2025年高考數學二級結論篇（核心知識背記手冊）-專項訓練高考數學二級結論篇（核心二級結論背記手冊）目錄TOC\o"1-2"\h\u二級結論背記01集合 ②若時，（i）如圖1，當在右側時，過作，交射線于兩點，則，不妨設與的相似比為由三點共線可知：存在使得：所以（ii）當在左側時，射線的反向延長線與有交點，如圖1作關于的對稱點，由（i）的分析知：存在存在使得：所以于是綜合上面的討論可知：圖中用線性表示時，其系數和只與兩三角形的相似比有關。我們知道相似比可以通過對應高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內切圓半徑之比來刻畫。因為三角形的高線相對比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖中，過作邊的垂線，設點在上的射影為，直線交直線于點，則(的符號由點的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍極化恒等式恒等式右邊有很直觀的幾何意義:向量的數量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的，恒等式的作用在于向量的線性運算與數量積之間的聯系如圖在平行四邊形中,則在上述圖形中設平行四邊形對角線交于點,則對于三角形來說:奔馳定理如圖，已知P為內一點，則有.由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.（1）奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點則（2）奔馳定理的推論及四心問題推論是內的一點,且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對邊垂直.（3）三角形的內心：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心，也就是內切圓的圓心，三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.奔馳定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的問題，有著決定性的基石作用.已知點在內部，有以下四個推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內心，則；備注：若為的內心，則也對.④若為的垂心，則，或二級結論背記04不等式與基本不等式基本不等式鏈拓展.m>n時，權方和不等式的二維形式若則當且僅當時取等.(注：熟練掌握權方和不等式的初級應用，足以解決高考中的這類型最值問題的秒殺)糖水不等式定理若,則一定有通俗的理解:就是克的不飽和糖水里含有克糖,往糖水里面加入克糖,則糖水更甜;糖水不等式的倒數形式:設,則有:對數型糖水不等式（1）設,且,則有（2）設,則有（3）上式的倒數形式：設,則有二級結論背記05三角函數與三角恒等變換常見三角不等式（1）若，則.（2）若，則.（3）.半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上稱之為半角公式，符號由eq\f(α,2)所在象限決定．萬能公式和差化積與積化和差公式二級結論背記06解三角形常見三角恒等式在任意內，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC推論：在內，若tanA+tanB+tanC<0，則為鈍角三角形常見平面幾何結論平行四邊形對角線平方之和等于四條邊平方之和三角形中常見不等式在銳角三角形中內切圓半徑在Rt△ABC中，C為直角，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則△ABC的內切圓半徑為海倫-秦九韶公式三角形的三邊分別是a、b、c，則三角形的面積為其中，這個公式就是海倫公式，為古希臘的幾何學家海倫所發現并證明。我國南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三邊求三角形面積的秦九韶公式:海倫-秦九韶公式推廣已知三角形三邊x，y，z，求面積可用下述方法(一些情況下比海倫公式更實用，如，，)三倍角公式，射影定理，，角平分線定理（1）在中，為的角平分線，則有（2）（3）（庫斯頓定理）（4）張角定理倍角定理在中,三個內角的對邊分別為,(1)如果,則有:(2)如果,則有:(3)如果,則有:倍角定理的逆運用在中,三個內角A、B、C的對邊分別為,(1)如果,則有:。(2)如果,則有:。(3)如果,則有:。中線長定理為的中線,則中線定理:證明:在和中,用余弦定理有:三角恒等式在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；二級結論背記07函數的基本性質周期性（差為常數有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴倍問題）④若，則的周期為：（周期擴倍問題）對稱性（和為常數有對稱軸）（1）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為（2）點對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數，為奇函數，則的周期為：②已知為奇函數，為偶函數，則的周期為：與指數函數相關的奇函數和偶函數，（，且）為偶函數，，（，且）為奇函數和，（，且）為其定義域上的奇函數和，（，且）為其定義域上的奇函數為偶函數與對數函數相關的奇函數和偶函數，（且）為奇函數，，（且）為奇函數奇函數+常函數在定義域內，若，其中為奇函數，為常數，有即倍常數二級結論背記08導數幾個常用極限（1），（）；（2），.兩個重要的極限（1）；（2）(e=2.718281845…).函數極限的四則運算法則若，，則(1)；(2);(3).常用的近似計算公式（當足夠小時）(1);；(2)；；(3)；(4)；(5)（為弧度）；(6)（為弧度）；二階導的定義定義1:若函數的導函數在點處可導,則稱在點的導數為在點的二階導數,記作,同時稱在點為二階可導.定義2:若在區間上每一點都二階可導,則得到一個定義在上的二階可導函數,記作函數極值的第二判定定理若在附近有連續的導函數,且（1）若,則在點處取極大值;（2）若,則在點處取極小值曲線的凹凸性設函數y=fx在區間a,b設函數在內具有二階導數,如果在內,那么對應的曲線在內是凹的,如果在內,那么對應的曲線在內是凸的設在區間上連續,如果對上任意兩點,恒有則稱在上的圖形是凹的,簡稱為凹弧;如果恒有則稱在上的圖形是凸的,或簡稱為凸弧。曲線的拐點曲線上凸部和凹部的分界點叫做拐點。因此拐點一定是使的點,但是使的點不一定都是拐點。利用曲線的切線進行放縮證明不等式設上任一點的橫坐標為，則過該點的切線方程為，即，由此可得與有關的不等式：，其中，，等號當且僅當時成立．特別地，當時，有；當時，有．設上任一點的橫坐標為，則過該點的切線方程為，即，由此可得與有關的不等式：，其中，，等號當且僅當時成立．特別地，當時，有；當時，有．利用切線進行放縮，能實現以直代曲，化超越函數為一次函數．利用曲線的相切曲線進行放縮證明不等式由圖可得；由圖可得；由圖可得，（），（）；由圖可得，（），（）．綜合上述兩種生成，我們可得到下列與、有關的常用不等式：與有關的常用不等式：（1）（）；（2）（）．與有關的常用不等式：（1）（）；（2）（）；（3）（），（）；（4）（），（）．用取代的位置，相應的可得到與有關的常用不等式．恒成立問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數；為參數，為其表達式，（1）的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比）能成立（有解）問題常見類型假設為自變量，其范圍設為，為函數；為參數，為其表達式，（1）若的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比），則只需要②，則只需要（注意與（1）中對應情況進行對比），則只需要端點效應的類型1.如果函數在區間上,恒成立,則或.2.如果函數在區問上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數在區問上,恒成立,且(或,則或.洛必達法則：法則1若函數f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點a的去心鄰域內，f(x)與g(x)可導且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型常見的指對放縮，，，常見的三角函數放縮其他放縮，，，，，，放縮程度綜合，常見函數的泰勒展開式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．常見函數的泰勒展開式的結論結論1．結論2．結論3（）．結論4．結論5；；．結論6；結論7結論8．結論9．極值點偏移的含義眾所周知，函數滿足定義域內任意自變量都有，則函數關于直線對稱；可以理解為函數在對稱軸兩側，函數值變化快慢相同，且若為單峰函數，則必為的極值點.如二次函數的頂點就是極值點，若的兩根的中點為，則剛好有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移.若相等變為不等，則為極值點偏移：若單峰函數的極值點為，且函數滿足定義域內左側的任意自變量都有或，則函數極值點左右側變化快慢不同.故單峰函數定義域內任意不同的實數滿足，則與極值點必有確定的大小關系：若，則稱為極值點左偏；若，則稱為極值點右偏.如函數的極值點剛好在方程的兩根中點的左邊，我們稱之為極值點左偏.極值點偏移問題的一般題設形式1.若函數存在兩個零點且，求證：（為函數的極值點）；2.若函數中存在且滿足，求證：（為函數的極值點）；3.若函數存在兩個零點且，令，求證：；4.若函數中存在且滿足，令，求證：.極值點偏移的判定定理對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，方程的解分別為，且，（1）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏；（2）若，則，即函數在區間上極（小）大值點右（左）偏.證明：（1）因為對于可導函數，在區間上只有一個極大（小）值點，則函數的單調遞增（減）區間為，單調遞減（增）區間為，由于，有，且，又，故，所以，即函數極（小）大值點右（左）偏；（2）證明略.左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）左快右慢（極值點左偏）左慢右快（極值點右偏）對數平均不等式兩個正數和的對數平均定義：對數平均與算術平均?幾何平均的大小關系：（此式記為對數平均不等式）取等條件：當且僅當時，等號成立．只證：當時，．不失一般性，可設．證明如下：（I）先證：……①不等式①（其中）構造函數，則．因為時，，所以函數在上單調遞減，故，從而不等式①成立；（II）再證：……②不等式②（其中）構造函數，則．因為時，，所以函數在上單調遞增，故，從而不等式成立；綜合（I）（II）知，對，都有對數平均不等式成立，當且僅當時，等號成立．運用判定定理判定極值點偏移的方法（1）求出函數的極值點；（2）構造一元差函數；（3）確定函數的單調性；（4）結合，判斷的符號，從而確定、的大小關系.拉格朗日（Lagrange）中值定理若函數f（x）滿足如下條件：（1）f（x）在閉區間[a，b]上連續；（2）f（x）在開區間（a，b）內可導．則在（a，b）內至少存在一點ξ，使得．拉格朗日中值定理的幾何意義如圖所示，在滿足定理條件的曲線上至少存在一點P（ξ，f（ξ）），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線．需要注意的地方（逆命題不成立）

拉格朗日中值定理沒有逆定理,即對曲線的任一切線,并不一定存在割線,使割線斜率等于

切線斜率,如fx=x3在拉格朗日公式還有下面幾種等價形式，，．注：拉格朗日公式無論對于還是都成立，而ξ則是介于a與b之間的某一常數．顯然，當時，．二級結論背記09數列等差數列任意前n項和的關系等比數列任意前n項和的關系數列不動點定義：方程的根稱為函數的不動點利用遞推數列的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種方法稱為不動點法定理1：若是的不動點，滿足遞推關系，則，即是公比為的等比數列.定理2：設，滿足遞推關系，初值條件(1)若有兩個相異的不動點，則（這里）(2)若只有唯一不動點，則（這里） 定理3：設函數有兩個不同的不動點,且由確定著數列,那么當且僅當時,錯位相減萬能公式求和為公差為d的等差數列，為公比為q的等比數列，若數列滿足，則數列的前n項和為通項公式的構造（1）已知，我們可以用待定系數法構造，從而轉化為我們熟悉的等比數列求解（2）已知用求通項（3）已知用求通項公式，其本質是除以一個指數式（4）已知用求通項公式，其本質是待定系數法（5）已知用求通項公式，其本質是除以（6）已知用求通項公式，其本質是取到數（7）已知用求通項公式，其本質是取對數二級結論背記10立體幾何內切球體積任意的簡單n面體內切球半徑為(V是簡單n面體的體積，是簡單n面體的表面積)三垂線法求二面角已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角。垂面法求二面角已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直。射影面積法求二面角凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cosθ=S三余弦定理設AC是α內的任一條直線，且BC⊥AC，垂足為C，又設AO與AB所成的角為，AB與AC所成的角為，AO與AC所成的角為．則.三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是,,與二面角的棱所成的角是θ，則有;(當且僅當時等號成立).長度為的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為，夾角分別為,則有.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.空間兩點間的距離公式若A，B，則=.點到直線距離(點在直線上，直線的方向向量a=，向量b=).異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).點到平面的距離（為平面的法向量，是經過面的一條斜線，）.異面直線上兩點距離公式..（）.(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，,,).歐拉定理(歐拉公式)(簡單多面體的頂點數V、棱數E和面數F).（1）=各面多邊形邊數和的一半.特別地,若每個面的邊數為的多邊形，則面數F與棱數E的關系：；（2）若每個頂點引出的棱數為，則頂點數V與棱數E的關系：.球的組合體(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為.二級結論背記11解析幾何（直線與圓+圓錐曲線）點關于線對稱的一般性結論點(x,y)關于直線Ax+By+C=0的對稱點坐標為直徑端點圓的方程若圓的直徑端點，則圓的方程為解析幾何中的切線方程①過圓上任意一點的切線方程為②過橢圓上任意一點的切線方程為③過雙曲線上任意一點的切線方程為④設Px0,y解析結合中的切點弦方程平面內一點引曲線的兩條切線，兩切點所在直線的方程叫做曲線的切點弦方程①圓的切點弦方程為②橢圓的切點弦方程為③雙曲線的切點弦方程為④拋物線的切點弦方程為 ⑤二次曲線的切點弦方程為相切的條件①橢圓與直線相切的條件是②雙曲線與直線相切的條件是斜率關系若A、B、C、D是圓錐曲線(二次曲線)上順次四點,則四點共圓(常用相交弦定理)的一個充要條件是:直線AC、BD的斜率存在且不等于零,并有,(,分別表示AC和BD的斜率)常見不等式已知橢圓方程為，兩焦點分別為，，設焦點三角形中，則()橢球體積橢圓繞Ox坐標軸旋轉所得的旋轉體的體積為縱坐標之和y=kx+m與橢圓相交于兩點，則縱坐標之和為漸近線圍成的四邊形面積過雙曲線上任意一點作兩條漸近線的平行線，與漸近線圍成的四邊形面積為帕斯卡定理如果一個六邊形內接于一條二次曲線(橢圓、雙曲線、拋物線)，那么它的三對對邊的交點在同一條直線上斜率定值過原點的直線與橢圓的兩個交點和橢圓上不與左右頂點重合的任一點構成的直線斜率乘積為定值推論1：橢圓上不與左右頂點重合的任一點與左右頂點構成的直線斜率乘積為定值推論2：過橢圓上一點做斜率互為相反數的兩條直線交橢圓于A、B兩點，則直線AB的斜率為定值橢圓和雙曲線的結論匯總橢圓雙曲線標準方程焦點焦點焦半徑為離心率，為點的橫坐標.為離心率，為點的橫坐標.焦半徑范圍為橢圓上一點，為焦點.為雙曲線上一點，為焦點.通徑過焦點與長軸垂直的弦稱為通徑.通徑長為過焦點與實軸垂直的弦稱為通徑.通徑長為如圖，直線過焦點與橢圓相交于兩點.則的周長為.（即）如圖，直線過焦點與雙曲線相交于兩點.則.焦點弦傾斜角為的直線過焦點與橢圓相交于兩點.焦點弦長.最長焦點弦為長軸，最短焦點弦為通徑.傾斜角為的直線過焦點與雙曲線相交于兩點.焦點弦長.與數量關系直線過焦點與橢圓相交于兩點，則.直線過焦點與雙曲線相交于兩點，則.已知點是橢圓上一點，坐標原點，則.已知點是雙曲線上一點，坐標原點，則.焦三角形如圖，是橢圓上異于長軸端點的一點，已知，，，則（1）；（2）離心率.如圖，是雙曲線上異于實軸端點的一點，已知，，，則（1）；（2）離心率.垂徑定理如圖，已知直線與橢圓相交于兩點，點為的中點，為原點，則.如圖，已知直線與雙曲線相交于兩點，點為的中點，為原點，則.（注：直線與雙曲線的漸近線相交于兩點，其他條件不變，結論依然成立）周角定理如圖，已知點橢圓長軸端點（短軸端點），是橢圓上異于的一點，則.推廣：如圖，已知點是橢圓上關于原點對稱的兩點，是橢圓上異于的一點，若直線的斜率存在且不為零，如圖，已知點雙曲線實軸端點，是雙曲線上異于的一點，則.推廣：如圖，已知點是雙曲線上關于原點對稱的兩點，是雙曲線上異于的一點，若直線的斜率存在且不為零，.直線過焦點與橢圓相交于兩點，點，則（即）.直線過焦點與雙曲線相交于兩點，點，則（即）.切線方程已知點是橢圓上一點，則橢圓在點處的切線方程為.已知點是雙曲線上一點，則雙曲線在點處的切線方程為.補充結論11．過定點（定點在雙曲線外且不在漸近線上）的直線與雙曲線交點個數問題：設斜率為的直線過定點，雙曲線方程為，過點與雙曲線相切時的斜率為.（1）當時，直線與雙曲線有兩個交點，且這兩交點在雙曲線的兩支上；（2）當時，直線與雙曲線只有一個交點；（3）當時，直線與雙曲線有兩個交點，且這兩交點在雙曲線的同一支上；（4）當時，直線與雙曲線只有一個交點；（5）當時，直線與雙曲線沒有交點.2．如圖，是雙曲線的焦點，過點作垂直雙曲線的其中一條漸近線，垂足為，為原點，則.3．點是雙曲線上任意一點，則點到雙曲線的漸近線的距離之積為定值.4．點是雙曲線上任意一點，過點作雙曲線的漸近線的平行線分別與漸近線相交于兩點，為原點，則平行四邊形的面積為定值.拋物線的結論如圖，拋物線方程為，準線與軸相交于點，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，為原點，直線的傾斜角為.1．2．焦半徑：，，.3．焦點弦：.4．的數量關系：，.5．三角形的面積.6．以焦點弦為直徑的圓與準線相切；以焦半徑為直徑的圓與軸相切.7．直線的斜率之和為零（），即.8．點三點共線；點三點共線.9．如圖，點是拋物線，為原點，若，則直線過定點.補充結論21.已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.則（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值為;（3）的最小值是.2.與共軛的雙曲線方程為，①它們有公共的漸近線；②四個焦點都在以原點為圓心，C為半徑的圓上；③。3.與有相同焦點的雙曲線方程為4.與有相同焦點的橢圓方程為：5.與有相同焦點的雙曲線方程為：6.與有相同離心率的雙曲線方程為：①焦點在軸上時：②焦點在軸上時：7.與有相同的漸近線方程為：；二級結論背記12排列組合、二項式定理、概率統計二項式系數的性質性質內容對稱性與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等，即增減性當k＜eq\f(n＋1,2)時，二項式系數逐漸增大；當k＞eq\f(n＋1,2)時，二項式系數逐漸減小最大值當n是偶數時，中間一項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項))的二項式系數最大，最大值為；當n是奇數時，中間兩項eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1項和第\f(n＋1,2)＋1項))的二項式系數相等，且同時取得最大值，最大值為或二項式系數和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝.單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取個元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②