2.1兩條直線的位置關系

第二章

相交線與平行線

第1課時

對頂角、余角和補角學習目標1.在具體的現實情境中，了解同一平面內兩條直線的平行和相交關系，理解對頂角、補角、余角等概念。（重點）2.掌握對頂角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的補角相等，并解決一些實際問題。（難點）（重點）課時導入觀察下面幾幅生活中的圖片：兩鐵軌平行。枕木之間也平行。枕木與鐵軌相交。生活中處處可見道路、房屋、山川、橋梁。在大自然的杰作和人類的創造物中，蘊含著無數的相交線和平行線。知識講解知識點1相交線與平行線在同一平面內，兩條直線的位置關系有相交和平行兩種。若兩條直線只有一個公共點，稱這兩條直線為相交線。在同一平面內，不相交的兩條直線叫作平行線。ab相交ab平行思考：不想交的兩條直線一定平行嗎？ab直線a與直線b，不相交，但也不平行。直線平行的定義中的注意事項：（1）必須是在同一平面內；（2）沒有相交點；（3）指的是兩條直線（不是線段或射線）。1.判斷下面說法是否正確:（1）不相交的兩條直線叫做平行線。 （）（2）在同一平面內，不相交的兩條線段必平行

。 （）（3）兩條直線，要么平行，要么相交。 （）（4）在同一平面內，不相交的兩條直線必平行。

（）隨堂小測×××√知識講解知識點2對頂角及其性質如圖，直線AB與CD相交于O，∠1和∠2有什么位置關系？觀察·交流ABCDO21341.∠1與∠2公共頂點O。2.∠1與∠2兩邊互為反向延長線。∠1與∠2有公共頂點O，它們的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。思考：∠1與∠2是對頂角，那么它們的大小有什么關系呢？ABCDO2134你能驗證你的猜想嗎？猜想：∠1與∠2邊互為反向延長線，角的開口大小一樣，角度相等。思考：∠1與∠2是對頂角，那么它們的大小有什么關系呢？ABCDO2134因為∠AOB和∠COD都是平角，所以∠4+∠1=∠2+∠4，根據等式的性質，等式兩邊都減去∠4，得∠1=∠2。對頂角的性質：對頂角相等。1.下列選項中，∠1和∠2是對頂角的是

（

）隨堂小測D知識講解知識點3補角、余角及其性質如圖，∠1與∠3有什么數量關系？觀察·思考ABCDO2134∠1與∠3組成一個平角，所以∠1與∠3的和是180°。如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角互為補角。12如上圖，∠1+∠2=180°，∠1與∠2互為補角。類似的，如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角互為余角。12如上圖，∠1+∠2=90°，∠1與∠2互為余角。注意：互余、互補是兩個角的數量關系，與位置無關。如圖1，打臺球時，選擇適當的方向，用白球擊打紅球，反彈后的紅球會直接入袋，此時∠1=∠2。思考·交流圖12DC

O134ABN圖2將圖1抽象成圖2，ON與DC交于點O，∠DON=∠CON=90°，∠1=∠2。2DC

O134ABN圖2在圖2中：互為補角的角：∠1與∠AOC，∠2與∠BOD等。（1）找出互為補角和互為余角的角。互為余角的角：∠1與∠3，∠2與∠4等。2DC

O134ABN圖2在圖2中：因為∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，并且∠1=∠2，所以∠3=∠4。（2）∠3與∠4的大小有什么關系？為什么？同角或等角的余角相等。2DC

O134ABN圖2在圖2中：因為∠AOC+∠1=180°，∠BOD+∠2=180°，并且∠1=∠2，所以∠AOC=∠BOD。（3）∠AOC與∠BOD的大小有什么關系？為什么？同角或等角的補角相等。總結歸納如果兩個角的和是180°，那么稱這兩個角

。如果兩個角的和是90°，那么稱這兩個角

。同角（或等角）的補角相等，同角（或等角）的余角相等。互為補角互為余角

知識點1

相交線與平行線1.

在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種，即

相交

和

平行

.相交

平行

課

堂

檢

測知識點2

對頂角2.

（2024·西安月考）下列圖形中，∠1與∠2是對頂角的是（D

）

A

B

C

DD3.

（教材P36隨堂練習變式）如圖，直線AB與CD相交于點O，量角器

的中心與點O重合，則∠BOD＝（B

）A.40°B.50°C.55°D.60°B[變式]如圖，直線AB與CD相交于點O，若∠AOC＝75°，∠1＝

25°，則∠2的度數是

50°

.50°

4.

一把剪刀的示意圖如圖所示，我們可以把它想象成一個相交線的模

型，若∠AOB＋∠COD＝76°，則∠AOB＝（B

）A.36°B.38°C.52°D.46°B5.

【新趨勢·情境題】如圖，為了測量一座古塔外墻底部∠AOB的度

數，李瀟同學設計了一個測量方案：作AO，BO的延長線OD，OC，

量出∠COD的度數，從而得到∠AOB的度數.這個測量方案的依據

是

對頂角相等

.對頂角相等

6.

（2024·西安校級月考）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分

∠BOD，∠BOE＝30°，求∠AOC的度數.解：因為OE平分∠BOD，所以∠BOD＝2∠BOE＝2×30°＝60°.因為∠AOC與∠BOD是對頂角，所以∠AOC＝∠BOD＝60°.知識點3

余角和補角7.

（2024·西安校級月考）如果一個角是30°，那么這個角的余角是

（D

）A.150°B.40°C.50°D.60°[變式1]如果一個角的補角是30°，那么這個角的度數是

150°

.[變式2]如果一個角的度數比它的余角大30°，那么這個角的度數

是

60°

.[變式3]如果一個角的度數是它的補角的2倍，那么這個角的度數

是

120°

.D150°

60°

120°

8.

如圖，直線AB，CD相交于點O.

因為∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3

＝180°，所以∠1＝∠2.其推理依據是（C

）A.

同角的余角相等B.

對頂角相等C.

同角的補角相等D.

等角的補角相等C9.

如圖，在同一平面內，三角尺的直角頂點C正好在直線DE上.如果

∠BCE＝25°，那么∠ACD的度數為

115

°.115

易錯點

未給出圖形，考慮不全而致錯10.

【分類討論思想】在兩條直線相交所形成的四個角中，有兩個角分

別是（2x－10）°和（110－x）°，則x＝

40或80

.40或80

11.

（2024·西安校級月考）一個角的補角比這個角的余角的2倍多

50°，則這個角的度數為（A

）A.50°B.45°C.55°D.25°A12.

如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中∠α與∠β

一定相等的是（B

）A.

①②B.

②③C.

②④D.

②B13.

在同一平面內，不重合的三條直線的交點的個數是（D

）A.1或2B.2或3C.1或3D.0或1或2或3D14.

（教材P40習題T9變式）當光線從空氣中射入水中時，光線的傳播

方向發生了改變，這就是光的折射現象.如圖，若∠1＝42°，∠2＝

28°，則光線的傳播方向改變了

14

°.14

15.

（2024·西安新城區期中）如圖，∠AOC與∠BOC互為補角，

∠BOC與∠BOD互為余角，且∠BOC＝4∠BOD.

（1）求∠BOC的度數；

15.

（2024·西安新城區期中）如圖，∠AOC與∠BOC互為補角，

∠BOC與∠BOD互為余角，且∠BOC＝4∠BOD.

（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度數.

16.

觀察下列各圖，尋找對頂角.（1）如圖1，圖中共有

2

對不同的對頂角；（2）如圖2，圖中共有

6

對不同的對頂角；（3）如圖3，圖中共有

12

對不同的對頂角；2

6

12

（4）研究（1）～（3）小題中直線條數與對頂角的對數之間的關系

可知，若有n條直線相交于一點，則可形成

n（n－1）

對不同的

對頂角.n（n－1）

兩條直線的位置關系相交小結平行在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線。注意：（1）必須是在同一平面內；（2）沒有相交點；（3）指的是兩條直線（不是線段