…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版高一數學下冊月考試卷19考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共8題，共16分)1、已知函數f（x）=x5+ax3+bx-8,且f（-2）=10,那么f（2）等于（）A.-10B.-18C.-26D.102、函數的一個零點所在的區間是（）A.B.C.D.3、【題文】函數的圖象大致是()4、【題文】若任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有成立；則。

稱f(x)是[a，b]上的凸函數。試問：在下列圖像中；是凸函數圖像的為（）

AB

CD5、設等比數列中，前n項和為已知則（）A.B.C.D.6、若一個三角形的三內角的度數既成等差數列，又成等比數列，則這個三角形的形狀為（）A.直角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形7、已知：A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，C={x|x=a}，B?A，則C的真子集個數是（）A.3B.6C.7D.88、下列各組向量中：①②③其中能作為表示它們所在平面內所有向量的基底的是（）A.①B.①③C.②③D.①②③評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)9、函數y=x3與函數y=x2lnx在區間（0，+∞）上增長速度較快的一個是____．10、某學校高一、高二、高三年級的學生人數之比為現用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，則應從高一年級抽取_________；11、若關于的不等式對一切恒成立，則____12、【題文】設均為正數，且

則的大小關系為____。13、【題文】設f（x）是定義在（0，+￥）上的減函數，那么f（1）與f（a2+2a+2）的大小關系是_____14、【題文】已知冪函數在上為減函數，則實數____．15、已知函數y=ax+2﹣2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A（其坐標與a無關），則定點A的坐標為____．16、若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的長為則a=____．17、已知點A（-3，-2），B（6，1），點P在y軸上，且∠BAP=90°，則點P的坐標是______．評卷人得分三、證明題(共8題，共16分)18、如圖；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為D，E為AD的中點，DF⊥BE，垂足為F，CF交AD于點G．

求證：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．19、初中我們學過了正弦余弦的定義，例如sin30°=，同時也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根據如圖，設計一種方案，解決問題：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，設AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面積S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、如圖，設△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．21、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．22、如圖；已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：

（1）AD=AE

（2）PC?CE=PA?BE．23、AB是圓O的直徑，CD是圓O的一條弦，AB與CD相交于E，∠AEC=45°，圓O的半徑為1，求證：EC2+ED2=2．24、已知D是銳角△ABC外接圓劣弧的中點；弦AD與邊BC相交于點E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．25、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．評卷人得分四、解答題(共2題，共4分)26、如圖1：等邊可以看作由等邊繞頂點經過旋轉相似變換得到.但是我們注意到圖形中的和的關系，上述變換也可以理解為圖形是由繞頂點旋轉形成的.于是我們得到一個結論：如果兩個正三角形存在著公共頂點，則該圖形可以看成是由一個三角形繞著該頂點旋轉形成的.①利用上述結論解決問題：如圖2，中，都是等邊三角形，求四邊形的面積;②圖3中,∽仿照上述結論,推廣出符合圖3的結論.（寫出結論即可）27、【題文】如圖在直三棱柱中,

(Ⅰ)求證:(Ⅱ)求二面角的余弦值大小;

(Ⅲ)在上是否存在點使得∥平面若存在,試給出證明;若不存在,請說明理由.

評卷人得分五、作圖題(共3題，共9分)28、如圖A、B兩個村子在河CD的同側，A、B兩村到河的距離分別為AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，現在要在河邊CD上建一水廠，向A、B兩村送自來水，鋪設管道費用為每千米2000元，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設管道的費用最省，并求出其費用．29、作出函數y=的圖象．30、畫出計算1++++的程序框圖．評卷人得分六、綜合題(共3題，共24分)31、設直線kx+（k+1）y-1=0與坐標軸所圍成的直角三角形的面積為Sk，則S1+S2++S2009=____．32、已知關于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有實數根；求實數m的取值范圍？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所對應的函數y=（m-2）x2+2x+1的圖象與線段AB只有一個交點，求實數m的取值范圍？33、已知△ABC的一邊AC為關于x的一元二次方程x2+mx+4=0的兩個正整數根之一，且另兩邊長為BC=4，AB=6，求cosA．參考答案一、選擇題(共8題，共16分)1、C【分析】試題分析：因為f（-x）+f（x）=-16,所以當f（-2）=10時,f（2）=-26,答案選C.考點：函數的奇偶性的應用【解析】【答案】C2、A【分析】試題分析：本題主要考查零點存在定理的應用，根據零點存在定理：對于在某個區間上的連續函數，滿足則函數在區間內至少有一個零點，結合本題中可得到所以函數在區間內至少有一個零點，故選A.考點：函數的零點.【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】由于此函數為奇函數，并且x>0時，所以應選C【解析】【答案】C4、C【分析】【解析】連接圖像兩端點，曲線在線段上方的就是。【解析】【答案】C5、A【分析】【解答】等比數列中成等比數列選A

【分析】在等比數列中構成等比數列；在等差數列中構成等差數列6、D【分析】【解答】由題意∴故這個這個三角形的形狀為等邊三角形，故選D

【分析】熟練運用三角形中角的關系是解決此類問題的關鍵，屬基礎題7、A【分析】解：由A中x2=1；得到x=1或-1，即A={-1，1}；

∵B={x|ax=1}；B?A；

∴把x=-1代入ax=1；得：a=-1；把x=1代入ax=1得：a=1；

∴C={-1；1}；

則C真子集個數為22-1=3．

故選：A．

求出A中方程的解得到x的值確定出A；由B為A的子集，確定出a的值，進而確定出C，找出C的真子集個數即可．

此題考查了補集及其運算，熟練掌握補集的定義是解本題的關鍵．【解析】【答案】A8、B【分析】解：①由可得。

-1×7≠2×5

即不平行。

故可以作為表示它們所在平面內所有向量的基底．

②由可得。

3×10=5×6

即

故不能作為表示它們所在平面內所有向量的基底．

③由可得。

即不平行。

故可以作為表示它們所在平面內所有向量的基底．

∴答案為B

根據平面內向量基底的定義直接進行判斷．判斷兩個向量是否共線；即可得出結果．

本題考查向量基底的定義，通過判斷是否共線判斷結果．屬于基礎題．【解析】【答案】B二、填空題(共9題，共18分)9、略

【分析】

函數y=x3導數的為y′=3x2；

函數y=x2lnx的導數為y′=2xlnx+x；

當x足夠大時，3x2遠大于2xlnx+x；

∴冪函數的增長速度遠大于函數y=x2lnx的增長速度；

故函數y=x3與函數y=x2lnx在區間（0，+∞）上增長速度較快的一個是y=x3．

故答案為：y=x3

【解析】【答案】利用冪函數與對數函數的增長速度的差異，當x足夠大時，函數y=x3導數遠大于函數y=x2lnx的導數，故在（0，+∞）上增長較快的是冪函數，函數y=x2lnx增長較慢．

10、略

【分析】【解析】試題分析：根據三個年級的人數比；做出高二所占的比例，用要抽取得樣本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人數．【解析】

∵高一、高二、高三年級的學生人數之比為3：3：4，∴高二在總體中所占的比例是=∵用分層抽樣的方法從該校高中三個年級的學生中抽取容量為50的樣本，∴要從高二抽取×50=15，故答案為：15考點：分層抽樣【解析】【答案】1511、略

【分析】【解析】試題分析：設恒成立時時考點：不等式【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】

試題分析：利用指數函數；對數函數的圖象及性質求解。

在同一直角坐標系中畫出的圖象，如右圖所示，由圖可知

考點：本小題主要考查了指數函數；對數函數的圖象及性質。

點評：解決此類問題的關鍵是畫出圖象，考查了看圖識圖能力、推理論證能力，難度中等。【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】因為并且f（x）是定義在（0；+￥）上的減函數,

所以【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】本題考查冪函數的概念及函數的單調性的判別方法.

因為為冪函數，則解得或

當時，在為增函數；當時，在區間上遞減，滿足題意.故實數的值為【解析】【答案】-115、（﹣2，﹣1）【分析】【解答】解：由指數函數y=ax（a＞0；a≠1）的圖象恒過（0，1）點。

而要得到函數y=ax+2﹣2（a＞0；a≠1）的圖象；

可將指數函數y=ax（a＞0；a≠1）的圖象向左平移兩個單位，再向下平移兩個單位．

則（0；1）點平移后得到（﹣2，﹣1）點。

故答案為：（﹣2；﹣1）

【分析】根據指數函數的性質，我們易得指數函數y=ax（a＞0，a≠1）的圖象恒過（0，1）點，再根據函數圖象的平移變換法則，我們易求出平移量，進而可以得到函數圖象平移后恒過的點A的坐標．16、1【分析】【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半徑為圓心（0，﹣a），公共弦所在的直線方程為，ay=1．大圓的弦心距為：|a+|

由圖可知解之得a=1．

故答案為：1．

【分析】畫出草圖，不難得到半徑、半弦長的關系，求解即可．17、略

【分析】解：設點P（0；y）；

∵=∠BAP=90°．

∴kAP?kAB=-1；

∴解得y=-11．

∴P（0；-11）．

故答案為：（0；-11）．

利用相互垂直的直線斜率之間的關系即可得出．

本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系，屬于基礎題．【解析】（0，-11）三、證明題(共8題，共16分)18、略

【分析】【分析】（1）連接AF，并延長交BC于N，根據相似三角形的判定定理證△BDF∽△DEF，推出，=；再證△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，證出A；F、D、C四點共圓即可；

（2）根據已知推出∠EFG=∠ABD，證F、N、D、G四點共圓，推出∠EGF=∠AND，根據三角形的外角性質推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）證明：連接AF，并延長交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

則=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四點共圓；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）證明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四點共圓；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．19、略

【分析】【分析】（1）過點C作CE⊥AB于點E；根據正弦的定義可以表示出CE的長度，然后利用三角形的面積公式列式即可得解；

（2）根據S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根據正弦與余弦的定義分別把BD、AD、CD，AB，AC轉化為三角形函數，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）過點C作CE⊥AB于點E；

則CE=AC?sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB?CE=c?bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根據題意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB?ACsin（α+β）=BD?AD+CD?AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．21、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．22、略

【分析】【分析】（1）連AC；BC；OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到結論；

（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．【解析】【解答】證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，

∵PC是⊙O的切線；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB為⊙O的直徑；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC?CE=PA?BE．23、略

【分析】【分析】首先作CD關于AB的對稱直線FG，由∠AEC=45°，即可證得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易證得O，C，G，E四點共圓，則可求得CG2=OC2+OG2=2．繼而證得EC2+ED2=2．【解析】【解答】證明：作CD關于AB的對稱直線FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四點共圓．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．24、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根據角平分線性質推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根據等腰三角形性質求出AF=CF，根據三角函數的定義求出即可；

（3）BF過圓心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根據銳角三角函數的定義求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F為AC中點；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF過圓心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．25、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．四、解答題(共2題，共4分)26、略

【分析】

①②結論：如果兩個等腰三角形有公共頂角頂點，頂角均為則該圖形可以看成一個三角形繞著該頂點旋轉形成的.【解析】略【解析】【答案】27、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解法一（Ⅰ)在直三棱柱中,底面在底面上的射影為

由可得

所以(Ⅱ)過作于連結

由底面可得故為二面角的平面角.

在中,

在Rt中,

故所求二面角的余弦值大小為.

(Ⅲ)存在點使∥平面且為中點,下面給出證明.設與交于點則為中點.

在中,連結分別為的中點,故為的中位線,

∥又平面平面∥平面

故存在點為中點,使∥平面

解法二直三棱柱底面三邊長

兩兩垂直.

如圖以為坐標原點,建立空間直角坐標系則。

(Ⅰ)

故

(Ⅱ)平面的一個法向量為

設平面的一個法向量為

由得

令則則故＜＞=

所求二面角的余弦值大小為.

（3）同上五、作圖題(共3題，共9分)28、略

【分析】【分析】作點A關于河CD的對稱點A′，當水廠位置O在線段AA′上時，鋪設管道的費用最省．【解析】【解答】解：作點A關于河CD的對稱點A′；連接A′B，交CD與點O，則點O即為水廠位置，此時鋪設的管道長度為OA+OB．

∵點A與點A′關于CD對稱；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

過點A′作A′E⊥BE于E；則∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：鋪設管道的最省費用為10000元．29、【解答】圖象如圖所示。

【分析】【分析】描點畫圖即可30、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】根據題意，設計的程序框圖時需要分別設置一個累加變量S和一個計數變量i，以及判斷項數的判斷框．六、綜合題(共3題，共24分)31、略

【分析】【分析】令x=0，得y=，令y=0，得x=，則Sk=?=（-），根據三角形面積公式求和．【解析】【解答】解：依題意，得直線與y軸交于（0，），與x軸交于（；0），則

則Sk=?=（-）；

S1+S2++S2009

=（1-+-++-）

=（1-）

=．

故答案為：．32、略

【分析】【分析】（1）根據若方程為一元一次方程；求出m的值即可，再根據若方程為一元二次方程，利用根的判別式求出即可；

（2）分別從當m-2=0，以及當m-2≠0時分析，得出若