專題17歸納思想在兩種題型中的應用

壓軸題密押

通用的解題思路：

解決這類問題的基本思路是觀察一歸納一猜想一證明（驗證），具體做法是:①認

真觀察所給的一組數、式、圖等，發現它們之間的關系:②分析概括所給數式圖

的特征，歸納它們的共性和蘊含的變化規律，猜想得出一個一般性的結論;③結

合問題所給的材料查是證明或驗證結論的正確性。

壓軸題預測

題型一：數式規律中的猜想歸納思想

1.（2024?馬鞍山一模）觀察以下等式:

第1個等式：lx—--=1,

22

第2個等式：lx---=1,

233

第3個等式：=

344

第4個等式：=

455

按照以上規律，解決下列問題:

（1）寫出第5個等式：―；

（2）寫出你猜想的第〃個等式：—（用含〃的等式表示），并證明.

2.（2024?包河區一模）觀察下列等式：

112

-------1=;

1x2x321x3

____1___I1=__3_

2x3x432x4

114

-----1—=--

3x4x543x5

（1）猜想并寫出第6個等式,=

（2）猜想并寫出第〃個等式a“=

（3）證明（2）中你猜想的正確性.

3.（2024?嘉善縣一模）觀察下面的等式：=—[=3《，=口；=55，…

（1）寫出、2023+」一的結果；

V2025

（2）按照上面的規律歸納出一個一般的結論；（用含"的等式表示，〃為正整數）

（3）試運用相關知識，推理說明你所得到的結論是正確的.

4.（2024?新樂市一模）每個人都擁有一個快樂數字，我們把自己出生的年份減去組成這個年份的數字之和，

所得的差就是我們自己的快樂數字.比如我國著名的數學家華羅庚出生于1910年，他的快樂數字是

1910-（1+9+1+0）=1899.

（1）某人出生于1949年，他的快樂數字是；

（2）你再舉幾個例子并觀察，這些快樂數字都能被—整除，請你用所學知識說明你的猜想.

（3）請你重新對快樂數字定義，并寫出一個你找到的規律（直接寫出結果，不用證明）.

5.(2024?長安區一模)某班數學小組在研究個位數字為5的兩位數的平方的規律時，得到了下列等式:

第1個等式：152=15x15=225=(1x2)x100+25；

第2個等式：25?=25x25=625=(2x3)x100+25；

第3個等式：352=35x35=1225=(3x4)x100+25；

按照以上規律，解決下列問題：

(1)填空：752=75x75==；

(2)已知啜出9且"為整數，猜想第〃個等式(用含〃的等式表示)，并證明.

6.(2024?廬江縣一模)觀察下列等式:

22

第1個等式：士3—42=」3+1-+，；

133

22

第2個等式：色4―42=土4土+2上+〃；

248

5252+32

第3個等式：+

3515

第4個等式：6_2=￡+￡+Q；

4624

按照以上規律，解決下列問題:

(1)各等式都成立時，a=

(2)在(1)的條件下，寫出你猜想的第〃個等式(用含〃的式子表示)，并證明.

7.（2023?利辛縣模擬）觀察下列等式：

第①個等式：仔+22=32一22,

第②個等式：22+32=72-62,

第③個等式：32+42=132-122,

第④個等式：42+52=212-202,

根據上述規律解決下列問題：

（1）寫出第⑤個等式；

（2）寫出你猜想的第？個等式（用含力的式子表示），并證明.

8.（2023?全椒縣三模）觀察下列等式:

72

第1個等式：--1-2=1；

1

321

第2個等式：--2-2=-；

22

421

第3個等式：--3-2=-；

33

521

第4個等式：--4-2=-；

44

第5個等式：--5-2=-；

55

按照以上規律，解決下列問題

（1）寫出第6個等式：―；

（2）寫出你猜想的第〃個等式（用含“的式子表示），并驗證其正確性.

9.（2023?夏邑縣校級三模）設05是一個兩位數，其中。是十位上的數字（啜必9）.例如：當。=4時，°5表

示的兩位數是45.

（1）嘗試：

①當。=1時，152=225=1x2x100+25；

②當。=2時，252=625=2x3x100+25；

③當。=3時，352=1225=3x4x100+25；

④當a=4時，452=2025=.

-----2

（2）歸納：a5與100a（a+l）+25有怎樣的大小關系？試說明理由.

__2

（3）運用：若。5與100。的和為6325,求“的值.

10.（2023?鳳臺縣校級三模）觀察等式:

311

第1個算式.

2x432x3x4

411

第2個等式:

3x5413x4x5

511

第3個等式:

4x654x5x6

根據以上等式的規律，解答下列問題：

（1）直接寫出第5個等式：―；

（2）猜想并寫出第〃個等式，證明你所猜想的正確性.

2

11.（2023?蕭縣三模）觀察下列等式：第1個等式：1+1-上I=3士；

51x5

第2個等式「+品：42

2^6

52

第3個等式：1+---

373^7

按照以上規律，解決下列問題：

（1）寫出第4個等式：—；

（2）寫出你猜想的第，2個等式（用含〃的等式表示），并證明.

12.（2023?無為市四模）觀察下列等式：

11

第1個等式:

'VU2~2

J__11

第2個等式:

2~2^3~3

1_11

第3個等式:

3-374~4

J__11

第4個等式:

4~4^5~5

按照以上規律，解決下列問題：

（1）寫出第5個等式：—.

（2）寫出你猜想的第〃個等式（用含〃的式子表示），并證明.

13.（2023?思明區模擬）“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂釀蜂蜜”這兩句話從左往右讀和從右往左讀，結果完全

相同.文學上把這樣的現象稱為“回文”，數學上也有類似的“回文數”，比如252,7887,34143.小明在

計算兩位數減法的過程中意外地發現有些等式從左往右讀的結果和從右往左讀的結果一樣，如：

65-38=83-56；91-37=73-19；54—36=63-45.數學上把這類等式叫做“減法回文等式”.

（1）①觀察以上等式，請你再寫出一個“減法回文等式”；

②請歸納“減法回文等式”的被減數法（十位數字為。，個位數字為b）與減數訝應滿足的條件，并證明.

（2）兩個兩位數相乘，是否也存在“乘法回文等式”？如果存在，請你直接寫出“乘法回文等式”的因數

H與因數嬴應滿足的條件.

14.（2023?武安市三模）某數學興趣小組研究如下等式：38x32=1216,53x57=3021,71x79=5609,

84x86=7224.觀察發現以上等式均是“十位數字相同，個位數字之和是10的兩個兩位數相乘，且積有一

定的規律”.

（1）根據上述的運算規律，直接寫出結果：58x52=—；752=.

（2）設其中一個數的十位數字為a,個位數字為6（a>0,6>0）.

①請用含a,。的等式表示這個運算規律，并用所學的數學知識證明；

②上述等式中，分別將左邊兩個乘數的十位和個位數字調換位置，得到新的兩個兩位數相乘（如:38x32調

換為83x23）.若記新的兩個兩位數的乘積為機，①中的運算結果為〃，求證："能被99整除.

15.（2024?安徽模擬）【觀察】觀察下列式子:

?lx4+2=2x3；

②2x5+2=3x4；

③3x6+2=4x5；

④4x7+2=5x6；

【猜想】根據上述式子猜想式子⑥：6x9+2=—x

【發現】用含“的式子表示出第"個式子:

2021x2024+2

【應用】利用你發現的規律計算:

2022x2025+2

16.（2024?蕪湖二模）如圖被稱為“楊輝三角”或“賈憲三角”.其規律是：從第3行起,每行兩端的數都

是“1”，其余各數都等于該數“兩肩”上的數之和.圖中兩平行線之間的一列數：1,3,6,10,15,........，

我們把第1個數記為q,第2個數記為電，第3個數記為例，……，第〃個數記為凡.

（1）根據這列數的規律，%=—，4=—；

（2）這列數中有66這個數嗎？如果有，求“；如果沒有，請說明理由.

17.（2024?池州二模）觀察下列式子:

第1個等式：132=10x（10x1+6）x1+9；

第2個等式：232=10x（10x2+6）x2+9；

第3個等式：332=10X（10X3+6）X3+9；

（1）請寫出第4個等式：—；

（2）設一個兩位數表示為10a+3,根據上述規律，請寫出（10。+3）2的一般性規律，并予以證明.

18.（2024?廬江縣校級模擬）觀察下列等式：

110

第1個等式：

111

第2個等式：3-4-4^3；

11_22

第3個等式：5-9-9^5；

11_32

第4個等式：

71616x7

（1）請你按照上述等式規律寫出第5個等式;

（2）根據上述等式規律寫出第〃個等式；

（3）證明（2）中你所寫等式的正確性.

19.（2024?沅江市一模）設q=3?-?，々=52-32,0,=72-52…，容易知道q=8,a,=16,%=24,

如果一個數能表示為8的倍數，我們就說它能被8整除，所以4,4,%都能被8整除.

（1）試探究a“是否能被8整除，并用文字語言表達出你的結論.

（2）若一個數的算術平方根是一個自然數，則稱這個數是“完全平方數”，試找出q,小,生…%這一系

列數中從小到大排列的前4個完全平方數，并說出當〃滿足什么條件時，％為完全平方數.

20.（2023?新華區校級二模）【發現】如果一個整數的個位數字能被5整除，那么這個整數就能被5整除.

【驗證】如：-345=100x3+10x4+5,

又「100和10都能被5整除，5能被5整除,

.-.100x3+10x4+5能被5整除，

即：345能被5整除.

（1）請你照著上面的例子驗證343不能被5整除；

（2）把一個千位是百位是6、十位是c、個位是d的四位數記為麗.請照例說明：只有d等于5或

。時，四位數時才能被5整除.

【遷移】（3）設。be是一個三位數，請證明；當a+6+c的和能被3整除時，“be能被3整除.

題型二：圖案規律中的猜想歸納思想

1.（2023?棗莊）（1）觀察分析：在一次數學綜合實踐活動中，老師向同學們展示了圖①，圖②，圖③三幅

圖形，請你結合自己所學的知識，觀察圖中陰影部分構成的圖案，寫出三個圖案都具有的兩個共同特

征:

2.（2024?肥西縣一模）用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形，拼如圖的方式拼圖，請根據圖中的信息完成

（1）在圖②中用了一塊白色正方形，在圖③中用了一塊白色正方形；

（2）按如圖的規律繼續鋪下去，那么第〃個圖形要用一塊白色正方形；

（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2024塊白色正方形，拼出具有以上規律的圖形？如果

可以請說明它是第幾個圖形；如果不能，說明你的理由.

3.（2024?鏡湖區校級一模）將一些相同的按如圖所示擺放，觀察其規律并回答下列問題:

☆

☆☆吩

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆

圖1圖2圖3圖4

（1）圖6中的的個數有一個；

（2）圖〃中的的個數有一個；

（3）圖〃中的的個數可能是100個嗎；如果能，求出〃的值；如果不能，試用一元二次方程的相關

知識說明理由.

4.（2024?宣城模擬）【觀察思考】

如圖，這是由正方形和等邊三角形組成的一系列圖案，其中第1個圖案有4個正方形；第2個圖案有6個

正方形；第3個圖案有8個正方形；…

第1個圖案

依此規律，請解答下面的問題.

【規律發現】

（1）第5個圖案有正方形一個.

（2）第〃個圖案有正方形個.

【規律應用】

（3）結合圖案中正方形的排列方式，現有4050個正方形，若干個三角形（足夠多）.依此規律，是否可以

組成第〃個圖案（正方形一次性用完），若存在，請求出〃的值；若不存在，請說明理由.

5.（2024?淄博模擬）用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚，按如圖的方式鋪地面:

①②③

（1）觀察圖形，填寫下表：

圖形?②③

黑色瓷磚的塊數47

黑白兩種瓷磚的總塊數915

（2）依上推測，第〃個圖形中黑色瓷磚的塊數為—,黑白兩種瓷磚的總塊數為—（用含〃的代數式

表示）；

（3）白色瓷磚與黑色瓷磚的總塊數可能是2024塊嗎？若能，求出是第幾個圖形；若不能，請說明理由.

6.（2024?蜀山區模擬）某公園中的一條小路使用六邊形、正方形、三角形三種地磚按照如圖方式鋪設.圖

1為有1塊六邊形地磚時，正方形地磚有6塊，三角形地磚有6塊；圖2為有2塊六邊形地磚時，正方形地

磚有11塊，三角形地磚有10塊；….

（1）按照規律，每增加一塊六邊形地磚，正方形地磚會增加一塊，三角形地磚會增加一塊；

（2）若鋪設這條小路共用去。塊六邊形地磚，分別用含。的代數式表示正方形地磚、三角形地磚的數量;

（3）當。=25時，求此時正方形地磚和三角形地磚的總數量.

KXXKXXV

Si圖2圖3

7.（2024?瑤海區校級模擬）將字母“C”，"H”按照如圖所示的規律擺放，其中第1個圖形中有1個字

母C,有4個字母H；第2個圖形中有2個字母C,有6個字母H；第3個圖形中有3個字母C,有8個

字母4;……根據此規律解答下面的問題:

HHHHHH

IIIIII

CCCCCC

H---HH---

IIIIII—H

HHHHHH

第1個圖形第2個圖形第3個圖形

（1）第4個圖形中有個字母C,有個字母H；

（2）第"個圖形中有個字母C,有個字母H（用含力的式子表示）;

（3）第2024個圖形中有個字母C,有個字母

（1）若圖1中小正方形個數記作4，圖2中小正方形個數記作出，…，圖”中小正方形個數記作《，則

%=，a,+a2++an=；（用含〃的式子表示）

【規律應用】

（2）結合上述規律，試說明是否存在正整數"，使得4+凡++為等于""的4倍？

9.（2024?蜀山區一模）用同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規律擺放:

????????

??????

第1個圖案第2個圖案第3個圖案第4個圖案

（1）第5個圖案有一顆黑色棋子，第”個圖案中黑色棋子的顆數為

（2）據此規律用2024顆黑色棋子，是否能擺放成一個圖案，如果能，是第幾個圖案？如果不能，請說明

理由.

10.（2024?長豐縣一模）如圖，第1個圖案中“O”的個數為1x2,的個數為&生；

2

第2個圖案中“O”的個數為2*3,“?”的個數為上為；

2

第3個圖案中“O”的個數為3x4,的個數為生

2

（1）在第〃個圖案中，“O”的個數為—，“?”的個數為一.（用含〃的式子表示）

（2）根據圖案中和的排列方式及上述規律，求正整數〃，使得第〃個圖案中的個數是

o

oo

oooo

OOoooo

)oOooOo

)oOOOOO

)OOOOOO

第1個圖案第2個圖案第3個圖案

11.（2024?阜陽一模）【觀察思考】

（1）第4個圖案中黑色方塊的個數為—,黑、白兩種方塊的總個數為一.

（2）第w個圖案中黑色方塊的個數為—，黑、白兩種方塊的總個數為一.（用含〃的代數式表示）

【規律應用】

（3）白色方塊的個數可能比黑色方塊的個數多2024嗎？若能，求出是第幾個圖案；若不能，請說明理由.

12.（2024?安徽模擬）【觀察思考】下列是由空白長方形和陰影長方形構成的圖案:

圖3

圖1中有F塊陰影長方形，空白長方形有3x2+lx2=8（塊）；

圖2中有22塊陰影長方形，空白長方形有4x2+2x2=12（塊）；

圖3中有32塊陰影長方形，空白長方形有5*2+3x2=16（塊）；

（1）圖〃中有一塊陰影長方形，空白長方形有—=—（塊）;

【規律應用】

（2）在圖"中，是否存在空白長方形的塊數恰好比陰影長方形塊數少8塊？若存在，通過計算求出”的值;

若不存在，請說明理由.

13.（2023?蕪湖三模）觀察與思考：我們知道1+2+3+...+〃=幽土?,那么Q+23+33+...+/結果等于

2

多少呢？

請你仔細觀察，找出下面圖形與算式的關系，解決下列問題：？

（1）嘗試：第5個圖形可以表示的等式是

(2)概括：13+23+33+...+?3=

13+23+...+20233

(3)拓展應用：求的值.

1+2+3+...+2023

。

。

。??o????

。

???o。????

。

???o。????

。

。

。

。

。o????

。

。

。

。

?OOO。o????

。

。

。o

。

?OOO。????

?OOO????e?????

0OOO????e?????

0OOO????e?????

0OOOe

???

???

?

?

?

3

/1+23=32/+23+33=6233332

1+2+3+4=10

14.（2023?青島二模）如圖，（"+1）個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設△星〃G的面積

為S「△B/ZC2的面積為邑，…，△紇+℃的面積為S“.

【規律探究】：

探究一探究二探究三

?△5132As△C]AD],B2B3:AC2=1:2,B3B4:AC3=1:3,

B、D\:DG=1:1,/.B2D2:D2c2=1:2,B3D3:D3c3=1:3,

/.S]=____.??S2-，S]—???S3-，S?-?

【結論歸納】

15.（2023?定遠縣二模）豐艷花卉市場將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個圖案需要5

盆花卉，第2個圖案需要13盆花卉，第3個圖案需要25盆花卉，以此類推.

??按照以上規律，解決下列問題：

（1）第4個圖案需要花卉____盆；

（2）第〃個圖案需要花卉一盆（用含〃的代數式表示）；

（3）已知豐艷花卉市場春節期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花

卉的盆數.

圖1圖2圖3

16.（2023?定遠縣校級一模）用同樣大小的兩種不同顏色（白色.灰色）的正方形紙片，按如圖方式拼成

長方形.

［觀察思考］

第（1）個圖形中有2=1x2張正方形紙片；

第（2）個圖形中有2x（l+2）=6=2x3張正方形紙片；

第（3）個圖形中有2x（l+2+3）=12=3x4張正方形紙片；

第（4）個圖形中有2x（l+2+3+4）=20=4x5張正方形紙片;

以此類推

(4)

［規律總結］

（1）第（5）個圖形中有,張正方形紙片（直接寫出結果）;

（2）根據上面的發現我們可以猜想：1+2+3+……+〃=；（用含〃的代數式表示）

［問題解決］

（3）根據你的發現計算：