（a,b）＜Ln（a,b）

16.（2023?遼寧?三模）《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為

"塹堵"；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為"陽馬"，四個面均為直角三角形

的四面體稱為"鱉膈"，如圖在塹堵A2C-44C］中，ACHBC,且AA=AB=2.下列說法正

確的是（）

-----------------/-I

C

A.四棱錐B-AACG為"陽馬"

B.四面體AACB的頂點都在同一個球面上，且球的表面積為8萬

2

c.四棱錐B-AACG體積最大值為：

D.四面體AGCB為“鱉腌”

17.（21-22高三上?湖北鄂州?期末）中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精

致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中

國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數學奧秘的

游戲呈現.它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結對應著數

學曲線中的雙紐線.曲線C：（f+產）2=9卜2一y2）是雙紐線，則下列結論正確的是（）

A.曲線C的圖象關于原點對稱

B.曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）

C.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

D.若直線>=區與曲線C只有一個交點，則實數上的取值范圍為

18.（23-24高二上?山東青島?期末）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》

一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的

(

是

楊輝三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

行14641

第5

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

M

第1193684126126843691

第11104512021025221012045101

lfr115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第8個數

B.1+C；+C：+C；=C；

C.第2020行的第1010個數最大

D.第12行中從左到右第2個數與第3個數之比為2:11

2025二輪復習專項精練3

聚焦熱點情境，弘揚數學文化

【模擬精練】

一、單選題

1.（23-24高一上?山東青島?期中）十七世紀，數學家費馬提出猜想："對任意正整數

n>2,關于x，XZ的方程x"+y'=z"沒有正整數解”，經歷三百多年，1995年數學家安德魯

懷爾斯給出了證明，使它終成費馬大定理，則費馬大定理的否定為（）

A.對任意正整數2,關于尤,y，z的方程x"+y"=z"都沒有正整數解

B.對任意正整數〃>2,關于x,y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數解

C.存在正整數〃W2,關于x，y，z的方程x"+y”=z”至少存在一組正整數解

D.存在正整數〃>2,關于％y,z的方程x"+y"=z"至少存在一組正整數解

2.（2024?四川成都?模擬預測）華羅庚是享譽世界的數學大師，國際上以華氏命名的數學科

研成果有“華氏定理""華氏不等式”“華氏算子""華—王方法”等，其斐然成績早為世人所推

崇.他曾說："數缺形時少直觀，形缺數時難入微"，告知我們把"數"與"形"，"式"與"圖"結

合起來是解決數學問題的有效途徑.在數學的學習和研究中，常用函數的圖象來研究函數

的性質，也常用函數的解析式來分析函數圖象的特征.已知函數，=〃尤）的圖象如圖所

示，則/（x）的解析式可能是（）

A./（x）=3皿B./（x）=3co?C./（x）=RjD./（x）=l11

3.（2024?重慶?一模）英國著名數學家布魯克?泰勒（TaylorBrook）以微積分學中將函數展

開成無窮級數的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數的泰勒級數，泰勒級數用無限連

加式來表示一個函數，如：sinA=x-—+,其中加=lx2x3x…X”.根據該展

3!5!7!

開式可知，與2-々+二-2+…的值最接近的是（）

3!5!7!

A.sin2°B.sin24.6°

C.cos24.6°D.cos65.4°

4.（2024?寧夏?一模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，

圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若

正八邊形ABCDEFGH的邊長為2,P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，則

D.-472

5.（2023?湖北武漢?二模）"中國剩余定理"又稱"孫子定理"，1852年英國來華傳教士偉烈亞

力將《孫子算經》中"物不知數"問題的解法傳至歐洲.1874年英國數學家馬西森指出此法符

合1801年由高斯得出的關于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”，

“中國剩余定理"講的是一個關于同余的問題.現有這樣一個問題：將正整數中能被3除余

1且被2除余1的數按由小到大的順序排成一列，構成數列｛%,｝,貝！］%＜）=（）

A.55B.49C.43D.37

6.（2024?陜西西安?一模）"中國剩余定理"又稱"孫子定理"，最早可見于中國南北朝時期的

數學著作《脅子算經》卷下第二十六題，叫做"物不知數"，原文如下：今有物不知其數，

三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何?現有這樣一個相關的問題：被3

除余2且被5除余3的正整數按照從小到大的順序排成一列，構成數列｛%｝,記數列｛%｝的

前〃項和為S“，則至上色的最小值為（）

n

A.60B.61C.75D.76

7.（2024?黑龍江?二模）祖唯是我國南北朝時期偉大的數學家.祖晅原理用現代語言可以描

述為“夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截

得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等".例如，可以用祖曬原理推導半球的體積

公式，如圖，底面半徑和高都為R的圓柱與半徑為R的半球放置在同一底平面上，然后在

圓柱內挖去一個半徑為R,高為R的圓錐后得到一個新的幾何體，用任何一個平行于底面

的平面a去截這兩個幾何體時，所截得的截面面積總相等，由此可證明半球的體積和新幾

何體的體積相等.若用平行于半球底面的平面。去截半徑為R的半球，且球心到平面a的

距離為變R,則平面。與半球底面之間的幾何體的體積是（

2

8.（22-23高三上?江西撫州?期中）數學美的表現形式多種多樣，我們稱離心率e=&（其中

。=如二1）的橢圓為黃金橢圓，現有一個黃金橢圓方程為三_+1.=1,（°>6>0）,若以原

點。為圓心，短軸長為直徑作為黃金橢圓上除頂點外任意一點，過尸作。。的兩條

22

切線，切點分別為A3,直線A3與羽>軸分別交于M,N兩點，則qb力+三a力=

|OM「|ON|-

（）

C.一。

9.（2024?遼寧沈陽?二模）我國古代典籍《周易》用"卦”描述萬物的變化，每一"重卦"由從

下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻",和陰爻"------------"，如圖就

是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，記事件A="取出的重卦中至少有1個陰爻"，事

件3="取出的重卦中至少有3個陽爻貝”國力=（）

10.（2024?內蒙古赤峰?一模）棣莫弗公式（cos%+i-sin%）〃=cos5x）+Lsin（〃x）（其中i為虛

數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數

兀..兀

cos—+isin—在復平面內所對應的點位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

二、多選題

11.（2024?湖北?模擬預測）對于正整數小。⑺是小于或等于〃的正整數中與〃互質的數

的數目.函數。⑺以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如夕（9）=6（1,2,4,5,7,8

與9互質），貝I（）

A.若〃為質數，則=〃-1B.數列｛夕（叫單調遞增

C.數列l斌的最大值為1D.數歹|｛。（3"）｝為等比數列

12.（23-24高二上?江蘇南京?階段練習）由倍角公式cos2x=2cos2尤-1可知，cos2x可以表

示為cosx的二次多項式.一般地，存在一個w（〃eN*）次多項式

nl

P?（?）=ant"+an_lt~+---+a0（aQ,al,...,aneR）,使得cosnx=Pn（cosx）,這些多項式Pn（?）稱

為切比雪夫（P.LTschebyscheff）多項式.運用探究切比雪夫多項式的方法可得（）

A,《（r）=4/_3rB.^（r）=8r4-8r+l

C.cos54°=^^D.sin54°=^^-

64

13.（2024?江西宜春?三模）古希臘數學家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出了阿波

羅尼斯圓的定義：在平面內，已知兩定點A,B之間的距離為。（非零常數），動點M到

A,8的距離之比為常數4（2>0,且/wl）,則點M的軌跡是圓，簡稱為阿氏圓.在平

面直角坐標系中，已知A（T,0）,B（2,0）,點M滿足1MAi=2|MB|,則下列說法正確

的是（）

A.AAA/B面積的最大值為12B.布的最大值為72

C.若Q（8,8）,貝”加4|+2|〃0的最小值為10口.當點M不在x軸上時，始終平分

ZAMB

14.（22-23高三上?山東濰坊?期中）斐波那契數列又稱黃金分割數列,因意大利數學家列昂

納多-斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為"兔子數列"，在現代物理、準晶體結構、化

學等領域都有直接的應用.在數學上，斐波那契數列被以下遞推的方法定義:數列｛4｝滿足：

q=%=1,。“+2=q+1+%SeN*）.則下列結論正確的是（）

A./=13B.。2023是奇數

C*Id?ICI3I******I^^2021^^2021^*2022D.“2022被4除的余數為0

15.（22-23高三下?湖南長沙?階段練習）設a,6為兩個正數，定義”,6的算術平均數為

A（a,6）=等,幾何平均數為G（a,b）=?F,則有：G（a,b）＜A（a,b）,這是我們熟知的

基本不等式.上個世紀五十年代，美國數學家DHZMmer提出了"LMmer均值〃，即

4（。/）=Yr±J，其中P為有理數?下列關系正確的是（）

A.（?,/?）＜A（o,Z?）B.4（a,6）NG（a,A）

C.D.Ln+1（a,b）＜Ln（a,b）

16.（2023?遼寧?三模）《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為

"塹堵"；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為"陽馬"，四個面均為直角三角形

的四面體稱為"鱉膈"，如圖在塹堵A2C-44C］中，ACHBC,且AA=AB=2.下列說法正

確的是（）

-----------------/-I

C

A.四棱錐B-AACG為"陽馬"

B.四面體AACB的頂點都在同一個球面上，且球的表面積為8萬

2

c.四棱錐B-AACG體積最大值為：

D.四面體AGCB為“鱉腌”

17.（21-22高三上?湖北鄂州?期末）中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精

致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中

國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數學奧秘的

游戲呈現.它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結對應著數

學曲線中的雙紐線.曲線C：（f+產）2=9卜2—y2）是雙紐線，則下列結論正確的是（）

A.曲線C的圖象關于原點對稱

B.曲線C經過5個整點（橫、縱坐標均為整數的點）

C.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過3

D.若直線>=區與曲線C只有一個交點，則實數上的取值范圍為

18.（23-24高二上?山東青島?期末）我國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》

一書中展示了二項式系數表，數學愛好者對楊輝三角做了廣泛的研究.則下列結論正確的

(

是

楊輝三角

行

第0

行

第11

行

第211

行

第3121

行

第41331

行14641

第5

行

第615101051

行

第71615201561

行

第8172135352171

行

第918285670562881

M

第1193684126126843691

第11104512021025221012045101

lfr115516533046246233016555111

A.第6行、第7行、第8行的第7個數之和為第9行的第8個數

B.1+C；+C：+C；=C；

C.第2020行的第1010個數最大

D.第12行中從左到右第2個數與第3個數之比為2:11

參考答案:

題號12345678910

答案DACCABCACB

題號1112131415161718

答案ACDABDABDBCDACABDACDABD

1.D

【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解.

【詳解】"對任意正整數〃>2,關于的方程x"+y"=z”沒有正整數解”的否定為：

存在正整數〃>2,關于蒼Xz的方程X"+/=z"至少存在一組正整數解.

故選：D.

2.A

【分析】利用指數函數、正弦函數的單調性、復合函數的單調性求解.

【詳解】由函數圖象可知，>=/（尤）的圖象不關y軸對稱，

Z1xcos（—X）Z1\COSX

而〃r）=3"'（T）=38s=〃x）,==/（力，

即這兩個函數均關于，軸對稱，則排除選項B、D；

由指數函數的性質可知y=3,為單調遞增函數，y=為單調遞減函數，

由y=sin元的圖象可知存在一個極小的值%>0,使得y=sin尤在區間（0,』）上單調遞增，

z1\sinx

由復合函數的單調性可知，小）=3加在區間（0,與）上單調遞增，f（x）=!在區間

（0,x0）上單調遞減，

由圖象可知/（x）=3"nx符合題意，

故選：A.

3.C

【分析】觀察題目將其轉化為三角函數值，再將弧度制與角度制互化，結合誘導公式判斷

即可.

【詳解】原式=sin27sin（2x57.3°）=sin（900+24.6°）=cos24.6°,

故選：C.

4.C

【分析】根據尸的位置進行分類討論，根據向量數量積運算求得正確答案.

【詳解】設Q,府=0,

當尸與A重合時，APAB=0;

當尸在線段AB（除A）、線段2C、線段CD,線段。E,線段EF（除P）點上運動時，

0<6?<^,cos6?>0,所以而通=網?網cosd>0,

當p與斤重合時，0=^,所以福?麗=|再5H詞-cose=o,

以A為原點，AB>AF分別為羽丁軸建立平面直角坐標系，

根據正八邊形的性質可知A尸=2+12xsin：]x2=2+20,2cos：=夜，

則*0,2+2&）,3卜后,2+四）,”卜亞,后）,網2,0）,

直線6尸的方程為丫=》+2+20,直線GH的方程為彳=一應，直線A”的方程為

y=r,

當尸在線段GF（除尸）上運動時，設尸1,x+2+2@卜夜<x<0）,

所以而.通=k，x+2+2&>（2,0）=xe[-&,0）,

當尸在線段GH上運動時，設尸卜夜,。（五W區友+2）,

所以Q.35=b&,）（2,0）=-2&,

當P在線段AH（除A）上運動時，設尸（X,-尤乂-血4尤<0）,

所以Q.通=（x,T）?（2,0）=2xe[-2>/2,0）.

綜上所述，麗.屈的最小值為-2亞.

故選：C

5.A

【分析】由條件寫出通項公式，即可求解.

【詳解】正整數中既能被3除余1且被2除余1的數，即被6除余1,那么

an=l+（〃-l）x6=6〃-5,有％0=55.

故選：A

6.B

【分析】先由〃兩個等差數列的公共項構成的新的等差數列的公差為兩個等差數列公差的最

小公倍數"得S“，再由基本不等式求得義士色的最小值.

n

【詳解】被3除余2且被5除余3的正整數按照從小到大的順序所構成的數列是一個首項為

8,公差為15的等差數列｛叫,

匚匚“con(n-V)1521

所^以Sn—8nH---——x15=H+—n

1+L+60

團2s“+6022)1c601、chu60/1，

=15HH----Fl>2J15〃----Fl1=61

nnnvn

當且僅當15〃==，即〃=2時取等號,

n

回當〃=2時25,1+60取最小值為61.

n

故選：B.

7.C

【分析】分別求得面。截圓錐時所得小圓錐的體積和平面。與圓柱下底面之間的部分的體

積，結合祖迪原理可求得結果.

【詳解】???平面。截圓柱所得截面圓半徑

平面a截圓錐時所得小圓錐的體積乂，皿2?顯R=&K,

13212

又平面a與圓柱下底面之間的部分的體積為匕=兀爐=

222

根據祖晅原理可知：平面a與半球底面之間的幾何體體積

故選：c.

8.A

【分析】根據題意。、4P、3四點在以。尸為直徑的圓上，可設點尸坐標為尸(七,%),

從而得出四點所在圓的方程為x(x-Xo)+y(y-%)=O,利用兩圓方程之差求得切點A、B

所在直線方程，進而求得M、N兩點坐標即可解決本題.

【詳解】依題意有OAPB四點共圓，設點P坐標為尸(%,%),則該圓的方程為：

x(x-%o)+y(y-yo)=O,

將兩圓方程：/+9=〃與/一/方+/-%》=。相減，得切點所在直線方程為

2

lAB:xx0+yyQ=bf解得M任,o],A^fo,—|,因為可+m=1,所以

1%)IyGJ〃。

/g2b-a1_b2^+a2ylcrb1a2_121

+|ON|2一8+9

x；y；

故選：A

9.C

【分析】根據條件概率的公式，分析P(A),P(AB)求解即可.

【詳解】P(A)="=臾，事件AB="取出的重卦中有3陽3陰或4陽2陰或5陽1

2664

陰”，

故選：C

【分析】由棣莫弗公式化簡結合復數的幾何意義即可得出答案.

71..71271..2711Vj.

【詳解】cos—+isin—=cos—+1-sin—=——+

32

在復平面內所對應的點為,在第二象限.

故選：B.

11.ACD

【分析】利用新定義，結合數列的單調性和等比數列的定義逐個判斷即可.

【詳解】因為“為質數，故小于或等于”的正整數中與〃互質的數的數目為“-1,此時

(p(ri)=n-l,故A正確.

因為飄6)=265)=4,所以向6)<°(5),故數列｛9⑺｝不是單調遞增，故B錯誤.

小于等于2■的正整數中與2■互質的數為1,3,5,…2-1,數目為2"一獷=2"T，

HYIn

所以^^二不才在〃￡曰時遞減，故當〃=1時，數列｛f、｝的最大值為1,故C正確.

。(2)2。(2)

小于等于3"的正整數中與3"互質的數的數為1,2,4,5,…,3"-2,3"-1,數目為

3"-3"T=23一，

故"(3")=2.3"T,而需5=3,故數列加(3")｝為等比數列，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關鍵點點睛：從質數定義入手，結合題目信息，逐步解答.

12.ABD

【分析】根據兩角和的余弦公式，以及二倍角的正余弦公式化簡可得

COS3X=4COS3X-3COSX,根據定義即可判斷A項；根據二倍角公式可推得

^(COSX)=8COS4X-8COS2X+1,即可得出B項；根據誘導公式以及A的結論可知，

cos54°=4cos318°-3cos18°，sin54°=cos36°=2cos218°-1.平方相加，即可得出

cos218°=^^,進而求出D項；假設C項成立，結合D項，檢驗即可判斷.

8

【詳解】對于A：cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx

=(2cos2x-l)cosx-2cosxsin2x=(2cos2x-l)cosx-2cosx(l-cos2%)

=4cos3%—3cosx?

由切比雪夫多項式可知，cos3x=/^(cosx),

gp75(cosx)=4cos3x-3cosx.

令％=cos%,可知月⑺=4-一3/,故A正確；

對于B：cos4x=cos(2x2x)=2cos22x-l=2x^2cos2x-1)2-1=8cos4^-8cos2x+1.

由切比雪夫多項式可知，cos4%=4(cos九)，

即Z^(COSX)=8COS4X-8COS2X+1.

令％=cos%,可知乙(。=8/一8〃+1,故B正確；

對于D：因為36。=2><18。，54°=3x18°,

根據Acos3x=4cos3x-3cosx，可得cos540=4cos”80-3cosl80，

COS36°=2COS2180-1.

又cos36°=sin54°，所以cos236°+cos254°=sin254°+cos254°=1,

所以（4COS3180-3COS18°）2+（2COS2180-1）2=1.

^r=cosl8°>0,可知（4/_3f）2+（2/-iy=1,

展開即可得出16--20〃+5/=0,

所以16-一20〃+5=0,解方程可得r=21.

8

因為/=8$18°>8$30°='^,所以，=5*百,

28

所以COS36°=2COS218°—1=2X^^—1=^^,

84

所以sin54。=cos36。=好口，故D正確；

4

對于C：假設cos54。=好把，

6

因為sin54。=叵也，

4

貝I]sin254°+cos254°=wl,

顯然不正確，故假設不正確，故C錯誤.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：根據題意多項式的定義，結合兩角和以及二倍角的余弦公式，化簡可

求出用（COSX）,月（COSX）,換元即可得出心⑺出⑺.

13.ABD

【分析】設點M（x，y）,由條件可得點M的軌跡方程，即可判斷A,由向量數量積的運算律

代入計算，即可判斷B,由點與圓的位置關系，即可判斷C,由角平分線定理即可判斷D

【詳解】對于A,設點M（x,y）,由|M4|=2|MB|,得依+釬+/=2j（x-2）?+丁,

化為食-4尸+9=16,所以點M的軌跡是以點（4,0）為圓心、4為半徑的圓，

所以AAMB面積的最大值為!IA3|r=[x6x4=12,故A正確；

22

對于B,設線段A2的中點為N,

麗麗=（麗+麗.（麗+麗=|礪T-|M|2<（8+l）2-（-l+4）2=72,

當點M的坐標為（8,0）時取等號，故詞.詼的最大值為72,故B正確；

對于C,顯然點。（8,8）在圓外，點3（2,0）在圓內,

|A￡4|+2|M2|=2|MB|+2\MQ\=2(\MB\+\MQ\)>2\B^=2^(8-2)2+82=20，當B,M,Q三

點共線且點M在線段BQ之間時，(1^41+21^21)^=20,故C錯誤；

對于D,由|。4|=4,\OB\=2,有粵=2=黑，當點M不在x軸上時，

由三角形內角平分線分線段成比例定理的逆定理知，M。是AAMB中N/WB的平分線，故

D正確.

故選：ABD.

14.BCD

【分析】A:直接法寫出第8項即可；

B:數列有3的倍數項為偶數,其他項為奇數的規律，用數學歸納法證明即可;

C:只需證明+公++……+a；=anan+1即可，用數學歸納法證明；

D：用數學歸納法證明6的倍數項為4的倍數即可.

【詳解】解:由題知，關于選項A,：q=%=l,

..。3=2,=3,=5,=8,ci-j—11,=19,

故選項A錯誤；

關于選項B,3的倍數項為偶數,其他項為奇數，下面用數學歸納法證明：

①當九=1,2,3時,ax—a2=l,a3=2,滿足規律，

②假設當n=3k-3,3k-2,3k-1時滿足q-為偶數,%j，為奇數，

③當〃=3左,3左+1,34+2時，

=a

a3ka3k—2+3k-\/Q。3b2,為奇數"必為偶數,

a=aa

3k+l3k-\+。3左/Q3k-\為奇數,〃3女為偶數,,〃3左+1為奇數,

aa

3k+2=a3k+3k+\>Q。3左+1為奇數,a3k為偶數,，aik+2為奇數,

故3的倍數項為偶數,其他項為奇數得證，

2023項是非3的倍數項,故選項B正確；

關于選項C,有+憂+.+……+寸=anan+x成立，用數學歸納法證明如下:

①當〃=1時,%?=1=4.%，滿足規律,

②假設當〃二%時滿足+〃；+〃；+...+城=%%+i成立，

③當〃=左+1時，

〃；+〃；+〃；+...+#+al+\=akak+\+at+\

=%（%+%+】）

=ak+iak+2

成立，滿足規律，

故a；+a；+a；+.......+°；=。,0用,

令“=2021,

則有%~+藥+/+...+°2021=。2021%022成“，

故選項C正確；

關于選項D,有％能被4整除成立，用數學歸納法證明如下：

①當〃=6時=8，滿足規津

②假設當〃=6左時,滿足為i=4九〃zeZ

③當“=6（左+1）時，

4（"1）="6A+6=&6k+5+a6k+4

=2%左+4+a6k+3

=3〃6k+3+2a6k+2

~5。6%+2+3。6%+1

=8%A+1+5a6k

=8&z+i+20m

=4（2%+5加）

Qa6jt+1,meZ

???。“+6能被4整除得證，

。2022=。6*337,，，“2022能被4整除得證,

故選項D正確.

故選:BCD

15.AC

【分析】根據基本不等式比較大小可判斷四個選項.

［詳解］對于A選項，4.5（。，6）=半邛=而〈審=4（。力）,

當且僅當4=〃時，等號成立，故A正確;

—+—

ab

當且僅當。=〃時，等號成立，故B錯誤；

對于C選項，

222

/.\a?+Z?Q?+/?2+Q?+Z?a?+/?+2ab（a+Z?）2a+Z?/.

2（"'）=^7T=~2（^b）—2（a+b）=2（〃+?=亍

當且僅當。=〃時，等號成立，故C正確；

對于D選項，當”=1時，由C可知，，（凡6）2彳=4（°,6）,故D錯誤.

故選：AC.

16.ABD

【分析】根據"陽馬"和"鱉膈"的定義，可判斷A,D的正誤；當且僅當AC=3C時，四棱錐

B-AACG體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據題意找到四面體AACB的外接球的

球心位置，求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可得到判斷B.

【詳解】底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為"塹堵"，

團在塹堵ABC-A4G中，AC_L3C,側棱A41_L平面ABC,

對A選項，13AAi