第1章勾股定理全章復習與測試

O【知識梳理】

一、勾股定理

1.勾股定理

如圖，直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么〃+62=。2.

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

注意：

①勾股定理的前提是直角三角形，對于非直角三角形的三邊之間則不存在此種關系.

②利用勾股定理時，必須分清直角邊，斜邊.尤其在記憶/+加=02時，此關系只有當C是

斜邊時才成立.若b是斜邊，則關系式是/；若。是斜邊，則關系式是62+02="2.

2.直角三角形斜邊上的高

①已知兩條直角邊，通過勾股定理求出斜邊.

②根據直角三角形的面積不變，即工出7求出人

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求

解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：a-=c2-b2,b~=c2-a2,c2=[a+b^-2ab.

二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中"=l+4x）必,所以

2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

d=e-a)'+4x“，所以

2

將兩個直角三角形拼成直角梯形.

A

Bba

(3)

$3=（"6"）。鼻+￥，所以/+/一

三、勾股數

滿足不定方程必+產=z2的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯

然，以X、Az為三邊長的三角形一定是直角三角形.

熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：

3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41...

如果（。、從C）是勾股數，當才為正整數時，以必、bt、U為三角形的三邊長，此三角

形必為直角三角形

四、如何判定一個三角形是否是直角三角形

首先確定最大邊（如C）.

驗證與/+〃是否具有相等關系.若C2=/+/,則4ABC是/C=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,則AABC不是直角三角形.

要點詮釋：當片+82<°2時，此三角形為鈍角三角形；當片+82>02時，此三角形為銳角

三角形，

其中C為三角形的最大邊.

五.勾股定理的逆定理

1.勾股定理逆定理

如果三角形的三邊長分別為a,b,c,且/+/=°2,那么這個三角形是直角三角形.

注意：

①不能說在直角三角形中，因為還沒確定直角三角形，當然也不能說斜邊和直角邊.

②當滿足。2+爐=。2時，C是斜邊，/C是直角.

③利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否為直角三角形的思路是：先確定最長邊，算出

最長邊的平方及另兩邊的平方和，如果最長邊的平方與另兩邊的平方和相等，則此三角形為

直角三角形.

、一【考點剖析】

勾股定理（共8小題）

1.（2022秋?兩江新區期末）如圖，在△ABC中，NA=90°,DE1BC,AB=3,BC=5,

5D是/ABC的角平分線，則的周長是（）

【分析】由角平分線的性質得出證明(HL),得出8A=

BE=3,由勾股定理求出AC=4,則可得出答案.

【解答】解：：/A=90°,DELBC,8。是/ABC的角平分線，

：.AD=DE,

在RtABA￡?和RtABED中，

[AD=DE,

IBD=BD'

RtABAD^RtABED(HL),

.,.BA=BE=3,

：.CE=BC-BE=BC-AB=5-3=2,AC=4,

：.ACDE的周長=QE+OC+CE=4D+Z)C+CE=AC+CE=4+2=6.

故選：A.

【點評】本題考查了角平分線的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，熟練掌握角

平分線的性質是解題的關鍵.

2.（2022秋?巴中期末）如圖，是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有

的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、。的面積分別是3、5、2、3,則最大正

【分析】分別設中間兩個正方形和最大正方形的邊長為無，》z,由勾股定理得出/=8,

y=5,z2=/+y2,即最大正方形的面積為z2.

【解答】解：設中間兩個正方形的邊長分別為x、y,最大正方形E的邊長為z,

則由勾股定理得：/=3+5=8,;/=2+3=5,Z2=X2+J2=13,

即最大正方形E的面積為：?=13.

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之

和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵.

3.（2022秋?輝縣市校級期末）如圖，△ABC中，ZACB=90°,分別以△ABC的邊43、

BC、AC向外作等腰RtAABF,等腰RtABEC和等腰RtAADC,記△ABF、ABEC,△

AOC的面積分別是Si,S2,S3,則51、52、S3之間的數量關系是（）

A.S1CS2+S3B.Si=S2+S3C.JLSI>S2+S3D.LSI=S2+S3

22

【分析】根據勾股定理得到A〃=AC2+8C2,根據等腰直角三角形的性質、三角形的面積

公式計算，得到答案.

【解答】解：在RtZ\A8C中，AB2=AC1+BC2,

\-AABF,LBEC、△AOC都是等腰直角三角形，

,\SI=AAB2,52=工E。2=工8。2,S3=—AD2=AAC2,

22424

S2+S3=ABC2+AAC2=AAB2,

444

.'.S2+S3=—Si,

2

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長

為c,那么cr+b2—^.

4.（2023春?渝北區校級期中）如圖，在四邊形A8CD中，ZABC=150°,8。平分/ABC,

過A點作AE〃BC交8。于點E,EFJ_BC于點R若AB=7,則EF的長為3.5.

【分析】過點A作AMLC8,交CB延長線于點根據題意可知，ZABM=30°,可

求AM=3.5,再利用平行線間距離處處相等，可得EF.

【解答】解：過點A作AMLC8,交延長線于點M,

VZABC=150°,

AZABM=30°,

?■?AH=yAB-1x7=3.5-

'：AM±CB,EF±BC,AE//BC,

根據平行線間的距離處處相等可得：EF=AM=3.5,

故答案為：3.5.

【點評】本題考查的是勾股定理，涉及到含30°的直角三角形的性質和平行線的性質,

作恰當的作輔助線，構造特殊的直角三角形是解題關鍵.

5.（2022秋邛日城縣期末）如圖，已知RtaABC的三邊長分別為6、8、10,分別以它們的

三邊作為直徑向外作三個半圓，則圖中陰影部分的面積為24

A10B

【分析】根據圖形關系可得陰影部分面積為

毆）2冗X尹母2兀X表6*8乂/-（孕）2兀

【解答】解：因為RtZxABC的三邊長分別為6、8、10,

所以62+82=102,

由已知可得：圖中陰影部分的面積為

（￡）2兀吟+/）之兀x1+6X8X/-（空）2兀x1=24.

故答案為：24.

【點評】此題考查的是勾股定理，弄清圖形的面積和差關系是關鍵.

6.（2022秋?秦淮區期末）如圖，在△ABC中，/BAC=90°,A。平分N54C,AB=4,AC

=3,則BD的長是上”.

~7-

A

;

BDC

【分析】過點。作。48,垂足為￡,過點。作。FLAC,垂足為凡根據垂直定義可

得/4即=/4b￡）=/2￡1）=90°,從而可得四邊形A即尸是矩形，進而可得AE=D尸,

然后利用角平分線的性質可得。再利用面積法求出DE=DF=",從而求出BE

7

的長，最后在RtZ\BED中，利用勾股定理，進行計算即可解答.

【解答】解：過點D作。ELA8,垂足為E,過點D作AC,垂足為凡

；./AED=/AFD=/BED=90°,

VZBAC=90",

...四邊形4瓦不是矩形,

：.AE=DF,

平分/SAC,DELAB,DF±AC,

：.DE=DF,

VAB=4,AC=3,

：.^AB-DE+^-AC'DF=^AB-AC,

222

：.Xx4'DE+—X3^DF=—X4X3,

222

解得：DE=DF=絲,

7

：.AE=DF=^,

7

：.BE=AB-AE=^-,

7

在RtzXBED中，BO==歿，

7

故答案為：20.

7

【點評】本題考查了勾股定理，角平分線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加

適當的輔助線是解題的關鍵.

二.勾股定理的證明（共6小題）

7.（2022秋?和平區期末）下面圖形能夠驗證勾股定理的有（）

【分析】利用面積法證明勾股定理即可解決問題.

【解答】解:第一個圖形：中間小正方形的面積/=（a+b）2-4xLb；化簡得°2=/+戶,

2

可以證明勾股定理.

第二個圖形：中間小正方形的面積（＞-a）2=C2-4XJLZ＞；化簡得/+必=02,可以證明

2

勾股定理.

第三個圖形：梯形的面積=工Q+6）Q+6）=2xlxab+^c2,化簡得廣+廬=02；可以

222

證明勾股定理.

故能夠驗證勾股定理的有3個.

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的證明、正方形的性質、直角三角形面積的計算；熟練掌握

正方形的性質，運用面積法得出等式是解決問題的關鍵.

8.（2022秋?鄲城縣期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數

學著作《周髀算經》中.漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人

稱之為“趙爽弦圖”.現在勾股定理的證明已經有400多種方法，下面的兩個圖形就是驗

證勾股定理的兩種方法，在驗證著名的勾股定理過程，這種根據圖形直觀推論或驗證數

學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”.在驗證過程中它體現的數學思想是（）

C.分類思想D.方程思想

【分析】根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法體現的數學思想為數形結合思

想.

【解答】解：這種根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，

它體現的數學思想是數形結合思想，

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據圖形直觀推論或驗證數學規律和公式的

方法體現的數學思想為數形結合思想.

9.（2022秋?巴中期末）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人

稱其為“趙爽弦圖”.如圖是由弦圖變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，

記圖中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNPQ的面積分別為Si,&,S3,若S1+S2+S3

=4,則S2的值是A.

—3—

H

AD

Bp-------C

【分析】設其中一個直角三角形的面積為無，則SI=S3+8X,S2=S3+4X,再根據S1+S2+S3

=4,可得答案.

【解答】解：設其中一個直角三角形的面積為X,

則SI=S3+8X,S2—S3+4X,

；SI+S2+S3=4,

S3+8X+S3+4X+S3=4,

.".S3+4x=—,

3

，S2的值是居，

3

故答案為：—.

3

【點評】本題主要考查了勾股定理，圖形面積的關系，表示出S1和S2是解題的關鍵.

10.（2022秋?寶山區期末）如圖，直角三角形AC8,直角頂點C在直線/上，分別過點4、

8作直線/的垂線，垂足分別為點。和點E.

（1）求證：/DAC=/BCE；

（2）如果AC=BC.

①求證：CD=BE；

（2）①根據A4S可以證明結論成立；

②根據S梯形ADEB=Sz\AOC+Sz\ACB+SaCEB,代入字母計算即可證明結論成立.

【解答】證明：（1）'：ZACB=90°,AO_LZ）E于點。，

：.ZDAC+ZACD=90°,ZADC+ZBCE=90°,

:./DAC=/BCE；

(2)①：4。_1。石于點。，BE_LDE于點、E,

：.ZADC^ZCEB^90°,

由(1)知：NDAC=NBCE,

在△ADC和△CEB中，

,ZADC=ZCEB

'ZDAC=ZECB>

AC=CB

.,.△ADC咨ACEBCAAS),

：.CD=BE；

②由圖可知：

S梯形4DEB=SAADC+SAACB+SACEB,

?(a+b)(a+b)_abc2ab

??------+----+----,

2222

化簡，得：a2+b2=c2.

【點評】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想

解答.

11.(2022秋?金牛區期末)如圖是“趙爽弦圖”，AABH,/\BCG,和△D4E是四個

全等的直角三角形，四邊形A8CD和四邊形EFG”都是正方形，如果AB=15,AH=9,

則四邊形GFEH的面積為9.

A_______________B

【分析】由全等三角形的性質和勾股定理求得AE=12,HE=3,再由正方形的性質即可

得出答案.

【解答】解：:△ABH、△BCG、△8尸和是四個全等的直角三角形，

AD=AB=15,

在RtAADE中，

AE=12,

：.HE=AE-AH=12-9=3,

:四邊形EFGH是正方形，

四邊形GFEH的面積為9,

故答案為：9.

【點評】本題考查了勾股定理的證明、全等三角形的性質、正方形的性質等知識；熟練掌

握勾股定理是解題的關鍵.

三.勾股定理的逆定理（共3小題）

12.（2022秋?丹徒區期末）若三角形的邊長分別為5c7小12c〃八13c7九，則它的最長邊上的

中線為6.5cm.

【分析】首先根據三角形的三邊長證明三角形是直角三角形，再根據直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半即可得到答案.

【解答】V52+122=132,

此三角形是直角三角形，

.?.它的最長邊上的中線為/x13=6.5（cm）.

故答案為：6.5.

【點評】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及直角三角形斜邊上的中線的性質，關鍵

是熟練掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足。2+店=02,那么這個

三角形就是直角三角形.

四.勾股數（共2小題）

13.（2022秋?平昌縣期末）在下列四組數中，不是勾股數的一組數是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.5、12、13D.3、5、7

【分析】欲判斷三個數是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需驗證兩小邊

的平方和是否等于最長邊的平方.

【解答】解：A、32+42=52,是勾股數，不符合題意；

B、62+82=102,是勾股數，不符合題意；

C、52+122=132,是勾股數，不符合題意；

D、32+52#72,不是勾股數，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了勾股數的定義，會判斷一組數是不是勾股數是解題的關鍵.

14.（2022秋?望花區校級期末）下列各組數中，是勾股數的一組是（）

A.1,2,2B.32,42,52C.5,12,13D.6,6,6

【分析】根據勾股數的定義：兩數的平方和等于一個數的平方，逐項驗證即可得到答案.

【解答】解：12=1,22=4,22=4,1+4W4,根據勾股數的定義，這組數不是勾股數，

不符合題意；

B、（32）2=81,（42）2=256,（52）2=625,81+256^625,根據勾股數的定義，這組數

不是勾股數，不符合題意;

C、由52=25,122=144,132=169得25+144=169,根據勾股數的定義，這組數是勾股

數，符合題意；

D、62=36,62=36,62=36,36+36W36,根據勾股數的定義，該選項不是勾股數，不符

合題意；

故選：C.

【點評】本題考查勾股數定義，根據定義逐項驗證是解決問題的關鍵.

五.勾股定理的應用（共6小題）

15.（2022秋?成都期末）河濱公園有一塊長方形的草坪如圖所示，有少數的人為了避開拐

角走“捷徑”，在草坪內走出了一條“路”，他們僅僅少走了6米,卻踩傷了花草！青

青綠草地，悠悠關我心，請大家文明出行，足下留“青”！

【分析】在RtAABC中，直接利用勾股定理得出AB的長，再利用AC+BC-AB進而得

出答案.

【解答】解：在RtzXABC中，AC=1m,BC=24m,

；.AB=25（相），

則AC+BC-AB=7+24-25=6（m）,

故答案為：6.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確應用勾股定理是解題的關鍵.

16.（2022秋?婺城區期末）圖1表示一雙開門關閉時的狀態圖，圖2表示打開雙門過程中，

某一時刻的示意圖，其中A8為門檻寬度.

（1）當時，雙門間隙CD與門檻寬度48的比值為1.

一2一

（2）若雙門間隙的距離為2寸，點C和點。距離都為1尺（1尺=10寸），則

【分析】（1）過。作交于你E,得到△。仍是等邊三角形，四邊形AEOC

是平行四邊形，從而推出CD=』AB,即可得到答案；

2

(2)作CM_LA8于DNLAB于N,得到放ACM也RtZ\3￡W,得到AM=8N,設AM

=%寸，則5N=x寸，由勾股定理列出關于x的方程，即可解決問題.

【解答】解：(1)過。作。后〃AC交A5于E,

*：ZCAB=ZDBA=60°,

：.ZDEA=ZA=60°,

?；NEDB=T8U°-ZB-ZDEA=60°,

；?/B=/DEB=/EDB,

：.AEDB是等邊三角形，

:?BE=BD=DE,

9：AC=BD,

：.AC=DE,

???四邊形AEDC是平行四邊形，

???CD=AE,

\9AC+BD=AB=AE+BE=2BD=2BE,

:.AE=BE,

.DC_1

??——J

AB2

.?.雙門間隙C。與門檻寬度AB的比值為工，

2

故答案為：—；

2

(2)作CM1AB于M,DN±AB于N,

???點C和點。距離AB都為1尺,

：.CM=DN=10(寸)，

"：AC=BD,

:.RtACM^RtABDN(HL),

：.AM=BN,

設AM—x寸，則BN—x寸，

,:CD=2寸，

：.AB=⑵+2)(寸),

"：AC+BD^AB,AC=BD,

：.AC=(x+1)(寸)，

VAC2=AM2+CM2,

/.（尤+1）2=x2+102,

；.2尤+1=100,

：.AB=2x+2=100+1=101（寸）,

...門檻寬度AB是101寸.

【點評】本題考查勾股定理的應用，等腰梯形，關鍵是通過作輔助線把梯形轉化成三角

形，平行四邊形來解決問題.

17.（2022秋?內鄉縣期末）如圖，甲乙兩船同時從A港出發，甲船沿北偏東35°的方向,

航速是12海里/時，2小時后，兩船同時到達了目的地.若C、8兩島的距離為30海里，

【分析】由題意得AB=24海里，ZBAC=90°,BC=30海里，再由勾股定理求得AC的

長，即可解決問題.

【解答】解：由題意得：AB=12X2=24（海里），8c=30海里，ZBAC=180°-35°

-55°=90°,

/.AC=18（海里），

乙船的航速是18+2=9（海里/時），

答：乙船的航速是9海里/時.

【點評】本題考查了勾股定理的應用及方向角，熟練掌握方向角的概念，由勾股定理求

出AC的長是解題的關鍵.

六.平面展開-最短路徑問題（共3小題）

18.（2022秋?東明縣校級期末）空心玻璃圓柱的底面圓的周長是24,高是5,內底面的點A

有一只飛蟲，要吃到8點的食物，最短路徑的長是（

【分析】要想求得最短路程，首先要把A和2展開到一個平面內.根據兩點之間，線段

最短求出螞蟻爬行的最短路程.

【解答】解：展開圓柱的半個側面是矩形，

矩形的長是圓柱的底面周長的一半，即為12,矩形的寬是圓柱的高5.

根據兩點之間線段最短，

知最短路程是矩形的對角線的長13,

故選：C.

【點評】本題考查了平面展開-最短路徑問題，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的

關鍵.

19.(2022秋?鄲都區期末)如圖，圓柱形玻璃杯高為22c%,底面周長為30cm在杯內壁離

杯上沿3cm的點B處粘有一粒面包渣，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯底5cm與面包

渣相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為25cm(杯壁厚度不

【分析】將杯子側面展開，建立A關于的對稱點A',根據兩點之間線段最短可知

A'8的長度即為所求.

【解答】解：如圖：

將杯子側面展開，作8關于EF的對稱點"，

：.B'D=l5cm,40=22-5+3=20(cm),

連接A,則BA即為最短距離，B'A=25(cm).

故答案為：25.

【點評】本題考查了平面展開——最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和

勾股定理進行計算是解題的關鍵.同時也考查了同學們的創造性思維能力.

—【過關檢測】

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）ZVIBC三邊長分別為a,b,c,且a：b：c=3：4：5,則△ABC是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【分析】根據勾股定理的逆定理解答即可.

【解答】解：b-.c=3：4：5,

.?./+y=02,根據勾股定理的逆定理是直角三角形，

故選：A.

【點評】本題主要考查了比例線段和直角三角形的判定方法.如果一個三角形的三邊a,

b,C滿足/+廬=02,那么這個三角形是直角三角形.

2.（3分）在Rt/VIBC中，ZA=90°,BC^13cm,AC^5cm,則第三邊AB的長為（）

A.18cmB.12cmC.8cmD.6cm

【分析】根據勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于

斜邊長的平方進行計算即可.

【解答】解：VZA=90°,BC^lScm,AC=5cro,

：.AB=n（cm）,

故選：B.

【點評】此題主要考查了勾股定理，關鍵是掌握勾股定理內容.

3.（3分）下列各組線段中，能構成直角三角形的一組是（）

A.7,12,13B.5,9,12C.3,4,6D.40,50,30

【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么

這個是直角三角形判定則可.如果有這種關系，這個就是直角三角形.

【解答】解：A、：72+122/132,.?.該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角

形，故錯誤；

8、?.?52+92#122,.?.該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤;

C、：32+42#62,.?.該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故錯誤；

。、：302+402=502,.?.該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正確；

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所

給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關

系，進而作出判斷.

4.（3分）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）

A.1、2、3B.2、3、4C.3、4、5D.4、5、6

【分析】判斷是否能組成直角三角形，只要驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方

即可.

【解答】解：A、..T2+22W32,.?.不能組成直角三角形，故A選項錯誤;

2、：22+32H42,.?.不能組成直角三角形，故2選項錯誤；

C、：32+42=52,.?.組成直角三角形，故C選項正確；

。、：42+52/62,.?.不能組成直角三角形，故。選項錯誤.

故選：C.

【點評】此題考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三邊滿足/+廬=02,則△ABC是

直角三角形.

5.（3分）連接旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，若把繩子的下端拉開距旗桿底部端5米，

則繩子下端剛好接觸地面，則旗桿的高度是（）

A.3米B.4米C.12米D.13米

【分析】根據題意設旗桿的高為尤米，則繩子AC的長為（尤+1）米，再利用勾股定

理即可求得的長，即旗桿的高.

【解答】：如圖：設旗桿的高48為x米，則繩子AC的長為（尤+1）米,

在Rt^ABC中，8c=5米，

AB2+BC2=AC2,

/.X2+52=（X+1）2,

解得x—12,

AAB=12.

.?.旗桿的高12米,

故選：C.

BC

【點評】此題考查了學生利用勾股定理解決實際問題的能力，解題的關鍵是從實際問題

中整理出直角三角形并正確的利用勾股定理求解.

6.（3分）已知一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是（）

A.25B.7C.5和7D.25或7

【分析】分兩種情況：①當3和4為直角邊長時；②4為斜邊長時；由勾股定理求出第三

邊長的平方即可.

【解答】解：分兩種情況：

①當3和4為直角邊長時，

由勾股定理得：第三邊長的平方，即斜邊長的平方=32+42=25；

②4為斜邊長時，

由勾股定理得：第三邊長的平方=42-32=7；

綜上所述：第三邊長的平方是25或7；

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，并能進行推理計算是解決問題的關

鍵，注意分類討論，避免漏解.

7.（3分）下列條件能確定三角形A3C是直角三角形的是（）

A.ZA=ZB=ZCB.ZA=40°,ZB=50°

C.AB=ACD.AB=2,AC=3,BC=4

【分析】根據勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理逐個判斷即可.

【解答】解：A、ZA=ZB=ZC=6Q°,不是直角三角形，不符合題意；

B、ZA=40°,NB=50°,ZC=90°,是直角三角形，符合題意；

C、AB=AC,是等腰三角形，不一定是直角三角形，不符合題意；

D、22+32^42,不是直角三角形，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形的內角和定理，注意：①如果一個三角

形的兩邊a、6的平方和等于第三邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形，②三角形

的內角和等于180°.

8.(3分)如圖，一梯子A5斜靠在一豎直墻AC上，測得梯子的頂端到地面的距離為8祖,

若梯子的頂端A沿墻下滑2根到點此時梯子的底端5滑到了。處，測得出)=2處

則梯子的長度為()

A卜

CBD

A.16mB.14mC.12mD.10m

【分析】設8C=〃〃，利用勾股定理用x表示出AB和CD的長，進而求出x的值，即可

求出48的長度.

【解答】解：設8C=xm,依題意，得AE=2m,BD=2m,AC=8m,

在Rt^ACB中，根據勾股定理得

AB2^AC2+CB2^?,2+^,

在Rt^CE。中，根據勾股定理

E￡)2=CE2+CD2=(8-2)2+(x+2)2,

.1.82+X2=(8-2)2+(x+2)2,

解得尤=6,

：.AB=10,

答：梯子A3的長為10切.

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，本題中找到AB=C。是解題的關鍵.

9.(3分)將三個大小不同的正方形如圖放置，頂點處兩兩相接，若正方形A的邊長為4,

正方形C的邊長為3,則正方形3的面積為(

A.25B.5C.16D.12

【答案】A

【分析】根據正方形的性質證絲」FHG,推出。￡="/=4,根據勾股定理求出FG即

可.

NEDF+NDFE=90°,NDFE+ZGFH=90°,

?.NEDF=NGFH,

在J）EF和△EHG中，

ZDEF=ZFHG

<NEDF=NHFG,

DF=FG

：.DEFmaFHCKAAS）,

：.DE=FH=4,

?：GH=3,

在RJGHF中,由勾股定理得：/G?=32+42=25,

則正方形8的面積為25.

故選：A.

【點睛】本題考查了正方形性質，全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，解此題的關

鍵是求出切的長.

10.（3分）如圖所示的一塊地，已知ZADC=90。，AD=12m,CD=9m,AB=25m,

BC=20m,則這塊地的面積為（）m'

A.92m2B.93m2C.96m2D.90m2

【答案】C

【分析】連接AC,先利用勾股定理求出AC,再根據勾股定理的逆定理判定11ABe是直角

三角形，再由.ABC的面積減去ACD的面積就是所求的面積，即可.

【詳解】解：如圖，連接AC.

在；ACD中，*/ZADC=90°,AD=12m,CD=9m,

.".AC=15m,

又,/AC2+BC"=152+202=252=AB2,

...一ABC是直角三角形，

S2

這塊地的面積=5VAec-NACD=|xl5x20-1x9xl2=96m.

故答案為：C.

【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應用，根據勾股定理逆定理得到.ABC是直

角三角形是解題的關鍵.

二.填空題（共7小題，滿分28分，每小題4分）

11.（4分）禪城區某一中學現有一塊空地485如圖所示，現計劃在空地上種草皮，經測量

/B=90,AB=3m,BC=4-m,CD=13m,AD=12m,若每種植1平方米草皮需要300元，總

共需投入元

【答案】10800

【分析】仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結果，在直角三角形A6C中可求得

AC的長，由AC、AD、〃1的長度關系可得「.ACD為直角三角形，切為斜邊；由此可知，四邊

形力由凡ABC和WA4CD構成，即可求解.

【詳解】解：在凡ABC中，

'/AC2=AB2+BC2=32+42=52.

：.AC=5.

在ACE>中，C￡)2=132,Ar>2=122.

而12?+5)=13，

即AC2+AD2=CD2,

：.ZZMC=90°,

即：3四邊形題8=5BAC+SDAC=-BC-AB+—CD>AC

=-x4x3+-xl2x5=36.

22

所以需費用：36x300=10800(元).

故答案為10800.

【點睛】本題考查了勾股定理，逆定理的相關知識，以及割補法求圖形的面積，熟練掌握勾

股定理及其逆定理是解答本題的關鍵.

12.(4分)已知一個三角形的三邊長分別是12cm,16cm,20cm,則這個三角形的面積為

cm2.

【分析】先利用勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀，再利用三角形的面積公式即可

求出其面積.

【解答】1￥：V122+162=202,

...此三角形是直角三角形，

此直角三角形的面積為：工X12X16=96(cm2).

2

【點評】能夠根據具體數據運用勾股定理的逆定理判定該三角形是一個直角三角形.然

后進一步計算面積.

13.(4分)如圖，有一段樓梯AC長為15米，由于這段樓梯較陡，為了方便行人通行，現

準備新修一條樓梯AD已知&。=20米，CD=7米,則樓梯的高度為12米.

【分析】直接利用勾股定理求出BC的長，進而得出AB的長.

【解答】解：設BC=x,則在RtAACB和RtAADB中，

AB2=AD2-BD2,AB2=AC2-BC1,

故2()2-(7+BC)2=152-BC2,

解得：BC=9,

/.AB2=152-92=144,

故答案為：12.

【點評】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出BC的長是解題關鍵.

14.(4分)于&ABC,有下列條件：@ZA+ZB=ZC；②AGBC：AB=3：4：5；③

/=3+c)(b-c)；④4ZB-.?=2：3：4.其中能確定.ABC是直角三角形的是.

【答案】①②③

【分析】根據直角三角形的定義和勾股定理的逆定理解答.

【詳解】解：①，ZA+ZB+ZC=180°,^A+^B=^G

.?."=90°,

ABC是直角三角形；

②AGBC：AB=3：4：5,設AC=3左，則3C=44，AB=5k,

:AC2+BC2=25k2,AB2=25k2,

：.AC2+BC2=AB2,

，.ABC是直角三角形；

@a2=(Z>+c)(Z?-c),a2=b2-c2

???ABC是直角三角形；

4

④/AZB-.—C=2：3：4時，/C=180°x-------<90°,

2+3+4

/.ABC是銳角三角形；

故能確定.ABC是直角三角形的有①②③.

【點睛】本題考查了三角形內角和定理，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解題

的關鍵.

15.(4分)如圖，在正方形方格紙中，/a與/B的度數和為90°.

【分析】首先判定△ABCgADEF,進而可得/l=a,再根據余角的性質可得答案.

【解答】解：在△ABC和。EF中，

'AB=DE

<BC=DF-

AC=EF

AADAEVACAB(SSS),

Zl=Za,

,.,N2+Na=90°,

.?.Zl+Z2=90°,

故答案為：90°.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角

形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定

條件.

16.（4分）如圖，標有“長”“街”“鎮”三字的三個正方形圍成一個直角三角形，正方形

“長”“街”的面積分別為81、400,則圖中標有“鎮”字的正方形面積是319.

【分析】觀察可看出標有“鎮”字的正方形面積等于直角三角形的長直角邊的平方，已知

斜邊和另一較短的直角的平方，則不難求得標有“鎮”字的正方形面積.

【解答】解：根據勾股定理和正方形的面積公式，得標有“鎮”字的正方形面積=400-

81=319.

故答案是：319.

【點評】此題考查了運用勾股定理，結合正方形的面積公式可以證明：以直角三角形的

兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的面積.

17.（4分）如圖，將直角三角形ABC沿方向平移到直角三角形。EF的位置，DE交AC

于點O,已知AB=6,BE=4,OD=2,則四邊形OCFD的面積為20.

【分析】根據平移的性質可得QE=4B=6,然后可求。E,再由平移可得S陰影=SADEF-

S&OEC=S&ABC-SAOEC=S梯形ABEO.然后根據梯形面積公式計算即可.

【解答】解：：A8=6,

:.DE=6,OD=2,

；.OE=4,

,/直角三角形ABC沿BC方向平移到直角三角形DEF,

S陰影=-SAOEC=S4ABC-S/^OEC=S梯形ABEO=￡X（6+4）X4=2。.

故答案為：20.

【點評】本題考查了平移的基本性質，三角形的面積，利用平移的性質得到S陰影=S^DEF

-S/\OEC=S/\ABC-SAOEC=S梯形ABE。是關鍵.

三.解答題（共3小題，滿分18分，每小題6分）

18.（6分）如圖，在△ABC中，ADLBC,AD=12,30=16,CD=5.求：△ABC的周長.

【分析】在RtZXABD和RtzMCZ）中，先根據勾股定理求出A8和AC的長，繼而即可求

出△ABC的周長.

【解答】解：在和RtAACD中，

根據勾股定理得：AB2^AD2+BD2,AC2=AD2+CD2,

又：4。=12,BD=16,CD=5,

AAB=20,AC=13,

.,.△ABC的周長=AB+AC+BC=AB+AC+BD-￡>C=20+13+16-5=44,

即：ZVIBC的周長是44.

【點評】本題考查勾股定理及其逆定理的知識，熟練掌握勾股定理公式是解決問題的關

鍵.

19.（6分）如圖，在四邊形力B/中，AB=20,AD=15,CD=7,BC=24,ZA=90°,

求證：ZC=9Q°.

【答案】見解析

【分析】連接勾股定理求得5D的值，進而根據C￡>2+BC2=8加，即可得證.

【詳解】解：如圖，連接3。，

VAB=20,AD=15,ZA=90°,

BD=25,

VCD=1,BC=24,

CD2+BC2=49+576=625=252=BD2,

△COB是直角二角形，且NC=90。.

【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解題的關鍵.

20.（6分）在甲村至乙村的公路旁有一塊山地需要開發，現有一C處需要爆破，已知點C

與公路上的停靠點A的距離為800米，與公路上另一停靠點B的距離為600米，且C4

1.CB,如圖，為了安全起見，爆破點C周圍半徑450米范圍內不得進入，問在進行爆破

時，公路AB段是否有危險需要暫時封鎖？請通過計算進行說明.

【分析】過C作CDLA8于。.根據CA_LCB,得出NAC8=90°,利用根據勾股定理

有AB=1000米.利用以ABC=°A8?CO=」8c得到0）=480米.再根據480米〉

22

400米可以判斷沒有危險.

【解答】解：公路AB不需要暫時封鎖.

理由如下：如圖，過C作CO_L4B于D

VCAXCB,

ZACB=90°,

因為8C=800米，AC=600米，

所以，根據勾股定理有A8=1000（米）.

因為SAABC=—AB-CD^^BC-AC

22

所以cr）=BC'AC=800X600=48°（米）.

AB1000

由于450米＜480米，故沒有危險,

因此AB段公路不需要暫時封鎖.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是利用直角三角形的性質求出CD的

長.

四.解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）

21.（8分）如圖，鐵路上4笈兩點相距25km,C、〃為兩村莊，于4CB_LAB于

B,已知ZM=15km,CB=10km,現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站￡,使得C、D

兩村到￡站的距離相等，則￡站應建在距A站多少千米處？

【答案】￡點應建在距/站10千米處.

【分析】根據產品收購站￡,使得2兩村到￡站的距離相等，在RtDAE和Rt^CBE中，

設出AE的長，可將￡>￡和”的長表示出來，列出等式進行求解即可.

【詳解】解：設AE=xkm,

:G，兩村到￡站的距離相等，

:.DE=CE,BPDE2=CE1,

由勾股定理，AD2+AE2DE2,BC2+BE2^CE2,

.1.152+X2=102+（25-X）2,

解得x=10.

點應建在距/站10千米處.

【點睛】本題主