專題05導數大題綜合

一、解答題

1.(2023?上海奉賢?統考二模)設函數的定義域是R,它的導數是:(x).若存在常數〃使得

/(x+",)=-ra)對一切x恒成立，那么稱函數y=具有性質夕(7〃).

⑴求證：函數y=一不具有性質

(2)判別函數y=sinx是否具有性質P(〃7).若具有求出〃?的取值集合；若不具有請說明理由.

2.(2023?上海普陀?曹楊二中校考模擬預測)已知函數/(x)=e\g(D=sinx+cosx.

⑴求證：/(x)>x+l；

⑵若試比較〃力與g(力的大小；

⑶若工"),問〃x)+g(x)-2-如20(a￡R)是否怛成立？若恒成立，求。的取值范圍；若不恒成立，請說明理由.

3.(2023?上海閔行?上海市七寶中學校考三模)己知函數/(x)=e'+0+(2-。)式，8(力=加+。,卜1力￡區).

(l)g(l)=/(o)，g'(l)=/(o)，求實數4口的值；

⑵若4=1力=2,且不等式/(力之依'(e)+2)-2對任意xwR恒成立，求攵的取值范圍；

⑶設。=2,試利用結論e'+e-x之IF,證明：若'4上其中〃則

/(sin6l)-/(cos^,)+/(sin<92)/(cos6>,.1)++f(sin0n_x)-f(cos6>2)+/(sin6；,)?/(cos6j)>6n.

4.(2023?上海徐匯?上海市南洋模范中學校考三模)設y=/(x)是定義在區間(1,一)上的函數，其導函數為y=r(".

如果存在實數。和函數y=〃(x),其中力(工)對任意的X￡(l,”)都有〃(力>0,使得〃力=〃("(/_如+]),則稱

函數)，=/(工)具有性質火力

(1)設函數/(x)=lnx+§^(x>l),其中方為實數.

(i)判斷函數)，=/("是否具有性質?(〃)，請說明理由；

(ii)求函數)'=/")的單調區間.

(2)已知函數g(x)具有性質P(2).給定和w?l,+oo),4<工2,設陽為實數，a=/nr1+(l-m)x2,分=(1一〃。內+/%,

且a>l,fl>\,若|g(a)-g(m|<k(x)-g(w)|，求〃?的取值范圍.

5.(2023?上海寶山?上海交大附中校考三模)記/'(x),g'(x)分別為函數/(x),g(”的導函數.若存在，滿足

/(xo)=g(xo)且/'(%)=/(%)，則稱X。為函數f(力與g(x)的一個‘蘭亭點

(1)證明：函數/3=X與g(X)=X2+2x-2不存在“蘭亭點”；

⑵若函數/(3)=加-1與g(x)=ht存在“蘭亭點”，求實數。的值；

⑶已知函數小)=-丁+."3=容對存在實數〃〉0,使函數/⑴與g(x)在區間(0,+少)內存在“蘭亭點”，求實

數人的取值范圍.

6.(2023?上海長寧?統考二模)(1)求簡諧振動y=sinx+cosx的振幅、周期和初相位以。引0,2兀)j；

(2)若函數y=singx+gcosx在區間(0,/〃)上有唯一-的極大值點，求實數〃］的取值范圍；

(3)設。>0,/(A)=sinar-6/sinx,若函數y=/(X)在區間(0,冗)上是嚴格增函數，求實數4的取值范圍.

7.(2023?上海浦東新?統考三模)已知實數〃w(0/)，/(A)=-^=,g(x)=ln(l+px)-ln(l-px).

⑴求/(O)；

⑵若門⑴>X對一切”小。.彳］成立，求P的最小值；

(3)證明：當正整數〃22時，tj=L=<ln^1l.

8.(2023?上海虹口?上海市復興高級中學校考模擬預測)已知/(力=；/-/+工

⑴求函數>=/(')的極小值；

(2)當％［-2,4］時,求證：x-6W/(x)C；

⑶設網6=|/(x)-(x+a)|(awR)),記函數)，=尸("在區間［-2,4］上的最大值為“⑷，當M(a)最小時，求。的

值.

9.(2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)設y=/(x)是定義在R上的奇函數.若、，=這(X>0)是嚴格減

X

函數，則稱y=〃x)為“。函數”.

⑴分別判斷>'=一x|x|和y=siiu-是否為。函數，并說明理由：

⑵若)，二一二-4是。函數，求正數口的取值范圍；

。+12

⑶已知奇函數y=F(x)及其導函數產9(力定義域均為R.判斷“尸尸’(力在(0,y)上嚴格減”是“尸尸⑴為。

函數”的什么條件，并說明理由.

10.(2023?上海徐匯?南洋中學校考三模)設函數/(月=(/+依+小卜、其中。為常數.對于給定的一組有序實

數(上M,若對任意毛、x2eR,都有網］一/(王)十問?［監一/(七)+〃"之0,則稱伏,砌為了⑺的“和諧數組

⑴若〃=0,判斷數組(0,0)是否為/⑶的“和諧數組”，并說明理由;

⑵若”=4及，求函數/。)的極值點；

(3)證明:若伙,〃。為了⑶的“和諧數組”，則對任意xwR,都有乙-/3)十〃10.

H.(2023?上海?華師大二附中校考模擬預測)已知〃x)=e'In(l+x).記g(x)=?3),其中常數m,a>0.

(1)證明:對任意機，a>0,曲線y=g(x)過定點；

(2)證明：對任意s,/>0,/(5+r)>/(5)+/(r)；

⑶若對一切和一切使得g⑴=1的函數y=g(x),)亞〃恒成立，求實數4的取值范圍.

12.(2023?上海徐匯?統考三模)若函數y=/(x)滿足/($)=玉，稱％為)，=/("的不動點.

(1)求函數y=V-3%的不動點;

⑵設g(x)=e'T.求證：y=g(g(x))恰有一個不動點；

⑶證明：函數產“另有唯一不動點的充分非必要條件是函數產/(7(6)有唯一不動點.

13.(2U23?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)已知“，beR,f(x)=ex,m+/fix+b.

⑴若〃?=-1,b=0,寫出曲線y=/(#的一條水平切線的方程；

⑵若"?>0,X]<工2<當<%4使得/(%)，/'(占)，/(七)，/(%)形成等差數列，證明：勺一百>七一%；

⑶若存在b<-使得函數y=/(x)有唯一零點，求〃?的取值范圍.

14.(2023?上海奉賢?上海市奉賢中學校考三模)定義：若曲線G和曲線。2有公共點P,且在P處的切線相同，則

稱。與。2在點。處相切.

⑴設〃%)=1-X2應(%)=X2-81+加.若曲線y=/(x)與曲線y=g㈤在點C處相切,求m的值;

(2)設/")=V，若圓M：f+(.y-4二/(廠>0)與曲線y=/?(x)在點Q(Q在第一象限)處相切，求〃的最小值;

⑶若函數y=是定義在R上的連續可導函數，導函數為產/'(X),且滿足|/(力以/(.可和|〃x)|v正都恒成

立.是否存在點P，使得曲線y=/(x)sinx和曲線)=】在點。處相切？證明你的結論.

15.(2023?上海普陀?曹楊二中校考模次預測)已知函數〃.r)=ar-12-

(1)若/(力是定義域上的嚴格增函數，求。的取值范圍；

⑵若x>l,/(x)>0,求實數4的取值范圍；

⑶設4、乙是函數/(x)的兩個極值點，證明：|/(%)-/(占)|<加尹.

16.(2023?上海嘉定?校考三模)已知函數/(x)=V+bF+cxS、cwR),其導函數為f(x),

(I)若函數/(x)有三個零點內、和X,,且再+/+/=3,4丙=-9,試比較/(3)-/(0)與3/'⑵的大小.

⑵若八1)二-2,試判斷八幻在區間(0,2)上是否存在極值點，并說明理由.

(3)在(I)的條件下，對任意的“5WR,總存在人0[0,3]使得|/(x)十〃3十〃之/成立，求實數，的最人值.

17.(2023?上海長寧?上海市延安中學校考三模)已知/。)=丁+芯-/X+2MGR.

⑴當。<0時，求函數<=〃力的單調減區間;

⑵當"0時，曲線)，=/(“在相異的兩點A8點處的切線分別為4和44和4的交點位于直線尸2上，證明：4B

兩點的橫坐標之和小于4；

⑶當”0時，如果對于任意總存在以/(3，/(七)，〃七)為三邊長的三角形，求”的取值范圍.

18.(2。23?上海閔行?統考二模)如果曲線)，=/("存在相互垂直的兩條切線，稱函數)=/(9是“正交函數”.已知

f(x)=x2+ctr+21nx,設曲線y=/(x)在點例(升),/(升)))處的切線為人.

⑴當/'(1)=0時，求實數”的值；

⑵當〃=-8,%=8時，是否存在直線/,滿足41/,,且/,與曲線y=f(x)相切？請說明理由；

⑶當時，如果函數)=/(x)是“正交函數”，求滿足要求的實數。的集合Q；若對任意ae。，曲線)=/(工)都

不存在與4垂直的切線6,求升的取值范圍.

19.(2023?上海普陀?曹楊二中校考三模)已知函數/(力=工-1-。3，acR.

⑴若存在極值，求。的取值范圍；

⑵若/㈤之0,求”的值：

(1V1)(1A

⑶對于任意正整數〃，是否存在整數用，使得不等式1+-1+至…1+37卜〃?成立？若存在，請求出機的最小

X乙)、乙)X乙)

值：若不存在，請說明理由.

20.(2023?上海閔行?上海市七寶中學校考二模)已知關于的X函數)，=/(力，丁=月("與y=/?(x)在區間上恒有

/(x)>/?(.v)之g(x),則稱滿足/*g性質.

(1)若/(“=日x,g(x)=—2#r,Mx)=2/+3,￡>=[1,2],判斷/?("是否滿足小g性質，并說明理由；

⑵若/(x)=e「h(x)=kx+\,且/(x)N〃(x),求k的值并說明理由;

⑶若〃x)=e"近力=丹必+1,從x)=kx+b(k,bsR),D=(O,w),試證：b=是。力滿足〃g性質的必

要條件.

21.(2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)設y=/(6，)，=八月,〉=〃(月是定義域均為。的三個函數.M是

。的一個子集.若對任意xeM，點(Kg(x))與點(.％/?(力)都關于點(xj(x))對稱，則稱)，=刈"是y=g(x)關于

5=/卜)的“時對稱函數”.

(2()23、

⑴若廣g(x)和尸siu是關于尸cosx的"R對稱函數”，求“飛一兀卜

(2)已知y=VT二7是丁=反關于3=/(力的"[0』對稱函數”.且對任意540』,存在小[0』，使得

2/(s)=4p—3/+a,求實數。的取值范圍：

(3)證明：對任意keR,存在唯一的〃>0,使得k1和丁二山是關于y=履的“加｝對稱函數”.

專題05導數大題綜合

一、解答題

1.(2023?上海奉賢?統考二模)設函數的定義域是R,它的導數是:(x).若存在常數〃使得

/(x+",)=-ra)對一切x恒成立，那么稱函數y=具有性質夕(7〃).

⑴求證：函數y=一不具有性質

(2)判別函數y=sinx是否具有性質P(〃7).若具有求出〃?的取值集合；若不具有請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)y=sinx具有性質P(m),加的取值集合《時機=2E-],&wz}

【分析】(1)假設)，=/具有性質P(m),由定義求解結論成立的條件；

(2)假設y=sinx具有性質？(/〃)，由定義求解結論成立的條件.

【詳解】(1)假設ke’具有性質外⑺，即尸”=-(e'j對一切犬恒成立

化簡es=-e'得到1=-1,顯然不存在實數用使得e"，=T成立，所以假設錯誤，

因此函數丁=。’不具有性質P(ni).

(2)假設》'=sinx具有性質"("?),即sin(x+,??)=-(sinx)'對一切了恒成立，

即sin(x+〃?)=-cosx對一切工恒成立，貝ljsin.vcosm+(sin/?+l)cos.v=0對一切x恒成立，

由〈.,A?所以當〃?=2E-；；/eZ時，y=sinx具有性質P(M，

sin???+l=02

所以)，=sinx具有性質P(m),m的取值集合?時加=eZ?.

2.(2023?上海普陀?曹楊二中校考模擬預測)已知函數/(x)=e',g(\)=sinx+8sx.

⑴求證：/(x)>.r+l；

⑵若試比較/(x)與g")的大小；

⑶若讓0,問〃x)+g(x)-2-奴"(aeR)是否恒成立？若恒成立，求。的取值范圍；若不恒成立，請說明理由.

【答案】(1)證明見解析

(2)/(x)>g(x)

(3)恒成立，a<2

【分析】(1)直接作差令力(x)=e'-x-1,求導判定差函數單調性及最小值即可得出結論；

Z、

(2)作差令"x)=/(x)-g(x)=e'-尤sinx+,分區間討論其導函數符號得出單調性及最小值即可；

(3)令/z(x)=〃x)+g("-2-?，利用端點效應即〃(0)=0"⑼20得出〃<2時恒成立，再證明充分性即可.

【詳解】(1)即證e=x+l,令力(x)=e'-x-l,^(x)=er-l,

當x?田,0)J?.r)<0,所以此時/?(力單調遞減;

當X￡(0,+8),“(X)>0,所以此時/?(x)單調遞增;

即當x=0時，取得極小值也是最小值〃(°)=°，所以〃。)之0,得證;

\

兀71

(2)T^h(x)=f(x)-g(x)=ex-y/2smx+—,貝U〃'(x)=e，-y/2cosX+—

4J4)

①當一時，<—,所以〈收］

5<K<00<JV+—1cosjx+2<V2,

444V4J

r

而此時e<1?故〃(x)<0,/z(x)在(-%。減函數，//(x)>/z(O)=O,

4

即“M>g(x)；

②當x20時，由(1)知〃(x)=e'-sinx-cosxNx+l-sinx-cosx

=(x-sin.r)+(l-cosx),

令"(丫)=r—sinr(r>0)丫)=I—ccsr>0,即//(A)在［0,+e)單調遞增,

所以〃(x)2〃(0)=0,即x—sinxNO,當且僅當x=0時取得等號，

又1—cosx'O恒成立，當且僅當x=2E(kwN)時取得等號，

所以(x-sinx)+(l-cosx)>0,即h(x)=f(x)-g(x)>0,即/'(x)>g(力

綜上，芥了>一：，/(1)>晨工).

(3)恒成立，

設人(%)=〃x)+g(x)-2-?,

印證h(x)=e'+sink+cosx—2—or20在［0,+8)上恒成立，

易得柏㈤=e'+cosx-sinx-i?,

當x=0時，若"(0)=2—aN0naK2,

下面證明：當。￡2時，/z(x)=ev+sinx+cosx-2-ar>0,在［。,+“)上恒成立,

v

因為〃{x)=e+cosx-sinx-at設〃(x)=//(x),

則〃'(x)=e'-sinx-cosx2x+l-sinx-cosx=x-sinx+l-cosx>0,

所以〃'(K)在[0,田)上是單調遞增函數，

所以川㈤之〃(0)=2-。之0,所以刈力在[0,+力)上是嚴格增函數，

若〃>2時，/f(0)<0,即〃(6在x=0右側附近單調遞減，此時必存在〃(小)<〃(0)=0,不滿足

/(%)十g(x)-2-63之。(。七1^)恒成立，

故當〃42時，不等式恒成立.

3.(2023?上海閔行?上海市七寶中學校考三模)已知函數〃"=。'+b+(2-〃)MgGhay+AMoGR)

⑴g(l)=/(O)，g'⑴=〃0)，求實數a1的值;

⑵若。=1/=2,且不等式“力之依'(0+2)-2對任意xeR恒成立，求攵的取值范圍；

⑶設6=2,試利用結論e—丁+2,證明：若a?，L0c?,其中，?"〃eN"，則

f(sin6))-f(cos6>,)+f(sin6>2)-f(cos^,.,)++/(sin^^)?/(cos^2)4-/(sin6；,)?/(cos6>)>6n.

【答案】(l)a=L〃=l

⑵

(3)證明見解析

2a=?

【分析】(1)求得g'(6=2以，根據題意得到方程組/,即可求解.；

(2)把/(小依《+2)-2轉化為即左二；+尸：2=6+2。；+1對任意1￡1<恒成立,設/二門設

ZC十—4C十乙

%(/)==!字，利用導數求得函數力(，)在單調性，結合力。)>力(0),即可求解；

(3)解法1：由不等式e'+e'之/+2,推得〃石).〃田)22片+加+4,進而利用累加法，即可得證;解法2：

由e'+er"2+2,得到/(內)/(七經儲+2乂k+2"2才+24+4,結合累加法，即可得證.

【詳解】(1)由函數g(x)=or2+b,可得g[x)=2ox,所以g(l)="+b,gf(l)=2a.

，\[2a=2

又由〃0)=2,所以4+8=2'解得H=L

(2)若。=1,力=2,可得/(x)=e'+e\#(力=/+2,

則g'(x)=2x,則不等式f(x)2kg'(e-x+2)-2可化為e(+b>2A:(e-x+2)-2,

即k<，*+：*+2=干+1對任意R恒成立，

2e-x+44ev+2

令1=e'，則/>0,設函數硝)=『+力+1,可得力'(/)=TP;T，

''4r+2(2/+1)-

因為f〉0,所以〃'(/)>0恒成立，所以函數)=〃(/)在(0，+⑹上嚴格遞增，

所以/中)>力(0)=；,故左即實數A的取值范圍為(-%

(3)解法1:由〃為>〃玄)=@十「。(。必十c")=c?…十C-十Uc?+%

r-(xrX2)2

因為e+02幺+2,可得e"的+e>(^+x2)+2,

當且僅當豆+￡=0時，等號成立；

所以爐土+爐』N(X—XJ+2，當且僅當％一占=()時，等號成立，

2

tt/(x1)-/(x!)>(xl+x2)+2+(%—七)~+2=2x；+2x；+4,

當且僅當X=%=。時等號成立.

因此有/(sin^)/(cos^,)>2sin2a+2cos2^,+4,

?

f(sin)f(cos^f_1)>2sin<9,+2cos2aLi+4，

9

f(sinfi,x)f(cos/?,)>2sin2a+2cosR+4,

以上〃個式子相加得：

sin

/(sinq)?/'(cosq)+/(sina)?/'(cos%)+…+/'(sin^,_I)/(cos02)+/(Q),于(cos0x)>6n.

解法2：由+

可得/(%)J(王)2(x；+2)(xj+2)=x2xj+2工；+2x?+4>2x：+2JV；+4,

當且僅當外=/=。時等號同時成立.

故)(sina)/(cosa)>2sin2a+2cos2a+4,

22

f(sin32)f(cos)>2sin+2cos加+4,

22

/(sinQ)f(cosa)>2sin0tt+2cos4+4

以上〃個式子相加得：

/(sina)/(8sQ)+/(sineJ?/(cos6；i)+…+/(sin4T)?,f(cosa)+/(sinQ)?/(cosa)>6〃.

【點睛】方法技巧：對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：

1、通常要構造新函數，利用導數研究國數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

3、根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試卷中很少碰到分離參數后構造的新函數

能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立

與存在性問題的區別.

4.(2023?上海徐匯?上海市南洋模范中學校考三模)設丁=/(力是定義在區間(I,+8)上的函數，其導函數為

如果存在實數。和函數尸力⑴，其中〃(x)對任意的xw(l,E)都有萬(6>0,使得/'("=力(力(父-or+l),則稱

函數)'=/")具有性質尸(〃).

⑴設函數〃x)=lnx+鬻(x>l),其中b為實數.

(i)判斷函數y=/(x)是否具有性質尸(〃)，請說明理由；

(ii)求函數y=/(x)的單調區間.

⑵已知函數g(x)具有性質p(2)給定外,毛￡(1,+00),為<.，設機為實數，a=〃珥+。一"?)%2，+"%,

且a>l,0>1,若|g(a)-g(4)|<|g(xj-g(w)|，求〃?的取值范圍.

【答案】⑴(i)函數/(x)具有性質P優)，理由見解析；(ii)答案見解析

(2)(0,1)

【分析】(1)⑴對/(X)求導，可得Mx)=.：/>。恒成立,即可證明函數“力具有性質。㈤；(ii)

A)=x2-bx+\=(x-—+1>@(x)與/(x)的符號相同，分一2<〃<2,方=±2,Z?<-2f0Z?>2,討論/(x)的

\/4

正負，即可得出函數/(耳的單調區問；

⑵對g(x)求導，=/?(x)(x2-2A+1)=/:(x)(x-1)2,分析可知其g'(x)>。在xe(l,+oc)恒成立，分心1,

機=g和〃?三種情況討論求解m的取值范圍.

【詳解】⑴(i)函數f1)具有性質尸(",理由如下,

/'(X)=-~~~2=------23-灰+[)

X(X+1)2x(x+l)'

因為X＞1,M"=Mr+l）2＞0恒成立'所以函數/W具有性質P（b）；

（ii）設0（x）=%2-法+1=［一號+1-,,0（x）與/（x）的符號相同.

當］_5＞0即_2＜力＜2時，8（x）＞0,/V）＞0,

故此時/（A）在區間（1,+00）上遞增；

當〃=12時，對丁x＞1,有/⑺＞。，所以此時/（力在區間（l,y）上遞增;

當〃＜-2時，9（x）的圖象開口向上，對稱軸x=g＜T,而＞（0）=1,

對于x＞1,總有。（力＞0,＞0,所以此時〃力在區間（1,+oo）上遞增;

當人＞2時，必”的圖象開口向上，對稱軸x=g＞l,方程夕（力二0的兩根為:

b+\Jb2-4b-\lb2-4b-yJb2-42

且％>1,--------------=-------/￡

-2-?5-F2b+>Jb2-4

當xwL--|時,0(x)<0,f'(x)<0,此時/(x)在區間I.“"；￡上遞減;

b+_4、

同理得：/（力在區間—，+。上遞增.

綜.上所述：當月2時，/（力在區間（l,y）上遞增；

當方＞2時，/（X）在區間1,"弓-4-上遞減，在b+J；-4+8上遞增;

\J\/

（2）由題意，得：g\x）=h（x）（X2-2X+\）=h（x）

又〃（K）對任意的X￡（l,”）都有〃（x）＞o，

所以對任意的X€(l,*o)都有g'(x)>o,g(x)在(1,*0)上遞增,

又a+P=X\+x,,a-/?=(27?z-l)(^-^2),

當"2>3,"7#1H、j,a<■B,且口_毛=(W-1)X]+(1-772)X2,/?-x,=(1一〃+(/?/-l)x,,

2

所以(a-xj(尸一七)=一(〃2—1『(菁-x;)<0,所以a<巧<。或X\<a<P<x”

若a<4<x2</?,則/(a)</(xJvf(w)v/(4),

所以|g(a)-g(0|>|g(z)-g(七)|不合題意,

x<nvc,+(1-1

所以用即<解得：，"1，丁〃Y1，

當機=；時，a=B、。=卜(夕)一g(尸)|<|g(N)-身(W)|，符合題意.

當〃?<弓時，a>。,且0_/=〃?(與一%),,一內=一"?(司一/)，

X<+//ir,1

同理有K</7va〈當，即，叼+(1-〃，北<:解得：…，

綜上所述，所求，〃的取值范圍時(。,1).

【點睛】關鍵點點睛：本題第二問解題的關鍵點是對〃，進行分類討論，本題主要考查函數的概念、性質、圖象及導

數等基礎知識、考查靈活運用數形結今、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力.

5.(2023?上海寶山?上海交大附中校考三模)記/'(x),g'(x)分別為函數〃x),g(x)的導函數.若存在，滿足

/(而)=且(%)且/'■)=/5)，則稱與為函數“力與g("的一個，蘭亭點”.

⑴證明：函數/(X)=工與&(1)=寸+21-2不存在“蘭亭點”；

⑵若函數“力=加-1與履x)=lu存在“蘭亭點”，求實數〃的值;

⑶已知函數/(X)=-2+dg(x)=?.對存在實數〃>0,使函數“X)與g(x)在區間(0,+8)內存在“蘭亭點”，求實

數人的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

(3)(_3,0)5。,+8)

【分析】(1)根據題中“蘭亭點”的定義列兩個方程，根據方程組無解證得結論；

(2)同(1)根據“蘭亭點”的定義列兩個方程，解方程組可得。的值；

(3)通過構造函數以及結合“蘭亭看’的定義列兩個方程，再由方程組有解即可求得結果.

【詳解】(1)函數/(x)=x,g(x)=W+2x—2,則/'(x)=l,g'(x)=2x+2.

由/(M=g(x)且/即)=g(x),

得［：=：+:一2,此方程組無解，

l=2x+2

因此,與g(x)不存在“蘭亭點”.

(2)函數/(力=浸-l,g(x)=hw,

貝ijr(x)=23g0)=L

X

設與為〃X）與g（x）的“蘭亭點”,

由/（%）=晨與）且r（/）=/（-%），

竭-1=1叫

咻-1=11Ho

.1，即?2av；=l'')

2%=一r

%

e

1,4一2

得叫=-5,即玉=丁，則

2e2

當a與時，％=eT滿足方程組（*），即,%為/（"與屋外的“蘭亭點

因此，。的值為

⑶r（x）=-2x,/（x）="e（；%人工0）,

函數戶"X）與丁=g（x）在區間（0,也）內存在“蘭亭點“，記為匯=/，

/一3產

a=------

/-I

所以解得

上_2rl

由于。>0,解得0</<1或/>3,

2/2/(產—3/+3)

而方=’，所以加=—7―——->0(/*1),

(l—)e，(j)*

2廠

所以函數8=7；—c在（o，i）,（3，y）上為增函數，

（lT）e

27

因為f=0時〃=0,/—>1時，/?—>+<??/=3時，b=-r,，一>+oo時，/?—>0?

e-

所以0<rv］時，Z?e（0,loo）;-3時，"仁（一I，。）

綜上，實數〃的取值范圍是（一1，0）7（0,+8）.

【點睛】方法點睛：涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖象交點個數問題，一般先通過導數研究函數

的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是

研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題的思路.

6.（2023?上海長寧?統考二模）（1）求簡諧振動y=sinx+cosx的振幅、周期和初相位以。00,2兀））；

（2）若函數y=singx+gcosx在區間（0,加）上有唯一的極大值點，求實數小的取值范圍；

（3）設。>0,/（x）=sinat-?sinx,若函數y=/（x）在區間（0,兀）上是嚴格增函數，求實數。的取值范圍.

【答案】（1）振幅為夜，周期丁=寧=2兀，初相位。=%

⑵（譽｝

（3）（0,1）；

【分析】（1）利用輔助角公式化簡，即可得到振幅、周期和初相位;

（2）求導，令y'=0,求出導函數的零點，利用三角函數的單調性判斷導函數的正負，進而分析出y=/（x）的單調,

列表分析出有唯一的極大值點的情況，即可得到實數m的取值范圍;

（3）求導，并對。分類討論，利用余弦函數的單調性分析導函數在區間（（），兀）的正負，即可判斷>：=/*）是否為嚴

格增函數，進而得到實數。的取值范圍.

【詳解】解：(1)y=sinx+cosx=>/2sin

所以振幅為&，周期丁=午=2兀，初相位w=；；

1.1

-sin-x

2

令_/=(),得cosLx=0,sin—x=—,列表,

222

n5n

X(/)n得T信可

y4-0—0+0—

■

y極大值、極小值z極大值■

函數），=sin；x+；cosx在區間（0,〃。上有唯一的極大值點時，

即實數/〃的取值范圍為信號.

(3)/(x)=acQsax-acQSX,

當0<。<I時，

因為0<x<7t,所以0<@1<工<兀，

進而cosax>cosx,f\x）=?（cosax-cosx）>0

此時，y=fM在區間（0,兀）上是嚴格增函數；

當〃=1時，/3）=0,），=/*）不是嚴格增函數:

當a>l時，設工e（0,5）,貝ij0vxvatV7c,

進而cosx>cosax,f\x）<0,

此時，>=/（外在區間（o?）上是嚴格減函數；

綜上，若函數y=/*)在區間(0,兀)上是嚴格增函數，則。

即實數〃的取值范圍(0.1).

【點睛】思路點睛：分類討論思想是高中數學一項重要的考查內容，分類討論思想要求在不能用統一的方法解決問

題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現問題的求解，體現了對數學問題的分析處理能力和解決能力.

7.(2023?上海浦東新?統考三模)已知實數〃/(x)=J，g(x)=ln(l+/zr)-ln(l-/zv).

⑴求/‘⑼；

⑵若g(x)>工對一切x4。，")成立，求〃的最小值；

(3)證明：當正整數時，竽.

【答案】a)r(o)=i

(3)證明見解析

【分析】(I)求出函數的導函數，再代入計算即可；

(2)設Mx)=g(x)—x,求出函數的導函數，當〃=；時，對一切XG(22),/f(x)>0,即可得到力(另>0在x?0,2)

成立，再說明當時不符合題意，即可得解；

(3)由(2)得對一切xw(0,2)時，皿會>》成立，即可在不等式后中取X=，，得^^<(<加髭，

即可得到方忌〒<ln：+ln與](〃之3),再說明h[+ln哭3M即:，即可得證.

【詳解】(1)因為金，

所以(xg—g'==也,

E1+，27(777

所以八。)=1.

(2)gh(x)=^(x)-A:=In(1+px)-In(1-px)-x,

則/?"=—^-+—1=i

人J''\+px\-px\-p2x2

當p=!時，對一切xe(-2,2),〃(x)=「=-整0且僅當X=。時，〃(x)=0,

故函數y="(X)在區間(-2,2)上單調遞增，

從而由力(0)=。知，對一切xe(0,2),//(x)>0,即g(x)>x對一切X￡(O,2)成立;

當o<,<:時，取飛=兇■衛■/()」］,

2PIP)

得力(毛)=In(1+Jl-2p)-ln(l-

=lnf,VL2E<O,即g(xD)>%不成立.

I〃J〃

綜上，〃的最小值是g.

(3)當〃=2時，也喘(可用計算器驗證，證明不作要求)，

由(2)得，對一切xw(O,2),1?1+；,-1?1-；工)>工成立，即皿言

顯然當X?0,2)時，1<0T7<G，所以‘蕓vx,

在不等式下;<x<ln=中取x=；,得丁^<工<也力(k為正整數)，

V1+A-2-XkQk-+kk2k

-「e111e1,72&+1,7,2/7+1

故lt讓3時，石盲紗不7=『皿丁?

而當〃>2時，Ing+In2"；1=In(1.4〃+0.7)WIn(1.3］?+(J.3)=In「〃；1,證畢.

【點睛】關鍵點睛：第二問解答的關鍵是取點說明不成立，第三問關鍵是結合(2)的結論得至二<x<ln鋁,

VI+A"，-X

再取得無匕*|啜2a為正整數)?

8.(2023?上海虹口?上海市復興高級中學校考模擬預測)己知/")=；/-V+x.

⑴求函數y=/(x)的極小值;

⑵當工，一2,4］時，求證：％-6=/(%)-二；

⑶設尸(x)=|/(x)-(K+〃)|(aeR))，記函數y=「(x)在區間［-2,4］上的最大值為“(〃)，當M(a)最小時，求a的

值.

【答案】⑴函數“X)的極小值為0;

⑵證明見解析:

【分析】(1)首先求導函數，求導函數的零點，分析零點兩側導數值的符號，由此確定極值點;

(2)由題意證得-6W/(“一xWO,即可證得題中的結論；

(3)由題意結合(2)中的結論分類討論即可求得。的值.

I4

【詳解】(1)函數/(x)=w/—/+x的定義域為R，導函數r(x)==x、2x+l,

令:(￡=0可得，4X2-2X+1=O,解得X=W或X=2,

當x<g時，八外>0,函數“力在卜85)上單調遞增，

當沁<2時,/V)<0,函數/(力在信,2)上單調遞減,

JIJ/

當x>2時，f\x)>0,函數/(x)在(2,y)上單調遞增，

當x=2時，函數/(x)取極小值，極小值為"2)=0；

13

(2)設8(")一/3)-內一;丁-1，sM--x^-2x,

44

38

令=-2犬=()得x=o或者1=彳，

43

所以當x?—2,0)時，g'(x)>0,g(x)在［—2,0)上單調遞增；

當1電尚)時，g")<0,g。)在(用上單調遞減；

當xw(*4時，gV)>(),g(x)在(*4上單調遞增；

1/8A151264-64

而g(0)=g(4)=0,^(-2)=-x(-8)-4=-6,g-=-x---=—>-6,

\J/■4，J4/

所以當xe［—2,4］時，-6<^(x)<0,

所以x-6W/(x)Wx；

(3)由(2)知—64/(x)-xW0,

所以Y-aWf(x)-x-a<-a,

又產(方=|/"-(%+4)|=|『(同一”一4，

設/(x)-x=l,則-6WY0,

函數產P(x)在區間［-2,4］上的最大值為)，寸在-6WYO時的最大值，

所以加⑹是時,卜+6|中的較大者，

若同引以|6|,即時，"(a)=|4=?>3；

若同<|a+6］,即〃>一3時，A/(a)=k+6|=a+6>3；

所以當M(a)最小時，M(a)=3,此時。=-3.

【點睛】本題主要考查利用導函數研究函數的極值，利用導函數證明不等式的方法，分類討論的數學思想等知識,

意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.

9.(2023?上海浦東新?華師大二附中校考模擬預測)設y=〃x)是定義在R上的奇函數.若y=△蟲(x>0)是嚴格減

x

函數，則稱y=〃x)為“。函數”.

⑴分別判斷和y=shu?是否為o函數，并說明理由；

(2)若)，=—：二-2是。函數，求正數口的取值范圍；

4+12

⑶已知奇函數丁=尸("及其導函數)，二9(“定義域均為R.判斷“y=u(x)在(0,y)上嚴格減''是"尸尸(可為。

函數”的什么條件，并說明理由.

【答案】(i)y=r|M是。函數,y=siM不是。函數，理由見解析

(2)0<?<1

(3)“)，=/⑴在(0,+8)上嚴格減”是“y=網”為。函數”的充分非必要條件，理由見解析

【分析】(I)根據“。函數”的定義結合函數的奇偶性以及單調性判斷即可；

(2)令(0+優)，利用導數討論其單調性即可求解；

(3)先用特殊函數)，=*■作為反例說明“y=/(x)在(0,e)上嚴格戚'不是“尸尸(X)為。函數”的必要條件，再

構造"a)=W(〃)-廠(力，4>()，G(x)=x,F(x)-xF(x,),利用導數與單調性、最值的關系證明松1<史以，

X2X\

根據單調性定義即可證明“尸尸(x)在(0,+e)上嚴格減”是“產P(x)為/)函數”的充分條件.

【詳解】(1)設，(x)=rM>l(x)=sinx,

所以r(-x)=MH=T(x),A(-x)=-sinx=-2(x),

所以y=-HM和y=sinv均為定義在R上的奇函數.

當x>0時，函數)，=二型=一嚴格減，故y=-x|M是。函數.

X

而當X=兀和x=2兀時，—=0,故.\，=5加不是。函數.

x

/、111f2屋+1、Iax-\

ar+l22(優+1ax+\2ax+\

設皿幻=—、『，定義域為R,

2ax+\

/、]「一1]—,、

m(—x)=---------=---------=—m(x)，

2Q+I2i+ax

所以)”工-4是定義在R上的奇函數?

a+12

當〃=1時，y=」^一：=0不是。函數，下設awl.

a+\2

當x>0時，令83=工6-5匕而丁

I-ax(I+a')xln”一(1一優)(1+ax+xa"Ina)

則g'(x)=

2x2(l+a')22-0+*2

再設〃(x)=a"-1_2mtina,則"'(x)=Zc/'lno-2a'Ina-2m'(Inaf=2a'lna(優一1一.Hna),

設〃(1)二0'一1一乂〃'")=?'-1,

所以當xv0時,〃'。)<(),函數〃(3)單調遞減，

當x>0時,叫幻>0,函數〃(幻單調遞增,

所以〃(x)=e'-l-1之〃(())=(),即e，？l+x恒成立,

所以當時，相=1味>1+吊皿，

所以當a>l時，力'(匯)>0；當ae(0,l)時，/f(x)<0.

因為〃(0)=0,所以當x>0時,

當“>1時，/2(.r)>/2(0)=0,即g'(x)>0恒成立，則函數g(幻嚴格單調遞增,

當0<a<l時，/2(x)<//(0)=0,即g'(x)<0恒成立，則函數g(x)嚴格單調遞減,

所以正數，，的取值范圍是0<a<1.

(3)記：函數)，=4了是定義在R上的奇函數'

且丁二：旨在(。,+“)上嚴格減，故為。函數.

X1-x2

但當x=&或6時>,=:—不取值相等,

<1+A-2>(1+廠)

從而不是(。,轉)上嚴格減的函數.

故")，=尸⑴在(。.+巧上嚴格減”不是，產尸3為。函數”的必要條件.

下證在(0.+R)上嚴格減“是”二/(力為。函數”的充分條件.

對任意〃>。，定義H(x)=xFr(u)-F(x).

則由網0)=0得"(0)=0,且由y=F(x)嚴格減得,

當x<〃時，"'(％)=U(〃)一尸(同<0,

故當0<x