矢量算法與場論初步·張量算法與黎曼幾何初步本章包括兩個部分.第一部分是矢量代數、矢量分析及其在場論中的應用.主要內容有：矢量的概念、矢量的算法與矢量的坐標表示；以矢量作為工具介紹了場論中的一些基本內容.例如梯度、散度與旋度等基本概念及其計算公式和性質，以及它們在不同坐標系中的表達式；敘述了矢量的積分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引進了仿射坐標系，闡述了三維空間中的協變矢量和逆變矢量，同時把這些概念推廣到n維空間中去.第二部分是張量代數、張量分析及其在黎曼幾何中的應用.介紹了張量的概念和一些張量算法，然后以張量作為工具來闡述仿射聯絡空間的基本內容.例如，仿射聯絡、矢量和張量的平行移動，及協變微分法與自平行曲線等；并在n維空間中引進度量的概念，來定義黎曼空間，從而由具有特殊條件的仿射聯絡引出了黎曼聯絡，于是有關仿射聯絡空間中的一些性質可以搬到黎曼空間中來.可是，因為黎曼空間是由度量定義的，所以與度量有關的一些性質在仿射聯絡空間中是沒有的.§1矢量算法矢量代數［矢量概念］只有大小的量稱為標量(也稱為數量或純量).例如溫度、時間、質量、面積、能量等都是標量.具有大小和方向的量稱為矢量(也稱為向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、動量等都是矢量．在幾何中的有向線段就是一個直觀的矢量.通常用空間中的有向線段AB來表示矢量.用長度表示大小，用端點的順序AB表示方向.A稱為始點，B稱為終點，這個矢量記作，或用黑正體字母a表示.矢量的大小(或長度)的數值稱為它的模或絕對值，用記號或|a|表示.矢量按其效能可分成三種基本類型：具有大小和方向而無特定位置的矢量稱為自由矢量.例如力偶.沿直線作用的矢量稱為滑動矢量.例如作用于剛體的力.作用于一點的矢量稱為束縛矢量.例如電場強度.在這里所討論的矢量，除特別說明外，都指自由矢量，就是說，所有方向相同，長度相等的矢量，不管始點如何，都看作相同的矢量.模等于1的矢量稱為單位矢量.模等于零的矢量稱為零矢量，記作０，它是始點和終點重合的矢量.模與矢量的模相等而方向相反的矢量稱為a的負矢量，記作-a.始點與原點O重合而終點位于一點M的矢量(圖8.1)稱為點M的矢徑(或向徑)，記作r，原點稱為極點.如果M的直角坐標為x，y，z,則有r＝＝(x，y，z)＝xi＋yj＋zk式中i，j，k分別為x軸，y軸，z軸的正向單位矢量，稱為坐標單位矢量(或基本矢量).［矢量的基本公式］名稱公式圖形矢量a的坐標表示坐標單位矢量i，j，k的坐標表示零矢量的坐標表示a的長度(或模)a的方向余弦(,,為a的方向角)矢量(兩端點A，Ｂ的坐標分別為(ax,ay,az),(bx,by,bz)a＝axi＋ayj＋azk＝(ax,ay,az)i＝(１，０，０)j＝(０，１，０)k＝(０，０，１)0＝(０，０，０)(0無方向)=a＝＝(bx－ax)i＋(by－ay)j＋(bz－az)k［加法］若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，則a＋b=(ax＋bx,ay＋by,az＋bz)把矢量的始點移到原點O，以a，b為邊作平行四邊行，由原點作出的對角線就表示和矢量a＋b(稱為平行四邊形法則，見圖8.2);或者把二矢量首尾相接,由始點到終點的矢量即為和矢量a+b(稱為三角形法則，見圖８.3).加法運算適合如下規律：(交換律)(結合律)a＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０［減法］若a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，則a－b＝(ax－bx，ay－by，az－bz)把矢量b的負矢量與矢量a相加，得矢量a－b(圖8.4).對任意兩個矢量a和b成立三角形不等式：|a＋b||a|＋|b|［數乘］以實數乘矢量a稱為數乘，記作a.當>０時，a的模伸縮倍，方向保持不變；當<０時，a的模伸縮||倍，而方向與a相反(圖8.5)，如果a=(ax,ay,az)則a＝(ax,ay,az)設，為兩實數，a，b為兩矢量，則數乘運算適合下列規律：(a)＝()a(結合律)(＋)a＝a＋a(分配律)(a＋b)＝a＋b(分配律)［矢量的分解］1設a，b，c為三個共面的矢量，而b和c為非共線矢量，如果把它們移到公共始點Ｏ，由矢量c的終點C作兩條平行于a，b的直線，各交a，b(或延長線)于Ｍ，Ｎ(圖８.6)，則c＝+=a＋b這稱為矢量c對a，b的分解.2設a，b，c為非共面矢量，而d為任一矢量，把它們移到公共始點Ｏ，由矢量d的終點D作三個平面分別平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且與a，b，c(或延長線)分別交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(圖8.7)，則d＝++＝a＋b＋稱為矢量d對a，b，c的分解.3如果兩個非零矢量a與b有線性關系a＋b＝０式中,不全為0，則稱這兩個矢量共線(即a//b)；反之也真.稱這兩個矢量a，b為線性相關.4設a,b為兩個非零矢量，若a＋b＝０，則有＝０，＝０，這時稱a，b為線性無關.5若三個非零矢量a，b，c有線性關系a＋b＋＝０，式中，，不全為零，則這三個矢量共面，反之也真.這時，稱a，b，c為線性相關.如果a，b，c為三個非零矢量，而a＋b＋＝０，則有＝＝＝０，這時,稱a，b，c為線性無關.6四個(或四個以上)矢量a，b，c，d必有線性關系；就是說它們一定線性相關.這時，必有不全為０的四個數，，，，成立a＋b＋＋d＝０.［標量積(數量積、點積、內積)］設a＝(ax,ay,az)，b＝(ｂx,ｂy,ｂz)，|a|＝a，|b|＝b，a，b兩矢量的夾角為，則稱數值abcos為矢量a，b的標量積(也稱為數量積、點積或內積).記作a·b＝ab＝abcos(０)可以看作矢量a的長度乘以矢量b在a上的投影的長度(圖8.8).標量積運算適合以下的規律：a·b＝b·a(交換律)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)(a)·(b)＝a·b(數乘的結合律)a·a＝a２＝|a|２＝a２若a，b為非零矢量，a·b＝０，則ab；反之也真.i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝０a·b＝axbx＋ayby＋azbz(即對應坐標相乘之和)［矢量積(叉積、外積)］設a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，|a|＝a，|b|＝b，a，b兩矢量的夾角為，則定義a×b為兩矢量的矢量積(也稱為叉積或外積),它是一個矢量,即長度等于以a，b為邊的平行四邊形的面積(圖8.9陰影部分)|a×b|＝absin(０)它的方向垂直于兩矢量a和b,并且a，b，a×b構成右手系(圖8.9).矢量積運算適合下列規律：a×b＝－b×a(反交換律)(a+b)×c＝a×c＋b×c(分配律，次序不能交換)(a)×(b)＝(a×b)[(＋)a]×b＝(＋)(a×b)＝(a×b)＋(a×b)a×a＝０若a，b為非零矢量，則a，b共線(即a//b)的充分必要條件是：a×b＝０i×i＝j×j＝k×k＝０，i×j＝k，j×k＝i，k×i＝ja×b＝＝(aybz-azby)i+(azbx－axbz)j+(axby－aybx)k[兩矢量的夾角]cos(a，b)＝sin(a，b)＝[拉格朗日恒等式](a×b)·(c×d)＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)特別(a×b)2=a2b2－(ab)2即(aybx-azby)2+(azbx－axbz)2+(axby－aybx)2＝(ax2+ay2+az2)(ｂx2+by2+bz2)－(axbx+ayby+azbz)2[三個矢量的混合積]設a＝(ax,ay,az)，b＝(bx,by,bz)，c＝(cx,cy,cz)為三個矢量,則它們的混合積定義為(abc)＝a·(b×c)＝＝ax(bycz－bzcy)＋ay(bzcx－bxcz)＋az(bxcy－bycx)混合積具有性質:1a·(b×c)＝(a×b)·c注意,一般情況下等式(a·b)·c=a·(b·c)(a×b)×c=a×(b×c)不成立.2(abc)＝(bca)＝(cab)=－(acb)=－(bac)=－(cba)即有輪換性：a·(b×c)＝b·(c×a)＝c·(a×b)＝－a(c×b)＝－b(a×c)＝－c(b×a)3混合積(abc)是一個數，它的絕對值等于以a，b，c為邊的平行六面體的體積.4三個矢量共面的充分必要條件是：(abc)＝0.[三重矢積]a×(b×c)＝(a·c)b－(a·b)c(a×b)×c＝(a·c)b－(b·c)a采用a，b，c輪換法還可推出其余兩個同類公式.[多重積的幾個公式]a×(b×c)＋b×(c×a)＋c×(a×b)＝０(a×b)·(c×d)＝＝(a·c)(b·d)－(a·d)(b·c)(a×b)×(c×d)＝(abd)c－(abc)d＝(cda)b－(cdb)aa×[b×(c×d)]＝(b·d)(a×c)－(b·c)(a×d)(a×bb×cc×a)＝(abc)２(a１a２a３)(b１b２b３)＝(a×bc×de×f)＝(abd)(cef)－(abc)(def)矢量分析1．矢量微分[矢函數]對于自變量t(標量)的每一個數值都有變動矢量a的確定量(長度與方向都確定的一個矢量)和它對應，則變(矢)量a稱為變量t的矢函數，記作a＝f(t)矢函數也可表為a=axi＋aｙj＋azk式中ax＝fx(t)，ay＝fｙ(t)，az＝fz(t)為三個標函數.若把變動矢量表成點M的矢徑形式r＝r(t)則當t變動時，點M在空間中描出一條曲線，稱為矢函數的矢端曲線.它的坐標由三個等式給定：r=xi＋yj＋zkx＝x(t)，y＝y(t)，z＝z(t)[矢函數的極限與連續性]若對任意給定的>0,都存在數>0，使得當t－t０<時r(t)－r０<成立，則稱r０為矢函數r(t)當tt０時的極限，記作=r0若存在，則＝i+j+k若=r(t0),則稱矢函數r(t)在t＝t０處連續.[矢函數的導數與微分]如果極限存在，就稱它為矢函數a＝f(t)的導數，記作.矢函數a＝f(t)的導數仍為矢函數，從而還可求它的導數，即二階導數，記作，等等.da＝dt稱為矢函數a＝f(t)的微分.[矢函數求導公式]＝0(c為常矢量)(ka)＝k(k為常數)(a＋b＋c)＝(a)＝a＋(是t的標函數)(a·b)＝·b＋a·(順序可以交換)(a×b)＝×b＋a×(順序不可以交換)(abc)=(bc)+(ac)+(ab)(順序不可以交換)a[(t)]=(是t的標函數，這是復合函數的求導公式)[矢徑形式的矢函數求導公式]設r＝r(t)＝x(t)i＋y(t)j＋z(t)k表示矢函數的矢端曲線，則1＝=i＋j＋k表示矢端曲線的切線矢量(圖8.10)，指向t增加的方向，式中＝,=,=2=t式中s為矢端曲線的弧長，t為切線的單位矢量.3＝i＋j＋k式中＝,=,=[矢函數的泰勒公式]r(t＋t)＝r(t)＋(t)t＋(t)(t)２＋···＋r(n)(t)(t)n＋rn(t)n+1式中rn＝x(n+1)(t1)i＋y(n+1)(t2)j＋z(n+1)(t3)k(t<t1,t2,t3<t＋t)r(n)(t)=x(n)(t)i＋y(n)(t)j＋z(n)(t)kx(n)=,y(n)=,z(n)=[矢量函數的幾個常用性質]1定長矢量r(t)(t)，反之也真.從而切線的單位矢量ｔ的導數與原矢量垂直.2定向矢量r(t)//(t)，反之也真.3一個變動矢量r(t)平行于一個定平面的