2024年廣州市高二數學競賽試卷

三

題號——二合計

(11)(12)(13)(14)(15)

得分

評卷員

考生留意：1.用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答；

2.不準運用計算器；

n|r>3.考試用時120分鐘，全卷滿分150分.

爬

一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.請將正確選項前的字母代號填在該小題后的括號內.

1.若集合{〃，有4個子集，則實數Q的取值范圍是（）

A.{0,2}B.}

C.\c^aeR}D.{dawO且〃w2,〃wR}

fl_2Q<Y<1

2.已知函數;'（1）=r'——'則/"（-O.5）]等于（）

2X,-l<x<0.

A.-0.5B.-1C.0.5D.1

3.在空間直角坐標系?！獙Oz中，點A、B、C、O的坐標分別為A（1,0,0）、B（0,2,0）、

C（2,4,0）、D（-l,2,-2）,則三棱錐A—BCD的體積是（）

A.2B.3C.6D.10

4.已知直線x—2y+l=0與圓（x—a]+（y—b）2=g（a,Z?eR）有交點，則

都

a?+人2—2a+2b+l的最小值是（）

14914

A.-B.一C.-D.—

5555

二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.把答案填在題中橫線上.

5.△ABC的三個內角A、B、。所對的邊分別為a、b、c,若a=4,b=2,A=60°,

貝cosC=.

6.已知直角梯形ABCD的頂點坐標分別為A(a,1),B(2,0),C(3,1),Z>(1,3),

則實數。的值是.

7.在數列｛〃〃｝中，%=2,an+an+i=l(neN"),設S及為數列｛?！ǎ那啊椇停瑒t

S30—2S29+S28的值為.

8.已知A、B、C三點在同一條直線/上，。為直線/外一點，若pOA+4OB+rOC=0,

p,q,rGR,則p+q+r=.

9.一個非負整數的有序數對(根,“)，假如在做m+〃的加法時不用進位，則稱(加,")為“奧運數對”,

m+〃稱為“奧運數對的和，則和為2008的“奧運數對”的個數有..個.

10.如圖1所示，函數y=/(x)的圖象是圓心在點(1,0),半徑為1的兩段

圓弧，則不等式/(x)v/(2—%)+1的解集是

X

三、解答題：本大題共5小題，共90分.要求寫出解答過程.圖1

11.(本小題滿分15分)

已知函數/(x)=asin0x+bcos0x｛a,bGR,G>0)的部分圖象如圖2所示.

(1)求的值;

(2)若關于x的方程3"(九)『一/(%)+加=0在%￡

圖2

12.(本小題滿分15分)

如圖3所示，在三棱柱A/iG—ABC中，A4],底面ABC,AC1BC,

AC=BC=eg=2.

(1)若點D、E、/分別為棱CG、C1B,C4的中點，求證：石廠，平面43。；

(2)請依據下列要求設計切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱-ABC的某一條側棱的平

面去截此三棱柱，切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體.簡潔地寫出一種切割和拼接方法，

并寫出拼接后的長方體的表面積(不必計算過程).

圖3

13.(本小題滿分20分)

已知點A(X],%),5(%,%)是橢圓L：看+/=1上不同的兩點，線段的中點為Af(2,1).

(1)求直線A3的方程；

(2)若線段43的垂直平分線與橢圓L交于點C、D,試問四點A、B、C、。是否在同一個圓

上，若是，求出該圓的方程；若不是，請說明理由.

14.(本小題滿分20分)

已知在數列｛%｝中,%=1,%”+1=4。2“-1+〃(deR,qeR且qM,”eN*).

(1)若數列｛g-J是等比數列，求q與d滿意的條件；

(2)當d=0,q=2時，一個質點在平面直角坐標系內運動，從坐標原點動身，第1次向右運動,

第2次向上運動，第3次向左運動，第4次向下運動，以后依次按向右、向上、向左、向下的

方向交替地運動，設第"次運動的位移是風，第九次運動后，質點到達點月(乙,月),求數列

｛”?工4"｝的前”項和5”.

n|r>

15.(本小題滿分20分)

已知函數/(x)=Inx-ax2-bx(a,beR,且aH0).

(1)當b=2時，若函數/(x)存在單調遞減區間，求。的取值范圍;

(2)當?！?且2a+Z?=l時，探討函數/(x)的零點個數.

2024年廣州市高二數學競賽參考答案

一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分.

1.D2.C3.A4.B

二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分.

3-V139.2710.(0,l)Ul1,2

6.±17.-38.0

-8

三、解答題：本大題共5小題，共90分.要求寫出解答過程.

11.（本小題滿分15分）

72%

解：（1）由圖象可知函數/（%）的周期為丁=4（'"—二）二2?，

63

2nIn

3-——=——=1.

T2兀

函數/（光）的圖象過點-1

27r77r

/(-丁)=0且/(2)=—L

3o

了lhn

——a—b=0,

-22

i61

——a-----b=-l.

[22

鏟7曰17A/3

斛得：a=—,b=——.

22

.11〃6

??G=1,a=一,b=—.

22

(2)由(1)得/(x)=；sinx+^^cosx=sin(%+5).

當時，x+ye(0,得0<sin[x+/[V1.

令，=/(x)=sin卜+,則

故關于x的方程3[/（%）『一/⑺+根=o在%￡（—工，至）內有解等價于關于t的方程

3/-1+加=0在％￡（0,1]上有解.

由產一/'+得一21

3"1=0,rn——3/+/'=31t——十一.

12

,：te(0,1],

..me-2,5

.??實數機的取值范圍是-2,1-

12

12.（本小題滿分15分）

（1）證法一：以點C為原點，分別以C3、CA.CG所在直線為％軸、y軸、z軸，建立空間直角

坐標系C—孫z,依題意得3（2,0,0>D（0,0,1>A?，22）、

E(l,0,2)F(0,1,0).

EF=(-1,1,-2),BD=(-2,0,1),\D=(0,-2,

VEF-BD=(-1)x(-2)+lx0+(-2)x1=0,

EF-AD=(-l)x0+lx(-2)+(-2)x(-1)=0,

：.EF±JDEF±A^D.

：.EF±BD,EF1,A[D.

???80(=平面43。，4。u平面ABD,BD^A.D^D.

：.石尸，平面43。.

證法二：連結GR，

???A4]，底面ABC,ACu平面ABC,

AAt_LAC.

AC=CC}=2,D、R分別為棱CG、C4的中點,

CF=DC,=1,A?=CCj=2.

?/ZC1CF=ZA1C1D=90°,

/.RtAQCFsRtAAjCiD.

NCC[F=NZMiG?

ZZMJCJ+ZAlDCl=90°,

ZDC{F+ZAlDCl=90°.

AR±C[F.

?/AC±BC,

：.AlClIBjQ,

5GJ-A4i，A4]nAG=A，

/.BXCX±平面A4QG.

BXCX_LA。.

???BGnc1F=c1,

**.AjZ)X平面C[FE.

EPu平面CXFE,

：.EF±AjD,

同理可證石廠，AD.

?：AXD[}BD^D,

：.石廠，平面43￡).

（2）切割拼接方法一：如圖甲所示，分別以Gg、4用、A3、CB的中點石、G、M.N所確定

的平面為截面，把三棱柱ABJG-ABC切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體

的一個底面為長方形GEE'A如圖①所示，），此時所拼接成的長方體的表面積為16.

圖①

切割拼接方法二：如圖乙所示，設4片、A3的中點分別為M、N,以四點G、M,N、C所確定

的平面為截面，把三棱柱A用G-ABC切開后的兩個幾何體再拼接成一個長方體（該長方體的一個

底面為正方形GMA"'）,此時所拼接成的長方體的表面積為4+8點.

Ci

圖乙

13.（本小題滿分20分）

解一：（）;點）

1A&,%,B（X2，乂）是橢圓L上不同的兩點，

2222

???%I——-11,々I

18918

以上兩式相減得：=0,

189

2

即%1-%2+2（才一￡）=0,（再一無2）（網+X2）+2（%-%）（%+%）=0，

?.?線段A3的中點為Af（2,1）,

%+馬=4,必+%=2?

?1-4（再-尤2）+4（%-%）=0,

當％=工2，由上式知，M=%則A3重合，與已知沖突，因此％I。%，

-

玉一龍2

...直線的方程為y—1=—（X—2）,即x+y—3=0.

冗+y-3=0,

由，/V消去y,得3——12x=0,解得x=0或x=4.

1189

...所求直線的方程為x+y—3=0.

解二：當直線的不存在時，A3的中點在x軸上，不符合題意.

故可設直線AB的方程為y—1=一2）,A（xi,為）,B（x2,y2）.

y_1=k(x-2)

22消去y,得（1+2公卜2—（8/—4左卜+8依—左—2）=o（*）

由<土+j.

1189

8k°—4k

：.X[+=---------1

121+242

???A3的中點為"（2,1）,

/.玉+=4.

8左2一秋二4

l+2k--

解得左=—1.

此時方程⑻為3——12%=0,其判別式/=144>0.

所求直線AB的方程為x+y-3=0.

（2）由于直線AB的方程為x+y—3=0,

則線段AB的垂直平分線CD的方程為y—l=x—2,即x—y—1=0.

冗+y-3=0,

由/\2得A(0,3),3(4,—l),

------1------=1,

1189

x—y—1=0,

由丁2消去y得3/一以―16=0,設c(x”/),￡>(%,,〃)

-1-----=1,

1189

nI416

則玉+%2=§,XR-―"—?

線段CD的中點E的橫坐標為XE=受產=[，縱坐標丁￡=X￡—1=—g.

四點A、B、C、。在同一個圓上，此圓的圓心為點E,半徑為3區,

其方程為[一|)+[y+()=v-

14.(本小題滿分20分)

解：(1),/tZj=1,。2"+1=?2"-1+d，qM，

①當d=0時，。2.+1=4%“-1，明顯｛。2”-1｝是等比數列；

②當dH0時，a3-qax+d-q+d,a5-qa3+d-q(q+d)+d.

?.?數歹U｛%“_1｝是等比數列，

/.af=axa5,即(q+dp=+d)+d,化簡得q+d=l.

此時有a2?+1=qa211T+l-q,得出.+iT=T)，

由%=1,q#0,得出i=l(〃eN*),則數列｛%“｝是等比數列?

綜上，q與d滿意的條件為d=0(q/0)或q+d=l(qw0,dH0).

(2)當d=0,q=2時,

?a2n+l~2a2”-1，

??—c<|?乙—乙，

依題意得：4=q—%=1—2,/=1-2+2—-2、，，…,

1-(-2)2"1-22"1-：

x?=1-2+22-23++22"-2-22"-1

41-(-2)~1+2~-3

2

.\l-3x4?=2".

l-22n

3

Sn

n=X4+2X8+3m2+?-?+(?-!)-+,X4，，

=-(l+2+3+---+zz)--(lx22+2x24+3x26+■■■+?■

=個-1"+2><24+3><26+…+Q).

2462(-1)2

^Tn=lx2+2x2+3x2+---+(?-1)-2"+n-2"①

4T?=lx24+2x26+3x28+---+(H-1)-22,1+n-22,I+2②

①-②得—37；=lx22+24+26+---+22"-；7-22n+2

2n+22+2

.T_4f]92?\n-2_4(3Z?-1)-2"

9V7399

._n(n+1)4(3zz-l)-22n+2

??--------------------------?

62727

15.(本小題滿分20分)

解：(1)當匕=2時，函數/(x)=lnx—G；2—2x,其定義域是(0,+00),

?.f'(x)=--lax-2=_2ax"+2x-1

XX

???函數/(X)存在單調遞減區間，

.../(x)=_2or+2.X-140在xe(o,+oo)上有無窮多個解.

.?.關于X的不等式2ax2+2x—120在xe(o,+oo)上有無窮多個解.

①當?！?時，函數y=2a/+2x—1的圖象為開口向上的拋物線，

關于尤的不等式2ax2+2x—120在xe(0,+oo)上總有無窮多個解.

②當。<0時，函數y=2奴2+2x-l的圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為

%=—4>0.要使關于x的不等式2a/+2x—120在xe(0,+oo)上有