數學數學數學必修第一冊人教A版高中數學教學課件2025數學必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念1.2集合間的基本關系1.3集合的基本運算閱讀1集合中元素的個數1.4充分條件與必要條件閱讀2幾何命題與充分條件、必要條件1.5全稱量詞與存在量詞本章目錄數學必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語1.1集合的概念1.2集合間的基本關系1.3集合的基本運算閱讀1集合中元素的個數1.4充分條件與必要條件閱讀2幾何命題與充分條件、必要條件1.5全稱量詞與存在量詞本章目錄數學必修第一冊第一章集合與常用邏輯用語1.1

集合的概念學習目標1.了解集合、元素的概念并區分；（基礎）2.理解集合中元素的確定性、互異性、無序性；（重點）3.互異性的運用；（重點）4.掌握元素與集合的屬于、不屬于關系；（重點）5.掌握常用數集及其記法；（識記）6.能夠恰當選用列舉法、描述法表示集合；（重、難點）7.了解有限集合、無限集合和空集。課前導入章節引言課前導入章節引言課前導入在小學和初中，我們已經接觸過一些集合.例如，自然數的集合，同一平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合(即圓)等.為了更有效地使用集合語言，我們需要進一步了解集合的有關知識.課程精講看下面的例子：(1)1～10之間的所有偶數；(2)保山一中2025年入學的全體高一學生；(3)所有的正方形；(4)到直線l的距離等于定長d的所有點；(5)方程x2-3x+2=0的所有實數根；(6)地球上的四大洋.2，4，6，8，10l......x1=1，x2=2太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋課程精講例(1)中，我們把1～10之間的每一個偶數作為元素，這些元素的全體就是一個集合；同樣地，例(2)中，把保山一中今年（2025）入學的每一位高一學生作為元素，這些元素的全體也是一個集合.課程精講思考：上面的例(3)到例(6)也都能組成集合嗎?它們的元素分別是什么?(3)所有的正方形；(4)到直線l的距離等于定長d的所有點；(5)方程x2-3x+2=0的所有實數根；(6)地球上的四大洋.元素個數無限元素個數有限課程精講一般地，我們把研究對象統稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱為集.我們通常用大寫拉丁字母A,B,C,…表示集合，用小寫拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.課程精講思考：怎樣的語言可以確定集合?1～10之間的所有偶數較小的數數學成績在135分以上的同學擅長跳水的同學√√××主觀不確定客觀確定課程精講思考：0與{0}有區別嗎?前者是元素，后者是集合.課程精講有限集合是由有限個元素組成的集合。有限集合的元素是可以編號的，可以把它的元素編上號碼，寫成：a1，a2，a3...，an，從1到n的各個自然數全被用過而且不同的元素得到了不同的號碼.無限集合是由無限個元素組成的集合，它是既不是空集，又不與Mn＝｛1，2，…，n｝，n∈N對等的集合。無限的元素不能被編號.有限集合簡稱為有限集，無限集合簡稱為無限集.課程精講不含任何元素的集合稱為空集，記作；空集是一個集合.?集合有限集合無限集合空集課程精講非負整數集(或自然數集)——N；正整數集——N*或N+；負整數集N-；整數集——Z；有理數集——Q；正有理數集——Q+；負有理數集——Q-；

實數集——R；正實數集——R+；負實數集——R-；虛數集——I；復數集——C.常用數集及其記法自然語言法第七章復數課程精講思考：用自然語言法表示集合有什么特點？特點：自然語言法只需表達出集合元素的共同特征，不受形式的限制.課程精講給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說，給定一個集合，那么一個元素在或不在這個集合中就確定了.例如，“1～10之間的所有偶數”構成一個集合，2,4,6,8,10是這個集合的元素，1,3,5,7,9,…不是它的元素；“較小的數”不能構成集合，因為組成它的元素是不確定的.所以，集合具有①確定性.課程精講一個給定集合中的元素是互不相同的.也就是說，集合中的元素是不重復出現的.這是集合的②互異性.課程精講集合中的元素是平等的，沒有先后順序.因此，判定兩個集合是否相同，只需要比較它們的元素是否一樣，不需考察排列順序是否一樣.例如，集合{a,b,c}和{a,c,b}是同一個集合.這就是集合的③無序性.只要構成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.如記作：A=B.課程精講①確定性②互異性③無序性這些性質共同定義了集合的基本特征，使得集合成為數學中的一個基本概念.集合（集合中元素）的性質：課程精講如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A,記作a∈A;如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A,記作aA.例如，若用A表示前面例(1)中“1～10之間的所有偶數”組成的集合，則有4∈A,3A,等等.∈∈屬于、不屬于：∈?后面是集合，前面是元素，表示元素與集合的關系。課程精講再思考：0與{0}有區別嗎?前者是元素，后者是集合，且0∈{0}.課程精講從上面的例子看到，我們可以用自然語言描述一個集合.除此之外，還可以用什么方式表示集合呢?*列舉法“地球上的四大洋”組成的集合可以表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋};“方程x2-3x+2=0的所有實數根”組成的集合可以表示為{1,2}.像這樣把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.課程精講例1用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有自然數組成的集合；(2)方程x2=x的所有實數根組成的集合.解：(1)設小于10的所有自然數組成的集合為A,則A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)設方程x2=x的所有實數根組成的集合為B,則B={0,1}.由于元素完全相同的兩個集合相等，而與列舉的順序無關，因此一個集合可以有不同的列舉方法.例如，例1(1)的集合還可以寫成：A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}.課程精講思考：用列舉法表示集合有什么特點？特點：是集合語言，有嚴格的格式要求，簡捷明了，非常明確地列出了組成集合的元素，適用于表示元素不太多的有限集.課程精講*描述法不等式x-7<3的解是x<10,因為滿足x<10的實數有無數個，所以x-7<3的解集無法用列舉法表示.但是，我們可以利用解集中元素的共同特征，即：x是實數，且x<10,把解集表示為{x∈R|x<10}.又如，整數集Z可以分為奇數集和偶數集.對于每一個x∈Z,如果它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式，那么它是一個奇數；反之，如果x是一個奇數，那么它能表示為x=2k+1(k∈Z)的形式.所以，x=2k+1(k∈Z)是所有奇數的一個共同特征，于是奇數集可以表示為{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.課程精講

課程精講例2試分別用描述法和列舉法表示下列集合：(1)方程x2-2=0的所有實數根組成的集合A;

課程精講(2)由大于10且小于20的所有整數組成的集合B.(2)設x∈B,則x是一個整數，即x∈Z,且10<x<20.因此，用描述法表示為B={x∈Z|10<x<20}.大于10且小于20的整數有11-19,因此，用列舉法表示為B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.我們約定，如果從上下文的關系看，x∈R,x∈Z是明確的，那么x∈R,x∈Z可以省略，只寫其元素x.例如，集合D={x∈R|x<10}也可表示為D={x|x<10};集合E={x∈Z|x=2k+1,k∈Z}也可表示為E={x|x=2k+1,k∈Z}.課程精講對于R+={x|x>0}和R+={x∈R|x>0},前者默認x的取值范圍為x∈R，后者考慮到了復數.若元素的取值范圍明確，可以省略不寫.課程精講描述法表示其它數集或一些數集的其它形式

課程精講思考：用描述法寫出（x-2）（x-3）=0的解集.{x|（x-2）（x-3）=0}{x|x=2或x=3}課程精講思考：用描述法寫出x-y=1的解集.{(x,y)|x-y=1}oxyx-y=1(y=x-1)課程精講思考：用描述法寫出x-y=1x+y=3的解集.{(x,y)|x-y=1,x+y=3}{(x,y)|x=2,y=1}課程精講數集點集(x,y)x元素描述解方程表達式一句話課程精講思考：舉例說明，自然語言、列舉法和描述法表示集合時各自的特點.自然語言列舉法描述法自然語言只需表達出集合元素的共同特征，不受形式的限制。列舉法和描述法是集合語言，有嚴格的格式要求。其中列舉法簡捷明了，非常明確地列出了組成集合的元素，適用于表示元素不太多的有限集。描述法清楚地表述了元素的共同特征，適用于表示無限集或元素較多的有限集。課程精講自然語言列舉法描述法方程x2-4=0的所有實數根組成的集合{2,-2}{x∈RIx2-4=0}......課程精講思考：若A={0，2m-1，m2}，且1∈A，求m的值.解:由題意得：①m2=1，則m=1或-1；②2m-1=1，則m=1；∵當m=1時，2m-1=m2=1，故m=1舍去∴m=-1∴m的值為-1.課外拓展集合的主要作用是存儲、管理和操作對象。集合是數學中的一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。它提供了一種方式來匯總具有某種特定性質的具體的或抽象的對象。在計算機科學中，集合的概念被廣泛應用于編程語言和數據結構中，特別是在Java等面向對象的編程語言中。集合的作用主要體現在以下幾個方面：習題鞏固練習

課本第5頁解:(1)可以組成集合,因為平面ɑ內與定點A,乃等距離的點是確定的。(2)不可以組成集合,因為"游泳能手"的定義不明確,不滿足集合元素的確定性.∈???∈習題鞏固3.用適當的方法表示下列集合：(1)由方程x2-9=0的所有實數根組成的集合；解:(1)由題意得:{3,-3};(2)一次函數y=x+3與y=-2x+6圖象的交點組成的集合；(2)由題意得:y=x+3由得，x=1,y=4,故y=-2x+6∴集合為{(1,4)};(3)不等式4x—5<3的解集.(3)由題意得:不等式4x-5<3的解集為{x|x<2}.習題鞏固題習1.1課本第5頁1.用符號“∈”或“?”填空：(1)設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國___A,美國___A,印度___A,英國___A;(2)若A={x|x2=x},則-1___A;(3)若B={x|x2+x-6=0},則3___B;(4)若C={x∈N|1≤x≤10},則8___C,9.1___C.∈∈∈?????習題鞏固2.用列舉法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整數；(2)A={x|(x-1)(x+2)=0};(3)B={x∈Z|-3<2x-1<3}.解：(1)由題意得：{2,3,4,5};(2）由題意得：A={1,-2}；（3）由題意得：-1<x<2,x∈Z,∴B={0,1}.習題鞏固3.把下列集合用另一種方法表示出來：(1){2,4,6,8,10};(2)由1,2,3這三個數字抽出一部分或全部數字(沒有重復)所組成的一切自然數；課本第6頁解：(1)由題意得：{x∈N|2≤x≤10,x=2n,n∈N*};(2)由題意得：{1,2,3,12,13,21,31,32,23,123,132,213,231,312,321};習題鞏固(3){x∈N|3<x<7};(4)中國古代四大發明.(3)由題意得：{4,5,6};(4)由題意得：{指南針，火藥，印刷術，造紙術}.習題鞏固4.用適當的方法表示下列集合：(1)二次函數y=x2-4的函數值組成的集合，y=21；解：(1)由題意得：應使用描述法：{y|y=x2-4};(2)反比例函數的自變量的取值組成的集合；(2)由題意得：應使用描述法：{x|x≠0};(3)不等式3x≥4-2x的解集..習題鞏固5.集合論是德國數學家康托爾于19世紀末創立的.當時康托爾在解決涉及無限量研究的數學問題時，越過“數集”限制，提出了一般性的“集合”概念.關于集合論，希爾伯特贊譽其為“數學思想的驚人的產物，在純粹理性的范疇中人類活動的最美的表現之一”,羅素描述