試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第六章圓第28講與圓有關的位置關系（思維導圖+5考點+1命題點15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關系考點二直線與圓的位置關系考點三圓與圓的位置關系考點四與切線有關的知識考點五三角形的外接圓與內切圓04題型精研·考向洞悉命題點與圓有關的位置關系?題型01點與圓的位置關系?題型02直線與圓的最值問題?題型03直線與圓的位置關系?題型04圓與圓的位置關系?題型05利用切線的性質求解?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）?題型08切線的性質與判定綜合?題型09作圓的切線?題型10應用切線長定理求解或證明?題型11由三角形外接圓求值?題型12由三角形內切圓求值?題型13三角形內心有關的應用?題型14三角形外接圓與內切圓綜合?題型15圓位置關系與函數綜合試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求點與圓的位置關系★了解點與圓的位置關系.圓與圓的位置關系★★了解直線與圓的位置關系.切線的判定★★★掌握切線的概念，*探索并證明切線長定理切線的性質與計算★★三角形的內切圓★了解三角形的內心與外心三角形的內切圓★★【考情分析】本專題中切線的判定和性質是圓的相關問題中的重點，常以解答題的形式出現，掌握切線的判定定理是解題的關鍵，注意其常用輔助線的作法:“有切點，連半徑，證垂直；無切點，作垂直，證半徑”同時，切線長定理也有考查。【命題預測】本專題內容是各地中考數學中的必考考點之一，主要內容包括點、直線與圓的位置關系、切線的性質和判定、三角形的內切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質和判定，和直角三角形結合的求線段長的問題和三角函數結合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大.關鍵是掌握基礎知識、基本方法，力爭拿到全分．02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關系點和圓共有三種位置關系，分別是點在圓內，點在圓上，點在圓外，如下表所示：已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系點在圓內點P在圓內d<r點在圓上點P在圓上d=r點在圓外點P在圓外d>r【注意】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關系，可以確定該點與圓的位置關系．1．（2024·云南怒江·一模）平面內，⊙O的半徑為10cm，若點P在⊙O內，則OP的長可以是（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm2．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）已知⊙O的半徑為1，點A到圓心O的距離為a，若關于x的方程x2?2x+a=0不存在實數根，則點A與⊙O的位置關系是（A．點A在⊙O外 B．點A在⊙O上C．點A在⊙O內 D．無法確定3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面內，點P在⊙O外，已知點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（）A．a+b2 B．a?b2 C．a 4．（2024長春市三模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內且點B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．6 B．8 C．10 D．12考點二直線與圓的位置關系直線和圓共有三種位置關系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d直線和圓的位置關系相交相切相離定義直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交直線和圓只有一個公共點時，叫做直線與圓相切直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離圖示公共點個數2個1個無圓心到直徑的距離d與圓半徑r之間的大小關系d<rd=rd>r公共點名稱交點切點無直線名稱交線/割線切線無結論直線l與⊙O相交d<r直線l與⊙O相切d=r直線l與⊙O相離d>r從左端推出右端是直線與圓的位置關系的性質，從右端推出左端是直線與圓的位置關系的判斷.1．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙OA．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切3．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以點B為圓心，r為半徑作⊙B，當r=3時，⊙B與ACA．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定4．（2024·湖北·模擬預測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是QUOTEQUOTE考點三圓與圓的位置關系設的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關系如下表：位置關系圖形公共點個數性質及判定外離無兩圓外離?外切1個切點兩圓外切?相交兩個交點兩圓相交?內切1個切點兩圓內切?內含無兩圓內含?兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，奧運五環標志里，包含了圓與圓位置關系中的（）A．相切，內含 B．外切，內含 C．外離，相交 D．相切，相交2．（2021·上海·中考真題）如圖，已知長方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B的半徑為1，圓A與圓B內切，則點C,D與圓A的位置關系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內 B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內 D．點C在圓A內，點D在圓A外3．（2024·上海·二模）若兩個半徑為2的等圓外離，則圓心距d的取值范圍為．考點四與切線有關的知識1.切線的性質定理與切線的判定定理切線的定義：線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經過切點與圓心的直線）【補充】1）經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；2）經過切點且垂直于切線的直線必過圓心.切線的判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.用切線的判定定理時,兩個條件缺一不可:1）經過半徑的外端；2）垂直于這條半徑.2.切線長定理切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．【解題技巧】切線長定理經常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構造直角三角形來求解．

1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，若∠C=20°，則∠CAD=°．2．（2024·四川·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，C為AB的中點，過點C作CD∥AB，交OB的延長線于點D．連接

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面積．3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，EA，ED是⊙O的切線，切點為A，D，點B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，則∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°4．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=28°，則∠APB的度數為（

）A．28° B．50° C．56° D．62°5．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知PA,PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M．給出下列四種說法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心，其中正確說法的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4考點五三角形的外接圓與內切圓1.三角形的外接圓與外心三角形外接圓：經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點.三角形的外心的性質：三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.2.三角形內切圓與內心三角形內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心：內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形三條內角平分性的交點.三角形的內心的性質：內心到三角形各邊的距離相等.1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O的半徑是2．（2021·浙江·中考真題）如圖，已知點O是△ABC的外心，∠A=40°，連結BO，CO，則∠BOC的度數是（

）．A．60° B．70° C．80° D．90°3．（2020·青海·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，則△ABC的內切圓的半徑為．4．（2023·江蘇鎮江·中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數，計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑．根據以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

04題型精研·考向洞悉命題點一與圓有關的位置關系?題型01點與圓的位置關系根據點到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關系.設半徑為r，點到圓心的距離為d1）若d＜r，則點P在圓內；2）若d=r，則點P在圓上；3）若d＞r，則點P在圓外.1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長為43，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內有一點P，若OP=5，則點P與⊙O的位置關系是（

A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內 C．點P在⊙O外 D．無法確定2．（2021·青海·中考真題）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．3．（2024·河北滄州·模擬預測）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板．從中選擇兩個各拼成如圖所示的圖形，則關于兩圖中四個頂點A，B，C，D的說法，正確的是（

）A．甲圖四點共圓，乙圖四點共圓 B．甲圖四點共圓，乙圖四點不共圓C．甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓 D．甲圖四點不共圓，乙圖四點不共圓QUOTEQUOTEQUOTE?題型02直線與圓的最值問題已知點P為⊙O上動點，點Q為直線AB上動點，過點O作OD⊥AB于點D，交⊙O為點C圖示：結論：當O，P，Q三點共線且為垂線段時，PQ取最小值，最小值為PQ的長.1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則2．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點P在⊙O上，點M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業新區的外環路，新區管委會在點B處，點E處是該市的一個交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據新區的自然環境及實際需求，現要在矩形AFDE區域內（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點N．連接BN，點P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環道⊙O的圓心O到AB

?題型03直線與圓的位置關系判定直線與圓的位置關系通常有以下兩種方法：1）根據直線與圓的公共點的個數判斷；①若直線與圓有兩個交點，則直線與圓相交；②若直線與圓有一個交點，則直線與圓相切；③若直線與圓有沒有交點，則直線與圓相離.2）根據圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷.設半徑為r，直線到圓心的距離為d①若d＜r，則直線與圓相交；②若d=r，則直線與圓相切；③若d＞r，則直線與圓相離.1．（2022·山東青島·模擬預測）已知等邊三角形ABC的邊長為4cm，以點A為圓心，以3.5cm長為半徑作⊙A，則⊙A與BC的位置關系是（A．相交 B．相切 C．相離 D．外離2．（2024·上海嘉定·三模）設以3，4，5為邊長構成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為個.3．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標系中，點P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=A根據以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線y=3（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關系，若相交，設其弦長為n，求QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04圓與圓的位置關系1．（2024·上海·中考真題）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在△ABC內，分別以A、B、P為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內切，圓P與圓B的關系是（

）A．內含 B．相交 C．外切 D．相離2．（2023·四川德陽·中考真題）已知⊙O1的半徑為1，⊙O2的半徑為r，圓心距O1O2=5，如果在⊙O3．（2024·上海·模擬預測）若相交兩圓的半徑分別為4和5，公共弦長為6，兩圓圓心距長為．QUOTE?題型05利用切線的性質求解運用切線的性質進行計算時，常見輔助線的作法是連接圓心和切點，根據切線的性質構造出直角三角形，一方面可以求相關角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長度1．（2024·山西·中考真題）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，與AC相切于點A，連接OD．若∠AOD=80°，則∠C的度數為（）A．30° B．40° C．45° D．50°2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E，過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON=10，cos∠ABC=353．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時，求BP的長．?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）1）給出了直線與圓的公共點和經過公共點的半徑時，可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.1．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AD=10，cosB=352．（2024內蒙古·中考真題）如圖，△ACD內接于⊙O，直徑AB交CD于點G，過點D作射線DF，使得∠ADF=∠ACD，延長DC交過點B的切線于點E，連接BC．(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若CD=8①求DE的長；②求⊙O的半徑．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA=∠B．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若sin∠B=12(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的長．?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）1．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，點O為AB的中點，連接CO交⊙O于點E，⊙O與AC相切于點D．(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)延長CO交⊙O于點G，連接AG交⊙O于點F，若AC=42，求FG2．（2023·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，O是BC的中點，⊙O與AB相切于點D，與BC交于點E，F，DG是⊙O的直徑，弦GF的延長線交AC于點H，且GH⊥AC．

(1)求證：AC是⊙O的切線；(2)若DE=2，GH=3，求DE的長l．?題型08切線的性質與判定綜合1．（2024·湖北武漢·中考真題）如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，腰AC與半圓O相切于點D，底邊BC與半圓O交于E，F兩點．(1)求證：AB與半圓O相切；(2)連接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC2．（2023·湖北隨州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是BE的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F．

(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若AE=2，sin∠AFD=13，①求⊙O3．（2023·湖南懷化·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PA與⊙O相切于點A，點C為⊙O上的一點．連接PC、AC、OC，且PC=PA．

(1)求證：PC為⊙O的切線；(2)延長PC與AB的延長線交于點D，求證：PD?OC=PA?OD；(3)若∠CAB=30°，?題型09作圓的切線1．（2024·廣東·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°．

(1)實踐與操作：用尺規作圖法作∠A的平分線AD交BC于點D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應用與證明：在（1）的條件下，以點D為圓心，DC長為半徑作⊙D．求證：AB與⊙D相切．2．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖，在單位長度為1的網格中，點O，A，B均在格點上，OA=3，AB=2，以O為圓心，OA為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：①過點A作切線AC，且AC=4（點C在A的上方）；②連接OC，交⊙O于點D；③連接BD，與AC交于點E．(1)求證：BD為⊙O的切線；(2)求AE的長度．3．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于12CD?AB，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙QUOTE?題型10應用切線長定理求解或證明1．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，△ABC的內切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F，若⊙I的半徑為r，∠A=α，則BF+CE?BC的值和∠FDE的大小分別為（

）A．2r，90°?α B．0，90°?α C．2r，90°?α2 2．（2023·湖北·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC分別相切于點D，E，連接DE，AO的延長線交DE

3．（2024·湖北黃岡·模擬預測）如圖，射線AM⊥AB，O是AM上的一點，以O為圓心，OA長為半徑，在AM上方作半圓AOC，BE與半圓O相切于點D，交AM于點E，EF⊥BO于點F．(1)求證：BA=BD；(2)若∠ABE=60°，①判斷點F與半圓O所在圓的位置關系：點F在______；（圓內，圓上，圓外）②AB=6，求陰影部分的面積．?題型11由三角形外接圓求值1．（2023·內蒙古·中考真題）如圖，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，垂足分別為D,E,F，連接DE,EF,FD．若DE+DF=6.5,△ABC的周長為21，則EF的長為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．32．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點B作BE⊥AC于點E，點P為線段BE上一動點（點P不與B，E重合），則CP+12BP

3．（2022·廣西玉林·中考真題）如圖，在5×7網格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認為外心也是O的三角形都寫出來．4．（2023·山東日照·中考真題）在探究“四點共圓的條件”的數學活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應用此結論．解決以下問題：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．點D是BC邊上的一動點（點D不與B，C重合），將線段AD繞點A順時針旋轉α到線段AE，連接

(1)求證：A，E，B，D四點共圓；(2)如圖2，當AD=CD時，⊙O是四邊形AEBD的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；(3)已知α=120°，BC=6，點M是邊BC的中點，此時⊙P是四邊形AEBD的外接圓，直接寫出圓心P與點?題型12由三角形內切圓求值1．（2023·四川攀枝花·中考真題）已知△ABC的周長為l，其內切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（A．12rl B．12πrl C．2．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB=CD，∠B=60°，AD=83，分別以B和C為圓心，以大于12BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點P和Q，直線PQ與BA延長線交于點E，連接CE

A．4 B．43 C．2 D．3．（2024·北京·模擬預測）在邊長為1的正三角形內放入n個半徑相同、彼此相切的圓，使得它們的半徑為r最大．(1)當n=1，r=(2)當n=6，選擇作圖工具，作出一種符合情況的圖形（保留痕跡）(3)當n=5050，求r的長度．（可畫示意圖說明）?題型13三角形內心有關的應用1．（2024·四川內江·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，E是BC邊上一點，且BE=2，點I是△ABC的內心，BI的延長線交AC于點D，P是BD上一動點，連接PE、PC，則PE+PC的最小值為．

2．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，△ABC內接于⊙O，點I為△ABC的內心，連接CI并延長交O于點D，E是BC上任意一點，連接AD，BD，BE，CE．(1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度數；(2)找出圖中所有與DI相等的線段，并證明；(3)若CI=22，DI=1323．（2024·寧夏·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，點D是△ABC的內心，連接AD并延長交⊙O于點E，過點E作⊙O的切線交AB的延長線于點F．(1)求證：BC∥EF；(2)連接CE，若⊙O的半徑為2，sin∠AEC=12?題型14三角形外接圓與內切圓綜合1．（2024·山東濟寧·中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形ABCDEF內接于⊙O，則它的內切圓半徑為（

）

A．1 B．2 C．2 D．32．（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內心，連接AI并延長交BC和⊙O于D，E．(1)求證：EB=EI；(2)若AB=8，AC=6，BE=4，求AI的長．3．（2024·福建南平·模擬預測）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D，過點D作⊙O的切線與BC交于點E，弦DM與AB垂直，垂足為H(1)求證：E為BC的中點；(2)若⊙O的面積為12π，兩個△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3，求△DEC的內切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S?題型15圓位置關系與函數綜合1．（2023·山東煙臺·中考真題）如圖，在直角坐標系中，⊙A與x軸相切于點B,CB為⊙A的直徑，點C在函數y=kx(k>0,x>0)的圖象上，D為y軸上一點，△ACD的面積為6，則k

2．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，二次函數y=x2?6x+8的圖像與x軸分別交于點A,B（點A在點B的左側），直線l是對稱軸．點P在函數圖像上，其橫坐標大于4，連接PA,PB，過點P作PM⊥l，垂足為M，以點M為圓心，作半徑為r的圓，PT與⊙M

(1)求點A,B的坐標；(2)若以⊙M的切線長PT為邊長的正方形的面積與△PAB的面積相等，且⊙M不經過點3,2，求PM長的取值范圍．3．（2023·湖南·中考真題）如圖，點A，B，C在⊙O上運動，滿足AB2=BC2+AC2，延長AC至點D，使得∠DBC=∠CAB，點E是弦AC上一動點（不與點A，C重合），過點E作弦AB的垂線，交AB于點F，交BC的延長線于點N，交⊙O于點

(1)BD是⊙O的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；(2)記△BDC，△ABC，△ADB的面積分別為S1(3)若⊙O的半徑為1，設FM=x，FE?FN?1BC?BN+1AE?AC=y，試求

第六章圓第28講與圓有關的位置關系（思維導圖+5考點+1命題點15種題型（含5種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關系考點二直線與圓的位置關系考點三圓與圓的位置關系考點四與切線有關的知識考點五三角形的外接圓與內切圓04題型精研·考向洞悉命題點與圓有關的位置關系?題型01點與圓的位置關系?題型02直線與圓的最值問題?題型03直線與圓的位置關系?題型04圓與圓的位置關系?題型05利用切線的性質求解?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）?題型07證明某直線是圓的切線（無明確的交點）?題型08切線的性質與判定綜合?題型09作圓的切線?題型10應用切線長定理求解或證明?題型11由三角形外接圓求值?題型12由三角形內切圓求值?題型13三角形內心有關的應用?題型14三角形外接圓與內切圓綜合?題型15圓位置關系與函數綜合

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求點與圓的位置關系★了解點與圓的位置關系.圓與圓的位置關系★★了解直線與圓的位置關系.切線的判定★★★掌握切線的概念，*探索并證明切線長定理切線的性質與計算★★三角形的內切圓★了解三角形的內心與外心三角形的內切圓★★【考情分析】本專題中切線的判定和性質是圓的相關問題中的重點，常以解答題的形式出現，掌握切線的判定定理是解題的關鍵，注意其常用輔助線的作法:“有切點，連半徑，證垂直；無切點，作垂直，證半徑”同時，切線長定理也有考查。【命題預測】本專題內容是各地中考數學中的必考考點之一，主要內容包括點、直線與圓的位置關系、切線的性質和判定、三角形的內切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質和判定，和直角三角形結合的求線段長的問題和三角函數結合的求角度的問題等知識點綜合，考查形式多樣，多以動點、動圖的形式給出，難度較大.關鍵是掌握基礎知識、基本方法，力爭拿到全分．02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一點與圓的位置關系點和圓共有三種位置關系，分別是點在圓內，點在圓上，點在圓外，如下表所示：已知⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，點和圓的位置關系點到圓心的距離與半徑的關系點在圓內點P在圓內d<r點在圓上點P在圓上d=r點在圓外點P在圓外d>r【注意】掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關系，可以確定該點與圓的位置關系．1．（2024·云南怒江·一模）平面內，⊙O的半徑為10cm，若點P在⊙O內，則OP的長可以是（

）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】A【分析】本題考查了點與圓的位置關系．熟練掌握點在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑是解題的關鍵．根據點在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑判斷作答即可．【詳解】解：∵點P在⊙O內，∴OP<10，∴OP的長可以是8cm，故選：A．2．（2024·江蘇宿遷·模擬預測）已知⊙O的半徑為1，點A到圓心O的距離為a，若關于x的方程x2?2x+a=0不存在實數根，則點A與⊙O的位置關系是（A．點A在⊙O外 B．點A在⊙O上C．點A在⊙O內 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別方法和點與圓的位置關系，根據一元二次方程根的情況，判斷a的取值范圍，再根據點與圓心的距離，判斷點與圓的位置關系，熟練掌握根的判別方法和判斷點與圓的位置關系的方法是解題的關鍵．【詳解】解：由題意，得Δ=解得a>1，∴a>r=1，則點A在⊙O外，故選：A．3．（2024·云南昭通·二模）在同一平面內，點P在⊙O外，已知點P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b，則⊙O的半徑為（）A．a+b2 B．a?b2 C．a 【答案】B【分析】本題考查了點與圓的位置關系，培養學生分類的思想及對點P到圓上最大距離、最小距離的認識．點P在圓外時，直徑為最大距離與最小距離的差，即可求解．【詳解】解：由題意得，P到⊙O上的點的最大距離為a，最小距離為b，∴圓的直徑是a?b，因而半徑是a?b2故選：B．4．（2024長春市三模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8．以點A為圓心，r為半徑作圓，當點C在⊙A內且點B在⊙A外時，r的值可能是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的位置關系有3種，熟知⊙A的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有∶①點P在圓外②點P在圓上；③點P在圓內是解題的關鍵．先根據勾股定理求出AC的長，再由點與圓的位置關系即可得出結論【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∴AC=A∵當點C在⊙A內且點B在⊙A外時，∴6<r<10，∴r的值可能是8．故選：B．考點二直線與圓的位置關系直線和圓共有三種位置關系，分別是相離，相切，相交，如下表所示：設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d直線和圓的位置關系相交相切相離定義直線和圓有兩個公共點時，叫做直線與圓相交直線和圓只有一個公共點時，叫做直線與圓相切直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離圖示公共點個數2個1個無圓心到直徑的距離d與圓半徑r之間的大小關系d<rd=rd>r公共點名稱交點切點無直線名稱交線/割線切線無結論直線l與⊙O相交d<r直線l與⊙O相切d=r直線l與⊙O相離d>r從左端推出右端是直線與圓的位置關系的性質，從右端推出左端是直線與圓的位置關系的判斷.1．（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行【答案】B【分析】根據直線和圓的位置關系的進行判斷即可．【詳解】解：∵餐盤看成圓形的半徑大于餐盤的圓心到筷子看成直線l的距離為d.∴d<r，∴直線和圓相交．故選：B【點睛】本題考查了直線和圓的位置關系的應用，注意：已知⊙O的半徑為r，如果圓心O到直線l的距離是d，當d>r時，直線和圓相離，當d=r時，直線和圓相切，當d<r時，直線和圓相交．2．（2021·浙江嘉興·中考真題）已知平面內有⊙O和點A，B，若⊙O半徑為2cm，線段OA=3cm，OB=2cm，則直線AB與⊙OA．相離 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【分析】根據點與圓的位置關系的判定方法進行判斷．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2cm，線段OA=3cm，線段OB=2cm，即點A到圓心O的距離大于圓的半徑，點B到圓心O的距離等于圓的半徑，∴點A在⊙O外．點B在⊙O上，∴直線AB與⊙O的位置關系為相交或相切，故選：D．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，正確的理解題意是解題的關鍵．3．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，RtΔABC中，∠C=90°，AB=5，cosA=45，以點B為圓心，r為半徑作⊙B，當r=3時，⊙B與ACA．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【分析】根據RtΔABC中，∠C=90°，cosA=45，求出AC的值，再根據勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出⊙B【詳解】解：∵RtΔABC中，∠C=90°，cosA=∴cosA=AC∵AB=5，∴AC=4∴BC=A當r=3時，⊙B與AC的位置關系是：相切故選：B【點睛】本題考查了由三角函數解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關系等知識，利用勾股定理解求出BC是解題的關鍵．4．（2024·湖北·模擬預測）△ABC的三邊AB，AC，BC的長度分別是3，4，5，以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關系，先由勾股定理逆定理判斷出△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設斜邊BC上的高為?，根據等面積法求出?=2.4，即可得解．【詳解】解：∵AB∴△ABC為直角三角形，且∠BAC=90°，設斜邊BC上的高為?，則S△ABC∴?=AB?AC∴以頂點A為圓心，2.4為半徑作圓，則該圓與直線BC的位置關系是相切，故選：C．QUOTEQUOTE考點三圓與圓的位置關系設的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關系如下表：位置關系圖形公共點個數性質及判定外離無兩圓外離?外切1個切點兩圓外切?相交兩個交點兩圓相交?內切1個切點兩圓內切?內含無兩圓內含?兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.1．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，奧運五環標志里，包含了圓與圓位置關系中的（）A．相切，內含 B．外切，內含 C．外離，相交 D．相切，相交【答案】C【分析】本題主要考查了圓與圓的位置關系，掌握圓的五種位置關系成為解題的關鍵．根據圓與圓的五種位置關系的定義即可解答．【詳解】解：觀察圖形即可求得包含了圓與圓位置關系中的外離和相交．故選C．2．（2021·上海·中考真題）如圖，已知長方形ABCD中，AB=4,AD=3，圓B的半徑為1，圓A與圓B內切，則點C,D與圓A的位置關系是（

）A．點C在圓A外，點D在圓A內 B．點C在圓A外，點D在圓A外C．點C在圓A上，點D在圓A內 D．點C在圓A內，點D在圓A外【答案】C【分析】根據內切得出圓A的半徑，再判斷點D、點E到圓心的距離即可【詳解】∵圓A與圓B內切，AB=4，圓B的半徑為1∴圓A的半徑為5∵AD=3<5∴點D在圓A內在Rt△ABC中，AC=∴點C在圓A上故選：C【點睛】本題考查點與圓的位置關系、圓與圓的位置關系、勾股定理，熟練掌握點與圓的位置關系是關鍵3．（2024·上海·二模）若兩個半徑為2的等圓外離，則圓心距d的取值范圍為．【答案】d>4【分析】本題考查了圓與圓的位置關系，重點考察由數量關系及兩圓位置關系求圓心距的取值范圍的方法．本題直接告訴了兩圓的半徑及兩圓位置關系，根據數量關系與兩圓位置關系的對應情況便可直接得出答案．外離，則P>R+r；外切，則P=R+r；相交，則R?r<P<R+r；內切，則P=R?r；內含，則P<R?r．(P表示圓心距，R，r分別表示兩圓的半徑）．【詳解】解：根據題意，得r+r=2+2=4，∵兩圓外離，∴圓心距d>4，故答案為d>4考點四與切線有關的知識1.切線的性質定理與切線的判定定理切線的定義：線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑.（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經過切點與圓心的直線）【補充】1）經過圓心且垂直于切線的直線必過切點；2）經過切點且垂直于切線的直線必過圓心.切線的判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.用切線的判定定理時,兩個條件缺一不可:1）經過半徑的外端；2）垂直于這條半徑.2.切線長定理切線長：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．【解題技巧】切線長定理經常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構造直角三角形來求解．

1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，若∠C=20°，則∠CAD=°．【答案】35【分析】本題利用了切線的性質，三角形的外角與內角的關系，等邊對等角求解．連接OD，構造直角三角形，利用OA=OD，從而得出∠CAD的度數．【詳解】解：連接OD，∵CD與⊙O相切于點D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案為：352．（2024·四川·中考真題）如圖，AB為⊙O的弦，C為AB的中點，過點C作CD∥AB，交OB的延長線于點D．連接

(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若OA=3，BD=2，求△OCD的面積．【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了圓的切線的判定、勾股定理、垂徑定理的推論等知識點，熟記相關結論是解題關鍵．（1）由垂徑定理的推論可知OC⊥AB，據此即可求證；（2）利用勾股定理求出CD即可求解；【詳解】（1）證明：∵AB為⊙O的弦，C為AB的中點，由垂徑定理的推論可知：OC⊥AB，∵CD∥∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵OB=OA=OC=3，BD=2，∴OD=OB+BD=5，∴CD=O∴S△OCD3．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，EA，ED是⊙O的切線，切點為A，D，點B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，則∠E=（

）A．56° B．60° C．68° D．70°【答案】C【分析】本題考查了圓的內接四邊形的性質，切線長定理，等腰三角形的性質等知識點，正確作輔助線是解題關鍵．根據圓的內接四邊形的性質得∠BAD+∠BCD=180°，由∠BAE+∠BCD=236°得∠EAD=56°，由切線長定理得EA=ED，即可求得結果．【詳解】解：如圖，連接AD，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAE+∠BCD=236°，∴∠BAE+∠BCD?∠BAD+∠BCD即∠BAE?∠BAD=56°，∴∠EAD=56°，∵EA，ED是⊙O的切線，根據切線長定理得，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA=56°，∴∠E=180°?∠EAD?∠EDA=180°?56°?56°=68°．故選：C．4．（2022·四川眉山·中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB=28°，則∠APB的度數為（

）A．28° B．50° C．56° D．62°【答案】C【分析】連OB，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=28°，∠AOB=180°-2∠OAB=124°；因為PA、PB分別相切于點A、B，則∠OAP=∠OBP=90°，利用四邊形內角和即可求出∠APB．【詳解】連接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°．故選：C【點睛】本題考查切線的性質，三角形和四邊形的內角和定理，切線長定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造等腰三角形解決問題．5．（2020·湖南永州·中考真題）如圖，已知PA,PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點，線段OP交⊙O于點M．給出下列四種說法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四邊形OAPB有外接圓；④M是△AOP外接圓的圓心，其中正確說法的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由切線長定理判斷①，結合等腰三角形的性質判斷②，利用切線的性質與直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半，判斷③，利用反證法判斷④．【詳解】如圖，∵PA,PB是⊙O的兩條切線，∴PA=PB,∠APO=∠BPO,故①正確，∵PA=PB,∠APO=∠BPO,∴PO⊥AB,故②正確，∵PA,PB是⊙O的兩條切線，∴∠OAP=∠OBP=90°,取OP的中點Q，連接AQ,BQ，則AQ=1所以：以Q為圓心，QA為半徑作圓，則B,O,P,A共圓，故③正確，∵M是△AOP外接圓的圓心，∴MO=MA=MP=AO,∴∠AOM=60°,與題干提供的條件不符，故④錯誤，綜上：正確的說法是3個，故選C．【點睛】本題考查的是切線長定理，三角形的外接圓，四邊形的外接圓，掌握以上知識是解題的關鍵．考點五三角形的外接圓與內切圓1.三角形的外接圓與外心三角形外接圓：經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.三角形的外心：三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三條邊垂直平分線的交點.三角形的外心的性質：三角形的外心到三個頂點的距離相等，等于外接圓半徑.2.三角形內切圓與內心三角形內切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心：內切圓的圓心叫做三角形的內心，三角形的內心是三角形三條內角平分性的交點.三角形的內心的性質：內心到三角形各邊的距離相等.1．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形．若∠ABC=45°，AC=2，則⊙O的半徑是【答案】1【分析】連接OA、OC，根據圓周角定理得到∠AOC=90°，根據勾股定理計算即可．【詳解】解：連接OA、OC，∵∠ABC=45°，∴∠AOC=2∠ABC=90°，∴OA2+O解得：OA=1，故答案為：1．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關鍵．2．（2021·浙江·中考真題）如圖，已知點O是△ABC的外心，∠A=40°，連結BO，CO，則∠BOC的度數是（

）．A．60° B．70° C．80° D．90°【答案】C【分析】結合題意，根據三角形外接圓的性質，作⊙O；再根據圓周角和圓心角的性質分析，即可得到答案．【詳解】△ABC的外接圓如下圖∵∠A=40°∴∠BOC=2∠A=80°故選：C．【點睛】本題考查了圓的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角形外接圓、圓周角、圓心角的性質，從而完成求解．3．（2020·青海·中考真題）在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4，則△ABC的內切圓的半徑為．【答案】1【分析】本題考查求直角三角形的內切圓的半徑，勾股定理求出AB的長，設內切圓的半徑為r，根據切線長定理，得到AB=AC?r+BC?r，進行求解即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=3,BC=4，∴AB=5，設△ABC的內切圓與三邊的切點分別為D,E,F，內切圓的半徑為r，如圖，則：四邊形ODCE為正方形，CD=CE=r，AD=AF,BE=BF，∴AB=AF+BF=BE+AD=BC?r+AC?r，∴5=3+4?2r，∴r=1；故答案為：1．4．（2023·江蘇鎮江·中考真題）《九章算術》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數，計算所得的商就是這個直角三角形內切圓的直徑．根據以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

【答案】6【分析】根據勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據直角三角形的內切圓的半徑的求法確定出內切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據勾股定理得：斜邊為82則該直角三角形能容納的圓形（內切圓）半徑r=8+15?17故答案為：6．【點睛】此題考查了三角形的內切圓與內心，掌握Rt△ABC中，兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，其內切圓半徑r=04題型精研·考向洞悉命題點一與圓有關的位置關系?題型01點與圓的位置關系根據點到圓心的距離與半徑比較大小，從而得到位置關系.設半徑為r，點到圓心的距離為d1）若d＜r，則點P在圓內；2）若d=r，則點P在圓上；3）若d＞r，則點P在圓外.1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，⊙O中，弦AB的長為43，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面內有一點P，若OP=5，則點P與⊙O的位置關系是（

A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內 C．點P在⊙O外 D．無法確定【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，點與圓的位置關系，銳角三角函數，掌握圓的相關性質是解題關鍵．由垂徑定理可得AD=23，由圓周角定理可得∠AOC=60°，再結合特殊角的正弦值，求出⊙O【詳解】解：如圖，令OC與AB的交點為D，∵OC為半徑，AB為弦，且OC⊥AB，∴AD=1∵∠ABC=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°，在△ADO中，∠ADO=90°，∠AOD=60°，AD=23∵sin∴OA=ADsin60°∵OP=5>4，∴點P在⊙O外，故選：C．2．（2021·青海·中考真題）點P是非圓上一點，若點P到⊙O上的點的最小距離是4cm，最大距離是9cm，則⊙O的半徑是．【答案】6.5cm或2.5cm【分析】分點P在⊙O外和⊙O內兩種情況分析；設⊙O的半徑為xcm，根據圓的性質列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】設⊙O的半徑為xcm當點P在⊙O外時，根據題意得：4+2x=9∴x=2.5cm當點P在⊙O內時，根據題意得：2x=9+4∴x=6.5cm故答案為：6.5cm或2.5cm．【點睛】本題考查了圓、一元一次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓的性質，從而完成求解．3．（2024·河北滄州·模擬預測）小明手中有幾組大小不等的三角板，分別是含45度，30度的直角三角板．從中選擇兩個各拼成如圖所示的圖形，則關于兩圖中四個頂點A，B，C，D的說法，正確的是（

）A．甲圖四點共圓，乙圖四點共圓 B．甲圖四點共圓，乙圖四點不共圓C．甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓 D．甲圖四點不共圓，乙圖四點不共圓【答案】C【分析】本題考查圓的定義，點和圓的位置關系，直角三角形斜邊中線性質，熟練掌握這些定義和性質是解題的關鍵．甲圖中，取AC中點M，連接DM，BM，得出DM=AM=CM，得點D、A、C是以點M為圓心，AM為半徑的圓上，再判斷點B在圓M外即可；乙圖中，取AC中點N，連接DN，BN，得DN=AN=CN=BN，即可判斷．【詳解】解：如甲圖中，取AC中點M，連接DM，BM，∵∠ADC=90°，∴DM=AM=CM，∴點D、A、C是以點M為圓心，AM為半徑的圓上，∵△BCM為直角三角形，∴BM>CM，∴點B在圓M外，∴甲圖四點不共圓；如乙圖中，取AC中點N，連接DN，BN，∵∠ADC=∠ABC=90°，∴DN=AN=CN=BN，∴點D、A、C、B是以點N為圓心，AN為半徑的圓上，∴乙圖四點共圓，綜上，甲圖四點不共圓，乙圖四點共圓，故選：C．QUOTEQUOTEQUOTE?題型02直線與圓的最值問題已知點P為⊙O上動點，點Q為直線AB上動點，過點O作OD⊥AB于點D，交⊙O為點C圖示：結論：當O，P，Q三點共線且為垂線段時，PQ取最小值，最小值為PQ的長.1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個動點，過點P作⊙M的切線，切點為Q，則【答案】2【分析】記直線y=x+4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，PM，KM；由直線解析式可求得點A、K的坐標，從而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2?QM2，由QM=2，則當PM最小時，【詳解】解：記直線y=x+4與x，y軸分別交于點A，K，連接QM，當x=0，y=4，當y=0，即x+4=0，解得：x=?4，即K(0,4)，而M4,0∴OA=OK=OM=4，∴△OAK，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP與⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=P∵QM=2，∴當PQ最小時即PM最小，∴當PM⊥AK時，取得最小值，即點P與點K重合，此時PM最小值為KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=∴PQ=32?4∴PQ最小值為27【點睛】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，一次函數與坐標軸的交點問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關鍵．2．（2023·陜西·中考真題）（1）如圖①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的半徑為4，點P在⊙O上，點M在AB上，連接PM，求線段PM的最小值；（2）如圖②所示，五邊形ABCDE是某市工業新區的外環路，新區管委會在點B處，點E處是該市的一個交通樞紐．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根據新區的自然環境及實際需求，現要在矩形AFDE區域內（含邊界）修一個半徑為30m的圓型環道⊙O；過圓心O，作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點N．連接BN，點P在⊙O上，連接EP．其中，線段BN、EP及MN是要修的三條道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情況下，使所修道路MN最短，試求此時環道⊙O的圓心O到AB

【答案】（1）43?4【分析】（1）連接OP，OM，過點O作OM'⊥AB，垂足為M'，則（2）分別在BC，AE上作BB'=AA'=r=30(m)，連接A'B'，B'O、OP、OE、B'E．證出四邊形BB'ON是平行四邊形．由平行四邊形的性質得出BN=B'O．當點O在B'E上時，BN+PE取得最小值．作⊙O'，使圓心O'在【詳解】解：（1）如圖①，連接OP，OM，過點O作OM'⊥AB

則OP+PM≥OM．∵⊙O半徑為4，∴PM≥OM?4≥OM∵OA=OB．∠AOB=120°，∴∠A=30°，∴OM∴PM≥OM∴線段PM的最小值為43（2）如圖②，分別在BC，AE上作BB

連接A'B'，B'O、OP∵OM⊥AB，BB'⊥AB∴四邊形BB∴BN=B'O．∵B∴BN+PE≥B∴當點O在B'E上時，作⊙O'，使圓心O'在B作O'M'⊥AB，垂足為M'∴O'∴△B'O'∴O'∵⊙O'在矩形∴當⊙O'與FD相切時，B'此時，O'∵M∴M∴O∴O∴此時環道⊙O的圓心O到AB的距離OM的長為4047.91m【點睛】本題是圓的綜合題，考查了等腰三角形的性質，切線的性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．?題型03直線與圓的位置關系判定直線與圓的位置關系通常有以下兩種方法：1）根據直線與圓的公共點的個數判斷；①若直線與圓有兩個交點，則直線與圓相交；②若直線與圓有一個交點，則直線與圓相切；③若直線與圓有沒有交點，則直線與圓相離.2）根據圓心到直線的距離與半徑的大小關系判斷.設半徑為r，直線到圓心的距離為d①若d＜r，則直線與圓相交；②若d=r，則直線與圓相切；③若d＞r，則直線與圓相離.1．（2022·山東青島·模擬預測）已知等邊三角形ABC的邊長為4cm，以點A為圓心，以3.5cm長為半徑作⊙A，則⊙A與BC的位置關系是（A．相交 B．相切 C．相離 D．外離【答案】A【分析】本題考查了直線和圓的位置關系與數量之間的關系：圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交．過點A作AD⊥BC于點D，根據等腰三角形三線合一求得BD的值，再利用勾股定理可求得AD的長，把AD與圓的半徑比較大小，根據直線與圓的位置關系即可求解．【詳解】過點A作AD⊥BC于點D，根據等腰三角形三線合一得：BD=1根據勾股定理得：AD=A∵∴23∴以3.5cm長為半徑作⊙A，則⊙A與BC故選：A．2．（2024·上海嘉定·三模）設以3，4，5為邊長構成的三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為個.【答案】4【分析】本題考查了勾股定理逆定理，三角形的內切圓，直線與圓的位置關系，熟練掌握知識點，正確理解題意是解題的關鍵．可知該三角形為直角三角形，進而利用等面積法求出內切圓半徑正好為1，當圓的位置移動時，就會最多產生4個交點．【詳解】解：如圖，由32+42=52得該三角形為直角三角形，設AC=3,BC=4,AB=5，作出△ABC的內切圓⊙O，設切點為D,E,F，連接OE,OD,OF∵S△ABC∴12解得：r=1，進而可知內切圓半徑為1，此時正好有3個交點，當圓的位置移動時，就會最多產生4個交點，如圖，故答案為：4．3．（2021·四川遂寧·中考真題）已知平面直角坐標系中，點P（x0,y0）和直線Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全為0），則點P到直線Ax＋By＋C＝0的距離例如：求點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離，因為直線y＝2x＋1可化為2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以點P（1，2）到直線y＝2x＋1的距離為：d=A根據以上材料，解答下列問題：（1）求點M（0，3）到直線y=3（2）在（1）的條件下，⊙M的半徑r＝4，判斷⊙M與直線y=3x+9的位置關系，若相交，設其弦長為n，求【答案】（1）3；（2）直線與圓相交，n=2【分析】（1）直接利用公式計算即可；（2）根據半徑和點到直線的距離判斷直線與圓的位置關系，再根據垂徑定理求弦長．【詳解】解：（1）∵y＝3x＋9可變形為3x－y＋9＝0，則其中A＝3，B＝－1，C＝9，由公式可得d=3∴點M到直線y＝3x＋9的距離為3，（2）由（1）可知：圓心到直線的距離d＝3，圓的半徑r＝4，∵d＜r∴直線與圓相交，則弦長n=2×4【點睛】本題考查了閱讀理解和圓與直線的位置關系，垂徑定理，解題關鍵是熟練運用公式求解和熟練運用圓的相關性質進行推理和計算．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE?題型04圓與圓的位置關系1．（2024·上海·中考真題）在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，點P在△ABC內，分別以A、B、P為圓心畫，圓A半徑為1，圓B半徑為2，圓P半徑為3，圓A與圓P內切，圓P與圓B的關系是（

）A．內含 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】本題考查圓的位置關系，涉及勾股定理，根據題意，作出圖形，數形結合，即可得到答案，熟記圓的位置關系是解決問題的關鍵．【詳解】解：∵圓A半徑為1，圓P半徑為3，圓A與圓P內切，∴圓A含在圓P內，即PA=3?1=2，∴P在以A為圓心、2為半徑的圓與△ABC邊相交形成的弧上運動，如圖所示：∴當到P'位置時，圓P與圓B圓心距離PB最大，為12∵17<3+2=5∴圓P與圓B相交，故選：B．2．（2023·四川德陽·中考真題）已知⊙O1的半徑為1，⊙O2的半徑為r，圓心距O1O2=5，如果在⊙O【答案】3≤r≤7【分析】當⊙O1位于⊙O2內部，且P，O1，O2位于同一條直線上時，r可以取得最大值；當⊙O1位于⊙O【詳解】當⊙O1位于⊙O2內部，且P，O1如圖所示，rmax

當⊙O1位于⊙O2外部，且P，O1如圖所示，rmin

故答案為：3≤r≤7．【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關系，能采用數形結合的方法和分類討論的思想分析問題是解題的關鍵．3．（2024·上海·模擬預測）若相交兩圓的半徑分別為4和5，公共弦長為6，兩圓圓心距長為．【答案】4±【分析】此題考查了相交兩圓的性質，連心弦垂直平分公共弦，據此利用勾股定理分兩種情況進行求解即可．【詳解】解：大圓圓心到公共弦的距離為：52小圓圓心到公共弦的距離為：42∵兩圓相交，∴兩圓的圓心可能在公共弦的同側，也可能在公共弦的兩側，∴兩圓的圓心在公共弦的同側時，兩圓圓心距長為4?7兩圓的圓心在公共弦的兩側時，兩圓圓心距長為4+7故答案為：4±QUOTE?題型05利用切線的性質求解運用切線的性質進行計算時，常見輔助線的作法是連接圓心和切點，根據切線的性質構造出直角三角形，一方面可以求相關角的大小，另一方面可以利用勾股定理求線段的長度1．（2024·山西·中考真題）如圖，已知△ABC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，與AC相切于點A，連接OD．若∠AOD=80°，則∠C的度數為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，有圓周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【詳解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB為直徑的⊙O與AC相切于點A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°?40°=50°．故選：D．2．（2024·山東青島·中考真題）如圖，△ABC中，BA=BC，以BC為直徑的半圓O分別交AB，AC于點D，E，過點E作半圓O的切線，交AB于點M，交BC的延長線于點N．若ON=10，cos∠ABC=35【答案】6【分析】本題主要考查了切線的性質，解直角三角形，等邊對等角，平行線的性質與判定等等，解題的關鍵在于證明∠EON=∠ABC，根據等邊對等角推出∠A=∠OEC，則可證明AB∥OE得到∠EON=∠ABC，再由切線的性質得到∠OEN=90°，則解Rt△EON求出OE【詳解】解：如圖所示，連接OE，∵OE=OC，∴∠A=∠BCA，∴∠A=∠OEC，∴AB∥OE，∴∠EON=∠ABC，∵MN是⊙O的切線，∴∠OEN=90°，∴在Rt△EON中，cos∴OE=3∴半徑OC的長為6，故答案為：6．3．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A與BC相切于點D．

(1)求圖中陰影部分的面積；(2)設⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時，求BP的長．【答案】(1)6?(2)3【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是：（1）連接AD，利用勾股定理的逆定理判定得出∠BAC=90°，利用切線的性質得出AD⊥BC，利用等面積法求出AD=125，然后利用（2）延長CA交⊙A于P，連接BP，則CP最大，然后在Rt△ABP【詳解】（1）解∶連接AD，

∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB∴∠BAC=90°，∵BC與⊙A相切于D，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴AD=AC?AB∴S陰影（2）解∶延長CA交⊙A于P，連接BP，此時CP最大，

由（1）知：∠BAC=∠PAB=90°，AP=AD=12∴PB=A?題型06證明某直線是圓的切線（有明確的交點）1）給出了直線與圓的公共點和經過公共點的半徑時，可直接根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明.口訣是“見半徑,證垂直”.2）給出了直線與圓的公共點，但未給出過這點的半徑時，可連接公共點和圓心，然后根據“經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來證明,口訣是“連半徑,證垂直”.3）當直線與圓的公共點不明確時，先過圓心作該直線的垂線，然后根據“若圓心到直線的距離等于圓的半徑,則該直線是圓的切線”來證明.口訣是“作垂直,證相等”.1．（2023·湖南張家界·中考真題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF=∠CAD．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AD=10，cosB=35【答案】(1)證明見解析(2)90【分析】（1）根據切線的判定，連接OC，證明出OC⊥FC即可，利用直徑所得的圓周角為直角，三角形的內角和以及等腰三角形的性質可得答案；（2）由cosB=35【詳解】（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°，又∵OC=OD，∴∠ADC=∠OCD，又∵∠DCF=∠CAD．∴∠DCF+∠OCD=90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B=∠ADC，cosB=∴cos在Rt△ACD中，cos∠ADC=3∴CD=AD?cos∠ADC=10×3∴CDAC∵∠FCD=∠FAC，∠F=∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC設FD=3x，則FC=4x，AF=3x+10，∵FC2=FD?FA，即(4x)2=3x(3x+10)∴FD=3x=90【點睛】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定與性質，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的性質是正確解答的前提．2．（2024·內蒙古·中考真題）如圖，△ACD內接于⊙O，直徑AB交CD于點G，過點D作射線DF，使得∠ADF=∠ACD，延長DC交過點B的切線于點E，連接BC．(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若CD=8①求DE的長；②求⊙O的半徑．【答案】(1)證明見解析；(2)①9；②117【分析】（1）連接OD、BD，則∠ACD=∠ABD，可得∠ABD=∠ADF，由∠ABD+∠BAD=90°可得∠ABF+∠BAD=90°，進而由等腰三角形的性質可得∠ABF+∠ODA=90°，得到OD⊥DF，即可求證；（2）①證明△CBE∽△BDE得到CEBE=BEDE，據此即可求解；②由①可得CD=DE?CE=8，進而得DG=CD?CG=5，GE=CG+CE=4，利用勾股定理得BG=GE2?BE【詳解】（1）證明：連接OD、BD，則∠ACD=∠ABD，∵∠ADF=∠ACD，∴∠ABD=∠ADF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ABF+∠BAD=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ABF+∠ODA=90°，即∠ODF=90°，∴OD⊥DF，又∵OD為⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線；（2）解：①∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE，∴∠ABE=90°，∴∠ABC+∠CBE=90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠CBE=∠BAC，∵∠BAC=∠BDC，∴∠CBE=∠BDC，即∠CBE=∠BDE，又∵∠E=∠E，∴△CBE∽△BDE，∴CEBE∵BE=3CE=3，∴CE=1，∴13∴DE=9；②∵DE=9，CE=1，∴CD=DE?CE=9?1=8，∵CD=8∴CG=3∴DG=CD?CG=8?3=5，GE=CG+CE=3+1=4，∵∠GBE=90°，∴BG=G∵∠BAC=∠BDC，∠AGC=∠DGB，∴△AGC∽△DGB，∴AGDG即AG5∴AG=15∴AB=AG+BG=15∴⊙O的半徑為117【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質和判定，余角性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．3．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上的一點，點P是BA延長線上的一點，連接AC，∠PCA=∠B．(1)求證：PC是⊙O的切線；(