2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之圓(解答題一)

—.解答題(共22小題)

1.如圖，為。。的弦，C為福的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD〃A8,交08的延長線于點(diǎn)。.連接。4,OC.

(1)求證：是。。的切線；

2.如圖，在△ABC中，AC=BC,ZACB=90°,。。經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，交A8于點(diǎn)。，C。的延長線交

A2于點(diǎn)RDE〃CF交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：￡>￡1為O。的切線；

(2)若AC=4,tanZCFD=2,求。。的半徑.

3.如圖，在△ABC中，以為直徑的。。交8c于點(diǎn)。，DE±AC,垂足為E.。。的兩條弦尸8,FD

相交于點(diǎn)/，/DAE=/BFD.

(1)求證：OE是O。的切線；

4.對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓(四個頂點(diǎn)都在同一個圓上)與內(nèi)切圓(四條邊都與同一個圓相切),

可分為四種類型，我們不妨約定：

既無外接圓，又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形：

只有外接圓，而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；

只有內(nèi)切圓，而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形：

既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.

請你根據(jù)該約定，解答下列問題：

(1)請你判斷下列說法是否正確(在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“J”，錯誤的打“X”).

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓"四邊形；

②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；

③若''完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,則有

R=V2r.

(2)如圖1,已知四邊形ABC。內(nèi)接于四條邊長滿足：AB+CD^BC+AD.

①該四邊形ABC。是“"四邊形(從約定的四種類型中選一種填入)；

②若NBA。的平分線AE交。。于點(diǎn)E,的平分線CT交O。于點(diǎn)R連接EE求證：EF是

的直徑.

4cE

圖1

(3)已知四邊形ABC。是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓。。與AB,BC,CD,分別相切于

點(diǎn)、E,F,G,H.

①如圖2,連接EG,FH交于點(diǎn)、P.求證：EG1FH-,

②如圖3,連接。4,OB,OC,OD,若04=2,OB=6,0c=3,求內(nèi)切圓的半徑廠及。。的長.

5.如圖，直線AB經(jīng)過點(diǎn)C,且。4=。2,CA^CB.

(1)求證：直線A3是。。的切線；

(2)若圓的半徑為4,N2=30°,求陰影部分的面積.

6.如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是54延長線上的一點(diǎn)，連接AC,ZPCA=ZB.

(1)求證：PC是。。的切線；

1,

(2)右sin/8=求證：AC—AP；

(3)若CO_LAB于。，E4=4,BD=6,求的長.

7.如圖，△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,經(jīng)過8,C兩點(diǎn)，與斜邊交于點(diǎn)E,連接C。并延

長交4B于點(diǎn)M,交0。于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作E/〃CD,交AC于點(diǎn)F.

(1)求證：EF是。。的切線;

(2)若BM=4應(yīng)，tanZBC￡>=求0M的長.

8.如圖，在菱形A8CD中，/C=120°.點(diǎn)E在射線8c上運(yùn)動(不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合)，△AE8關(guān)于

AE的軸對稱圖形為△AEF.(1)當(dāng)NA4F=30°時，試判斷線段AE和線段A￡＞的數(shù)量和位置關(guān)系，并

說明理由;

(2)若42=6+6b，O。為△AEP的外接圓，設(shè)。。的半徑為r.

①求廠的取值范圍；

②連接FD,直線ED能否與。。相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由.

9.綜合與實(shí)踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10c〃z的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7c機(jī)的圓錐形過濾漏斗.

【實(shí)踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

【實(shí)踐探索】

(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.

(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留IT)

10.如圖，AB是。。的直徑，BC,8。是。。的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)。在A8的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)(OE

>BE),連接。C,CE,且NBOC=2NBCE.

(1)如圖1,若BE=1,CE=V5,求。。的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：BD//OC.(請用兩種證法解答)

O-

圖1圖2

11.如圖，△A8C為等腰三角形，。是底邊8c的中點(diǎn)，腰AC與半圓。相切于點(diǎn)。，底邊8c與半圓O

交于E,尸兩點(diǎn).(1)求證：AB與半圓O相切；

(2)連接。A.若C￡)=4,CF=2,求sin/。4c的值.

A

D

12.如圖，AABC內(nèi)接于OO,AB為。。的直徑，COLAB于點(diǎn)。，將△CDB沿BC所在的直線翻折，得

到△CEB,點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)為E,延長EC交54的延長線于點(diǎn)?

(1)求證：CP是。。的切線；

(2)若sin/CEB=￥，AB=S,求圖中陰影部分的面積.

13.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABC。中，AD<AC,ZADC<ZBAD,延長AD至點(diǎn)E,使AE=AC,延長

A4至點(diǎn)R連結(jié)EE,使

(1)若NAFE=60°,C￡)為直徑，求乙48。的度數(shù).

(2)求證：①EF〃BC；

②EF=BD.

14.如圖1,。是正方形ABC。對角線上一點(diǎn)，以。為圓心，0C長為半徑的。。與相切于點(diǎn)E,與

AC相交于點(diǎn)?(1)求證：A8與。。相切；

(2)若正方形ABCD的邊長為a+1,求。。的半徑；

(3)如圖2,在(2)的條件下，若點(diǎn)M是半徑OC上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN_LOC交比于點(diǎn)N.當(dāng)

CM：FM=1：4時，求CN的長.

15.如圖，在RtZkABC中，/ACB=90°,點(diǎn)E在AC上，以CE為直徑的經(jīng)過A8上的點(diǎn)。，與OB

交于點(diǎn)R且20=2。.

(1)求證：是O。的切線；

(2)若40=百，AE=1,求。1的長.

16.如圖，已知。。是△ABC的外接圓，AB=AC.點(diǎn)。，E分別是BC,AC的中點(diǎn)，連接。E并延長至點(diǎn)

F,使DE=EF,連接AF.

(1)求證：四邊形A3。尸是平行四邊形；

(2)求證：AE與OO相切；

(3)若tan/54C=1,BC=12,求O。的半徑.

4

17.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，。。的半徑為1.對于。。的弦A8和不在直線上的點(diǎn)C,給出如下定

義：若點(diǎn)C關(guān)于直線A8的對稱點(diǎn)C'在。。上或其內(nèi)部，且NACB=a,則稱點(diǎn)C是弦A8的“a可及

點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)A(0,1),B(1,0).

1

①在點(diǎn)CM2,0),C2(l,2),。)中，點(diǎn)是弦43的“a可及點(diǎn)”，其中ct=°;

②若點(diǎn)。是弦AB的“90°可及點(diǎn)”，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)的最大值為；

(2)已知P是直線y=V3x-百上一點(diǎn)，且存在。。的弦MN,使得點(diǎn)P是弦的“60°可及點(diǎn)”.記

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3直接寫出t的取值范圍.

18.如圖，42是O。的直徑，點(diǎn)C,D在O。上，。。平分NAOC.

(1)求證：ODUBC；

(2)延長。。交于點(diǎn)E,連接CE交08于點(diǎn)F,過點(diǎn)8作。。的切線交。E的延長線于點(diǎn)P.若

19.已知△AOB中，ZABO=30°,A8為的弦，直線MN與。。相切于點(diǎn)C.

(I)如圖①，若AB〃MN,直徑CE與AB相交于點(diǎn)。，求NAOB和/BCE的大小；

(II)如圖②，若OB〃MN,CG±AB,垂足為G,CG與。8相交于點(diǎn)FOA=3,求線段OF的長.

E

A

圖①圖②

20.如圖，A8為半圓。的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)尸在A8的延長線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C,與OF

的延長線相交于點(diǎn)D,AC與。尸相交于點(diǎn)E,DC=DE.

(1)寫出圖中一個與NOEC相等的角：；

(2)求證：O￡?_L4B；

(3)若O4=20E,DF=2,求PB的長.

21.如圖，是AABC的外接圓，AB為直徑，過點(diǎn)C作。。的切線CD交BA延長線于點(diǎn)D點(diǎn)E為麗上

一點(diǎn)，且左=朝.

(1)求證：DC//AE；

(2)若所垂直平分。3,ZM=3,求陰影部分的面積.

22.如圖，直線/與。。相切于點(diǎn)A,是。。的直徑，點(diǎn)C,。在/上，且位于點(diǎn)A兩側(cè)，連接8C,

BD,分別與。。交于點(diǎn)E,F,連接ERAF.

(1)求證：NBAF=/CDB；

(2)若。。的半徑r=6,4。=9,AC=12,求EP的長.

2024年中考數(shù)學(xué)真題知識點(diǎn)分類匯編之圓(解答題一)

參考答案與試題解析

一.解答題(共22小題)

1.如圖，42為O。的弦，C為防的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)D連接04,0C.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若。1=3,BD=2,求△0CD的面積.

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；勾股定理；垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)△0CZ)的面積是6.

【分析】(1)設(shè)0C交A8于點(diǎn)E,由C為通的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得0C垂直平分AB,因?yàn)?/p>

所以/OCDu/OEBngO。，即可證明C。是。。的切線；

__________1

22

(2)因?yàn)椤?=。。=。2=3,8￡)=2,所以0D=0B+BD=5,則CD=yJOD-OC=4,求得SAOCD=^CD

?OC=6.

【解答】(1)證明：設(shè)。C交A2于點(diǎn)E,

：0C是。。的半徑，C為屈的中點(diǎn)，

；.0C垂直平分A3,

'JCD//AB,

：.ZOCD=ZOEB=90°,

：0C是。。的半徑，且COJ_OC,

.??CO是。。的切線.

(2)解：'：OA=OC=OB=3,BD=2,

：.0D=OB+BD=3+2=5,

vzocr>=90°,

CD=<0D2-OC2=A/52-32=4,

11

SAOCD=^CD?OC=2X4><3=6,

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、切線的判定定理、三角形的面積公式等知

識，推導(dǎo)出/。8=90°是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△ABC中，AC^BC,ZACB^90°,。。經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，交AB于點(diǎn)D,C。的延長線交

于點(diǎn)RDE〃CF交BC于點(diǎn)E.

(1)求證：為。。的切線；

(2)若AC=4,tanZCFD=2,求。。的半徑.

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形

及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)見解析；

2V10

(2)-------.

3

【分析】(1)連接。。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到/。8=45°,根據(jù)圓周角定理得到/COO=

2/CA8=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NEDO=90°根據(jù)切線的判定定理得到。E為。。的切線；

⑵過點(diǎn)C作SLAB于點(diǎn)”，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CH=AH=聶B=2VL根據(jù)三角函

數(shù)的定義得到切=VL根據(jù)勾股定理得到CF="U,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接OO,

：AC=BC,ZACB=90°,

???△AC3為等腰直角三角形,

：.ZCAB=45°,

AZCOD=2ZCAB=90°,

,:DE〃CF,

：.ZCOD+ZEDO=l?>0o,

：.ZEDO=90°

???。石為。。的切線;

(2)解：過點(diǎn)。作于點(diǎn)H,

???Z^ACB為等腰直角三角形，AC=4,

:.CH=AH=^AB=2/，

：tan/CF￡>=^=2,

：.FH=V2,

在RtACFH中，由勾股定理得CF2=CH2=FH2,

：.CF=V10,

“坨。

ODODOD=2>

?tanZCFD=OF=CF=OC=而Z而

??.3空

故o。的半徑為一-一.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形

的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在△ABC中，以A8為直徑的。。交BC于點(diǎn)Z),DE±AC,垂足為E.。。的兩條弦F8,FD

相交于點(diǎn)RNDAE=/BFD.

(1)求證：是O。的切線；

(2)若NC=30°,CZ)=2V3,求扇形08。的面積.

B

------C

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算；垂徑定理；圓周角定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）證明見解答；

4兀

（2）扇形OBD的面積為一.

3

【分析】（1）連接。。，則由/叩，ZDAB=Z.BFD,得/DAE=/DAB,

ADAD

由A5是。。的直徑，得NADC=NAO3=9（T,則一=cosZDAE=cosZDAB=所以AC=A3,

AC力H

則NC=NA5C,所以NOZ）B=NC,貝JOD//AC,所以NOZ）E=NOEC=90°,即可證明OE是。。

的切線；

（2）由AC=A3,ADLBC,得BD=CD=2?可求得N3A0=6O°,則NBOD=2N8AD=120。，

由箕==sin60°=孚求得A8=4,則05=/B=2,即可根據(jù)扇形的面積公式求得S扇形0皿=萼.

ABABZ3

【解答】（1）證明：連接0。，則00=05,

：.ZODB=ZABC,

VZDAE=ZBFD,/DAB=/BFD,

：.ZDAE=ZDAB,

TAB是OO的直徑，

ZADC=ZADB=90°,

ADXP

—=cosXDAE=cosXDAB=-r-^,

ACAB

：.AC=ABf

：.ZC=ZABC,

：./ODB=NC,

：.OD//AC,

：DE_LAC于點(diǎn)E,

：./ODE=NDEC=90°,

是。。的半徑，S.DE1OD,

...￡）￡是的切線.

(2)解：\'AC^AB,AD±BC,

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查圓周角定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、切線的

判定定理、扇形的面積公式等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.對于凸四邊形，根據(jù)它有無外接圓（四個頂點(diǎn)都在同一個圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個圓相切）,

可分為四種類型，我們不妨約定:

既無外接圓,又無內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無圓”四邊形:

只有外接圓,而無內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形;

只有內(nèi)切圓,而無外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形:

既有外接圓,又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形.

請你根據(jù)該約定，解答下列問題:

（1）請你判斷下列說法是否正確（在題后相應(yīng)的括號中，正確的打“J”，錯誤的打“義”）.

①平行四邊形一定不是“平凡型無圓”四邊形；義

②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；±

③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為廠，則有

R=V2r.J

（2）如圖1,已知四邊形4BCD內(nèi)接于O。，四條邊長滿足：AB+CD^BC+AD.

①該四邊形A3C。是“外接型單圓”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；

②若NBA。的平分線AE交。。于點(diǎn)E,N8C。的平分線Cr交OO于點(diǎn)R連接EE求證：EF是。0

的直徑.

圖1圖2圖3

（3）已知四邊形A8CO是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓。。與48,BC,CD,分別相切于

點(diǎn)E,F,G,H.

①如圖2,連接EG,FH交于點(diǎn)、P.求證：EGLFH；

②如圖3,連接。4,OB,OC,OD,若。4=2,0B=6,0C=3,求內(nèi)切圓的半徑廠及。。的長.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】幾何綜合題；新定義；幾何直觀.

【答案】（1）①（X）；②（J）,③（J）；（2）①外接型單圓，②證明過程詳見解析；（3）①證明過

程詳見解析；②？：嗜，00=V3.

【分析】（1）由題干條件可得：有外接圓的四邊形今對角互補(bǔ)，根據(jù)切線長定理得有內(nèi)切圓的四邊形=

有一個點(diǎn)到四邊距離相等今兩組對邊的和相等.①根據(jù)前置分析可得平行四邊形既無外接圓也無內(nèi)切圓,

所以很容易判斷出；②因?yàn)榱庑螌呏拖嗟龋粤庑问恰皟?nèi)切型單圓”四邊形；③外接圓圓心與內(nèi)

切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形，從而判斷出結(jié)論是正確；

（2）①判斷方法同上；②證麗F=麗即可得證；

（3）①四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形可得，ZA+Z￡0H=180°,ZF0G+ZC=180°,從

而得到/E0H=NC,/F0G+/E0H=180：再根據(jù)同弧所對的圓周角是圓心角的一半證出

90°,即可得證；②先證△AOHs^ocG得出CG=^r,再利用勾股定理建立方程即可求解.

【解答】解：（1）①:?平行四邊形對角不互補(bǔ)，

...平行四邊形無外接圓，

:平行四邊形對邊之和也不相等，

???平行四邊形無內(nèi)切圓.

...平行四邊形是“平凡型無圓”四邊形，

故①錯誤；

②：內(nèi)角不等于90°的菱形對角不互補(bǔ)，但是對邊之和相等，

菱形是“內(nèi)切型單圓”四邊形，

故②正確；

③由題可知外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合的“完美型雙圓”四邊形是正方形,

如圖，此時。/=r，ON=R,

1/AOMN是等腰直角三角形，

ON=V2OM,

:.R=V2r,

故③正確.

故答案為：①（X）;②（J）,③（J）.

（2）①該四邊形A8C。是“外接型單圓”四邊形;

理由：'：AB+CD^BC+AD,

，四邊形A8CO無內(nèi)切圓.

...四邊形A8C。是“外接型單圓”四邊形;

②證法1：如圖1,平分/BADCT平分/BCD,

CE

圖1

：.BE=DE,BF=DF,

：.BE+BF=DE+DF,即詼=前六

.?.謝與麗均為半圓，

...￡廠是0。的直徑.

證法2：如圖1,連接AF.

?/四邊形ABCD內(nèi)接于。。，

.?.ZBAD+ZBCD=180°,

平分/BA。，CF平分/BCD,

11

???41=W乙BAD,(2=乙BCD,

.\Zl+Z2=90o,

由同弧所對的圓周角相等可得N2=N3,

???Nl+N3=90°,即NEAb=90°.

???￡方是OO的直徑

證法3：如圖2,連接加，ED.

圖2

???四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

：.ZBAD+ZBCD=1SO°,

11

由題意，得乙2="BCD,

:由同弧所對的圓周角相等可得：/EFD=N1,ZFED=Z2,

1

:.(EFD+乙FED=y乙BAD+乙BCD)=90°,

：.ZFDE=90°.

???斯是OO的直徑.

(3)①證明：如圖3,連接OE,OF,OG,OH,HG.

??,。0是四邊形A3CD的內(nèi)切圓，

OELAB,OF_LBC,OG±CD,OH1AD.

：.ZOEA=ZOHA=90°.

???在四邊形EAHO中，ZA+ZEOH=360°-90°-90°=180°

同理可證//OG+NC=180°,

???四邊形ABC。是“完美型雙圓”四邊形，

???四邊形A3CD有外接圓，

ZA+ZC=180°,

：.ZEOH=ZC.

：.ZFOG+ZEOH=1SO°

又丁ZFHG=三/FOG,乙EGH="EOH,

；?/FHG+NEGH=9U°.

：.ZHPG=90°,即EG_L777.

②方法1：如圖4,連接OE,OF,OG,OH.

圖4

???四邊形ABC。是“完美型雙圓”四邊形，

ZOAH+ZOAE+ZOCG+ZOCF=180°.

?「OO與A3,BC,CD,A。分別相切于點(diǎn)￡,F,G,H,

:.ZOAH=ZOAE9ZOCG=ZOCF.

：.ZOAH^ZOCG=90°.

'：ZCOG+ZOCG=90°,

：.ZOAH=ZCOG.

VZAHO=ZOGC=90°,

???AAOH^AOCG.

AOOH2r

—=—，BP-=—,

OCCG3CG

解得CG=%

在RtZ\OGC中，有OG2+CG2=OC2,gpr2+(|02=32,

解得「=備舊，

在RtAOB￡中，BE=<OB2-r2=^62=||V39

同理可證

?BEOBrI2V396

所以---=---，即6—=---

OHOD—J13OD

13

解得。。=V3.

方法2：如圖4,

,AOOH2r

由△AOas\ocG,得一=—，即一=-7==,

ZOCCG3732T2

解得r=嗜

由ABEOsAOHD,

BEOBJ136

得=，即---尸-=

OHOD6VliOD,

13

解得。。=V3.

【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)和判定、菱形的性質(zhì)和判定、圓周角定理、

內(nèi)切圓的定義與性質(zhì)、外接圓的定義與性質(zhì)等知識，熟練掌握這些知識和靈活運(yùn)用性質(zhì)和判定是解題的

關(guān)鍵.另外題目涉及面積、周長、角度的計算，要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和邏輯思維能力，備考時，

重視四邊形知識的學(xué)習(xí)，提高解題技巧和速度，以應(yīng)對中考挑戰(zhàn).

5.如圖，直線AB經(jīng)過點(diǎn)C,且。4=。8,CA=CB.

(1)求證：直線A8是。。的切線；

(2)若圓的半徑為4,NB=30°,求陰影部分的面積.

0

'D

ACB

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計算；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)陰影部分的面積是8次-舞.

【分析】(1)連接。C，由。4=08,CA=CB,得。C_LAB,即可由0C是。。的半徑，S.AB10C,

證明直線A8是。。的切線；

(2)由NOC8=90°,ZB=30°,求得NCO￡>=60°,貝！J8C=b0。=4百，求得S陰影=SzxOCB-S

扇形。CZ)=8A/5—粵?

【解答】(1)證明：連接0C,

9：OA=OB,CA=CB,

：.OC.LAB,

??,直線A3經(jīng)過點(diǎn)C,

???0C是。。的半徑，

TOC是。。的半徑，,aAB10C,

???直線A3是。。的切線.

(2)解：V0CLAB,

：.ZOCB=90°,

???。0的半徑為4,

???0。=4,

VZB=30°,

：.ZCOD=90°-ZB=60°,

BC「

—=tan60°=V3,

0C

.?.BC=V3OC=4V3,

2

?ccr?1AA/T7607rx4cB87r

??S陰影-S/\OCB-S扇形OCD=2X4X4v3360=873n-，

陰影部分的面積是8W-等.

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的“三線合一”、切線的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式及扇形的面

積公式等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，48是。。的直徑，點(diǎn)C是上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是區(qū)4延長線上的一點(diǎn)，連接AC,NPCA=NB.

(1)求證：PC是。。的切線；

1

(2)若sin/8=于求證：AC=AP；

(3)若于。，PA=4,BD=6,求AO的長.

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理；圓周角定理.

【專題】幾何綜合題；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】(1)證明過程見解答；

(2)證明過程見解答；

(3)2.

【分析】(1)如圖，連接。C,根據(jù)42是。。的直徑，可知NACB=90°,根據(jù)02=0C,可得/2=

ZBCO,再根據(jù)可知。C_LPC,故PC是。。的切線；

1

(2)根據(jù)sinZB=j,可知N8=30°,則/PCA=30°,根據(jù)NAC8=90°,則/CA8=60°,可得

NP=30°,故/PCA=NP,可證AC=AP；

(3)設(shè)AZ)=x,在RtZvlCB中，CDLAB,可得CZ)2=A￡)XBZ)=6x,易證AB4cs△PCB,故pc2=

2

PA-PB=4(6+4+x)=4(10+x),在RtZXPC。中，由勾股定理得P￡>2+c￡)2=pc2,即(4+x)+6x=4

(10+x),求解即可.

【解答】(1)證明：如圖，連接。C,

TAB是。。的直徑，

AZACB=90°,

：.ZBCO+ZOCA=90°,

OB=OC,

：.ZB=ZBCO,

'：ZPCA=ZB.

；./PCA=/BCO,

：.ZPCA-^ZOCA=90°,

???OCLPC,

???尸。是。0的切線；

1

(2)證明：VsinZB=

：.ZB=30°,

：.ZPCA=ZB=30°,

由(1)知NAC5=90°,

：.ZCAB=60°,

：.ZP=ZCAB-ZPCA=30°,

：.ZPCA=ZP,

：.AC=AP；

(3)設(shè)AO=x,

在RtZXACB中，CD_LAB,

1

：.CD=ADXBD=6xf

9：ZP=ZP,ZPCA=ZB,

???△B4cs△尸CR

PA_PC

?t.—,

PCPB

：.Pd=PA^PB=4(6+4+x)=4(10+x),

在Rt△尸CD中，由勾股定理得Pr>2+C02=pc2,

即(4+x)2+6X=4(10+X),

整理得x2+10x-24=0,

解得尤1=2,X2=-12（舍去）,

故"）=2.

【點(diǎn)評】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)等知識,

熟慮掌握這些數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，△ABC中，ZACB=90°,AC^BC,。。經(jīng)過2,C兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E,連接C。并延

長交于點(diǎn)交。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)E作E/〃8,交AC于點(diǎn)？

(1)求證：￡尸是。。的切線；

(2)若BM=4VLtan/8C￡)=?，求0M的長.

A

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；等腰直角三角形；圓周角定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能

力.

【答案】(1)見解析；

(2)V5.

【分析】(1)連接OE,根據(jù)定義等腰直角三角形的性質(zhì)得到NA=/4BC=45。，根據(jù)圓周角定理得到

ZCOE=2ZABC=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到//EO=90°,根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

(2)過M作MHVBC于H,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BH=MH=孝8/=4,根據(jù)三角函數(shù)的

定義得到C?=2M7/=8,根據(jù)勾股定理得到CM=7cH2+MH2=4瓜CB=CH+BH=n,連接8Z),

根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接0E,

VZACB=90°,AC=BC,

/.ZA=ZABC=45°,

：.ZCOE^2ZABC^90°,

'：EF//CD,

.?.ZCO￡+ZO￡F=180°,

：.ZFEO^90°,

：。石是0。的半徑，

是。。的切線；

(2)解：過M作MH_L8C于H,

則是等腰直角三角形，

,:BM=4五,

：.BH=MH=與BM=4,

在RtACHM中，：tan/BCD=喘■=%,

：.CH=2MH=8,

：.CM=7cH2+MH2=4小,CB=CH+BH=12,

連接8。，

是。。的直徑，

■:BDLBC,

J.MH//BD,

.CMCH

'"DM-BH

.4V58

''DM-4，

:.DM=2底

：.0D=1CD=3小,

：.OM=OD-DM=V5.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解直角三角形，等腰直

角三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在菱形ABC。中，/C=120°.點(diǎn)￡在射線BC上運(yùn)動(不與點(diǎn)8,點(diǎn)C重合)，△AE8關(guān)于

AE的軸對稱圖形為(1)當(dāng)NB4b=30°時，試判斷線段AE和線段AO的數(shù)量和位置關(guān)系，并

說明理由；

(2)若AB=6+6次，。。為所的外接圓，設(shè)。。的半徑為r.

①求r的取值范圍；

②連接ED,直線FO能否與。。相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由.

【考點(diǎn)】圓的綜合題.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；幾何直觀.

【答案】(1)AF^AD,AF±AD,理由詳見解析；(2)r，3百+3,且42g+6；(3)能相切，BE=

12.

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)易得AB^AF^AD再根據(jù)角度求出/D4尸=90。即可得證；

(2)畫出示意圖，找到半徑廠和AE的關(guān)系，在求出AE的范圍即可求解；

(3)畫出示意圖，利用弦切角定理和圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可求得/AEE=/AEB=75°,

再在解三角形ABE即可求解.

【解答】解：(1)AF^AD,AF1AD,理由如下，

:四邊形ABC。是菱形，

：.AB=AD,ZBA￡)=ZC=120°,

:AABE和△APE關(guān)于AE軸對稱，

C.AB^AF,

：.AF=AD,

VZBAF=30°,

ZDAF=ZBAD-ZBAF=90°,

：.AF.LAD,

綜上，AF=AD,AF±AD.

(2)①如圖，設(shè)/的外接圓圓心為O,連接04、0E,作OGLAE于點(diǎn)G,作于點(diǎn)H.

VZAFE=ZABE=60°,

ZAOE=120°,

?：OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA=30°,

AG_2a「

：.OA=cos30°~-3-ALr,

Vr=OA=孚AG=^*|A￡=^AE,

在RtZkABH中，AH=A3?sin600=9+3舊,

,：AE^AHf且點(diǎn)E不與8、C重合,

.\AE^9+3V3,且AEW6+6V5,

r^3V3+3,且昨￡2百+6.

假設(shè)存在，如圖畫出示意圖，設(shè)功的外接圓圓心為0,連接04、OF,作于點(diǎn)〃,

設(shè)NAfD=a,則NAEF=NAEB=a(弦切角),

???ZCEF=180°-ZAEB-ZAEF=1SO°-2a,

9

：AF=ADf

：.ZADF=ZAFD=a,

：.ZDAF=180°-2a,

'：ZCEF=ZCAF,

：.ZCAF=ISO°-2a=ZDAFf

VZCAD=JZBAZ)=60°,

：.ZCAF=180°-2a=ZDAF=30°,

???a=75°,即NAE5=75°,

作EH±AB于點(diǎn)H,

VZB=60°,

：.ZBEH=30°,

ZAEH=ZEAH=45°,

設(shè)5H=機(jī)，則E"=A"=巡機(jī)，BE=2m,

VAB=6+6V3,

：.em—6+6\/3,

??rn^~6,

【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解

直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)知識和畫出示意圖是解題關(guān)鍵.

9.綜合與實(shí)踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10a”的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7c,"的圓錐形過濾漏斗.

圖1圖2

【實(shí)踐操作】

步驟1:取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中.

【實(shí)踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明.

（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積.（結(jié)果保留TT）

【考點(diǎn)】圓錐的計算；展開圖折疊成幾何體.

【專題】計算題；幾何直觀.

【答案】（1）能，理由詳見解析；（2）些組TC"3.

24

【分析】（1）證△CZ）Es2\cA8即可得證；

（2）利用圓錐體積公式計算即可.

【解答】解：（1）濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁，理由如下，

方法一：如圖作出示意圖，由題意知，AB=AC=BC=1cm,

1

折疊后CD=CE=]x10=5（cm）,

1

\'底面周長=2X10TT=5TT（cm）,

.\DE*ii=5ncmf

??DE=5cm,

.DECDCE

AB~CA~CB'

：.ACDE^ACAB,

???濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁.

方法二：由如片鬻得，亮T

R

'J

圖3圖4

圖3中，m=90°X2=180°,

,r3.51

圖4中，一=—=一,

R72

.\H2=180O,

?n\=n2f

濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁.

(2)由(1)知CD=Z)E=CE=5c機(jī)，

:./CDE=60°,

1C

過C作CF±DE于點(diǎn)凡則DF=/比=2cm,

在RtACDF中,CF=yJCD2-DF2=詈cm,

._,55/31125733

??TV7―TC*(-)2x——x亍=——Ticm.

22324

125V3

答：圓錐形的體積是一Jtc/.a

24

【點(diǎn)評】本題主要考查了圓錐的計算、相似三角形判定、勾股定理等知識，正確讀懂題意和掌握圓錐體

積公式是解題關(guān)鍵.

10.如圖，AB是OO的直徑，BC,2。是。。的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)D在A3的兩側(cè)，E是OB上一點(diǎn)、(OE

>BE),連接。C,CE,S.ZBOC=2ZBCE.

(1)如圖1,若BE=1,C￡=V5,求。。的半徑；

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：BD//OC.(請用兩種證法解答)

【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】(1)3.

(2)見解析.

【分析】(1)如圖1中，過點(diǎn)。作于點(diǎn)H.首先證明NCE8=90°,由勾股定理求出3C,再

根據(jù)cosZOBH=需=,，構(gòu)建關(guān)系式求出OB即可；

(2)證法一：如圖2中，過點(diǎn)。作0KL5O于點(diǎn)K,貝IJ3K=DK,利用全等三角形的性質(zhì)證明NCOS

=ZOBD；

證法二：如圖2中，過點(diǎn)。作OKLBD于點(diǎn)K,則BK=DK,證明cosZCOE=cosZOBK,推出NCOE

=4OBK,可得結(jié)論.

【解答】(1)解：如圖1中，過點(diǎn)。作于點(diǎn)"

VOC=OB,OHLBC,

：.ZCOH=ZBOH,CH=BH,

?:/BOC=2/BCE,

：.ZBOH=ZBCE,

9：ZBOH+ZOBH=90°,

：?/BCE+/OBH=9U°,

；.NCEB=90°,

：.BC=VEC2+EB2=V5T1=V6,

???CH=BH=坐，

...cos//OnBnHu=痂BH=的EB,

?工_工

,,OB—后

：.08=3,

???OO的半徑為3.

(2)證法一：如圖2中，過點(diǎn)。作OK_LBO于點(diǎn)K,則BK=DK,

■:BD=20E,

：.OE=BK,

'：ZCEO=ZOKB=90°,OC=OBf

：?RtAOEC注RSKO(HL),

：.ZCOE=ZOBK,

：.OC//BD；

證法二：如圖2中，過點(diǎn)。作。于點(diǎn)K,貝|8K=QK,

?：BD=20E,

：.OE=BK,

9：cosZCOE=CGS/OBK=骼,OC=OB,

cosZCOE=cosZOBK,

：.ZCOE=ZOBK,

：.OC//BD；

【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

11.如圖，△ABC為等腰三角形，。是底邊BC的中點(diǎn)，腰AC與半圓0相切于點(diǎn)。，底邊2C與半圓0

交于E,尸兩點(diǎn).（1）求證：AB與半圓0相切；

（2）連接0A.若CD=4,CF=2,求sin/。4c的值.

【考點(diǎn)】切線的判定與性質(zhì)；解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；解直角三角形

及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】（1）見解析；

【分析】（1）連接。。，連接。。，OA,作OHLA8于"，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得

AO平分NBAC,再根據(jù)切線的性質(zhì)得OOLAC,然后利用角平分線的性質(zhì)得到0"=。。，從而根據(jù)切

線的判定定理得到結(jié)論；

(2)在RtAOCD中，根據(jù)勾股定理求得。￡>=3,0c=5,進(jìn)而得到cosC=在RtAOCA中，由cosC=

器=即可求出sin/OAC.

【解答】(1)證明：連接O。，OA,作。”于H,如圖，

「△ABC為等腰三角形，。是底邊BC的中點(diǎn)，

：.AO±BC,4。平分NBAC,

：AC與。O相切于點(diǎn)。，

：.OD±AC,

而OH±AB,

：.0H=0