高考專題訓練(二十)推理與證明、算法初步、復數(理)高考專題訓練(十八)推理與證明、算法初步、復數(文)A級——基礎鞏固組一、選擇題1．(2014·安徽卷)如圖所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結果是()A．34 B．55C．78 D．89解析由程序框圖知依次為：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，故輸出55.答案B2．(2014·北京卷)當m＝7，n＝3時，執行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為()A．7 B．42C．210 D．840解析開始：m＝7，n＝3.計算：k＝7，S＝1.第一次循環，此時m－n＋1＝7－3＋1＝5，顯然k<5不成立，所以S＝1×7＝7，k＝7－1＝6.第二次循環，6<5不成立，所以S＝7×6＝42，k＝6－1＝5.第三次循環，5<5不成立，所以S＝42×5＝210，k＝5－1＝4.顯然4<5成立，輸出S的值，即輸出210，故選C.答案C3．若復數z滿足iz＝2＋4i，則在復平面內，z對應的點的坐標是()A．(2,4) B．(2，－4)C．(4，－2) D．(4,2)解析由iz＝2＋4i得：z＝eq\f(2＋4i,i)＝eq\f(2＋4ii,－1)＝4－2i，對應點為(4，－2)，故選C.答案C4．若復數z滿足(3－4i)z＝|4＋3i|，則z的虛部為()A．－4 B．－eq\f(4,5)C．4 D.eq\f(4,5)解析|4＋3i|＝eq\r(42＋32)＝5，所以(3－4i)z＝5，即z＝eq\f(5,3－4i)＝eq\f(53＋4i,3－4i3＋4i)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i，所以z的虛部為eq\f(4,5)，故選D.答案D5．下列推理中屬于歸納推理且結論正確的是()A．設數列{an}的前n項和為Sn，由an＝2n－1，求出S1＝12，S2＝22，S3＝32，…，推斷：Sn＝n2B．由f(x)＝xcosx滿足f(－x)＝－f(x)對?x∈R都成立，推斷：f(x)＝xcosx為奇函數C．由圓x2＋y2＝r2的面積S＝πr2，推斷：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的面積S＝πabD．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推斷：對一切n∈N*，(n＋1)2>2n解析注意到，選項A由一些特殊事例得出一般性結論，且注意到數列{an}是等差數列，其前n項和等于Sn＝eq\f(n1＋2n－1,2)＝n2，選項D中的推理屬于歸納推理，但結論不正確．因此選A.答案A6．類比“兩角和與差的正弦公式”的形式，對于給定的兩個函數：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a>0，且a≠1，下面正確的運算公式是()①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．A．①② B．③④C．①④ D．②③解析經驗證易知①②錯誤．依題意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，綜上所述，選B.答案B二、填空題7．(2014·江蘇卷)下圖是一個算法流程圖，則輸出的n的值是________．解析本題實質上是求不等式2n>20的最小整數解，2n>20的整數解為n≥5，因此輸出的n＝5.答案58．已知復數z＝1－i，則eq\f(z2－2z,z－1)＝________.解析eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(z－12－1,z－1)＝z－1－eq\f(1,z－1)＝(－i)－eq\f(1,－i)＝－i－eq\f(i,－i·i)＝－2i.答案－2i9．觀察下列等式：eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1；eq\f(7,3)＋eq\f(8,3)＋eq\f(10,3)＋eq\f(11,3)＝12；eq\f(16,3)＋eq\f(17,3)＋eq\f(19,3)＋eq\f(20,3)＋eq\f(22,3)＋eq\f(23,3)＝39；……則當m<n且m，n∈N時，eq\f(3m＋1,3)＋eq\f(3m＋2,3)＋eq\f(3m＋4,3)＋eq\f(3m＋5,3)＋…＋eq\f(3n－2,3)＋eq\f(3n－1,3)＝________(最后結果用m，n表示)．解析由eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，知m＝0，n＝1,1＝12－02；由eq\f(7,3)＋eq\f(8,3)＋eq\f(10,3)＋eq\f(11,3)＝12，知m＝2，n＝4,12＝42－22；由eq\f(16,3)＋eq\f(17,3)＋eq\f(19,3)＋eq\f(20,3)＋eq\f(22,3)＋eq\f(23,3)＝39，知m＝5，n＝8,39＝82－52；……依此規律可歸納，eq\f(3m＋1,3)＋eq\f(3m＋2,3)＋eq\f(3m＋4,3)＋eq\f(3m＋5,3)＋…＋eq\f(3n－2,3)＋eq\f(3n－1,3)＝n2－m2.答案n2－m2三、解答題10．已知復數z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數單位)，復數z2的虛部為2，且z1·z2是實數，求z2.解∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.設z2＝a＋2i，a∈R，則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．解(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設數列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr.即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))．∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0.))∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r.與p≠r矛盾．所以數列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數列．B級——能力提高組1．若數列{an}是等差數列，則數列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也為等差數列．類比這一性質可知，若正項數列{cn}是等比數列，且{dn}也是等比數列，則dn的表達式應為()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n))D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)解析若{an}是等差數列，則a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}為等差數列；若{cn}是等比數列，則c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\f(nn－1,2)，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1,2)，即{dn}為等比數列，故選D.答案D2．(2014·湖北卷)設a是一個各位數字都不是0且沒有重復數字的三位數，將組成a的3個數字按從小到大排成的三位數記為I(a)，按從大到小排成的三位數記為D(a)(例如a＝815，則I(a)＝158，D(a)＝851)．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，任意輸入一個a，輸出的結果b＝________.解析不妨取a＝815，則I(a)＝158，D(a)＝851，b＝693；則取a＝693，則I(a)＝369，D(a)＝963，b＝594；則取a＝594，則I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495；則取a＝495，則I(a)＝459，D(a)＝954，b＝495.故輸出結果b＝495.答案4953．根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x，y值依次分別記為x1，x2，…，xk，…；y1，y2，…，yk，….(1)分別求數列{xk}和{yk}的通項公式；(2)令zk＝xkyk，求數列{zk}的前k項和Tk，其中k∈N*，k≤2007.解(1)由程序框圖，知數列{xk}中，x1＝1，xk＋1＝xk＋2，∴xk＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2007)．由程序框圖，知數列{yk}中，yk＋1＝3yk＋2，∴yk＋1＋1＝3(yk＋1)．∴eq\f(yk＋1＋1,yk＋1)＝3，y1＋1＝3.∴數列{yk＋1}是以3為首項，3為公比的等比數列．∴yk＋1＝3·3k－1＝3k.∴yk＝3k－1(k∈N*，k≤2007)．(2)Tk＝x1y1＋x2y2＋…＋xkyk＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k－1)(3k－1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k－[1＋3＋…＋(2k－1)]．記Sk＝1×3＋3×32＋…＋(2k－1)·3k，①則3Sk＝1×32