第9節函數模型及其應用1.理解函數模型是描述客觀世界中變量關系和規律的重要數學語言和工具.在實際情境中,會選擇合適的函數類型刻畫現實問題的變化規律.2.結合現實情境中的具體問題,利用計算工具,比較對數函數、一元一次函數、指數函數增長速度的差異,理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實意義.1.常見的函數模型函數模型函數解析式一次函數型f(x)=ax+b(a,b為常數,a≠0)二次函數型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)指數函數型f(x)=bax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)對數函數型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數,a>0且a≠1,b≠0)冪函數型f(x)=axn+b(a,b,n為常數,a≠0)2.三種函數模型性質的比較函數性質y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性單調

單調

單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與平行

隨x的增大逐漸表現為與平行

隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0,當x>x0時,有logax<xn<ax1.“直線上升”是勻速增長,其增長量固定不變;“指數增長”先慢后快,其增長量成倍增加,常用“指數爆炸”來形容;“對數增長”先快后慢,其增長速度緩慢.2.函數f(x)=x+ax(1)該函數在(-∞,-a)和(a,+∞)上單調遞增,在[-a,0)和(0,a]上單調遞減.(2)當x>0時,x=a時取最小值2a,當x<0時,x=-a時取最大值-2a.1.(必修第一冊P156習題T14改編)在一次數學實驗中,某同學運用圖形計算器采集到如下一組數據:x-2-1123y0.240.512.023.988.02在以下四個函數模型(a,b為待定系數)中,最能反映x,y函數關系的是()A.y=a+bx B.y=a+bC.y=a+logbx D.y=a+bx2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34A.3 B.4 C.5 D.63.人們通常以分貝(符號dB)為單位來表示聲音強度的等級,其中0dB是人能聽到的等級最低的聲音.一般地,如果強度為x的聲音對應的等級為f(x)dB,則有f(x)=10lgx1×1A.100 B.1000 C.1100 D.4.某單位為鼓勵職工節約用水,作出了以下規定:每位職工每月用水不超過10m3的,按每立方米m元收費;用水超過10m3的,超過部分加倍收費.某職工某月繳水費16m元,則該職工這個月實際用水為m3.5.某桶裝水經營部每天的固定成本為420元,每桶水的進價為5元,日均銷售量y(桶)與銷售單價x(元)的關系式為y=-30x+450,則該桶裝水經營部要使利潤最大,銷售單價應定為元.

利用圖象刻畫變化過程1.設甲、乙兩地的距離為a(a>0),某人騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘,在乙地休息10分鐘后,他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘,則此人從出發到返回原地所經過的路程y和其所用的時間x的函數圖象為()2.某部門為盡快穩定菜價,提出四種綠色運輸方案.據預測,這四種方案均能在規定的時間T內完成預測的運輸任務Q0,各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示,在這四種方案中,運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是()3.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1L汽油行駛的路程,如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述正確的是()A.消耗1升汽油,乙車最多可行駛5kmB.以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多C.甲車以80km/h的速度行駛1h,消耗10L汽油D.某城市機動車最高限速80km/h,相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構建函數模型法:當根據題意易構建函數模型時,先建立函數模型,再結合模型選圖象.(2)驗證法:根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點,結合圖象的變化趨勢,驗證是否吻合,從中排除不符合實際的情況,選擇出符合實際情況的答案.已知函數模型求解實際問題教室通風的目的是通過空氣的流動,排出室內的污濁空氣和致病微生物,降低室內二氧化碳和致病微生物的濃度,送進室外的新鮮空氣.按照國家標準,教室內空氣中二氧化碳日平均最高容許濃度應小于等于0.1%.經測定,剛下課時,空氣中含有0.2%的二氧化碳,若開窗通風后教室內二氧化碳的濃度為y%,且y隨時間t(單位:分鐘)的變化規律可以用函數y=0.05+λe-tA.10分鐘 B.14分鐘C.15分鐘 D.20分鐘已知函數模型解決實際問題的關注點(1)認清所給函數模型,明確哪些量為待定系數.(2)根據已知利用待定系數法,確定模型中的待定系數.(3)利用該模型求解實際問題.[針對訓練](2021·山東濰坊三模)某地區為落實鄉村振興戰略,幫助農民脫貧致富,引入一種特色農產品種植,該農產品上市時間僅能維持5個月,預測上市初期和后期會因產品供應不足使價格持續上漲,而中期又將出現供大于求使價格連續下跌.經研究其價格模擬函數為f(t)=t(t-3)2+n(0≤t≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此類推),若f(2)=6,為保護農戶的經濟效益,當地政府計劃在價格下跌時積極拓寬外銷,請你預測該農產品價格下跌的月份為()A.5月和6月 B.6月和7月C.7月和8月 D.8月和9月構建函數模型解決實際問題角度一構建二次函數、分段函數模型某農業合作社生產了一種綠色蔬菜共14噸,如果在市場上直接銷售,每噸可獲利0.2萬元;如果進行精加工后銷售,每噸可獲利0.6萬元,但需另外支付一定的加工費,總的加工費P(萬元)與精加工的蔬菜量x(噸)有如下關系:P=120(1)寫出y關于x的函數表達式;(2)當精加工蔬菜多少噸時,總利潤最大,并求出最大利潤.1.實際問題中有些變量間的關系不能用同一個關系式給出,而是由幾個不同的關系式構成,因此需要構建分段函數模型.2.分段函數的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).3.二次函數是常用的函數模型,建立二次函數模型可以求出函數的值域或最值.解決實際中的優化問題時,一定要分析自變量的取值范圍.利用配方法求最值時,一定要注意對稱軸與給定區間的關系:若對稱軸在給定的區間內,可在對稱軸處取最值,在離對稱軸較遠的端點處取另一最值;若對稱軸不在給定的區間內,最值都在區間的端點處取得.角度二構建指數函數模型(2021·河北“五個一”名校高三聯考)某大學2013年在校本科生有4500人,研究生有500人,預計在今后若干年內,該學校本科生每年比上一年增長12.5%,研究生每年比上一年增長50%,則從年開始該校研究生的人數占該校本科生和研究生總人數的比例首次達到50%以上.(參考數據:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)

增長率問題,在實際問題中常可以用指數函數模型y=N(1+p)x(其中N是基礎數,p為增長率,x為時間)或冪函數模型y=a(1+x)n(其中a為基礎數,x為增長率,n為時間)的形式表示.求解時要注意指數、對數式的互化以及指數、對數函數的單調性的應用.角度三構建對數函數模型(2021·廣東高三聯考)核酸檢測分析是用熒光定量PCR法,通過化學物質的熒光信號,對在PCR擴增進程中成指數級增加的靶標DNA實時檢測,在PCR擴增的指數時期,熒光信號強度達到閾值時,DNA的數量Xn與擴增次數n滿足:lgXn=nlg(1+p)+lgX0,其中p為擴增效率,X0為DNA的初始數量.已知某被測標本DNA擴增5次后,數量變為原來的10倍,那么該標本的擴增效率p約為(參考數據:100.2≈1.585,10-0.2≈0.631)()A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631涉及與對數函數有關的函數模型問題,應結合函數解析式以及對數函數的運算性質以及對數函數的性質求解.求解時注意指數式與對數式的互化,以及實際問題中的條件限制.角度四構建y=x+ax運貨卡車以xkm/h的速度勻速行駛300km,按交通法規限制50≤x≤100(單位:km/h),假設汽油價格是每升6元,汽車每小時耗油(4+x2420)L,司機的工資是每小時46元.則這次行車的總費用的最低值是1.解決實際問題時一般可以直接建立f(x)=ax+bx的模型,有時可以將所列函數關系式轉化為f(x)=ax+b2.利用模型f(x)=ax+bx[針對訓練]1.(2021·百校聯盟高三聯考)大西洋鮭魚每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域產卵.記鮭魚的游速為v(單位:m/s),鮭魚的耗氧量的單位數為Q.科學研究發現v與log3Q100①v與log3Q100的正比例系數為k=1②當v=2m/s時,鮭魚的耗氧量的單位數為2700;③當鮭魚的耗氧量的單位數為100時,游速v=1e則正確說法的個數為()A.0 B.1 C.