PAGE4-第三章導數及其應用3.1改變率與導數3.1.3導數的幾何意義A級基礎鞏固一、選擇題1．下列說法正確的是()A．曲線的切線和曲線有且只有一個公共點B．過曲線上的一點作曲線的切線，這點肯定是切點C．若f′(x0)不存在，則曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處無切線D．若y＝f(x)在點(x0，f(x))處有切線，則f′(x0)不肯定存在解析：曲線的切線和曲線除有一個公共切點外，還可能有其他的公共點，故A、B錯誤；f′(x0)不存在，曲線y＝f(x)在點(x0，f(x))的切線的斜率不存在，但切線可能存在，此時切線方程為x＝x0，故C錯誤，D正確．答案：D2．曲線f(x)＝3x＋x2在點(1，f(1))處的切線方程為()A．y＝5x－1 B．y＝－5x＋1C．y＝eq\f(1,5)x＋1 D．y＝－eq\f(1,5)x－1解析：k＝eq\f(3（1＋Δx）＋（1＋Δx）2－3－12,Δx)＝5.f(1)＝4.由點斜式得y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1.答案：A3．曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線方程為2x－y＋1＝0，則()A．f′(x0)>0 B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0 D．f′(x0)不存在解析：因為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數就是曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線的斜率，又切線2x－y＋1＝0的斜率為2，所以f′(x0)＝2>0.答案：A4．若曲線f(x)＝ax2在點(1，a)處的切線與直線2x－y－6＝0平行，則a等于()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：因為f′(1)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.答案：A5．曲線y＝f(x)＝x3在點P處切線的斜率為k，當k＝3時點P的坐標為()A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1，1)C．(2，8) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))解析：設點P的坐標為(x0，y0)，則k＝f′(x0)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）3－xeq\o\al(3,0),Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋3xeq\o\al(2,0)＋3x0·Δx]＝3xeq\o\al(2,0).因為k＝3，所以3xeq\o\al(2,0)＝3，所以x0＝1或x0＝－1，所以y0＝1或y0＝－1.所以點P的坐標為(－1，－1)或(1，1)．答案：B二、填空題6．若拋物線y＝x2與直線2x＋y＋m＝0相切，則m＝________．解析：設切點為P(x0，y0)，易知，y′＝2x.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x0＝－2，,y0＝xeq\o\al(2,0)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝1，))即P(－1，1)．又P(－1，1)在直線2x＋y＋m＝0上，故2×(－1)＋1＋m＝0，即m＝1.答案：17．曲線f(x)＝eq\f(1,2)x2的平行于直線x－y＋1＝0的切線方程為________．解析：f′(x)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))＝eq\f(\f(1,2)（x＋Δx）2－\f(1,2)x2,Δx)＝x.因為直線x－y＋1＝0的斜率為1，所以x＝1，所以f(1)＝eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,2)，切點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2))).故切線方程為y－eq\f(1,2)＝1·(x－1)，即x－y－eq\f(1,2)＝0.答案：x－y－eq\f(1,2)＝08．已知函數y＝f(x)的圖象在點M(1，f(1))處的切線方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，則f(1)＋f′(1)＝________．解析：由導數的幾何意義，得f′(1)＝eq\f(1,2)，又切點在切線上，故f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，所以f(1)＋f′(1)＝3.答案：3三、解答題9．在拋物線y＝x2上哪一點處的切線平行于直線4x－y＋1＝0？哪一點處的切線垂直于這條直線？解：y′＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.設拋物線上點P(x0，y0)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，則＝2x0＝4，解得x0＝2.所以y0＝xeq\o\al(2,0)＝4，即P(2，4)．設拋物線上點Q(x1，y1)處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0，則＝2x1＝－eq\f(1,4)，解得x1＝－eq\f(1,8).所以y1＝xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,64)，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64))).故拋物線y＝x2在點(2，4)處的切線平行于直線4x－y＋1＝0，在點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64)))處的切線垂直于直線4x－y＋1＝0.10．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c過點P(1，1)，且在點Q(2，－1)處與直線y＝x－3相切，求實數a，b，c的值．解：因為拋物線過點P，所以a＋b＋c＝1，①依據導數的定義知y′＝2ax＋b，所以y′|x＝2＝4a＋b，所以4a＋b＝1，②又拋物線過點Q，所以4a＋2b＋c＝－1，③由①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.所以實數a，b，c的值分別為3，－11，9.B級實力提升1．已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(1，3)，則b的值為()A．3 B．－3 C．5 D．－5解析：點(1，3)既在直線上，又在曲線上．由于y′＝eq^\o(,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3＋a（x＋Δx）＋b－（x3＋ax＋b）,Δx)＝3x2＋a，所以y′|x＝1＝3＋a＝k，將(1，3)代入y＝kx＋1，得k＝2，所以a＝－1，又點(1，3)在曲線y＝x3＋ax＋b上，故1＋a＋b＝3，又由a＝－1，可得b＝3.答案：A2．已知函數y＝f(x)在區間[0，3]上的圖象如圖所示，記k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，則k1、k2、k3之間的大小關系為________．(請用“>”連接)解析：由導數的幾何意義可知k1，k2分別為曲線在A，B處切線的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝eq\f(f（2）－f（1）,2－1)，為直線AB的斜率，由圖象易知k1>k3>k2.答案：k1>k3>k23．若曲線y＝x3＋3ax在某點處的切線方程為y＝3x＋1，求a的值．解：因為y＝x3＋3ax.所以y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3＋3a（x＋Δx）－x3－3ax,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3＋3aΔx,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.設曲線與直線相切的切點為P(x0，y0)，結合已