專題07萬有引力與航天【例題】2021年10月16日，我國成功發射了神舟十三號載人飛船，與空間站組合體完成自主快速交會對接，3名航天員翟志剛、王亞平、葉光富成功送入了天和核心艙，他們將在軌駐留6個月，任務主要目標為驗證中國空間站建造相關技術，為我國空間站后續建造及運營任務奠定基礎。已知神舟十三號與空間站組合體完成對接后在軌道上運行，可視為勻速圓周運動，它們飛行n圈所用時間為t。已知它們的總質量為m，它們距地面的高度為h，地球半徑為R，引力常量為G。求：（1）神舟十三號與空間站組合體對接后，地球對它們的萬有引力F；（2）地球的質量M；（3）地球表面的重力加速度g。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）組合體繞地球運動的周期則所受的萬有引力為（2）根據萬有引力等于向心力解得地球的質量（3）根據解得模擬訓練1．北京時間2021年5月19日12時03分，我國在酒泉衛星發射中心用“長征四號”乙運載火箭，成功將“海洋二號”衛星送入預定軌道，發射任務獲得圓滿成功。已知衛星入軌后繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑為r、運行周期為T，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G。求：（1）“海洋二號”做勻速圓周運動的向心加速度的大小a；（2）地球的半徑R。【答案】（1）r；（2）【解析】（1）衛星入軌后繞地球做勻速圓周運動，根據勻速圓周運動公式聯立解得（2）設地球質量為，地球的半徑R，地球表面的重力加速度為，根據萬有引力提供向心力在地球表面聯立解得2．2021年2月10日，我國“天問一號”火星探測器順利進入環火軌道。已知“天問一號”繞火星做勻速圓周運動的周期為T，距火星表面的高度為h，火星的半徑為R，引力常量為G。求：（1）火星的質量M；（2）火星表面的重力加速度的大小。【答案】（1）；（2）【解析】（1）對探測器，根據萬有引力提供向心力解得（2）在火星表面，萬有引力等于重力解得3．如圖所示，我國北斗導航系統中，衛星A與衛星B在同一軌道平面內均繞地心O做逆時針方向的勻速圓周運動。若衛星A的運動周期為T，衛星B的軌道半徑為衛星A軌道半徑的2倍。從某次衛星A、B距離最近時開始計時，求O、A、B三者間第一次和第二次構成直角三角形分別經歷的時間。【答案】；【解析】設衛星A的軌道半徑為R，衛星B周期為，由萬有引力定律和牛頓第二定律可得由題意可知，當時，O，A，B三者第一次構成直角三角形，此時，如圖所示設經過的時間為，有聯立解得同理，當時，O，A，B三者第二次構成直角三角形，設經過時間為，有解得4．“天舟一號”貨運飛船于2017年4月20日在海南文昌航天發射中心成功發射升空，完成了與天宮二號空間實驗室交會對接。已知地球質量為M，萬有引力常量為G，將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體。（1）求飛船在距地面高度為h的圓軌道運行時線速度的大小v；（2）已知地球的自轉周期為T，求將質量為m的飛船停放在赤道上時飛船受到重力的大小G船；（3）海南文昌航天發射場是我國的低緯度濱海發射基地，相比高緯度發射基地，發射相同的同步軌道靜止衛星可節省燃料，請你從能量的角度說明可能的原因是什么（寫出一條即可）。【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】（1）根據萬有引力定律和牛頓第二定律有解得（2）根據萬有引力定律及向心力公式，有而解得（3）在任何地點發射衛星，需要達到的環繞速度是相同的，衛星在地球表面上的不同緯度，隨地球自轉，由于角速度相同，依據低緯度r大，則v0大，衛星具有的初動能就較大，因此節省燃料5．已知地球質量為，半徑為，自轉周期為，引力常量為。如圖所示，A為在地面附近繞地球做勻速圓周運動的衛星，為地球的同步衛星。（1）求衛星A運動的線速度、周期及向心加速度的大小（2）求衛星到地面的高度。【答案】（1）；；（2）【解析】（1）對衛星A，根據萬有引力等于向心力可知可得（2）對同步衛星衛星B，其周期等于地球的自轉周期T，則根據解得6．中國“天舟一號”貨運飛船順利完成與“天宮二號”太空實驗室的自主快速交會對接試驗，此次試驗將中國太空交會對接的兩天的準備時間縮短至6.5小時，為中國太空站工程后續研制建設奠定更加堅實的技術基礎。圖是“天舟”與“天宮”對接過程示意圖，已知“天舟一號”與“天宮二號”成功對接后，組合體沿圓形軌道運行。經過時間t，組合體繞地球轉過的角度為θ，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉。求：（1）地球質量M；（2）組合體運動的周期T；（3）組合體所在圓軌道離地高度H。【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）地球表面質量為m0的物體所受重力等于萬有引力，即

①解得

②（2）由題意可知組合體運動的角速度為

③則組合體運動的周期為

④（3）設組合體質量為m，根據牛頓第二定律有

⑤聯立②④⑤解得

⑥7．宇航員在某質量分布均勻的星球表面，以速度v0豎直上拋一質量為m的物體（引力視為恒力，阻力可忽略），經過時間t落到地面。已知該行星半徑為R，引力常量為G，忽略星球自轉的影響，求：（1）該星球表面的重力加速度大小；（2）該星球的質量；（3）該星球的密度。【答案】（1）；（2）；（4）【解析】（1）設行星表面的重力加速度為，對小球，有解得（2）對行星表面的物體，有故行星質量（3）故行星的密度可得8．兩個靠的很近的天體繞著它們連線上的一點（質心）做圓周運動，構成穩定的雙星系統，雙星系統運動時，其軌道平面存在著一些特殊的點，在這些點處，質量極小的物體（例如人造衛星）可以與兩星體保持相對靜止，這樣的點被稱為“拉格朗日點”。一般一個雙星系統有五個拉格朗日點。如圖所示，一雙星系統由質量為M的天體A和質量為m的天體B構成，它們共同繞連線上的O點做勻速圓周運動，在天體A和天體B的連線之間有一個拉格朗日點P，已知雙星間的距離為L，萬有引力常量為G，求：（1）天體A做圓周運動的角速度及半徑；（2）若Р點距離天體A的距離為，則M與m的比值是多少？【答案】（1）；；（2）104∶19【解析】（1）設O點距離天體A、B的距離分別為r1和r2，則轉動的角速度為ω，對于天體A有對于天體B有聯立可得（2）在P點放置一個極小物體，設其質量為mo，它與A、B轉動的角速度相同，對于小物體有代值可得9．2021年10月16日，神舟十三號載人飛船采用自主快速交會對接模式成功對接于天和核心艙徑向端口，對接過程簡化如圖所示。神舟十三號先到達天和核心艙軌道正下方d1=200米的第一停泊點并保持相對靜止，完成各種測控后，開始沿地心與天和核心艙連線（徑向）向天和核心艙靠近，到距離天和核心艙d2=19米的第二停泊點短暫駐留，完成各種測控后，繼續徑向靠近，以很小的相對速度完成精準的端口對接。對接技術非常復雜，故做如下簡化。假設地球是半徑為R0的標準球體，地表重力加速度為g，忽略自轉；核心艙軌道是半徑為R的正圓；神舟十三號質量為m1，對接前組合體的總質量為m2；忽略對接前后神舟十三號質量的變化。（1）神舟十三號安裝有幾十臺微動力火箭發動機，用以控制其各種平動和轉動，維持在第一停泊點時，需要開啟某些發動機，求發動機所提供推力F的大小和方向；（2）雖然對接時兩者相對速度很小，但如果不及時控制也會造成組合體偏離正確軌道，假設不考慮轉動，設對接靠近速度為v，求控制組合體軌道復位的火箭要對組合體做的功W。【答案】（1）；推力方向從地心指向核心艙；（2）【解析】（1）根據題意可知神舟十三號和核心艙以共同角速度繞地心做圓周運動，設此角速度為，地球質量為，引力常量為G。在地球表面有對核心艙根據向心力公式有設推力方向從地心指向核心艙，對神舟十三號根據向心力公式有聯立解得根據式中各量大小關系可以得到推力方向從地心指向核心艙；（2）以對接前在軌運動的核心艙為參考系，神舟十三號和核心艙對接結合，根據動量守恒定律對接后需要將此徑向速度減為0，根據動能定理聯立解得（2016?江蘇高考真題）據報道，一法國攝影師拍到“天宮一號”空間站飛過太陽的瞬間。照片中，“天宮一號”的太陽帆板輪廓清晰可見。如圖所示，假設“天宮一號”正以速度v=7.7km/s繞地球做勻速圓周運動，運動方向與太陽帆板兩端M、N的連線垂直，M、N間的距離L=20m，地磁場的磁感應強度垂直于v，MN所在平面的分量B=1.0×10﹣5T，將太陽帆板視為導體。（1）求M、N間感應電動勢的大小E；（2）在太陽帆板上將一只“1.5V、0.3W”的小燈泡與M、N相連構成閉合電路，不計太陽帆板和導線的電阻。試判斷小燈泡能否發光，并說明理由；（3）取地球半