第一章數與式第03講分式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分式有、無意義的條件??題型02分式值為0的條件??題型03求使分式值為整數時未知數的值??題型04分式基本性質的運用??題型05約分??題型06分式運算??題型07判斷分式運算的錯誤步驟??題型08分式化簡求值??題型09分式運算的應用??題型10分式的規律探究問題??題型11與分式運算有關的新定義問題??題型01分式有、無意義的條件1．（2024·湖北恩施·模擬預測）函數y=x+3x?2的自變量的取值范圍是（A．x≤?3 B．x≥?3且x≠2C．x≤?3且x≠2 D．x≥?32．（2024·全國·模擬預測）在函數y=?3x?2?x+13．（2024·江西吉安·模擬預測）已知分式2x+ax?b（a，b為常數）當x=2時，分式無意義，當x=0.5時分式的值為0，則ba4．（2024·河北邢臺·模擬預測）已知分式3x?5x+m（m為常數）滿足如下表格中的信息，則m=，p=x的取值3p分式無意義值為75．（2024·湖南·模擬預測）先化簡，再求值：a2+4a+4a2?4??題型02分式值為0的條件1．（2024·廣西·模擬預測）如果分式x2?2xxA．0或2 B．2 C．0 D．不存在2．（2024·江蘇泰州·一模）對于分式1?m21?mA．不可能為0 B．比1大 C．可能為2 D．比m大3．（2024·貴州黔東南·一模）若分式x?2x+2值為0，則x的取值范圍是（A．x=?2 B．x=2 C．x≠?2 D．x=±24（2024·湖南·模擬預測）當x=3時，分式x?ax+4的值為0，則a的值為5．（2024·遼寧鐵嶺·二模）（1）?2?（2）先化簡，再求值：3?x2x2?4x÷5x?2??題型03求使分式值為整數時未知數的值1．（2024·江蘇揚州·三模）能使分式6x+212x?3值為整數的整數x有2．（2023·河北石家莊·模擬預測）代數式x?2x2?4x+4÷1x+6的值為A．0個 B．7個 C．8個 D．無數個3．（2024·河北秦皇島·模擬預測）已知A=6a+6a2?2a+1，B=2a?1，計算A÷1+B=4．（2023·重慶·模擬預測）已知兩個多項式A=x2+3x+3，B=x2①若A+B=14，則x=±2；②若A?B?8+A?B+4=12③若A×B=0，則關于x的方程無實數根；④若x為整數x≠1，且A?7B?1的值為整數，則xA．4 B．3 C．2 D．15（2023·山西大同·三模）閱讀與思考下面是小宇同學課外閱讀的一則數學材料，請仔細閱讀并完成相應任務．“真分式”與“假分式”我們知道，假分數可以化為整數與真分數的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為假分式；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為真分式．如x+1x?1，x例如：將分式x?2x+3x?2x+3將分式x2方法1：x2+4x?5x+3方法2：由于分母為x+3，可設x2+4x?5=(x+3)(x+a)+b（a，∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b∴x∴a+3=43a+b=?5∴x∴x2+4x?5這樣，分式x2任務：(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；將假分式2x+3(2)請將x2(3)若分式x2+2x?14x?3??題型04分式基本性質的運用1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．代數式x+4π是分式B．分式xyx?y中x，C．分式x+1x2+1是最簡分式2．（2024·重慶·模擬預測）將分式x2y2x+y中x，A．擴大10倍 B．擴大100倍 C．擴大100倍 D．擴大1000倍3．（2023·河北石家莊·二模）下列各式的計算結果與baA．ba+b?ab?a B．ab?4．（2023·河北衡水·二模）已知a>b>c>0，M=ba，N=bΔcA．若“Δ”代表的是“＋”，則M<N B．若“Δ”代表的是“－”，則M<NC．若“Δ”代表的是“×”，則M<N D．若“Δ”代表的是“÷”，則M<N??題型05約分1．（2024·河南商丘·模擬預測）化簡：2x2?2xyA．6xy B．3y C．3x D．3xy2．（2023·山西陽泉·一模）如圖是徐同學的答卷，他的得分應是（）

A．25分 B．50分 C．75分 D．100分3．（2024·寧夏銀川·三模）若ab=3，則分式24．（2024·廣東·二模）已知a=0.3，b=0.1，則6ab+9a25．（2024·浙江寧波·一模）代數式4ab+6ac+12bca2+4??題型06分式運算1．（2024·河北邢臺·模擬預測）化簡(?y2xA．?y4x2 B．y4x2．（2024·湖北武漢·模擬預測）計算32m?n?2m?n3．（2024·四川廣安·模擬預測）已知a2?3a+1=0，則4a4．（2024·河北保定·三模）圖1中陰影部分的面積為S1（邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形）．圖2中陰影部分的面積為S2（邊長為a的大正方形中有一個長為a、寬為b的小長方形），a>b>0，設k=S1S5．（2024·福建泉州·模擬預測）根據如圖所示的程序，求輸出D的化簡結果．??題型07判斷分式運算的錯誤步驟1．（2024·廣東·模擬預測）下面是某同學化簡分式2x?1解：原式=2=2?x?1=1?x=1?x上面的運算過程中第步出現錯誤，請你寫出正確的解答過程．2．（2024·寧夏銀川·一模）先化簡2a?4a2?1小陳同學在進行分式化簡時，過程如下：解：原式＝2a?2＝2a?2＝2a?2……(1)上述過程中，從第步開始出現錯誤，錯誤的原因是．(2)請完成正確的完整解題過程．3．（2024·吉林·二模）請你閱讀下列解題過程，并回答所提出的問題．計算：x+1x解：原式=x+1=x+1=x+1?4x+1=?3x?3第四步(1)上述計算過程中，從哪一步開始出現錯誤______；(2)從第二步到第三步是否正確？______，同分母分式相加減，分母______，分子______；(3)正確的結果是______．4．（2024·寧夏·一模）在數學課上，老師出了一道題，讓甲、乙、丙、丁四位同學進行“接力游戲”．規則如下：每位同學可以完成化簡分式的一步變形，即前一位同學完成一步后，后一個同學接著前一個同學的步驟進行下一步化簡變形，直至將該分式化簡完畢．請根據如表的“接力游戲”回答問題：接力游戲老師：化簡：1?甲同學：原式=乙同學：原式=丙同學：原式=丁同學：原式=?4x(1)：①在“接力游戲”中，丁同學是依據______進行變形的．A.等式的基本性質

B.不等式的基本性質

C.分式的基本性質

D.乘法分配律②在“接力游戲”中，從_______同學開始出現錯誤，錯誤的原因是______．(2)：請你寫出該分式化簡的正確結果______．5．（2024·山東·模擬預測）小明的作業如下：解：a=a?a?b=?a?b．（第二步）(1)指出小明的作業是從哪一步開始出現錯誤的，請更正過來，并計算出正確結果；(2)若a，b是不等式組2x>0x?3<0的整數解（a<b??題型08分式化簡求值1．（2024·河北·模擬預測）如圖，若a=6b，則1a?ba?2ab?A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段2．（2024·四川德陽·模擬預測）已知x2?x?1=0，計算A．2 B．?2 C．1 D．?13．（2024·山東聊城·二模）若1+1x?1÷2xxA．x為自然數 B．x為大于1的奇數C．x為大于0的偶數 D．x為正整數4．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）化簡m?1m2?6m+95．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）當x=y+2023時，代數式1x?y?6．（2024·山東濱州·模擬預測）先化簡，再求值：x2?2x+1x7．（2024·湖南長沙·模擬預測）先化簡，再求值1?1x?1÷x2??題型09分式運算的應用1．（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的濃度為是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請證明（1）中的數學關系式．2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飄香1號”茉莉花實驗種植基地是邊長為ama>1的正方形去掉一塊邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飄香2號”茉莉花實驗種植基他是邊長為a?13．（2024·寧夏銀川·一模）現在汽車已成為人們出行的交通工具．小李和小王元旦那天相約一起到某加油站加油，當天95號汽油的單價為m元/升，他倆加油的情況如圖所示．半個月后的某天，他倆再次相約到同一加油站加油，此時95號汽油的單價下調為n元/升，他倆加油的情況與上次相同，請運用所學的數學知識計算小李、小王兩次加油誰的平均單價更低？4．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知p=k方方說：“p一定大于q”．以下是方方的解答過程．解：p?q=k因為k>0，所以p?q>0，即p一定大于q．你覺得方方說法正確嗎？為什么？??題型10分式的規律探究問題1．（2022·廣西賀州·一模）對于正數x，規定fx=x1+x，例如：f3=32．（2024·浙江·模擬預測）觀察下面的一列數：a1=12，a2(1)嘗試：a2?a1=(2)歸納：an+1(3)推理：運用所學知識，推理說明你歸納的結論是正確的．3．（2024·四川內江·二模）已知，若a，b為非零實數，則b?aab(1)觀察下列各式并補充完整：11×212×313×4…1nn+1=11×2+1(2)計算：11×3(3)設an=n+1n24．（2022·安徽合肥·二模）觀察以下等式：第1個等式：73×(2?3第3個等式：1911×(2?3按照以上規律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明．??題型11與分式運算有關的新定義問題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）對于實數a、b，定義運算：①m⊕n=1m+n例如①3⊕5=13+5=182．（2023·浙江寧波·三模）定義一種新運算：對于任意的非零實數x，y，x?y=x2a?y2b3．（2024·四川廣元·二模）定義一種新運算：n?n+1=1nn+1，如1?2=11×2，4．（2024·云南·模擬預測）定義：不大于實數x的最大整數部分，記作x．例如：2=1，?2.6=?3，按此規定，若a=336，b=?A．13 B．19 C．1365．（2022·河北·二模）對于代數式a，b，c，d規定一種運算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+11．（2022·浙江杭州·中考真題）照相機成像應用了一個重要原理，用公式1f=1u+1vv≠f表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知A．fvf?v B．f?vfv C．fvv?f2．（2024·四川眉山·中考真題）已知a1=x+1（x≠0且x≠?1），a2=13．（2023·廣東廣州·中考真題）已知a>3，代數式：A=2a2?8，B=3(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，試比較小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較x2+1與小華：∵x2∴x2老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“一、單選題1．（2024·山東淄博·中考真題）下列運算結果是正數的是（

）A．3?1 B．?32 C．?2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a≠0，則下列運算正確的是（

）A．a2+aC．2a?33．（2024·上海·中考真題）函數f(x)=2?xx?3的定義域是（A．x=2 B．x≠2 C．x=3 D．x≠34．（2023·浙江湖州·中考真題）若分式x?13x+1的值為0，則x的值是（

A．1 B．0 C．?1 D．?35．（2023·四川綿陽·中考真題）使代數式1x+3+4?3x有意義的整數xA．5個 B．4個 C．3個 D．2個6．（2023·內蒙古赤峰·中考真題）化簡4x+2+x?2的結果是（A．1 B．x2x2?4 C．7．（2023·山東聊城·中考真題）?20230的值為（

A．0 B．1 C．?1 D．?8．（2023·湖北宜昌·中考真題）下列運算正確的個數是（

）．①|2023|=2023；②20230=1；③2023?1=A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題9．（2024·湖南長沙·中考真題）要使分式6x?19有意義，則x需滿足的條件是10．（2023·上海·中考真題）化簡：21?x?2x11．（2024·廣東·中考真題）計算：aa?3?12．（2024·綏化市·中考真題）計算：x?yx÷三、解答題13．（2024·甘肅蘭州·中考真題）先化簡，再求值：1+a+7a+1÷14．（2024·四川廣元·中考真題）先化簡，再求值：aa?b÷a2?b215．（2023·遼寧盤錦·中考真題）先化簡，再求值：1x+1+116．（2023·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中M是單項式．請寫出單項式M，并將該例題的解答過程補充完整．例

先化簡，再求值：Ma+1?1解：原式=……

第一章數與式第03講分式TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01分式有、無意義的條件??題型02分式值為0的條件??題型03求使分式值為整數時未知數的值??題型04分式基本性質的運用??題型05約分??題型06分式運算??題型07判斷分式運算的錯誤步驟??題型08分式化簡求值??題型09分式運算的應用??題型10分式的規律探究問題??題型11與分式運算有關的新定義問題??題型01分式有、無意義的條件1．（2024·湖北恩施·模擬預測）函數y=x+3x?2的自變量的取值范圍是（A．x≤?3 B．x≥?3且x≠2C．x≤?3且x≠2 D．x≥?3【答案】B【分析】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數是非負數、分母不為0是解題的關鍵．根據二次根式的被開方數是非負數、分母不為0列出不等式組，解不等式組得到答案．【詳解】解：由題意得：x+3≥0且x?2≠0，解得：x≥?3且x≠2，故選：B．2．（2024·全國·模擬預測）在函數y=?3x?2?x+1【答案】x≥?1且x≠2【分析】根據分式的分母不為零、二次根式的被開方數為非負數求解可得答案．【解答】解：根據題意，得：x?2≠0且x+1?0，解得x??1且x≠2，故答案為：x??1且x≠2．3．（2024·江西吉安·模擬預測）已知分式2x+ax?b（a，b為常數）當x=2時，分式無意義，當x=0.5時分式的值為0，則ba【答案】12【分析】本題主要考查分式，負整指數冪，根據當x=2時，分式無意義，即分母為0，求出b值；當x=0.5時，分式的值為0，求出a值，掌握分式無意義的條件與分式的值為0的條件，是解題的關鍵．【詳解】解：由題意知：當x=2時，分式無意義，∴2?b=0，∴b=2，當x=0.5時，分式的值為0，∴2x+a解得：a=?1，∴b故答案為：124．（2024·河北邢臺·模擬預測）已知分式3x?5x+m（m為常數）滿足如下表格中的信息，則m=，p=x的取值3p分式無意義值為7【答案】?34【分析】本題考查了分式無意義的條件和解分式方程，由x=3時，分式無意義，可得3+m=0，即可求出m=?3，進而得出分式，再把x=p代入分式，得到分式方程3p?5p?3【詳解】解：由表格可知，當x=3時，分式無意義，∴3+m=0，∴m=?3，∴分式為3x?5x?3又由表格知，當x=p時，3p?5p?3即3p?5=7p?3解得p=4，經檢驗，p=4是原方程的解，∴p=4，故答案為：?3，4．5．（2024·湖南·模擬預測）先化簡，再求值：a2+4a+4a2?4【答案】1a+1，當a=1時，原式【分析】本題考查了分式的化簡求值、分式有意義的條件，先根據分式的混合運算法則化簡，再根據分式有意義的條件得出a=1，代入計算即可得解．【詳解】解：a====1∵a2?4≠0，a2∴a≠0，?2，2，?1，∴a=1，∴當a=1時，原式=1??題型02分式值為0的條件1．（2024·廣西·模擬預測）如果分式x2?2xxA．0或2 B．2 C．0 D．不存在【答案】B【分析】本題考查分式的值為零的條件，掌握當分式的分子為零且分母不為零時，分式的值為零是解題關鍵．根據分式值為零的條件進行解答即可．【詳解】解：∵分式x2∴x2?2x=0且∴x=2．故選：B．2．（2024·江蘇泰州·一模）對于分式1?m21?mA．不可能為0 B．比1大 C．可能為2 D．比m大【答案】D【分析】本題考查了分式的性質，根據分式的性質，分式的值為零逐項判斷即可，解題的關鍵是熟練掌握分式的性質．【詳解】A、當1?m21?m=1+mB、1?m21?mC、當1?m21?mD、1?m21?m故選：D．3．（2024·貴州黔東南·一模）若分式x?2x+2值為0，則x的取值范圍是（A．x=?2 B．x=2 C．x≠?2 D．x=±2【答案】B【分析】本題考查了分式的值為零的條件．根據分子為零分母不為零分式的值為零，可得答案．【詳解】解：由分式x?2|x|?2=0且x+2≠0．解得x=2，故選：B．4（2024·湖南·模擬預測）當x=3時，分式x?ax+4的值為0，則a的值為【答案】3【分析】本題主要考查了分式值為零的知識，熟練掌握分式為零的特征是解題關鍵．若分式值為0，則有分母不為0，分子為0，據此即可獲得答案．【詳解】解：當x=3時，若分式x?ax+4則有x+4=3+4=7≠0，x?a=3?a=0，解得a=3．故答案為：3．5．（2024·遼寧鐵嶺·二模）（1）?2?（2）先化簡，再求值：3?x2x2?4x÷5x?2【答案】（1）4+3；（2）12x(3+x)【分析】本題考查了特殊角的三角函數值、實數的混合運算、分式的化簡求值、分式的值等于零等．熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．（1）根據特殊角的三角函數值和實數的混合運算進行計算即可；（2）相加分式的混合運算化簡原式，再求出使分式x2?4x?2值為0【詳解】解：?2=2?1+4?2×=2?1+4?=4+3（2）3?x====1∵分式x2?4x?2即x2?4=0且解得：x=?2；當x=?2時，原式=1??題型03求使分式值為整數時未知數的值1．（2024·江蘇揚州·三模）能使分式6x+212x?3值為整數的整數x有【答案】8【分析】此題主要考查了分式的值，正確化簡分式是解題關鍵．將6x+212x?3轉化為3+【詳解】解：6x+212x?3∵分式的值為整數，∴302x?3∴2x?3=±1,±2,±3,±5,±6,±10,±15,±30，∵x也是整數，∴2x?3=±1,±3,±5,±15，解得：x=2,x=1,x=3,x=0,x=4,x=?1,x=9,x=?6；∴能使分式6x+212x?3值為整數的整數x有8故答案為：8．2．（2023·河北石家莊·模擬預測）代數式x?2x2?4x+4÷1x+6的值為A．0個 B．7個 C．8個 D．無數個【答案】B【分析】先將分式進行化簡，然后根據題意確定F為整數的x的值，即可確定F的值的個數．【詳解】解：x?2====1+8∵代數式x?2x2?4x+4÷1∴8x?2為整數，且∴x?2的值為：1,8,4,?1,?8,?2,?4∴對應的F值有7個，故選：B．【點睛】題目主要考查分式的化簡求值，熟練掌握分式的化簡求值及分式有意義的條件是解題關鍵．3．（2024·河北秦皇島·模擬預測）已知A=6a+6a2?2a+1，B=2a?1，計算A÷1+B=【答案】6a?1【分析】本題考查的是分式的混合運算，分式的值為整數，根據分式的混合運算法則求得A÷1+B=6a?1，再根據【詳解】解：由題意可得：A÷===6∵A÷1+B的值為正整數，a∴a?1=1或2或3或6，∴符合題意的a=2，3，4，7，∴滿足條件的所有整數a的和為2+3+4+7=16，故答案為：6a?14．（2023·重慶·模擬預測）已知兩個多項式A=x2+3x+3，B=x2①若A+B=14，則x=±2；②若A?B?8+A?B+4=12③若A×B=0，則關于x的方程無實數根；④若x為整數x≠1，且A?7B?1的值為整數，則xA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】①直接列方程求解即可；②列絕對值方程即可直接求解，③由A×B=0，可得x2+3x+3=0或【詳解】解：①∵A+B=12，∴x2解得：x=±3∴①不正確；②∵A?B?8+∴x2∴6x?8+當x<?23時，解得x=當?23≤x≤當x>43時，解得x=4∴②正確；③∵A×B=0，∴x2∴x2+3x+3=0或當x2+3x+3=0時，當x2?3x+3=0時，∴若A×B=0，關于x的方程無實數根，∴③正確；④∵A?7====1+6∵x為整數，且A?7B?1∴x?2=±1，±2，±3，±6又∵x≠1∴x的取值個數為7個，∴④不正確．正確的個數是2故選：C．5（2023·山西大同·三模）閱讀與思考下面是小宇同學課外閱讀的一則數學材料，請仔細閱讀并完成相應任務．“真分式”與“假分式”我們知道，假分數可以化為整數與真分數的和的形式，例如：32=1+12．在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱之為假分式；當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為真分式．如x+1x?1，x例如：將分式x?2x+3x?2x+3將分式x2方法1：x2+4x?5x+3方法2：由于分母為x+3，可設x2+4x?5=(x+3)(x+a)+b（a，∵(x+3)(x+a)+b=x2+ax+3x+3a+b∴x∴a+3=43a+b=?5∴x∴x2+4x?5這樣，分式x2任務：(1)分式2x+3是__________分式（填“真”或“假”）；將假分式2x+3(2)請將x2(3)若分式x2+2x?14x?3【答案】(1)真；2+(2)x+5+(3)x=2或x=4【分析】（1）根據定義，例題，化為一個整式與一個真分式的和的形式；（2）根據方法一、化為一個整式與一個真分式的和的形式；（3）根據題意可得1x?3【詳解】（1）解：根據定義，當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為真分式，∴2x+32x+3x故答案為：真；2+3（2）解：∵x====x+5+（3）解：由（2）可得x2+2x?14∵x2∴1x?3∴x?3=±1∴x=2或x=4．【點睛】本題考查了分式的加減運算，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關鍵．??題型04分式基本性質的運用1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．代數式x+4π是分式B．分式xyx?y中x，C．分式x+1x2+1是最簡分式【答案】C【分析】此題主要考查分式的定義、性質、最簡分式以及分式有意義的條件．根據分式的定義及性質依次判斷即可求解．【詳解】解：A、代數式x+4πB、分式xyx?y中x，y都擴大3倍后為3x?3yC、分式x+1xD、當x≠1時，分式x+1x?1故選：C．2．（2024·重慶·模擬預測）將分式x2y2x+y中x，A．擴大10倍 B．擴大100倍 C．擴大100倍 D．擴大1000倍【答案】D【分析】本題考查了分式的基本性質．解題關鍵是抓住分子、分母變化的倍數，解此類題首先把子母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結論．將原式中的x,y分別用10x,10y代替，化簡后與原分式進行比較即可得到答案．【詳解】解：將分式x2y2則原式變為10x2∴分式的值擴大1000倍，故選：D．3．（2023·河北石家莊·二模）下列各式的計算結果與baA．ba+b?ab?a B．ab?【答案】A【分析】根據分式混合運算化簡后，結合倒數定義驗證即可得到答案．【詳解】解：b===a+b∴ba?aA、ba+bB、abC、1aD、ab?a故選：A．【點睛】本題考查分式混合運算，熟記分式運算法則是解決問題的關鍵．4．（2023·河北衡水·二模）已知a>b>c>0，M=ba，N=bΔcA．若“Δ”代表的是“＋”，則M<N B．若“Δ”代表的是“－”，則M<NC．若“Δ”代表的是“×”，則M<N D．若“Δ”代表的是“÷”，則M<N【答案】A【分析】當“Δ”代表的是“＋”時，得出N=b+ca+c，計算M?N的值的符號，即可得出M與N的大小關系，可判斷A；當“Δ”代表的是“－”，得出N=b?ca?c，與A同理，可判斷B；當“【詳解】解：若“Δ”代表的是“＋”，則N=b∴M?N=b∵a>b>c>0，∴b?a<0，a+c>0，∴M?N=c∴M<N，故A正確，符合題意；若“Δ”代表的是“－”，則N=b∴M?N=b∵a>b>c>0，∴a?b>0，a?c>0，∴M?N=c∴M>N，故B錯誤，不符合題意；若“Δ”代表的是“×”，則N=b∵a>b>c>0，∴N=b若“Δ”代表的是“÷”，則N=b∵a>b>c>0，∴N=b故選A．【點睛】本題考查分式的基本性質和分式的混合運算．掌握分式的分子和分母同時乘以或除以同一個不為0的整式，分式的值不變和分式的混合運算法則是解題關鍵．??題型05約分1．（2024·河南商丘·模擬預測）化簡：2x2?2xyA．6xy B．3y C．3x D．3xy【答案】D【分析】本題考查了分式的約分，把分子分解因式，然后約分即可．【詳解】解：∵2x∴括號內應填3xy．故選D．2．（2023·山西陽泉·一模）如圖是徐同學的答卷，他的得分應是（）

A．25分 B．50分 C．75分 D．100分【答案】C【分析】根據分式有意義的條件，分式的化簡，逐一判斷即可解答．【詳解】解：若1x?1則x?1≠0，即x≠1，故1正確，徐同學回答正確；若x+1x?2的值為0則x+1=0，即x=?1，故2錯誤，徐同學回答錯誤；n2故3正確，徐同學回答正確；3xy故4正確，徐同學回答正確；那么最后得分為：25×3=75(分)，故選：C．【點睛】本題考查分式的運算及性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．3．（2024·寧夏銀川·三模）若ab=3，則分式2【答案】2【分析】本題考查了分式的化簡求值．先把分子分母因式分解，再約分化簡，然后整體代值即可得出答案．【詳解】解：∵ab∴2==2a故答案為：234．（2024·廣東·二模）已知a=0.3，b=0.1，則6ab+9a2【答案】1【分析】本題考查了分式的化簡求值．先把分子因式分解，再約分化簡，代入數據即可求解．【詳解】解：6ab+9==3a+b；當a=0.3，b=0.1時，原式=3×0.3+0.1=0.9+0.1=1．故答案為：1．5．（2024·浙江寧波·一模）代數式4ab+6ac+12bca2+4【答案】2【分析】該題主要考查了分式的化簡以及完全平方公式的運用，解題的關鍵是運用完全平方公式進行變形；先運用完全平方公式確定a2+4b2≥4ab【詳解】解：∵a?2b2=a∴a2+4b∴4ab+6ac+12bc≤a∴4ab+6ac+12bc故答案為：2．??題型06分式運算1．（2024·河北邢臺·模擬預測）化簡(?y2xA．?y4x2 B．y4x【答案】D【分析】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵；先計算乘方運算，在計算乘除運算即可得到結果．【詳解】(?==y故選：D．2．（2024·湖北武漢·模擬預測）計算32m?n?2m?n【答案】22m?n/【分析】本題主要考查了分式的加減運算．先把兩個分式通分，然后按照同分母的分式相減，再把分子分解因式，進行約分即可．【詳解】解：3=====2故答案為：22m?n3．（2024·四川廣安·模擬預測）已知a2?3a+1=0，則4a【答案】3【分析】本題主要考查求分式的值，其解題的關鍵是合理的變形及整體代入；由a2?3a+1=0變形得【詳解】解：∵a∴a∴4=4(=?4+3a?2+=3a?6+====3．故答案為：3.4．（2024·河北保定·三模）圖1中陰影部分的面積為S1（邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形）．圖2中陰影部分的面積為S2（邊長為a的大正方形中有一個長為a、寬為b的小長方形），a>b>0，設k=S1S【答案】1<k<2【分析】本題主要考查了列代數式、因式分解的應用等知識點，根據題意得到k=1+ba是解答本題的關鍵．根據題意可得S1=a2?b2，S2=【詳解】解：由題意得，S1=a∵a>b>0，∴a?b≠0，∴k=S∵a>b>0，∴0<b∴1<1+b即1<k<2，故答案為：1<k<2．5．（2024·福建泉州·模擬預測）根據如圖所示的程序，求輸出D的化簡結果．【答案】x【分析】根據題意列式[(x+2【詳解】解：依題意：[(=[=[=[==x(x?2)=x∴輸出D的化簡結果為x??題型07判斷分式運算的錯誤步驟1．（2024·廣東·模擬預測）下面是某同學化簡分式2x?1解：原式=2=2?x?1=1?x=1?x上面的運算過程中第步出現錯誤，請你寫出正確的解答過程．【答案】二，解答過程見解析【分析】本題主要考查了分式的混合運算，熟練掌握分式的混合運算法則是解本題的關鍵．逐一檢查每一步，發現錯誤，根據分式混合運算的法則計算即可．【詳解】第二步出現錯誤，原因是分子相減時未變號，2====12．（2024·寧夏銀川·一模）先化簡2a?4a2?1小陳同學在進行分式化簡時，過程如下：解：原式＝2a?2＝2a?2＝2a?2……(1)上述過程中，從第步開始出現錯誤，錯誤的原因是．(2)請完成正確的完整解題過程．【答案】(1)②，除法沒有分配律；(2)解題過程見解析，當a=0時，原式=2．【分析】本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．（1）根據分式的除法法則判斷；（2）根據分式的除法法則、減法法則把原式化簡，根據分式有意義的條件確定a的值，代入計算得到答案．【詳解】（1）解：上述過程中，從第②步開始出現錯誤，因為除法沒有分配律，故答案為：②，除法沒有分配律；（2）（2）原式====2由題意得：a≠2、±1，當a=0時，原式=23．（2024·吉林·二模）請你閱讀下列解題過程，并回答所提出的問題．計算：x+1x解：原式=x+1=x+1=x+1?4x+1=?3x?3第四步(1)上述計算過程中，從哪一步開始出現錯誤______；(2)從第二步到第三步是否正確？______，同分母分式相加減，分母______，分子______；(3)正確的結果是______．【答案】(1)第一步(2)不正確，不變，相加減(3)5【分析】本題考查了分式的混合運算，先算分式的除法，再算減法，即可解答．（1）根據題意可得出第一步出現錯誤；（2）根據分式的性質即可得出結論；（3）根據分式的混合運算即可得出結論【詳解】（1）第一步（2）不正確，不變，相加減（3）解：原式=x+1=1=4．（2024·寧夏·一模）在數學課上，老師出了一道題，讓甲、乙、丙、丁四位同學進行“接力游戲”．規則如下：每位同學可以完成化簡分式的一步變形，即前一位同學完成一步后，后一個同學接著前一個同學的步驟進行下一步化簡變形，直至將該分式化簡完畢．請根據如表的“接力游戲”回答問題：接力游戲老師：化簡：1?甲同學：原式=乙同學：原式=丙同學：原式=丁同學：原式=?4x(1)：①在“接力游戲”中，丁同學是依據______進行變形的．A.等式的基本性質

B.不等式的基本性質

C.分式的基本性質

D.乘法分配律②在“接力游戲”中，從_______同學開始出現錯誤，錯誤的原因是______．(2)：請你寫出該分式化簡的正確結果______．【答案】(1)①C②乙，去括號時，沒有改變符號(2)4【分析】（1）：①根據分式的基本性質解答即可．②從乙同學開始出現錯誤，錯誤的原因是去括號時，沒有變號．（2）根據分式的化簡，正確計算即可，本題考查了分式的化簡，熟練掌握分式的基本性質，化簡的基本技能是解題的關鍵．【詳解】（1）①根據分式的基本性質得故選C，故答案為：C．②從乙同學開始出現錯誤，錯誤的原因是去括號時，沒有變號，故答案為：乙，去括號時，沒有變號．（2）：1?原式====4故答案為：42?x5．（2024·山東·模擬預測）小明的作業如下：解：a=a?a?b=?a?b．（第二步）(1)指出小明的作業是從哪一步開始出現錯誤的，請更正過來，并計算出正確結果；(2)若a，b是不等式組2x>0x?3<0的整數解（a<b【答案】(1)小明的作業是從第一步開始出現錯誤的，正確結果為a+b；(2)3．【分析】（1）根據分式的混合運算順序和運算法則可判斷正誤及結果；（2）先求出不等式組解集0<x<3，再根據題意得出a、b的值，然后代入計算即可；本題考查了分式的化簡求值，解一元一次不等式組，求一元一次不等式組的整數解，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）小明的作業是從第一步開始出現錯誤的，正確過程如下：a====a+b；（2）由2x>0得x>0，由x?3<0得x<3，∴不等式組的解集為0<x<3，∴x整數解為1，2，∵a<b，∴a=1，b=2，∴原式=a+b=1+2=3．??題型08分式化簡求值1．（2024·河北·模擬預測）如圖，若a=6b，則1a?ba?2ab?A．第①段 B．第②段 C．第③段 D．第④段【答案】D【分析】本題考查了分式的值．把a=6b代入即可求出分式的值，再看值的點落在的位置．【詳解】解：1===a?b∵a=6b，∴原式=6b?b∵34∴1a?ba?2ab?故選：D．2．（2024·四川德陽·模擬預測）已知x2?x?1=0，計算A．2 B．?2 C．1 D．?1【答案】B【分析】此題考查了分式的化簡求值，先計算括號內的減法，再計算除法，得到化簡結果，把已知等式變形后整體代入即可.【詳解】解：2===?∵x∴x2∴原式=?=?=?2故選：B3．（2024·山東聊城·二模）若1+1x?1÷2xxA．x為自然數 B．x為大于1的奇數C．x為大于0的偶數 D．x為正整數【答案】B【分析】本題主要考查了分式的化簡，掌握分式的混合運算法則成為解題的關鍵．先根據分式的混合運算法則化簡，然后再根據結果為正整數即可解答．【詳解】解：1+1=x?1==x?1∵結果為正整數，∴x為大于1的奇數．故選B．4．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）化簡m?1m2?6m+9【答案】1【分析】本題主要考查了分式的混合運算，完全平方公式分解因式等知識點，熟練掌握分式的運算法則是解題的關鍵．按照分式的運算法則進行計算即可．【詳解】解：m?1====1故答案為：1m?35．（2024·黑龍江綏化·模擬預測）當x=y+2023時，代數式1x?y?【答案】2023【分析】本題考查了分式的化簡求值，括號內先通分，再將除法轉化為乘法，約分即可化簡，整體代入x=y+2023計算即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．【詳解】解：∵x=y+2023，∴1===?=x?y=y+2023?y=2023，故答案為：2023．6．（2024·山東濱州·模擬預測）先化簡，再求值：x2?2x+1x【答案】x2【分析】本題考查了分式的化簡求值，負整數指數冪，0指數冪等知識．先將分式進行計算，再把x化簡，代入即可求解．【詳解】x====x∵x==2?1+3=4∴原式=x7．（2024·湖南長沙·模擬預測）先化簡，再求值1?1x?1÷x2【答案】xx?2【分析】本題考查了分式的化簡計算：先把分式化簡后，再把分式中未知數對應的值代入求出分式的值．先把括號內通分和除法運算化為乘法運算，再約分得到原式=xx?2，然后根據分式有意義的條件在4個數中確定x只能取3，最后把【詳解】解：原式===x∵x?1≠0且x≠0且x?2≠0，∴x可以取3，當x=3時，原式=3??題型09分式運算的應用1．（2023·河北廊坊·二模）a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的濃度為是ab(1)再往杯中加入mm>0(2)請證明（1）中的數學關系式．【答案】(1)m+a(2)見解析【分析】（1）先表示出入mm>0克糖后，糖水的濃度為：m+am+b，根據糖水變甜，濃度變大，得出（2）理由作差法進行證明即可．【詳解】（1）解：再往杯中加入mm>0克糖后，糖水的濃度為：m+a∵糖水變甜了，即糖水的濃度變大了，∴m+am+b故答案為：m+am+b（2）證明：m+a===m∵b>a>0，m>0，∴mb?a>0，∴mb?a∴m+am+b【點睛】本題主要考查了列代數式，分式加減的應用，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算法則，準確計算．2．（2023·福建福州·一模）福州市的市花是茉莉花．“飄香1號”茉莉花實驗種植基地是邊長為ama>1的正方形去掉一塊邊長為1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飄香2號”茉莉花實驗種植基他是邊長為a?1【答案】“飄香2號”小麥的單位面積產量高，理由見解析【分析】根據題意分別表示出飄香1號和2號的單位面積產量，比較即可．【詳解】解：“飄香1號”小麥的試驗田面積是a2?1m“飄香2號”小麥的試驗田面積是a?12m2∵a>1，即a?1>0，∴a?12∴a?12又由a>1可得a?12>0，∴500a∴“飄香2號”小麥的單位面積產量高．【點睛】本題考查了分式的實際應用，依題意求出兩塊試驗田的單位面積產量是解題關鍵．3．（2024·寧夏銀川·一模）現在汽車已成為人們出行的交通工具．小李和小王元旦那天相約一起到某加油站加油，當天95號汽油的單價為m元/升，他倆加油的情況如圖所示．半個月后的某天，他倆再次相約到同一加油站加油，此時95號汽油的單價下調為n元/升，他倆加油的情況與上次相同，請運用所學的數學知識計算小李、小王兩次加油誰的平均單價更低？【答案】小李兩次加油的平均單價更低【分析】本題考查列代數式、分式的加減，正確列出代數式是解答的關鍵．先求解小李兩次加油每次300元的平均單價，再求得小王兩次加油30升的平均單價，然后作差比較大小即可得出結論．【詳解】解：根據題意，小李兩次加油每次300元的平均單價為300+300300小王兩次加油30升的平均單價為30m+30n30+30∴m+n==m?n∵m≠n，∴m?n22m+n故小李兩次加油的平均單價更低．4．（2023·浙江杭州·模擬預測）已知p=k方方說：“p一定大于q”．以下是方方的解答過程．解：p?q=k因為k>0，所以p?q>0，即p一定大于q．你覺得方方說法正確嗎？為什么？【答案】不正確，理由見解析【分析】本題主要考查了分式加減運算，根據分式加減運算法則求出p?q=k【詳解】解：方方說法不正確，理由：∵p?q===k而方方在解答過程中將分母去掉了，∴方方說法不正確．正確的解法為：∵p?q===k∵k>0，當m>0時，mm+1∴p?q>0，∴p大于q；∵k>0，當m<?1時，mm+1∴p?q>0，∴p大于q；∵k>0，當?1<m<0時，mm+1∴p?q<0，∴p小于q．綜上，p不一定大于q．??題型10分式的規律探究問題1．（2022·廣西賀州·一模）對于正數x，規定fx=x1+x，例如：f3=3【答案】2021.5【分析】由題意可得：f1x=【詳解】解：由題意得：f1∴fx∴f12022+f2022=1f1∵x為正數，∴原式=f=1×2021+1故答案為：2021.5．【點睛】本題考查了分式的規律，分式的化簡求值，掌握分式的化簡和找出規律是解題的關鍵．2．（2024·浙江·模擬預測）觀察下面的一列數：a1=12，a2(1)嘗試：a2?a1=(2)歸納：an+1(3)推理：運用所學知識，推理說明你歸納的結論是正確的．【答案】(1)12；(2)1(3)見解析【分析】此題考查了分式的加減混合運算，解題的關鍵是掌握以上運算法則．（1）根據題意代數求解即可；（2）根據（1）的規律求解即可．（3）首先根據分式的加減運算求出an+1=n+12，【詳解】（1）a3a4（2）an+1（3）a===a===∴an+13．（2024·四川內江·二模）已知，若a，b為非零實數，則b?aab(1)觀察下列各式并補充完整：11×212×313×4…1nn+1=11×2+1(2)計算：11×3(3)設an=n+1n2【答案】(1)1n?(2)49(3)見解析【分析】本題考查了分式的加減運算，分式的規律探究．熟練掌握運算法則并推導一般性規律是解題的關鍵．（1）由題意知，1nn+1=1n（2）根據11×3+1（3）由題意得an=n+1n2【詳解】（1）解：由題意知，1n∴1=1?=1?=n故答案為：1n?1（2）解：由題意知，11×3====49∴11×3+1（3）證明：∵an∴a==1∵n為正整數，∴1n+1∴?1∴14∴a14．（2022·安徽合肥·二模）觀察以下等式：第1個等式：73×(2?3第3個等式：1911×(2?3按照以上規律，解答下列問題：(1)寫出第5個等式：；(2)寫出你猜想的第n個等式：（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)31(2)7+6(n?1)3+4(n?1)【分析】（1）根據題目中前4個等式，可以發現式子的變化特點，從而可以寫出第5個等式；（2）把上面發現的規律用字母n表示出來，并運用分式的混合運算法則計算等號的右邊的值，進而得到左右相等便可．【詳解】（1）第五個等式為：3119故答案為：3119（2）根據（1）所得到的規律，猜想：7+6(n?1)3+4(n?1)證明：7+6(n?1)===3?23?即：右邊=左邊，故猜想成立，故答案為：7+6(n?1)【點睛】本題考查數字的變化類，解答本題的關鍵是明確題意，發現式子的變化特點，寫出相應的等式，并證明猜想的正確性．??題型11與分式運算有關的新定義問題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）對于實數a、b，定義運算：①m⊕n=1m+n例如①3⊕5=13+5=18【答案】x=3【分析】本題考查了新定義，解一元二次方程，熟練掌握知識點，正確理解題意是解題的關鍵．先根據題意列出方程，再去分母，轉化為解一元二次方程，最后需要注意分母不為0．【詳解】解：由題意得，2xx2x?x?2xx?3x+2解得：x=3或x=?2，當x=?2時，2+x=0，不符合題意，∴原方程的解為：x=3，故答案為：x=3．2．（2023·浙江寧波·三模）定義一種新運算：對于任意的非零實數x，y，x?y=x2a?y2b【答案】?3【分析】本題考查了求分式的值；根據新定義以及已知條件，可得1a【詳解】解：∵x?y=x2∴4a即1∴1?2=故答案為：?3．3．（2024·四川廣元·二模）定義一種新運算：n?n+1=1nn+1，如1?2=11×2，【答案】2023【分析】本題考查新定義運算，分式的簡便運算，利用新定義將等式左邊變形為11×2+1【詳解】解：1?2+2?3+3?4+?+m?==1?=1?=m∴mm+1解得m=2023．故答案為：2023．4．（2024·云南·模擬預測）定義：不大于實數x的最大整數部分，記作x．例如：2=1，?2.6=?3，按此規定，若a=336，b=?A．13 B．19 C．136【答案】B【分析】本題主要考查了無理數的大小估算，負整數指數冪的計算，先根據新定義以及無理數的估算得出a，b的值，然后再計算負整數指數冪的計算．【詳解】解：∵3∴3<∴a=3∵?4∴?2<?∴b=?∴a故選B．5．（2022·河北·二模）對于代數式a，b，c，d規定一種運算：abcd=aA．x2 B．x+1x C．x+1【答案】D【分析】根據題目規定的運算法則來進行計算，然后化簡即可．【詳解】解：∵∴故選：D．【點睛】本題考查了新定義運算，充分理解題目規定的運算法則來進行計算是解此題的關鍵．1．（2022·浙江杭州·中考真題）照相機成像應用了一個重要原理，用公式1f=1u+1vv≠f表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知A．fvf?v B．f?vfv C．fvv?f【答案】C【分析】利用分式的基本性質，把等式1f=1u+1v【詳解】解：∵1f∴1∴1u∴u=fν故選：C．【點睛】本題考查分式的加、減法運算，關鍵是異分母通分，掌握通分法則．2．（2024·四川眉山·中考真題）已知a1=x+1（x≠0且x≠?1），a2=1【答案】?【分析】此題考查了分式的混合運算，利用分式的運算法則計算得到每三個為一個循環，分別為x+1，?1x，xx+1【詳解】解：∵a∴aa3∴a∴aa6……，由上可得，每三個為一個循環，∵2024÷3=674×3+2，∴a故答案為：?13．（2023·廣東廣州·中考真題）已知a>3，代數式：A=2a2?8，B=3(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式．【答案】(1)2(2)見解析【分析】（1）先提取公因式，再根據平方差公式進行因式分解即可；（2）將選取的代數式組成分式，分子分母進行因式分解，再約分即可．【詳解】（1）解：A=2a（2）解：①當選擇A、B時：BAAB②當選擇A、C時：CAAC③當選擇B、C時：CBBC【點睛】本題主要考查了因式分解，分式的化簡，解題的關鍵是掌握因式分解的方法和步驟，以及分式化簡的方法．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：已知3a>b>0，M=ab，N=a+1b+3，試比較小華：整式的大小比較可采用“作差法”.老師：比較x2+1與小華：∵x2∴x2老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？…(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．(2)比較大小：2368__________2265．（填“>”“=”或“【答案】(1)M(2)<【分析】（1）根據作差法求M?N的值即可得出答案；（2）根據作差法求2368【詳解】（1）解：M?N=a∵3a>b>0，∴3a?b∴M>（2）解：∵23∴23故答案為：<．【點睛】本題考查分式運算的應用，解題關鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算的方法．一、單選題1．（2024·山東淄博·中考真題）下列運算結果是正數的是（

）A．3?1 B．?32 C．?【答案】A【分析】題考查了正數的定義，負整數指數冪的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的意義，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．根據正數的定義，負整數指數冪的運算，絕對值的化簡，乘方，算術平方根的意義計算選擇即可．【詳解】解：A、3?1B、?3C、??3D、?3故選：A．2．（2024·廣東廣州·中考真題）若a≠0，則下列運算正確的是（

）A．a2+aC．2a?3【答案】B【分析】本題考查了分式的乘法，同底數冪乘法與除法，掌握相關運算法則是解題關鍵．通分后變為同分母分數相加，可判斷A選項；根據同底數冪相乘，底數不變，指數相加，可判斷B選項；根據分式乘法法則計算，可判斷C選項；根據同底數冪除法，底數不變，指數相減，可判斷D選項．【詳解】解：A、a2B、a3C、2aD、a3故選：B．3．（2024·上海·中考真題）函數f(