第34講概率

錄

題型01事件的分類

題型02判斷事件發生可能性的大小

題型03理解概率的意義

題型04判斷兒個事件概率的大小關系

題型05根據概率公式計算概率

題型06根據概率作判斷

題型07已知概率求數量

題型08幾何概率列舉法求概率

題型09列舉法求概率

題型10畫樹狀圖法/列表法求概率

題型11由頻率估計概率

題型12用頻率估計概率的綜合應用

題型13放回實驗概率計算方法

題型14不放回實驗概率計算方法

題型15游戲公平性

題型16概率的應用

題型17概率與統計綜合

真題實戰練

題型過關練N

題型01事件的分類

1.（2022?貴州貴陽?統考模擬預測）下列事件是必然事件的是（）

A.沒有水分，種子發芽B.如果〃、都是實數，那么

C.打開電視，正在播廣告D.拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上

【答案】B

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可.

【詳解】解：4、沒有水分，種子發芽，是不可能事件，本選項不符合題意：

B、如果八〃都是實數，那么a+/?=b+/是必然事件，本選項符合題意：

C、打開電視，正在播廣告，是隨機事件，本選項不符合題意；

。、拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面向上，是隨機事件，本選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，一定發生的

事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可

能發生也可能不發生的事件.

2.（2022?福建福州?統考一模）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.守株待兔B.水中撈月C.水滴石穿D.百發百中

【答案】B

【分析】根據必然事件就是一定發生的事件逐項判斷即可.

【詳解】解：A、守株待兔是隨機事件，故該選項不符合題意；

B、水中撈月是不可能事件，故該選項符合題意；

C、水滴石穿是必然事件，故該選項不符合題意；

D、百發百中是隨機事件，故該選項不符合題意.

故選:B.

【點睛】本題主耍考查了必然事件的概念，掌握必然事件指在一定條件下一定發生的事件是解答本題的關

鍵.

3.（2021?廣東廣州?執信中學校考三模）下列生活中的事件，屬于不可能事件的是（）

A.3天內將下雨B.打開電視，正在播新聞

C.買一張電影票，座位號是偶數號D.沒有水分，種子發芽

【答案】D

【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可.

【詳解】解：A、3天內將下雨，是隨機事件：

B、打開電視，正在播新聞，是隨機事件；

C、買一張電影票，座位號是偶數號，是隨機事件：

D、沒有水分，種子不可能發芽，故是不可能事件：

故選D.

【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在?定條件下，?定發生的

事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可

能發生也可能不發生的事件?.

4.（2019?山東臨沂?校聯考-模）投擲兩枚質地均勻的骰了，骰了?的六個面上分別刻有1到6的點數，則

下列事件為隨機事件的是（）

A.兩枚骰子向上一面的點數之和大于1

B.丙枚骰子向上一面的點數之和等于1

C.兩枚骰子向上一面的點數之和大于12

D.兩枚骰子向上一面的點數之和等于12

【答案】D

【分析】根據事先能肯定它一定會發生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發生的事件稱為不可

能事件，在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件進行分析即可.

【詳解】A、兩枚骰子向上一面的點數之和大于I,是必然事件，故此比項錯誤；

B、兩枚骰子向上一面的點數之和等于1,是不可能事件，故此選項錯誤；

C、兩枚骰子向上一面的點數之和大于12,是不可能事件，故此選項錯誤；

D、兩枚骰子向上一面的點數之和等于12,是隨機事件，故此選項正硝：

故選：D.

【點睛】此題主要考查了隨機事件的判斷，關鍵是掌握隨機事件，確定性事件的定義.

題型02判斷事件發生可能性的大小

5.（2023?貴州銅仁?統考一模）在一個不透明的布袋內，有紅球5個，黃球4個，白球1個，藍球3個，

它們除顏色外，大小、質地都相同.若隨機從袋中摸取一個球，則摸中哪種球的概率最大（）

A.紅球B.黃球C.白球D.藍球

【答案】A

【分析】根據概率的求法，因為紅球的個數最多，所以摸到紅球的概率最大.

【詳解】在一個不透明的布袋內，有紅球5個，黃球4個，白球1個，藍球3個，它們除顏色外，大小、

質地都相同.若隨機從袋中摸取一個球，

因為紅球的個數最多，所以摸到紅球的概率最大，

摸到紅球的概率是：卷

故選：A

【點睛】木題考查概率的求法：如果一個事件有”種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件4出現

機種結果，那么事件A的概率P（A）上.

n

6.（2023?遼寧葫蘆島?統考二模）下見事件中，是確定事件的是（）

A.擲一枚硬幣，正面朝上B.三角形的內角和是18。。

C.明天會下雨D.明天的數學測驗，小明會得滿分

【答案】B

【分析】根據確定事件和隨機事件的定義對各選項逐一分析即可.

【詳解】解：A、擲一枚硬幣，正面朝上，是隨機事件，故不符合題意：

B、三角形的內角和是180。，是必然事件，屬于確定事件，故符合題意；

C、明天會卜雨為隨機事件，故不符合題意：

D、明天的數學測驗，小明會得滿分為隨機事件，故不符合題意，

故選:B.

【點睛】本題考查了確定事件和隨機事件的定義，解決本題的關鍵是要明確事件分為確定事件和不確定事

件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件.

7.（2023?江蘇淮安?統考一模）同時拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子1次，下列事件中是不可能事件的起

（）

A.期上的點數之和為12B.朝上的點數之和為13

C.朝上的點數之和為2D.朝上的點數之和小于9

【答案】B

【分析】依據題意同時拋擲兩枚質地均勻的正方體骰子1次，每個骰子上的數字最大是6,得出朝上的點

數之和最大為12,進而判斷即可.

【詳解】解：根據同時拋擲兩枚質地均勻的止方體骰了?1次，每個骰子上的數字最大是6,

故朝上的點數之和最大為12,

所以朝上的點數之和為13是不可能事件，

故選：B.

【點睛】本題考查了不可能事件概率，根據已知得出朝上的點數之和最大為12是解題關鍵.

8.（2022?貴州遵義?統考三模）袋中有白球3個，紅球若干個，它們只有顏色上的區別.從袋中隨機取巴

一個球，如果取到白球的可能性更大，那么袋中紅球的個數是（）

A.2個B.不足3個C.4個D.4個或4個以上

【答案】B

【分析】根據取到口球的可能性較大可以判斷出門球的數量大于紅球的數量，從而得解.

【詳解】解：???袋中有白球3個，取到白球的可能性較大，

???袋中的白球數量大于紅球數量，

即袋中紅球的個數可能不足3個.

故選：B.

【點睛】本題考查可能性大小的比較：只要總情況數目相同，誰包含的情況數目多，誰的可能性就大；反

之也成立；若包含的情況相當，那么它們的可能性就相等.

題型03理解概率的意義

9.（2019?江蘇鹽城?校聯考二模）氣象臺預報“本市明天降水概率是90%”對此信息，下列說法正確的是

（）

A.本市明天將有90%的時間降水B.本市明天降水的可能性比較大

C.本市明天肯定下雨D.本市明天將有90%的地區降水

【答案】B

【分析】根據概率的意義判斷即可.

【詳解】解：氣象臺預報“本市明天降水概率是90%”，對此信息，意味著本市明天降水的可能性比較大，

故選:B.

【點睛】本題考查了概率的意義，熟練掌握概率的意義是解題的關鍵.

10.（2023?江蘇揚州?校聯考一模）如圖，某天氣預報軟件顯示“揚州市鄰江區明天的降水概率為85%”，對

這條信息的卜列說法中，正確的是（）

揚州市祁江區天氣

12-16℃

U出06：43日落17：18

體感溫度降水概率降水量空氣質量

14℃85%1.0mm優

A.邛江區明天將有85%的時間下雨B.祁江區明天將有85%的地區下雨

C.祁江區明天下雨的可能性較大D.邛江區明天下雨的可能性較小

【答案】C

【分析】根據概率反映隨機事件出現的可能性人小，即可進行解答.

【詳解】解：“揚州市印江區明天的降水概率為85%”表示“祁江區明天下雨的可能性較大”，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了概率反映隨機事件出現的可能性大小，掌握相關概念是解題的關鍵.

11.（2019?江蘇淮安?統考一模）小亮是一名職業足球隊員，根據以往比賽數據統計，小亮進球率為10%,

他明天將參加一場比賽，下面幾種說法正確的是（）

A.小亮明天的進球率為10%

B.小亮明天每射球10次必進球1次

C.小亮明天有可能進球

D.小亮明天肯定進球

【答案】C

【分析】直接利用概率的意義分析得出答案.

【詳解】解：根據以往比賽數據統計，小亮進球率為10%,

他明天將參加一場比賽小亮明天有可能進球.

故選C.

【點睛】此題主要考查了概率的意義，正確理解概率的意義是解題關鍵.

題型04判斷幾個事件概率的大小關系

12.（2023?山東東營?統考二模）下列是任意拋擲一枚質地均勻的正六面體骰子所得結果，其中發生的可能

性最大的是（）

A.期上的點數為2B.朝上的點數為7

C.朝上的點數為2的倍數D.朝上的點數不大于2

【答案】C

【分析】拋擲一枚質地均勻的正六面體骰子，點數1?6朝上的概率相等，都是士據此計算各個選項所代

表事件的概率.

【詳解】解：A、朝上點數為2的可能性為3

V

B、朝上點數為7的可能性為0：

C、朝上點數為2的倍數的可能性為；=

6Z

D、期上點數不大于2的可能性為:=：.

故選C.

【點睛】本題主要考查事件可能性的大小，掌握等可能事件發生的概率公式是解題的關鍵.

13.（2023?福建泉州?統考一模）一個不透明的盒子中裝有1個紅球和2個白球，它們除顏色不同外其它都相

同.若從中隨機摸出一個球，則下列敘述正確的是（）

A.摸到黑球是不可能事件B.摸到白球是必然事件

C.摸到紅球與摸到白球的可能性相筆D.摸到紅球比摸到白球的可能性大

【答案】A

【分析】不可能事件是概率論中把在一定條件下不可能發生的事件叫不可能事件，人們通常用0來表示不

可能事件發生的可能性：必然事件，在一定的條件下重復進行試驗時，有的事件在每次試驗中必然會發

生，這樣的事件叫必然發生的事件，簡稱必然事件，必然事件發生的概率為1,但概率為1的事件不一定為

必然事件，根據隨機事件的分類及概率的計算即可求解.

【詳解】解：A選項，裝有1個紅球和2個白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合題意：

B選項，裝有1個紅球和2個白球，可能摸到白球，也可能摸到紅球，是隨機事件、不符合題意：

C選項，裝有1個紅球和2個白球，摸到紅球的概率是%摸到白球的蹴率是|,概率不同，不符合題意：

D選項，裝有1個紅球和2個白球，摸到紅球的概率小于摸到白球的概率，不符合題意:

故選：A.

【點睛】本題主要考查隨機事件及概率，理解隨機事件的分類，概率的計算方法是解題的關鍵.

14.（2023?江蘇常州?統考一模）在4個相同的袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個球，任意摸出1個球,

摸到紅球可能性最大的是（）

A.1個紅球，9個白球B.2個紅球，8個白球

C.5個紅球，5個白球D.6個紅球，4個白球

【答案】D

【分析】根據概率的計算方法，比較概率的大小即可求解.

【詳解】解：A選項，1個紅球，9個白球，摸到紅球的概率為f=看；

B選項，2個紅球，8個白球，到紅球的概率為七

2+8105

C選項，5個紅球，5個白球，到紅球的概率為2=怖=；：

D選項,6個紅球，4個門球，到紅球的概率為2

6+4105

.?m3

???摸到紅球可能性最大的是“6個紅球，4個白球”，

故選：D.

【點睛】本題主要考查概率的計算，掌握概率的計算方法，比較概率大小的方法是解題的關鍵.

題型05根據概率公式計算概率

15.（2023?福建福門?廈門市湖里中學校考模擬預測）有5張僅有編號不同的卡片,編號分別是1,2,3.

4,5.從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率等于.

【答案】*0.4

【分析】根據題目中的數據，可以計算出從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率.

【詳解】解：從編號分別是1，2,3,4,5的卡片中，隨機抽取一張有5種可能性，其中編號是偶數的可

能性有2種可能性，

???從中隨機抽取一張，編號是偶數的概率等于|，

故答案為：

【點睛】本題考杳概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的概率.

16.（2023?浙江臺州?統考一模）將一枚質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6）

擲一次，朝上一面點數是1的概率為.

【答案】:

【分析】使用簡單事件概率求解公式即可：事件發生總數比總事件總數.

【詳解】擲骰子一次共可能出現6種情況，分別是向上點數是：1、2、3、4、5、6,

點數1向上只有一種情況，則朝上一面點數是1的概率

故答案為：7

6

【點睛】本題考查了簡單事件概率求解，熟練掌握簡單事件概率求解的公式是解題的關鍵.

17.（2023?福建福州?校考一模）端午節到了，小紅煮好了10個粽子，其中有6個紅棗粽子，4個綠豆粽

子.小紅想從煮好的粽子中隨機撈一個，若每個粽子形狀完全相同，被撈到的機會相等，則她撈到紅棗粽

子的概率是.

【答案】加6

【分析】利用概率公式即可求解.

【詳解】6-10=1,

即撈到紅棗粽子的概率為3

故答案為：

【點睛】本題考查了運用概率公式求解概率的知識，掌握概率公式是解答本題的關鍵.

18.（2023?河北衡水?校考二模）從虎，-1,n,0,3這五個數中隨機抽取一個數，恰好是無理數的概率

是一

【答案】1/0.4

【分析】先確定無理數的個數，再除以總個數.

【詳解】解:V2,7T是無理數，

P（恰好是無理數）=1.

故答案為：|.

【點睛】本題主要考查了概率公式及無理數，熟練掌握概率公式及無理數的定義進行計算是解決本題的關

鍵.

題型06根據概率作判斷

19.（2021?山東煙臺?校聯考模擬預測〕在一個不透明的袋子中裝有3個紅球、3個白球和2個黑球，它們

除顏色外其它均相同，現添加1個同種型號的球，使得從中隨機抽取1個球，這三種顏色的球被抽到的概

率都是右則添加的球是（）

A.紅球B.白球C.黑球D.任意顏色

【答案】C

【分析】首先根據概率求法，即可判定出添加的球使所有小球個數相同，即可得出答案.

【詳解】解：\?這三種顏色的球被抽到的概率都是｝

???這三種顏色的球的個數相等，

，添加的球是黑球，

故選：C.

【點睛】此題主要考查了概率公式的應用，解答此類問題的關鍵是掌握概率求法.

20.（2015?河北廊坊?統考二模）一只盒子中有紅球/〃個，白球6個，黑球〃個，每個球除顏色外都相同，

從中任取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，那么，〃與〃的關系是（）

A.陽+〃=6B.m+n=3C.m=n=3D.m=2,〃=4

【答案】A

【詳解】試題分析：???從中任取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，

m+n=6.

故選A.

考點：概率公式.

21.（2020?內蒙古呼倫貝爾?統考?模）?個密碼箱的密碼，每個位數上的數都是從0到9的自然數，若要

使不知道密碼的一次就撥對密碼的概率小于荒，則密碼的位數至少需要（）位.

A.3位B.2位C.9位D.10位

【答案】A

【分析】分別求出取一位數、兩位數、三位數、四位數時一次就撥對密碼的概率，再根據小于工所在的范

圍解答即可.

【詳解】解：因為取一位數時一次就撥對密碼的概率為總，取兩位數時一次就撥對密碼的概率為焉，取三

位數時一次就撥對密碼的概率為焉，故密碼的位數至少需要3位.

1000

故答案為：3.

【點晴】本題考查概率的求法與運用，一般方法為：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相

同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P(A)=-.

n

22.(2020?福建原門?校考模擬預測)不透明的袋子里裝有紅、黑、白三種顏色的小球，它們質地、形狀完

全相同，從袋子中隨機抽取一個小球，記事件A為“抽到紅球”，事件B為“抽到紅球或黑球”，若PQ4)=m，

則P(B)的取值范圍是.

【答案】⑻VI

【分析】根據隨機事件發生的概率解題.

【詳解】事件B包含事件A,則P(8)>5又因為袋子里還有黑球，則P(8)Vl

故答案為：：VP(B)V1.

【點睛】本題考查隨機事件的概率，是常見重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

題型07已知概率求數量

23.(2018?吉林長春?校考一模)一個不透明的盒子里有〃個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃

球，每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出?個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球實驗后

發現，摸到黃球的頻率穩定在30%,那么估計盒子中小球的個數〃為1)

A.20B.24C.28D.30

【答案】D

【分析】直接由概率公式求解即可.

【詳解】根據題意得2=30%,解得：，尸30,

n

經檢驗：〃=30符合題意，

所以這個不透明的盒子里大約有30個除顏色外其他完全相同的小球.

故選：D.

【點睛】本題考查由頻率估計概率、簡單的概率計算，熟知求概率公式是解答的關鍵.

24.（2023?山東濟南?模擬預測）不透明的袋子里有50張2022年北京冬奧會宣傳卡片，卡片上印有會徽、

吉祥物冰墩墩、吉祥物雪融融圖案，每張k片只有一種圖案，除圖案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩

的卡片共有〃張.從中隨機摸出1張卡片，若印有冰墩墩圖來的概率是￡則〃的值是.

【答案】10

【分析】根據概率的意義列方程求解即可.

【詳解】解：由題意得，

_1

50-5,

解得〃=10，

故答案為：10.

【點睛】本題考查了概率的意義及計算方法，理解概率的意義是正確求解的關鍵.

25.（2023?云南昆明?一模）在不透明的袋子里裝有2個紅球和1個藍球，紅球和藍球除顏色外其余都完全

相同.

（1）從袋子中一次摸出兩個球，請用畫樹狀圖或列表的方法，求摸出的兩個球是一紅一藍的概率：

（2）若再向袋中放入若干個同樣的藍球，攪拌均勻后，使從袋中摸出一個藍球的概率為：，求后來放入袋中

藍球的個數.

【答案】（舊

（2）放入袋中的藍球個數為5個

【分析】（1）根據題意畫出樹狀圖或列出表格，即得出所有等可能的結果，再找出符合題意的結果，最后

根據概率公式計算即可：

（2）設后來放入袋中的藍球個數為4個，則此時袋子里有（x+1）個藍球，共有（》+3）個球.根據概率公

式可列出關于x的分式方程，解出x的值即可.

【詳解】（1）解：根據題意可畫樹狀圖如圖，

開始

第一個球紅紅藍

人/\/\

第二個球紅藍紅藍紅紅

由樹狀圖可知共有6種等可能的結果，其中兩次摸到一紅一藍的結果有4種,

???兩次摸到一紅一藍的概率p-紅—藍=:=*

（2）解：設后來放入袋中的藍球個數為x個，則此時袋子里有。+1）個藍球，共有。+3）個球.

???從袋中摸出?個藍球的概率為：，

4

?X+13

?4?+——34=一，

解得：％=5,

經檢驗x-5是原方程的解.

.??放入袋中的藍球個數為5個.

【點睛】本題考查列表或畫樹狀圖法求概率，已知概率求數量，分式方程的應用.熟練掌握概率公式、列

表或畫樹狀圖求概率及方程的思想方法是解題關鍵.

26.（2023?江蘇蘇州?統考二模）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的

球.其中紅球3個，白球5個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是（

（I）求任意摸出一個球是黑球的概率；

（2）能否通過只改變盒子中白球的數量，使得任意摸出?個球是紅球的概率:若能，請寫出如何調整白球數

4

量：若不能，請說明理由.

【答案】（1玲：

（2）能,可以將盒子中的白球拿出3個.

【分析】（1）根據概率公式可直接進行求解?：

（2）由題意可直接進行求解.

【詳解】（I）解：???紅球3個，白球5個，黑球若干個，從中任意摸出一個白球的概率是3

???盒子中球的總數為：54=15（個），

.??盒子中黑球的個數為：15-3-5=7（^）；

???任意摸出一個球是黑球的概率為：套

（2）解：???任意摸出一個球是紅球的概率為：

4

.??盒子中球的總量為：3+；=12,

4

???可以將盒子中的白球拿出3個.

【點睛】本題主要考查概率，熟練掌握概率的求解是解題的關鍵.

題型08幾何概率

27.（2023?廣東廣州?廣州市真光中學校考二模）如圖，正方形ABC。及其內切圓0,隨機地往正方形內投一

粒米，落在陰影部分的概率是（）

A.EB.1--C.cD.1--

【答案】B

【分析】設正方形的邊長為則其內切圓的直徑為m分別求出正方形和陰影部分的面積，再利用面積

比求出概率，即可.

【詳解】解：設正方形的邊長為小則其內切圓的直徑為“，

???其內切圓的半徑為會正方形的面積為d,

2

???陰影部分的面積為。2-兀Xg）=[1一?）Q2,

???隨機地往正方形內投?粒米，落在陰賬部分的概率是0孚=1-m

故選：B

【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算，關鍵是明確幾何測度，利用而枳比求之.

28.（2019?河南?統考一模）如圖,一個游戲轉盤中，紅、黃、藍三個扇形的圓心角度數分別為60。,90°,

210°.讓轉盤自由轉動，指針停止后落在黃色區域的概率是（）

D，石

【答案】B

【分析】求出黃區域圓心角在整個圓中所占的比例，這個比例即為所求的概率.

【詳解】?.?黃扇形區域的圓心角為90。

所以黃區域所占的面積比例為券=p

3604

即轉動圓盤一次，指針停在黃區域的概率是:，

故選B.

【點睛】本題將概率的求解設置于轉動轉盤游戲中，考查學生對簡單幾何概型的掌握情況，既避免了單純

依靠公式機械計算的做法，又體現了數學知識在現實生活、甚至娛樂中的運用，體現了數學學科的基礎

性.用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比.

29.（2021?河南?統考模擬預測）一個小球在如圖所示的方格地磚上任意滾動，并隨機停留在某塊地磚

上.每塊地磚的大小、質地完全相同，那么該小球停留在黑色區域的概率是.

【分析】先求出黑色方磚在整個地而中所占的比值，再根據其比值即可得出結論.

【詳解】解：???由圖可知，黑色方磚5塊，共有16塊方磚，

???黑色方磚在整個區域中所占的比值=2=3，

168

???小球停在黑色區域的概率是J;

故答案為：I

8

【點睛】本題考查的是幾何概率，用到的知識點為：幾何概率=相應的面枳與總而枳之比.

30.（2022?四川成都?統考二模）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形4BCD與正方

形ETG”.連結8D交4尸、CH于點M、N.若DE平分乙ADB,現隨機向該圖形內擲一枚小針，則針尖落在陰

影區域的概率為.

AD

-----------------

【答案】我企/0.25企

【分析】求出陰影部分的面積與正方形面積的比值，即可得到針尖落在陰影區域的概率.

【詳解】解：如圖，連接EG交8。于點P,

\'DE^^z.ADB,

:.ZADE=ZMDE

V四邊形EFGH是正方形

:.乙0七。=90。，

...ZA￡D=180°-ZA/￡D=90°

:./MED=/AED

'：DE=DE

：.AADEgAMDE(ASA)

:.AE=ME

同理可證△BGCg/\8GN(ASA),

V四邊形ABC。是正方形

:.ZADM=45°

/.NADE=NMDE=22.5。

:.NEMD=90。一NADE=67.5°

'：ZMEG=45°

:.NMPE=\80°-ZEA/D-ZA/EG=67.5°

:.NEMD=NMPE

：.EM=EP

設EW=EP=x,則EG=2EP=2x

在中，ZEFG=45°,

.?.FG=EGxsin45°=V2x

&BFA冬AAED^ACGB

/.??F=XE=CG=A,?G=fiF+FG=(v/2+l)A,4BFA經4AEDm公CGB迫ANBGWAMED,

在R：Zk8CG中，

BC2=CG24-BG2=(4+2&)/

?'?S陰影=S^0EM+SABGN=2sABGN=2X-XX(V2+1)X=(V2+1)X2

S正方形語D=BC?=(4+2或)/

?S牌_(魚+1斤=立

SfF方HMRCn(4+2⑨424

???針尖落在陰影區域的概率為

故答案為：

【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、正方形的面積、直角三角形的

面枳等知識點，求出陰影面積與正方形的面積的比是解答此題的關鍵.

31.(2022?四川達州?統考二模)正方形ABCO的邊長為2,分別以A3、BC、CD、DA的中點為圓心，1為

半徑畫弧，得到如圖所示的陰影部分，若隨機向正方形內投小石子，則小石子落在陰影部分的概率

【答案】『

【分析】求出4個半圓的面積減去正方形的面積，即為陰影部分面積，用陰影面積除以正方形面積即得.

【詳解】〈S陰靜=4s半圓-S止方形.CD

1_

=4x277xI?—229

=2TT-4,

，小石子落在陰影部分的概率為,

S陰影

P（小石子落在陰影）=

S正方形ABCD

271-4

4

方-2

故答案為等.

【點睛】本題考查了幾何概率，熟練掌握幾何概率的定義和基本圖形面積公式是解決此類問題的關鍵.

32.（2022?湖北隨州?統考二模）如圖，△48C中，點。,E,F分別為4B,AC,8c的中點，點P,M,N分

別為DE,DF,EF的中點，若隨機向△4BC內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為一.

【答案】心

1O

【分析】根據三角形的中位線定理建立面積之間的關系,按規律求解，再根據概率公式進行求解即可.

【詳解】根據三角形中位線定理可得第二個三角形的各邊長都等于最大三角形各邊的一半，并且這兩個三角

形相似，

那么第二個△DEF的面積=；△ABC的面積

那么第三個△MPN的面積=UDEF的面積=；△ABC的面積

416

???若隨機向△48C內投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為：白

16

故答案為，白

16

【點睛】本題考查了三角形的中位線定理，概率公式，解決本題的關鍵是利用三角形的中位線定理得到第三

個三角形的面積與第一個三角形的面積的關系，以及概率公式.

題型09列舉法求概率

33.（2022?北京朝陽?統考二模）從1,2,3這3個數中隨機抽取兩個數相加，和為偶數的概率是（）

A.-B.-C.1D.\

【答案】B

【分析】列舉出符合題意的各種情況的個數，再根據概率公式解答即可.

【詳解】解：從1,2,3這3個數中隨機抽取兩個數相加，和有三種情況，

分別是3,4,5三種情況.

所以和為偶數的概率為（

故選：B.

【點睛】本題主要考查的計算，解題的關鍵是掌握求等可能事件的的概率公式.

34.（2023?重慶沙坪壩?重慶八中校考模擬預測）有背面完全相同，正面分別畫有等腰三角形、矩形、菱

形、正方形的卡片4張，現正面朝卜放置在桌面上，將其混合后，一次性從中隨機抽取兩張，則抽中卡片

上正面的圖形都是中心對稱圖形的概率為.

【答案】，0.5

【分析】利用列舉法求概率即可.

【詳解】解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四張卡片中，矩形，菱形，正方形為中心對稱圖形，分

別用4,8,C,0表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性隨機抽取兩張卡片共有

AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種情況，其中抽中卡片上正面的圖形都是中心對稱圖形的有BC,8。,CO,共3

種情況，

故答案為：

【點睛】本題考查中心對稱圖形的識別，列舉法求概率.熟練掌握矩形，菱形，正方形為中心對稱圖形，

以及列舉法求概率，是解題的關鍵.

35.（2022?北京?一模）看了《田忌賽嗎》故事后，小楊用數學模型來分析齊王與用忌的上中下三個等級的

三匹馬記分如表，每匹馬只賽一場，大數為勝，三場兩勝則嬴.已知齊王的三匹馬出場順序為10,8,6

則田忌能贏得比賽的概率為.

馬匹

下等馬中等馬上等馬

姓名

齊王6810

HI忌579

【答案】:

6

【分析】利用列舉法求概率，列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可.

【詳解】解：齊王的三匹馬出場順序為10,8,6；

而田忌的三匹馬出場順序為5,7,9；5,9,7：7,5,9：7,9,5：9,5,7；9,7,5：共6種，田忌能

嬴得比賽的有5,9,7：一種

???田忌能贏得比賽的概率為:

6

故答案為：;

O

【點睛】本題考查概率的求法，解題的關鍵是要注意列舉法需要做到不重不漏.用到的知識點為：概率=

所求情況數與總情況數之比.

36.（2019?河南濮陽?統考二模）如圖，隨機閉合開關Si，S2,S3中的兩個，能夠讓燈泡發亮的概率

【分析】本題考查了列舉法求概率，本題隨機閉合開關$,S2,S3中的兩個，有3種方法，其中有兩種能

夠讓燈泡發光，故其概率為1

【詳解】解：隨機閉合開關工，S2,$中的兩個，可以閉合S］、S2；S］、S3；S2、S3三種情況，其中閉合

品、S3或Sz，S3時，燈泡可以發光，

?p—￡

（燈泡發光）.3.

故答案為：

題型10畫樹狀圖法/列表法求概率

37.（2023?安徽蕪湖?統考一模）某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”、“北斗衛星”、“高鐵速度”

三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（）

A"B.|C.iD.1

【答案】c

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，其中小明和小剛恰好選擇同一個主題結果有3種，再由概率

公式求解即可.

【詳解】解：把“5G時代”、“北斗衛星”、“高鐵速度”三個主題分別記為A、B、C,

畫樹狀圖如卜.：

共有9種等可能的結果，其中小明和小剛恰好選擇同一個主題的結果有3種，

???小明和小剛恰好選擇同一個主題的概率為:=

故選：C.

【點睛】本題考查了用樹狀圖法求概率.樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或

兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率-所求情況數與總情況數之比.

38.（2022?河南南陽?模擬預測）在踐行“安全在我心中，你我一起行動”主題手抄報評比活動中，共設置“交

通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個主題內容，推薦兩名學生參加評比，若他們每人從以上四

個主題內容中隨機選取一個，則兩人恰好選中同一主題的概率是（）

A.^B.1C.1D.；

【答案】D

【分析】設“交通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個土題內容分別為人、B、C、D,畫出樹狀怪I

進行求解即可.

【詳解】解：設“交通安全、消防安全、飲食安全、防疫安全”四個主題內容分別為A、B、C、。，畫樹狀

圖如下：

開始

ABCD

Ah禽

共有16種等可能的結果，兩人恰好選中同一主題的結果有4種,

則兩人恰好選中同一主題的概率為三=

164

故選：D.

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法求概率，讀懂題意，畫出樹狀圖是解題的關鍵.

39.（2023?安徽滁州?統考三模）班長邀請4B,C,。四位同學參加圓桌會議.如圖，班長坐在⑤號座

位，四位同學隨機坐在①②?④四個座位，則48兩位同學座位相鄰的概率是（）

①

【答案】C

【分析】采用樹狀圖法，確定所有可能情況數和滿足題意的情況數，最后運用概率公式解答即可.

【詳解】解：根據題意列樹狀圖如下：

由上表可知共有12中可能，滿足題意的情況數為6種

則4B兩位同學座位相鄰的概率是卷=3-

故選C.

【點睛】本題主要考查了畫樹狀圖求概率，正確畫出樹狀圖成為解答本題的關鍵.

40.（2023?陜西?模擬預測）一只不透明的袋子中裝有2個白球、1個紅球，這些球除顏色外都相同.

（I）攪勻后從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率等于；

（2）攪勻后從中任意摸出一個球，記錄顏色后放【可、攪勻，再從中任意摸出一個球.用列表或畫樹狀圖的方

法，求2次都摸到紅球的概率.

【答案】（叫

航

【分析】（1）根據概率公式直接求解即可；

（2）畫樹狀圖求概率即可求解.

【詳解】（1）解：共有3個球，其中紅球1個,

???摸到紅球的概率等于：；

（2）畫樹狀圖如下：

白I白2紅白1白2紅白1白2紅

?.?有9種結果，其中2次都摸到紅球的結果有1種，

.?.2次都摸到紅球的概率=；.

【點睛】本題考查了概率公式求概率，畫樹狀圖求概率，掌握求概率的方法是解題的關鍵.

題型11由頻率估計概率

41.（2023?廣西南寧?統考二模）在?個不透明的袋子里裝有紅球、黃球共20個，這些球除顏色外都相

同.小明通過多次試驗發現，摸出紅球的頻率穩定在0.6左右，則袋子中紅球的個數最有可能是（）

A.6B.8C.12D.15

【答案】C

【分析】設紅球的個數為x個，根據摸出紅球的頻率穩定在0.6左右列出關于x的方程，求解即可解答

【詳解】解：設圻球的個數為*個.

根據題意，得：^=0.6,

解得：x=12,

即袋子中紅球的個數最有可能是12,

故選：c.

【點睛】本題考查利用頻率估計概率、簡單的概率計算，熟知經過多次實驗所得的頻率可以近似認為是事

件發生的概率是解題關鍵.

42.（2023?北京東城?統考二模）質檢部門對某批產品的質量進行隨機抽檢，結果如下表所示：

抽檢產品數〃1001502002503005001000

合格產品數m89134179226271451904

合格率二

n0.8900.8930.8950.9040.9030.9020.904

在這批產品中任取一件，恰好是合格產品的概率約是（結果保留一位小數）.

【答案】0.9

【分析】根據表中給出的合格率數據即可得出該產品的合格概率.

【詳解】解：根據題意得：該產品的合格率大約為0.9,

???恰好是合格產品的概率約是0.9.

故答案為：0.9

【點睛】本題考查利用頻率估計概率的知識，訓練了從統計表中獲取信息的能力及統計中用樣本估計總體

的思想.

44.（2022?貴州貴陽?統考模擬預測）社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝有幾

十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出?個球記下顏色，再

把它放回盒子中，不斷重曳上述過程.整理數據后，制作了“摸出黑球的頻率''與"摸球的總次數''的關系圖

象如圖所示，經分析可以推斷盒子里個數比較多的是（填“黑球”或“白球”）.

f摸出黑球的頻率

1.0-

0.8-

0.6-

0.4

0.2——?——.——-——*——?——?——?——?——?——?—

,I1!（■1|

~050100150200250300350400450500摸球的總次數

【答案】白球

【分析】利用頻率估計概率的知識，魂定摸出黑球的概率，由此得到答案.

【詳解】解：由圖可知：摸出黑球的頻率是0.2,

根據頻率估計概率的知識可得，摸一次摸到黑球的概率為0.2,

??.可以推斷盒子里個數比較多的是白球，

故答案為：白球.

【點睛】此題考查利用頻率估計概率，正確理解圖象的意義是解題的關鍵.

題型12用頻率估計概率的綜合應用

44.（2022?山東威海?統考一模）一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個小球除顏

色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出?個小球，記下顏色后再放回箱子里，通過大量

重復實驗后，發現摸到紅色小球的頻率穩定于0.75左右.

（1）請你估計箱子里白色小球的個數；

（2）現從該箱子里摸出I個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出I個小球，求兩次摸出的個

球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

【答案】（1）1個；（2）

【分析】（I）先利用頻率估計概率，得到摸到紅球的概率為0.75,再利用概率公式列方程，解方程可得答

案；

（2）利用列表或畫樹狀圖的方法得到所有的等可能的結果數，得到符合條件的結果數，再利用概率公式

計算即可得到答案.

【詳解】解：（1）???通過多次摸球試驗后發現，摸到紅球的頻率穩定在0.75左右，

???估計摸到紅球的概率為0.75,

設白球有“個，依題意得裊=0.75

解得，x=1.

經檢驗：4=1是原方程的解，且符合題意，

所以箱子里可能有1個白球；

（2）列表如下:

紅1紅2紅3白

紅】（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，紅）（紅1，白）

紅2（紅2,紅1）（紅2，紅2）（紅2,紅）（紅2,白）

紅3（紅3,紅1）（紅3，紅2）（紅3,紅3）（紅3，白）

白（白，紅1）（白，紅2）（白，紅）（白，白）

或畫樹狀圖如下:

開始

第一次

第二次

???一共有16種等可能的結果，兩次摸出的小球顏色恰好不同的有：

（紅1，白）、（紅2,白）、（紅3，白）、（白，紅1）、（白，紅2）、（白，紅3）共6種.

???兩次摸出的小球恰好顏色不同的概率盤="

loO

【點睛】本題考查的是利用頻率估計概率，利用列表法或畫樹狀圖的方法求解等可能事件的概率，掌握實

驗次數足夠多的情況下，頻率會穩定在某個數值附近，這個常數視為概率，以及掌握列表與畫樹狀圖的方

法是解題的關鍵.

45.（2023?江蘇蘇州?蘇州市振華中學校校考二模）?個不透明的口袋中放著若干個紅球和黑球，這兩種球

除顏色外沒有其他任何區別，袋中的球己經攪勻，閉眼從口袋中摸出一個球，記卜.顏色后放回攪勻，經過

大量重復試驗發現摸到黑球的頻率逐漸穩定在04附近.

（I）估計摸到紅球的概率是;

（2）如果袋中有黑球12個，求袋中有幾個球：

（3）在（2）的條件下，又放入〃個黑球，再經過大量重復試驗發現摸到黑球的頻率逐漸穩定在0.7附近，求

〃的值.

【答案】（1）|

（2）30

⑶3。

【分析】（1）利用頻率估計概率即可得出答案:

（2）設袋子中原有m個球，根據題意得'=0.4,解之即可得出答案;

m

（3）根據題意得翳=《，解之即可得出答案.

30+n10

【詳解】（1）解：???經過很多次實驗發現摸到黑球的頻率逐漸穩定在0.4附近，

估計摸到紅球的頻率在0.6,

???估計摸到紅球的概率是3=￡

故答案為：

（2）設袋子中有小個球，

根據題意，得工二3

m10

解得m—30,

經檢驗m=30是分式方程的解，

答：袋中有30個球：

（3）根據題意得：署=5，

30+n10

解得:n=30,

經檢驗九=30是分式方程的解，

所以九=30.

【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并

且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢，估計概率，這個固定的近似

值就是這個事件的概率.

46.（2022?浙江溫州?校考一模）根據你所學的概率知識，回答下列問題：

（1）我們知道：拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣正面朝上的概率是.若拋兩枚均勻硬幣，硬幣落地

后，求兩枚硬幣都是正面朝上的概率.（用樹狀圖或列表來說明）

（2）小劉同學想估計一枚紀念幣正面朝上的概率，通過試驗得到的結果如下表所示：

拋攜次數m50010001500250030004000500010000

“正面朝上”的次數n26551279313061558208325985204

“正面朝上”的頻率-

m0.5300.5120.5290.5220.5190.5210.5200.520

根據上表，下面有三個推斷：

①當拋擲次數是1000時，“正面朝上”的頻率是0.512,所以“正而朝上”的概率是0.512：

②隨著試驗次數的增加，“正面朝上”的頻率總是在0.520附近擺動，顯示出一定穩定性，可以估計“正面

朝上”的概率是0.520：

③若再做隨機拋鄭該紀念幣的試驗，則當拋擲次數為3000時，出現“正面朝心的次數不一定是1558

次；

其中推斷合理的序號是.

【答案】（%，;

⑵②③

【分析】（1）根據概率公式求解拋擲一枚均勻的硬幣，硬幣正面朝上的概率：根據樹狀圖求兩枚均勻硬幣

時，硬幣正面朝上的概率：

（2）根據試驗次數越大，頻率穩定，可用頻率估算概率，據此判斷即可.

【詳解】（1）拋擲一枚均勻的硬幣，便幣正面朝上的概率是3

若拋兩枚均勻硬幣時，畫樹狀圖如下：

共有4種等可能的情況數，其中兩枚硬幣都是正面朝上有1種，

則兩枚硬幣都是正面朝上的概率是3

故答案為：；，；：

24

（2）①當拋擲次數是1000時，”正面向心的頻率是0.512,但“正面向.心的概率不一定是0.512,故本選

項錯誤，不符合題意；

②隨著試驗次數的增加，“正面向上”的頻率總在0.520附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“正面向

上”的概率是0.520,故本選項正確，符合題意：

③若再次做隨機拋擲該紀念幣的試驗，則當拋擲次數為3000時，出現“正面向上”的次數不一定是1558

次，故木選項正確，符合題意；

其中推斷合理的序號是②③.

故答案為：②③.

【點睛】本題考查了根據概率公式求概率，利用畫樹狀圖求概率，根據頻率求概率，掌握求概率的方法是

解題的關鍵.

47.(2022?福建原門?統考模擬預測)某水果公司以2