高中數學公式及如識點速記(二)

五，函致

1.曬敷的定義

(I)的數的概念

①一念：給定兩個北空數如AH,如果存在?個時向關國/,使的對任誨?個*c4布在唯

之對應,則稱時應關系f為定又在集合4上的一個由散.記作y=〃幻.xWA

②曲數的科斯：若x、y-訓應.或多個x對應1個y,則稱y是x的函數

(2)定義峨：指伙函數肝析K仃意義的F1變出的取值范IW常見基本豺等函數的定義械如下：

①分式函數中分出不等f。

②偶次根式函數的帔開方式大r或第ro

劍=x。的定義城金(X|XWO}

④引收雨收的我數大ro,指.對收商敢的底數人rojy/、等ri

⑤?次的數..次函數的定義域均為K

(3)函數的對雙法則：博散的時應法則(也稱便?故的解析K〉是衣示俟酸的件方式，WJ不是,=凡0的杉

式，求涓數的解析式時.?定要注意歷數定義域的變化.郭別是利用捶兒/或N凄因求出的斡竹式

(4)函數的值域：指演故他構成的柴Q?常見從本初等例數的何域如卜：

①反比例函數丫=人《為第數［Lkwo)的自悚為(-9.o)u(o,+3)

X

②?次由《iy=*x+6《為何敷H43的例域為R

(§)二次的liy=a/+bx+c<a.h.c為石敝11。工0)

當a>0時.二:次的數的伯域為［它±.+oo).-W<OB1,次的數伯值域為(TC.四￡士|

4aAu

④指數謙1Kly=°，的值蛀為(。.+b)

⑤時效南跤y=btx的值域為R

(5)網數的最竹

前提設函數y=/(x)的定義域為/,如果〃在實ft.W謂)是

①對于任意的xw/，?/(x)SAf①時于任老的;￡/.郭/(1)2M

條件

②存在&€/,住用/(U)=AI②存在十€八使得

結論M為最大依M為《t小值

注盍：①函數的值域一定存在.血的數的依!日不?定存C

②苦函數的斑侑存在，則定是婦域中的兀哀：若眄數的值域是開區時，則南數無疑伯

2.函數的性質

(I)函數的單調性

①定義法，*tVij,x2€la.bj.fix,<x2

/(x,)-/(x;)<0=f(x］^a.b］上是懈函數

〃xJ-/(0)〉Oo/cn在向上是收函數

②求號法?設而數.V=/(x>在區間|a.b］內nJ導

一廣㈤N0.則/\外在區間［ab］上為憎函數

*「(*)s0,則/(x)在區間［q。上為減的國

③常用結論

??；/(K)?g(X)均為區間A上的物減屈致,則/(”+?("也足區同A上的增畫話改

0}.t>o.則@(<)與/(.r)的單調性州叫匕人<0.劃勺'(x)。”"中調件用反

?羋好要函數的單詞件和圖映，

對勾函數

y~ajc^Qp-0y~ajc-^.

“exx

①定義：若"X)為偶語故，則“-*)=/?(*).兀定義域關于原點對稱,圖軌關于y兄對稱

若人外為奇南致，則其定義域關于原點時林，其圖型美TKL也對稱，匕奇居酷在0

處有定義，則八0)=。

②拓照：-，x+G為偶/數,Hr(-x+a)=/(x+a)

若/Xx+a)為偶由數.期/■(-*+a)=-ftr+a)

(3)的數的周期性

①定義，若對下定義域內任您的x都杓了a+7)=/(*).斕〃x)是周期前數?其周期為r

②拓展：匕對「定義域內任理的x苻:行/a+a>=/'(*+6).即〃x)是周期函數.K刊期為|6-a|

若對「定義域內任點的x都有ya+a)=7G+b),則/(x)是誨網困數，共周期為21b-al

(-1)的歌的對稱性

①定義，若八外的對稱軸方程為x=a.li?/(x)=/(2a-x)

若的刈稱中心為(a,0).—=-/(2a-x)

②拓展：若對尸定義域內任Jfi的x都仔/a+a)=，(一x+b),則圉數，(x)行對稱軸，其方腥為*=誓

若對「定義舉內任一的x-有/?+a)=-/(-x+b)?則——有對稱中心.其坐標為(手，0)

若對于定義域內任名的xfiK何(x+a)=-/(7+b)+c?則的數/&)育對稱中心.他為(等.0

3.反函數

①反函數的定義；將用數y=f(x)的x，y互換，然兀通過移項等變形方式將丫放到-邊，松得到錯數y=g(x),s(x)

勺八制互為反威數.例如指數函數y="(a為常數.a>OHa#1)勺對散出歐y=kg。x(a為常數.a>OUa*1)

用為反懵散,它力的定義城與值域正好互換

②反圖數的性J砧若兩個函數反為反明蟻，則它的的圖敦關于Jltl!y=x對相

4.二次函敷

(I).次函數解析式的.仲形式

一般式1/(x)—ax7+hx+c(a*0)

—式:f(x)=a(x-Ji)2-f-k(a?0)

兩根式：f(x)=u(x—*i)(x—?2)(a*0)

⑵二次一效的圖伙川性質

/“)』/+6+。/(x)=?x2+bx+c

悌析大

(a>0)(a<0)

W/

圖皎

TZ1

定義收KK

[4ae-b2、.4ac-b:l

12a,+河(…2al

在（-8,—上單調遞減；作（一B.一m1沖調遞增；

單調性

在［一/'68）上華蠲遞增在卜/，+8）上單洸遽減

對稱性函數的圖象桿R微一料稱

5、II函數

（1）：稱函數的定義：依地，形旭y=/3為常數）的函數林為基陸數.

（2）案函數的性后

①不論數在+s）上*行定義.在第一象限都學圖卓.在第四敦取都設因航

②々r>0時.解的數的圖較小過小（0.0）和（l.I）.且便（Q.+8）卜單詞逆清

?40<。<1時，相闡數的圍象增長速度越來越當

?當a>1時.用函數的圖依熠長迪度掩來越快

③-av0時.果的數的圖集郡過點（1.1）,+??）上單調通M.

④聚函數y=.0）.q與質）花二.象限的圖望.用的數的奇偶杵來確定

O孑為期數時?；為偶數,物f（x）為做俄數.$為奇數，愀〃*）為奇恢教

?苗為分數時，后q為科數，蚓/（幻為百奇11%由敏

拒7為奇數，為奇數，則/'（幻為奇侑數

檸q為奇數P為偶數.則八幻為例侑散

（3）常見邪函數的圖*----------------------------------

6.指敗函敗

《I）分數指數￥

a"-<?>0,m,N',且”>1）

，I1

a.=—=-T=（a>0.m.nwN.?11H>1）

a?"

（2）根式的性廊

當”為奇數時.后=0

當〃為偶數時,折=<a|='""""

-a.a<0

（3）有珅箱數尊的運算法則

aa,?u,,4（a>O.r,?60

（a'）'=an（a>0.r,sG（7）

（abY=t/br（a>0.b>0.r€Qi

（4）指數函數的定文：?般地.形如y=a*（a為常?數.”>。13次1）的函數稱為指之誄I收.

（5）指數函數的性質和圖以

底期a>lo<tf<l

圖效<?????yvl?A

-JTs~u\*

C義域為K.值域為0..8)

陽——((M)

性質當》>。附.hl{]y>1當r>0N,t?A0<y<1

丐xV0時，恒仃OVyVI小x<0時，恒仃>>l

在定義城R上為—在定義城R卜為減陶敏

7.時數函數

(1>對數的定義:

一般地,若a°=N.那么數6樓為以a為聯N的由故.記什心之"=從K中a叫件對政晌底數.N叫價口數.

叩log“N=boa'=N(a>0.aHl.N>0).11：a11*，'=N(">。,且N>U)

2

①loga(MN)=logaM+logaN

②loga*=1。&>M-logaN

③loga"產=；10811bHlog^Mb=log,,bN

'(a>0,Fin*I,w>().N>()J

(3>對數的換成,公式:log.,N=

10gl.a

推論：logah=.logob.log“=logar

(?D對數由數的定義：?校地,形如y?log。*(a為常數.a>0H。*11的南教林為對UM數.

(5>對*IP舟數的性域和圖象：

底我a>l0<a<1

，丁小*

7期.

圖獨

0?

定義域：(0z+-)

伯明K

圖皋過定點(1,0),即忸的10g1=0

性質li

當Q1時，恒育y>S當工>1時,

當0JVI時.旭HY0當OVxU時，舸在戶。

在<0,+8)上是塘牌數在(0,-8)上是減的我

8、圖觸的變換

(1)平稱變換(n>0.6>0)

的數f(x+a)+b的圖象：可由函數Wx)的田軟向小平格c個單色，向上平格b個單位得刎

的數/"(*-<!)-b的圖象：”由陶收八幻的圖象由右平橋c個單位，向卜平桁b個單位物到

口訣,上加下戰.左加右減

(2)憚嘴支換(U)>1.4>1)

的數Af(wr)的圖像：可由函數”外圖我的微坐標縮短為原束的金場生機伸長為原來的A倍得到

函數:fG*)的圖爾：可由閑數f(*)圖歡的/也標伸長為凰求lTja.ffi.縱鄧標小正為糜米的T得到

(3)時將變換“

①的數“-X)的圖象I可由誦數/(*)的圖象大fy地內落網到

函數-/(*)的圖8G可山而數八》)的圖歌為于丁軸對稱神到

函數-f(-x)的圖取：可由質數/(*)的圖以關于原點#1秣抬H

②函立f(|x|)的圖象：

可由血數八公圖象的?*<0部分租掉，*>0制分左的(關Ty軸時移到另一邊》.x>0部分裸留咫到

的wool的囤取，

可由出數/GO圖象的,yvO部分上翻(關Fx軸對稱到處一邊).丫〈。部方耕抻，》)0郁分保慟得耳

六、身數

1、平均更化率、明時變化率、導敷的低念及其幾何意義

般地,對rfitfty=r(x).當門變lr從。變為小時.函數值從/'CrJ登為〃X》.則它在K間以“勺)的平均變化

率為“咨產，此時平均變化率的幾何怠義為連接(Mj(xi?，(“JJz))的點的刈棧的自宰：

儀Ax=3一均,Ay=-r(x1-r(xt).則它在區間1八.小J的平均變化率喘=八期F'=〃.?；-1%,-AxT

oii-r.子均變化率均于?個固定的他，這個也就是/?⑶任式公處的收時變化率.此時瞬.或化率的兒網總義為所效)?=

〃幻在點4處的切理的斜率：

1

此時稱胸時生化本為明數y=八*)布店々處的分數，K常用符號廣SJ表示,記什，(r,)=.與飛亡學必.

此時/(%)的幾何意義為曲數y=〃外在戊七處的切段的斜率.

2、導函敗

股地，如果的數y=f(x)在區間(a.b)內的海?點x鄢行導數，Cx)=&產4％則彩〃力在區網(。淮)內

可/Q)是大于”的泊數，稱f(外為國數y=/(x)的導函數.簡稱與數

3.■本初號函數的尊歐公式

?C=0?<x')=?-'

③(o')=a'Ina：(e')=<,'④(log,*).=---：(Inx)=—

AInax

⑤(sinx>?cosx?(COSAT)?-sin.r

⑦"的=i^F

4.再敷的四財運.

①畫數和(或羌》的求導法則

TR地.如果〃x)?g(JT)都可導.則［A幻土'0)土g’(外

即兩個南敢和(或龍)的導致等于這兩個南敢導致的他<rfcS>

推廣：iA(x)±/i(x)±-±A.(x)r=/；'(x)±<(%)±-±fn㈤

②涵數枳的求導法則

帔地，&梁〃*),g(x)都可-，則i/a)g(*)r=ra)ga)+ra)g'a)

即笫?個函數的。數乘以第：個由數，加上第一個話數乘以第?個函數的？數

特別地，［k/a)］'=*ra)，即雷數與由故之枳的導近，等于痂數乘以曲數的》歆

③雨數林的求導法則

一般地,如果，(x)?g(x)都可導,1%(幻*例九有黝=山黯g

5、簡單復合圖效的求導法則

一般地.函數y=f(u)fju=g?(x)的封臺函數可我作為y=f(r(x)).

則y=IAW⑶)r=rwv'M=r“(x)wa).

6.微值點與微值、磨值

(I)極大值點與極大殖、最攵值

①在包含幾的一個區網(5切內?

若由數yr/，(外在"同(%b)上G在異號零點(A?正右負》.你點%為由

數y/6)在區01)(0,b)內的假大ffl點.稱其國數值/(*?)內函改>=/(*)在區間

(a.內的極大值.

若函數y=/(x)在區間(a.h)內住。點處的函數值都小「式等丁點?處的

的數位?衿以X。為函數y—/(X)在X間(凡與內的及大伯良，稱其博依伯/(孫)為

油tky〃*)在卜間(a」)內的呆大值

②如圖，優包如1Pxi的個區向(。")內.南tty-〃*W區間(a,e)內的極火偵

為“X。)和〃4),最大tfl為/(*“

(2)極小值點。極小tfl.最小(ft

①在包含陽)的?介IX何(a,b)內，

存函故y-廠(幻在區「水見外」存在異號牢點(左負右正>.悸點勺為由

故y”X)在卜間(a.b)內的梭小化33稱醫南數傷/(%?)為ifi&y”均在M同

(a.b)內的極小俏，

若函數y=/(x)在區間a.b)內任￡5立處的曲數值都大「成冷F點即處的佝卜T、

的數依,稱點均為的收網(a.b)內的鍛小值為.稱具由故伯外孫)方

01a*06

函數y**>在1<。1(*b)內的最小值

②如圖，作包含右.小的一個國蚓(ac)內.由tty-f(xMtZmKac)內的秘小值

為/5)和fk)?一小值為f(x?)

(3)注a

①極大色力。極小竹也統稱為極伯啟，極大伯。極小伯統彌為梅伯，

最大侑力與最小值總統構:為最的點，最大伯與址小伯統稱為敏伯

②嘮數的極值不一定是函數的最慎,例如上圖的，(xj是極值但不足取象

陶數的址值不一定咫的故的極值.例如G值還可以是區間黑點偵

③極值點不足點,是對應點的雁坐標工極值是對應點的姒坐標〃％)

④若a?y=/a)<ux同應用上????則恃隱數》=ram【*間m，&］±-更號零點

心南歐y=/a)在展間［a,b］上沒有械值.剛/由愴=，a)在【<甩瓜”上沒仃零點段同號軍廣

⑤Xxu是誦般y=/a)的極侑點，則q是r(*)=o的解，但ra)=。的*/卻不?定是祖敢的糧值點

⑥南敢。與南政圖象的關系

?若尸3>0且函低y=/''(*)單調通填則原南數火外的陽象上升R下凸

—)〉€且函數y=f(x)單眄遞流.—效用0的用以上升JL上凸

er.r(x)vo且函數y=r(x)單調遞增.則一函數川》)的圖象下獐”下凸

r.ru)<OIL而數y=roo單調遞減.則原函數/u)的圖象卜舒旦上凸

7、導敷的綜合應用

(1)胸型1:求由數的切餞力度

①求函數y=，a)在點(勾.力)處的切線方程

方法：點(4.“)減足切點.先求出r(rj).燃后利用點斜式耳出切線方程；y-yi=f(x.j-Cx-x,)

例：曲找「=/K)=K'+X在點(I.2)處的切找方程為4x-y-2=o

②求tflCjy="X)過點(4.力)的切線方科

(y?=/3》

方法：點(4.力)不姑切點.先設0J點為(％Jo),然后行到方柝姐［*=/"(X0).

(>-yc=fc(x-x0)

化的ftly-〃Xo)=f(r.)(x-r.).G后將點”|,九)代人用"-八Xo)=f(xoXx,-xe).從小求用切

點320)

例：曲線/勸一"N過點P(2《)的切戊方程為⑵-3>-16=。A.31-3.+2-0

(2)題型2：求兩個函數的公切線方程

①共仞由的公切找問送

方法：出兩數“X)、g(x)的公共切點為(4,而).此時tl在亦是M個函數的交點.利用=、N

1/=g(q)

5J

懷已知函數〃幻“”|對(口Fn上的圖象在公共點處方共同的切線.則實數a的值為方

②不同切點的公切戌同題

方法：設版數/(幻、g(x)的切有分別為(必.%).(xz.y2),分別％出兩個啪教任切踐a1.％)處、(力尢)處的

3毆方程[y=/⑺a").利用兩切找方程的對應系數和巧求解

3一以八)=9(*2)(x-x2)

M：已知〃x)=ex(c為H然時數的底數)，gW=inx/2.■線，是兒)與鞏r)的公切線.則直

緲

的方程為y=ex夷y=x+l

COSSR3：導致'夕函數的第網件

①在的數y三/a)的定義域內,歸數ra)zj的解娛為函區的隼調耀區同

在函數y=/(x)的定義城內，'力數/'(幻<。的怦生為帆鼓的魁,減區間

②若曲曲y="x)的單調地區間為[a.b],則八*)2。的解案冽a,0

若的數y=/Qr)的外調H瓜間為|a.b],則/*(*)&0的解憂為0b)

ft■

--=1

例；若由故〃幻=：/+3"+女的單調增慎間為[-121，則三1_??即(/：1]

③若的數y="外在M間lab]內單詞通捕.則「(幻2：0的蝌集卜,12]a.bj.

等價ff(x)之0在區間[a,b]上恒成立

苦函數y=/Q0在【燈叫abj內單調詡M,Wf(r)4。的皖饃匕引？(a.bj.

等價rrco<0在區間回切上恒或'工

例：若函數-x)=V-ar+lnr在M間(Lc)|單調遞增，喇。的取值范圍足(-叱3]

④若的數y=fCr)在區間[a,b|內存在通蜀珀1j｛間,Wf(x)之。的解況k，d]C[a,b].

等價『/'(?>o在乂間am上有解

若闞數y=/(一在區間(a.b)內存在附調減區間.Mf(x)<0叨解集仁句C(abj.

等價r1(x)V0在區間[a,6]上有斛.

i://DN^-at+lniT|<W(Lc)卜"用單調遂增區向?如。的取值也用足(-8,2e+：)

⑤若函數y=f(x)在區間[ab]內不單WhWJy=f(x)AIXffl[a.HI.■一號等點,

何，行函數/Xx)=。*(芥2-4X-4)住區間依-I*+6)上不單調.明實數上的取的15H為(-8,3)

(0也型L利用號教解決恒成匯、有婚時期

①若分離冬數時不需要分類(卷數的系數恒》0或恒SO).則使用分國參數法

例：已知a>0.=rJ-3x2+6a>OfrlXlu](-l._lji.fiW.機a的取伯版同為(0.+8)

②若分兩?數時需夔分類(叁故的系數可能#0也可的WO),則使用圖散圖像法

例：已知。>0?若南敦/a)=a--3/+6>0在區劃?切成立.剜。的山值他因為(0.3)

，③恒底立、仃解經啟發合同應

3

MI：=x-3r+3,j(x)=ln(x+l)+a+1.VXpX26[0,2],使得八占)4g(x)成t,

則變數。的取值范圍是乩+8).(提示；

3

M2t￡llo/(x)?JT-3x+3,g(x)=ln(r+1)+A+1.3r,.xae[0,2].使得「氏)S?(的)確立.

則實數a的取值范圍是|-伍3.+8)J提示：/mmWS^(r)>

M3i已知/'(x)=x3-3x+3,g(x)=Inx+a+1.BXj￡[ONLY*1W[13].使符/<仁)￡,(x?)成工

則實數a的取值范用是[0.+8).(提示；<gmin(xV

M4：已為/(x)=jp_3%+3,g(x)=In*+a+1,9xE[13h-x)Eg(x)t4立,

則實效a的取位范國是@+8).(輿示?等價于/(x)-g(x)SO&jrW[13上仃解)

(5)題型入利用二向號求函故的G值問題

①階導零點X。能H也通過褲析式特征觀察得比.仃其將rCr。=0的解x.代入〃x).可求日瓜僑“Xo>的值

例，?7Vxe(0.>ao),不等式+則實數”的取位他府場(-??.

.?)?階H零Mx。不能通過新折式特征觀察舁出.揩rs?)=。變形后代入外幻,用求/g循/a,關于此的國析

式

例：若不等式4辦+了一*1+2?>0對^^€(2,+8)也或立.《€2,則上的呆，、惰為4

(6)理型6：利用導致求函數的考點向網

①己知函數;?Cr)=x-hu+m有兩個零點必，小，則實數m的取值范也是m<-l

②已知函數ra)=>t>*-lnx百兩個零點八，燈.則實數m的取伯色囹是0<m<：

?!

③已知函數/(x)