2025屆高三模擬考試

數學試題

考試時間120分鐘，滿分150分

注意事項：

1.答題前，考生務必在答題卡上將自己的學校、姓名、班級、準考證號用0.5毫米黑色簽字

筆填寫清楚，考生考試條形碼由監考老師粘貼在答題卡上的“條形碼粘貼處”.

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡上對應題目標號的位置上，如需改動，用橡皮擦擦干凈

后再填涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡的對應區域內作答，超出答題區

域答題的答案無效；在草稿紙上、試卷上答題無效.

3.考試結束后由監考老師將答題卡收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知復數Z滿足IJ一，則復數Z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根據復數的乘方與除法運算，整理可得標準形式，結合復數的幾何意義，可得答案.

/7、/\4-3i（4-3i）（2+i）112.

【詳解】由z2+i7=-3i+4,得z2—i=4-3i,所以z=^—,/=_i,

'）''2-1（2-i）（2+i）55

所以z在復平面內對應的點為位于第四象限.

故選：D.

2.已知：夕：^—?l,q:log2（x-a）?l.若。是4的充分不必要條件，則實數的取值范圍為（）

x—2

A.（0,1）B,（0,1]C.（-oo,0]D.（-℃,1]

【答案】C

【解析】

【分析】a

解分式不等式、對數不等式求對應x范圍，結合充分不必要條件有。+2<2,即可得范圍.

11x-3…—3）嘰2K3；

【詳解】由p:—>1^1------=——<0,可得《

x—2x—2x—2x-2^0

由q:log2（%一。）21nx-2nx2。+2,

因為。是1的充分不必要條件，則。+2<2na<0.

故選：C

3.已知等比數列｛%｝的前〃項和為5“，若爹=：，則戶1=（）

>645+36

4

A.-B.8C.9D.16

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據等比數列｛%｝的前〃項和S“的性質，將5,59,512分別用S3表示，代入即可求解.

+?6

5,1

【詳解】因為肅=彳，所以5=453,則$3=353，

4

由等比數列｛4｝的前〃項和S"的性質可知，

數列S3，§6-S3，Sg-S6，S|2-S9是以S3為首項，3為公比的等比數列，

所以及—$6=32昆=95，即S9=953+56=13S3,

品-S9=33邑=27s3,即幾=27s3+S9=40s3,

S405。

所以—l—2=------3=8

星+久S3+4S..

故選：B.

4

4.已知sin（a+4）=2cos（a-尸）,tana+tan/貝ijtana?tan￡=（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡后兩邊同除以cosacos4可得解.

【詳解】由sin（a+尸）=2cos（a-6）可得sinacos尸+cosasin/3=2cos?cosy?+2sinasin,

兩邊同除以cosacos/可得，tana+tan/?=2+2tan6ztan/?,

4i

代入tani+tan，=—,可得tanatany0=一一,

33

故選：D

5.已知點。在V45C確定的平面內，。是平面48C外任意一點，滿足函=20心—x厲—y礪，且

cc21

x>0,y>0,則一H"—的最小值為（）

xy

A.』+也B,-+V2C.-+—D.3+2正

42242

【答案】B

【解析】

【分析】由四點共面可知x+y=2,結合基本不等式的乘“1”法即可求解.

【詳解】CD=Cd+OD=2dC-xdA-yOB^OD=3OC-xdA-yOB,

因為45,C,。四點共面，所以3-x-y=l=x+y=2,

nn“=21（2l、x+y3yx、3IT3信

注思至!jx>0,y>0,從而--i—=—H—---=-+—-!>—+2.—=—+V2.

xyyxy）22x2y2V22

當且僅當x=4—2J5,y=2立-2時等號成立，

所以2+4的最小值為

xy2

故選：B.

6.記A48C的內角的對邊分別為見”已知a=G，/=］，則〃+2c?的最大值為（）

A.9B.6+273C.9+V3D.12

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得〃+202=式匕產2,利用正弦定理邊化角，利用三角恒等變換，根據正弦函數的

a

性質，可得答案.

【詳解】由a=JLZ=W，則〃+2,2=迎二產2,

3a

22

3(sin5+2sinC).?。.2萬、

根據正弦定理，可得〃+2C2—---------------=4(sin22B+2sin2C)

sinA

1-cos25-l-cos2C,ci

—44(Z--------F2.-------)x—6-2cos2B-4cos2c,

在VZ5C中，C=n—A—B,則。二女一5,

3

b2+2c2=6-2cos25-4cos(手-2B)=6-2cos25+2cos2B+2A/3sin2B

=2A/3sin2J3+6，

在V48c中，易知0<5<@,當8=工時,(/+202)=6+26.

3'/max

故選：B.

22

7.已知橢圓￡：=+3=1伍〉6〉0)的左、右焦點分別為與石，點P,48都在橢圓￡上，若

ab

兩=4即，電=〃取，且2+〃24,則橢圓E的離心率的取值范圍為()

A.B.聲,[C,fo,—]D.fo,-

[3J[3J13」I3」

【答案】B

【解析】

【分析】設直線尸幺：x=C,直線「8:》=加2卜+。代入橢圓方程，消元后得一元二次方程，計算出

兩根和與積，再由題設條件，求出4=-匹，和〃=一&，代入％+中，利用韋達定理代入，化簡

Ji%

即得‘土由"，°的齊次不等式,即可求得離心率的取值范圍.

如圖，由兩=%月7,朋=〃順可知尸,4月三點共線，尸，民用三點共線.

設尸(/Jo),/(XQJ,雙%,%)，直線0Z:x=M]y—c,PB:x=m2y+c,

x=m{y-c

2222

由<22消去x,可得+bm^y一2b2cmiy-a2b2+bc=0,

二+匕=1

L2b2

b2c2—a2b2b2c2—a2b2

則為其）=同理可得％%）=顯然切二0，J7。。°，3;2W0，

a2+b2m^a2+Z)2m；

由兩=%即代入坐標可得：（-c-x0,-y0）=A（xl+c,j1）,即得彳=一比,

—.—.Kx+c

同理由尸耳可得，〃=由/=叫比-c,可得掰i=---0--,

%%

x-cc2(1112a2+b2mf+b2m^

m=o

同理，2，故X+〃=—%)---+-------ylb2c2—a2b2-

%5%y2y0j

2

=2,g+/—)2+/(%3]=2M222僅冗+aY+//)(*),

ab-bc%y0ClD—DC

又點尸在橢圓上，則有〃x；+a2y：則（*）式可化成:

222222

2（ab+Z）c）2（a+c）B22,Z0cG

」___________K______1>4,解得/<3。2,故得e=—2-，

a2b2-b2c2a2-c2-a3

又0<e<l,故E的離心率的取值范圍為$1.

_3）

故選：B.

【點睛】方法點睛：求橢圓離心率（或范圍）的方法有三：

（1）根據已知條件列方程組，解出。的值，直接利用離心率公式求解即可;

（2）根據已知條件得到一個關于。（或a,6）的齊次方程（或不等式），然后轉化為關于離心率e的方

程（或不等式）求解;

（3）因為離心率是比值，故有時也可以利用特殊值法，例如令a=l,求出相應c的值，進而求出離心率.

8.如圖，在一個有蓋的圓錐容器內放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是6,則

()

A.這兩個球體的半徑之和的最大值為三把

2

4

B.這兩個球體的半徑之和的最大值為一

3

C.這兩個球體的表面積之和的最大值為（6+36）兀

D.這兩個球體的表面積之和的最大值為如

9

【答案】D

【解析】

【分析】當這兩個球體的半徑或者表面積之和取最大值時，有一個球體和圓錐的底面相切，過底面圓的直

徑作截面，設兩圓的半徑，則Re二11r2I---------

re,其中R=1----------\3r—2/'2,表達出

626233

/（r）=l+^--jV3r-2r2,re￡￡

,求導得到函數單調性，得到最值，并求出

6,2

-1［（7?+r）2-6（7?+r）+32函數V=-2兀e-6x+3）在|o,|"上單調

7?2+r2令x=R+rV—

遞增，求出%ax=?，得到答案?

【詳解】當這兩個球體的半徑或者表面積之和取最大值時，上面的球與圓錐的底面相切,

過底面圓的直徑作截面,

如圖所示，過點。作0F1AB,垂足為F,過點O'作。'E1AB,垂足為E,

過點。作O'D^OF,垂足為D.

設圓。的半徑為R,圓O'的半徑為r,當下面的球與上底面相切時，R取得最大值,

此時R為該圓的內切球半徑，等邊三角形的邊長為指，內切球半徑為走tan30°=工，

22

故08=1,故R的最大值為且取最大值時,

0,0',8三點共線，設?！?「，則。B=2F,

則2r+r+工=1,解得r=—,

26

所以Re?,re，二,\OD\=R-r,\OO'\=R+r,

6262

\O'D\=\EF\=\AB\-\AF\-\BE\=S[?>-岳-V3r.

因為|OD『+|O'D「=QO[2,所以(R—4+(百—也R—百=(R+F)2①,

整理得3A2+(2―6)R+3卜2—2外+1)=0,解得火=1—：—,

令函數f(r)=R+r「冷加一2r?=l+O3T,re

243r-2r2-3+4r

/'（「）=

343-2r2

3-4r

令函數g(/)=2j3/—2/—3+4r,g'G)+4＞0,所以g（r）是增函數.

J3r-2/

g(1〉o,所以％eI，1,g(r)=o,

又因為g<0,o

所以reg⑺＜0,re^,-,g（r）＞0,

即re，力，/'（廠）＜0，rebg，/'（廠）＞0，

所以/（r）在上單調遞減，在“o，；上單調遞增.

因為/[I]"/Hl,所以，（「）max=j即這兩個球體的半徑之和的最大值為j

由①可得斤+/=一g[（R+r）2—6（R+「）+3,

這兩個球體的表面積之和為4兀（氏2+廠2）=-2兀[伊+4一6伊+廠）+3.

2（2-

令x=R+rW],函數y=-2兀（必一6x+3）在上單調遞增，

所以＞max=—2兀*[g]-6x|+3=—，即這兩個球體的表面積之和的最大值為

故選：D.

【點睛】方法點睛：

立體幾何中最值問題，一般可從三個方面考慮：一是構建函數法，即建立目標函數，轉化為函數的最值問

題進行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變化過程中兩個互相牽制的變量（兩個變量之間有等量

關系），往往可以使用此種方法；三是根據幾何體的結構特征，變動態為靜態，直觀判斷在什么情況下取得

最值.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求；全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.隨機事件A,8滿足尸（2）=5,尸（萬）=],尸（彳忸）="則下列說法正確的是（）

A.P（AB）=P（A）P⑻B.PCAB）=-

C.P（A+B）=~D.0（明（幺+5））尸（血）=尸⑷尸2（8）

【答案】CD

【解析】

【分析】根據條件概率公式，以及和事件概率公式，即可判斷選項.

_3111

【詳解】A.P（幺忸）=1—尸（彳⑻=1一：=屋所以尸（48）=尸（幺忸）尸（5）=不

12

尸（N）P（8）=；xg=g,

所以尸（48）。尸（N）尸（8）,故A錯誤；

BP（^）=P（2）-P（25）=P（^）-P（2|5）P（5）=1-|X|=1,故B錯誤;

1113

C.P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---=~,故C正確；

1

D?尸（初以+5）=^^=/=:尸（加）=尸（彳⑻尸（5）=%;=。,

4

所以尸(明(N+劃尸(叫=/：=(，P?⑷Q⑻=H=5，故D正確.

故選：CD

10.[x]表示不超過x的最大整數，例如：[-0.5]=-已知函數/(x)=[x],下列結論正確的

有()

A.若xe(0』)，貝【J/(—x)+^〈一/(力+^

B.Vx,yeR,f(x+y)<f(x)+f(y)

C.函數y=[x],xeR的圖象不關于原點對稱

D.設方程[|1]]=3的解集為A,集合5=同2/一11日+15公訓，若/U2=R,貝I

4-1、「X5-

^T，_《U{0}U

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用定義的函數，來取特殊值分析，即可判斷ABC,對于D需要轉化到一元二次方程根的分布,

再由端點值的取值符號來確定參數范圍即可.

【詳解】對于A,當xe(O,l),則/(力=國=0,所以有

/(-)l=_ll=-2ry()ll_f+-^=--,

Vx7+4+44[Jx+4」=I04)4

顯然/(—x)+^〈—f(x)+成立，故A正確；

對于B,存在/(O.6)+/(O.6)=2x[0.6]=2x0=0,/(0.6+0.6)=/(1.2)=[1.2]=1,

此時VxjeRJ(x+y)</(x)+/(y)不成立，故B錯誤；

對于C,因為/(—0.5)=[-0.5]=-1,/(0.5)=[0.5]=0,

所以/(—0.5)H-/(0.5),即/(x)=[x]不是奇函數，

所以函數^=[可,%€區的圖象不關于原點對稱，故C正確；

對于D,方程[卜―1]]=3,可得,一1歸[3,4),解得：4Wx<5或—3<x〈—2,

所以幺={x|-3cx〈一2或44x<5},

又因為Nu3=R,3=卜疝2-1而+15產NO},

所以當5=R時，滿足題意，此時八=121左2_120左2=/<o，解得左=()；

當5wR時，由上可知方程2x?—11日+15左2=0有兩根，解得％=—左,%2=3左，

2

-k>48,5

當人>0時，若Nu8=R,則需要滿足{2^-<k<-,

3k<553

[3k>-3,

4

當左<0時，若Nu8=R,則需要滿足<5,-1W左4一二，

-k<-25

2

485

綜上可得：ke—1,—yu{0}。—,J,故D正確;

故選：ACD.

11.已知eC:(x—2)2+J?=4,直線/：x=2,。為原點，點尸在。。上，直線。尸與/交于點。,A在直線

。尸上，且聞=礪，點尺的軌跡為史留斯蚌線，記為曲線￡,其中/是E的漸近線，如圖所示.設

/(/Jo)是E上一點,貝U()

A.—2<%0<2

B.存在異于原點。的點使得M關于點。的對稱點仍在￡上

C.若〃在第二象限，則％的最大值為巨

3

D.若M在第一象限，則直線。”的斜率大于。字

C

【答案】AD

【解析】

X

王。

【分析】設R（x,y）,尸（再,％）,Q（x2,y2）,設礪=政而（4wO）得到<,即可得到

乂=5

A

14x—?—?/八、12—?—?111

—=-------5,設OR=〃OP（"。）,則一=一,再由尸。=。r，則----7=1，從而求出曲線E的

2x-+y廠\xn2

2—x

方程，即可判斷A、B；利用特殊值判斷C,設/（x）=——ex（O<x<2）,利用導數說明函數的單調

NI人

2+x

性，即可得到——>e\從而判斷D.

2-x

【詳解】設火（xj）,0（x"J，Q（x2,y2）,由。P與/相交，則P不與。重合，即工產0,

X

X、

設礪=4而（60），則（x,田=4（x2J,所以，代入(x—2)2+j?=4,可得

%=9

X

14x

即不=22

Ax-+y

X

設礪=〃而（〃/0）,則（刀刃=〃（％2，%），即々=一,代入x=2,即土=2,

_kkk1—?1—?—?

由月。=。&,即O。一。尸=07?,所以一OK—：OK=OK,

//2

__.一lli24x492+x9

當。底片0時----7=1，從而-----2—r=1>整理得y=--x；

〃Xxx+y2-x

__k2+x

當無=0時而=而，即尸和。重合，氏（0,0）,此時方程/=----??一成立;

2-x

所以曲線￡的方程為2+Y

由需=手”只20,所以^^之。，解得—2Wx0<2,故A正確；

2—%2-x0

E在第一象限的部分對應的方程為j=2+"-x(0<x<2)①,

2x

2+x/八八、

E在第三象限的部分對應的方程為y=-----x(-2<x<0),

2x

品.(—x)(—2<—x<0),

它關于原點成中心對稱的部分對應的方程為-y=

2)②,

聯立①②解得x=0,這樣0<x<2矛盾，所以不存在異于原點。的點使得M關于點。的對稱點仍

在E上，

由對稱性可知，二、四象限也不存在關于點。的對稱點仍在￡上，故B錯誤；

11

當x=—1時9當x=—1.2時9=0.36>§,故C錯誤；

設/(x)="e，(O<x<2),則/'(x)=7^~^e*<0,

2+x2+x

所以/(x)在(0,2)上單調遞減，

從而/(x)</(O)=l，所以=e*<l,即圣〉e)

2+x2-x

所以/=2±￡.》2〉6、2,即］〉e"即上〉￡,

2-xx-x

所以若M在第一象限，則直線0M的斜率大于.冷，故D正確.

故選：AD

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是推導出曲線E的方程，D選項關鍵是構造函數

x

/(x)=1^e(O<x<2),利用導數證明=〉e1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.1——(x+y)6的展開式中//的系數為______.

Vy)

【答案】-25

【解析】

(2-

【分析】分1----取1，(工+^丫取//和1----取,(%+歹丫取x3^3兩種情況討論即可.

【詳解】當1——取1,(x+y)6^x4y2,//的系數為c；=15；

Vy)

(2x

當1----取------,(x+y)6取dj?時，得//的系數為：一2C：=—40.

y)y

所以//的系數為：15—40=—25.

故答案為：-25

13.已知0<a<6<c<1,且3b24a,則max｛b—a,c—九l—c｝的最小值是.

【答案】y

【解析】

b=l-n-p

【分析】利用換元法可得11，進而根據不等式的性質，討論求解即可.

a=l-m-n-p

【詳解】令加,。一6二〃,1一。二p,其中加,〃，夕>0,

b=l-n-p

所以《

a=l-m-n-p

若3/724Q,則3b=3—3〃一3224(1一加一〃一夕)，故4加+〃+221,

令Af=max{Z?_a,c_b,l_c}=max{加，凡2},

4M>4m

因此<M>n，故6M>4m+〃+P21,則M2工，

6

M>p

當且僅當4機+〃+2=1等號成立，取機=〃=?=工時可滿足等號成立,

6

可知max抄一凡。一仇1一。｝的最小值為一，

6

故答案為：—

6

14.設A是非空數集，若對任意都有x+yeZ,嘮￡4,則稱A具有性質P.給出以下命題:

①若A具有性質P,則A可以是有限集;

②若4,4具有性質P，且4c則4c4具有性質P；

③若4,4具有性質p,則4u4具有性質P；

④若A具有性質P,且/HR,則不具有性質P.

其中所有真命題的序號是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】舉特例判斷①；利用性質P的定義證明②即可；舉反例說明③錯誤；利用反證法判斷④，元素

0是關鍵.

【詳解】對于①，取集合幺={0,1}具有性質P,故A可以是有限集，故①正確；

對于②，取4c4，則xeA2,yeA1,y&A2,又4,4具有性質P,

x+y&Ax,xyeAx,x+yexy&x+ye4c4,9e4c4,所以4cH具有性質

P,故②正確；

對于③，取4={x|x=2左，左eZ},4={xIx=3左，左eZ},Ax,3e,但2+3仁4。4，故

③錯誤；

對于④，若A具有性質P,且NwR,假設亳/也具有性質P，

設OeZ,在鳥幺中任取一個x,x/0,此時可證得-xeN,否則若-xea”，由于也具有性質P,則

x+(-x)=()€?/,與OeZ矛盾，故-x5,

由于A具有性質P,鳥幺也具有性質P,

所以eA,x2e,

而(—x)2=x2,這與/門a2=0矛盾，

故當OeZ且A具有性質P時，則。Z不具有性質P,

同理當時，也可以類似推出矛盾，故④正確.

故答案為：①②④

【點睛】集合新定義題目，關鍵是對集合新定義的理解，及舉反例，特例證明，考查學生的邏輯推理與特

殊一般思想，屬于難題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數/(%)=25由(0》+0)12〉0,0〉0,0<°<]],由下列四個條件中選出三個：

①最大值為2；②最小正周期為2兀；

③/(0)=—2；④/\"=0.

(1)求函數/(X)的解析式及單調遞減區間;

(2)設g(x)=/(x)/.當xe[O,機]時，g(x)的值域為[0,2+6]，求加的取值范圍.

71c,4兀c,

【答案】(1)/(x)=2sin,單調遞減區間為—F2kn,---F2kji

33

12'6

【解析】

【分析】(1)不管選擇哪三個條件，均需利用三角函數的性質，并結合條件一一分析可求出解析式，再根

據三角函數的單調性求遞減區間即可；

(2)根據(1)的結論，結合三角恒等變換化簡g(x),利用三角函數的性質計算參數范圍即可.

【小問1詳解】

對于條件③，有/(0)=2$m0=一2,

兀

因為/〉0,0</<5，則sin°〉O,Zsin0>O,

顯然/(o)=Zsin。=一2不成立，因此只能選擇條件①②④，

則2=2,0=1,/1_看]=2sin[o_t]=0n=E(左eZ),

所以夕=今，此時/(x)=2sin[x+t]；

jrjrjTT7T47r

令x+—￡—+2左兀,卜2kli(左￡Z),解之得一+2左兀,----I-2H(左EZ)；

6[22」[33」，

【小問2詳解】

由上可知g(x)=/(%)/(%-^-)=2sin[x+已]?2sinx=2sinx(Gsinx+cosx)

=sin2x-V3COS2x+V3=2sin2x--+V3,

旦sin

因為此時g(x)的值域為[0,2+6],則-<1,

2

JTJT4JT

則2x—e-------+2br（左eZ）,

333

714兀5n5TI

故2機一衛€nme

25T12，-6-

16.如圖，在四棱錐P—483中，底面Z5C。為直角梯形，AD//BC,ADLDC,

PA=PD=PB=275-BC=DC=；AD=2,￡為AD的中點.

A

(1)求證：PEL平面N5CD；

(2)求平面尸48與平面尸5C的夾角的正弦值;

(3)記5c的中點為若N在線段尸￡上，且直線"N與平面尸48所成的角的正弦值為上，求線

18

段EN的長.

【答案】(1)證明見解析

2

(2)-

3

.19

(3)1或—

5

【解析】

【分析】(1)連接證出尸￡工2。和尸ELBE,即可利用線面垂直判定定理得證；

(2)以￡為原點，區4為x軸，￡8為了軸，EP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向

量法直接求解面面角的余弦值，即可得到結果；

(3)設EN=/(/e(O,4)),利用向量法直接表示出線面角的正弦值，即可得到參數，進而得到結果.

【小問1詳解】

連接則

2

因為NZ）//8C,所以四邊形8CQE為平行四邊形；

所以BE=CD=2,

因為尸2=40=2指，40=4,且E為40的中點，

所以工40，所以尸￡=」。。2一。后2=J2。—4=4,

所以PE?+BE?=PB?，即尸￡_L8E，

又因為/?？?￡=￡,所以PE，平面48CD.

【小問2詳解】

以E為原點，口為x軸，￡8為V軸，EP為z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A（2,0,0）,5（0,2,0）,C（-2,2,0）,尸（0,0,4）,

所以方=（—2,2,0）,P5=（O,2,-4）,5C=（-2,0,0）,

設平面尸45的法向量為應=（苞,％,馬）,

in-AB=0f-2x+2yl=0

則｛_,即\\,

m-PB=012%—4Z[=0

取比=（2,2,1）,

設平面尸3C的法向量為為=（》2，%，22），

n-BC=0f-2x2=0

則——，即c，z

n-PB=012%一4Z2=0

取為=（0,2,1）,

~__m-n2x0+2x2+lxl5W

所以cosm,n=-j-j-p-p=/—>==—尸=—

H,同A/22+22+12XVO2+22+123753

2

所以二面角A-PB-C的正弦值為

3

【小問3詳解】

設EN=4/e(O,4)),則N(0,01),

而”(—1,2,0),所以加=(—1,2#,

由（II）知平面尸4g的法向量為應=（2,2,1）,

設直線MN與平面尸48所成的角為處則

-1X2+2X2+(-1)xlV6

sin。=|cosNM.m

22222

^_1)+2+(^)^72+2+1~18

化簡得5/—24/+19=0，解得：/=1或/=《,

19

故線段EN的長度為1或一.

5

17.已知橢圓C的焦點在x軸上，長軸長與短軸長的比為2:1,焦距為2G.p為橢圓上任意一點，過點尸

作圓。：/+/=i的兩條切線P/、PB,48分別為切點，直線48分別與x、7軸交于M、N兩點.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）求△MON面積的最小值；

（3）過點。（0,1）的兩條直線小4分別與橢圓C相交于不同于點。的。，E兩點，若4與4的斜率之和

為一2,直線是否經過定點？若過定點，求出定點坐標，若不過定點請說明理由.

V2

【答案】(1)C:—+y2=l

4

（3）直線經過定點（1,-D,理由見解析

【解析】

【分析】（1）依題列出。，仇。的方程組，求解即得橢圓方程;

（2）先判斷點48在以。尸為直徑的圓上，求出該圓的方程，減去已知圓的方程，得出直線A8的方程,

求出的坐標，利用基本不等式，即可求得△兒/ON面積的最小值;

（3）設直線的方程為：x=my+t,與橢圓方程聯立，得出韋達定理，計算化簡勺+勺2=,得到

加=-或加=7-1,回代入直線￡）￡的方程，檢驗后即得直線￡＞￡經過的定點.

【小問1詳解】

a=2b

依題意，＜2c=2\/3,解得a=2,b=l,

cr=b~+c2

則橢圓C的標準方程為C：L+y2=1；

4

【小問2詳解】

如圖，設尸（見〃），連接。4。民。尸，則

mvi1-------

即點48在以。尸為直徑的圓上，取。尸的中點為》（萬，5）,\OP\=yJm2+n2-

22

22

則圓“：（％―§2+3—92=尹x+y-mx-ny=0f

將其與/+「=1作差整理，可得直線的方程為：加、+⑵—1=0,

令x=0,則^=工；令＞=0,則％=工，則得M（」,0）,N（0,1）,

nmmn

故京，因點P（i）在橢圓上，故/+4/=4,

由4=加？+4/2212加〃I可得I加〃區1,當且僅當加=2〃時，等號成立，

11

此時S&MON

2|mn|-r

即當點尸為（正,*）,（-6廣與,（—五,辛）這四個點時，AMON面積取得最小值y;

【小問3詳解】

如圖，當直線的斜率為0時，直線與。E關于了軸對稱，此時勺+左4=0不符合題意;

故可設直線的方程為：x=my+t,代入X2+4J?=4中,

整理得：（加2+4）/+2加卬+〃一4=0,

由A=4m一無機2+4）（/-4）＞0,可得m2一〃+4＞。

2mt

%=――，

m+4

設。（項,凹）,￡（》2，必），則（2，（*）

r-4

〔m+4

?呻K,K必—凹—

依題，K+k,----1-1+^--2-T--------1--+,-%---T---

石x2myl+1my2+1

（%-1）（叼2+。,（必T）（叼1+。

（約1+t）（my2+0（mvj+t\my2+1）

二2加必必+?—已）（%+8）—21=2

2

m-yiy2+mt（yi+y2）+t

2

化簡整理得：2（m+m）yxy1+（/+2機/一機）（％+%）+2/-2/=0,

,24Dmt

將（*）代入，可得2（加2+加）,二—+?+2加，—加）（—-孚L）+2〃—2，=0,