4.2利用導數求單調性（精講）函數的單調性與導數的關系一般地，設函數y＝f(x)在某個區間(a，b)內有導數，函數f(x)的單調性與其導函數f′(x)的正負之間具有如下關系：①在某個區間(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞增，區間(a，b)為函數y＝f(x)的單調增區間；②在某個區間(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞減，區間(a，b)為函數y＝f(x)的單調減區間．③在某個區間(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上為常函數．易錯點：討論函數的單調性或求函數的單調區間的實質是解不等式，求解時，要堅持“定義域優先”原則.一．利用導數求函數單調區間的方法法一：當導函數不等式可解時，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出單調區間；（無參函數）確定函數單調區間的步驟①確定函數f(x)的定義域．②求f′(x)．③解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區間；解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區間．法二：當導函數方程f′(x)＝0可解時，解出方程的實根，依照實根把函數的定義域劃分為幾個區間，確定各區間f′(x)的符號，從而確定單調區間；法三：若導函數對應的方程、不等式都不可解，根據f′(x)的結構特征，利用圖象與性質確定f′(x)的符號，從而確定單調區間．易錯點：若所求函數的單調區間不止一個，這些區間之間不能用“∪”及“或”連接，只能用“，”“和”隔開．二．根據函數單調性求參數的一般思路法一：由函數在區間[a，b]上單調遞增(減)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在區間[a，b]上恒成立，列出不等式；法二：利用分離參數法或函數的性質求解恒成立問題；法三：對等號單獨檢驗，檢驗參數的取值能否使f′(x)在整個區間恒等于0．若f′(x)恒等于0，則參數的這個值應舍去；若只有在個別點處有f′(x)＝0，則參數可取這個值．法四：當函數在某個區間上存在單調區間可轉化為不等式有解問題；當已知函數在某區間上不單調時，則轉化為關于導函數的方程在該區間上有解問題．含參函數單調性的分類討論1.研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論．2.劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為零的點和函數的間斷點．3.討論點一般有三類：①自變量系數a分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,a＝0，,a>0，))②判別式Δ分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ<0，,Δ＝0，,Δ>0，))③兩根的大小分eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1<x2，,x1＝x2，,x1>x2.))四．單調性的應用1．比較大小：若自變量不在同一單調區間內，則要利用函數的性質，將其轉化到同一個單調區間上，再進行比較．2．利用單調性比較大小或解不等式，關鍵是根據題意構造輔助函數，利用構造的函數的單調性比較大小或解不等式．3．與抽象函數有關的不等式，要充分挖掘條件關系，恰當構造函數；題目中若存在f(x)與f′(x)的不等關系時，常構造含f(x)與另一函數的積(商)的函數，與題設形成解題鏈條，利用導數研究新函數的單調性，從而求解不等式．五．易錯點1．在某區間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數f(x)在此區間上為增(減)函數的充分不必要條件．2．可導函數f(x)在(a，b)上是增(減)函數的充要條件是對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子區間內都不恒為零．注意：若所求函數的單調區間不止一個時，用“，”或“和”連接，不能用“∪”連接．考法一利用導數求函數的單調區間（無參）【例1-1】（2023春·湖北）函數的單調遞增區間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，令，解得，所以函數的單調遞增區間是.故選：B【例1-2】（2023春湖南）函數的單調遞增區間是（

）A． B．

C． D．【答案】B【解析】令，得，∴當時，單調遞增.故選：B【一隅三反】1．（2023春·河南）函數的單調遞減區間為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】的定義域為，，由，可得，故的單調遞減區間為.故選：C．2．（2023春·吉林長春）函數的單調遞增區間是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，令，解得或，故其單調增區間為，故選：A.3．（2023春·山東）若函數，則函數的單調遞減區間為（

）．A．， B．，C． D．【答案】C【解析】，函數定義域為，，令，解得，則函數的單調遞減區間為.故選：C.考法二導函數圖像判斷原函數圖像【例2-1】（2023春·廣東）已知函數的圖象如圖所示，則下列說法中錯誤的是（

）

A．在區間上單調遞減B．在區間上單調遞增C．當時，>0D．當時，=0【答案】C【解析】由圖像可知函數的增區間為，減區間為，故AB正確；由單調性可知，函數在處取得極值，所以，D正確；當時，函數單調遞減，所以，C錯誤.故選：C【例2-2】（2023·廣西）設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由導函數的圖象可得當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.只有C選項的圖象符合.故選：C.【一隅三反】1．（2023·山東）已知函數的導函數圖像如圖所示，則的圖像是圖四個圖像中的（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可知，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，當時，單調遞增，則在上增的越來越快，當時，單調遞減，則在上增的越來越慢，當時，單調遞減，則在上減的越來越快，當時，單調遞增，則在上減的越來越慢，只有A選項符合.故選：A.2．（2023·山西）函數的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．的符號不確定【答案】B【解析】如圖所示，在上單調遞減，所以故選：B3．（2023春·河南新鄉）已知定義在區間上的函數的導函數為，的圖象如圖所示，則（

）

A．在上單調遞增B．C．曲線在處的切線的斜率為0D．最多有3個零點【答案】D【解析】設，且．由圖可得，當時，，當時，．所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．故最多有3個零點．排除ABC.故選：D4．（2023·海南）已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如下圖所示，則該函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由導函數圖象知，，恒成立，即函數在上單調遞增，而函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此在上，函數的變化率逐漸增大，即函數圖象逐漸由緩變陡，選項AD不滿足，在上，函數的變化率逐漸減小，即函數圖象逐漸由陡變緩，選項C不滿足，選項B符合題意.故選：B.考法三已知函數單調性求參數【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函數，若在區間上單調遞增，則實數的取值范圍是___________；若在區間上存在單調遞增區間，則實數a的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為，，在區間內單調遞增，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，，，因為在，，則的取值范圍是：.若在上存在單調遞增區間，則在上有解，即在上有解，，又，.則的取值范圍是：.故答案為：；.【例3-2】（2023·天津）若函數有三個單調區間，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為函數有三個單調區間，所以，解得：.故選：A【例3-3】（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）若函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【答案】B【解析】函數的定義域為，且，令，得，因為在區間上不單調，所以，解得：故選：B.【一隅三反】1.（2023·全國·統考高考真題）已知函數在區間上單調遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設，所以，所以在上單調遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．（2023·陜西西安·統考三模）若函數在區間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為函數在區間上單調遞增，所以在區間上恒成立，即在區間上恒成立，令，則，所以在上遞增，又，所以.所以的取值范圍是.故選：B3．（2023春·四川成都）若函數的單調遞減區間為，則實數k的值為（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由，由已知遞減區間，則得：，故，1是的兩根，，，故選：A4．（2023春重慶）（多選）已知函數在上有三個單調區間，則實數的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由題意可知函數在上有三個單調區間，等價在有兩個不同的根.，令，則，即在有唯不為1的一根，則有有唯一不為1的根，令，則，故當單調遞增，當單調遞減，且即，故選：BD5．（2023·陜西）函數在區間上不單調，實數的范圍是____________.【答案】【解析】，，令，得.當或時，；當時，.所以函數在，上單調遞增，在上單調遞減，所以函數的極大值點為，極小值點為.由題意可得或，解得或.所以實數的范圍是.故答案為：.考法四單調性的應用--比較大小【例4-1】．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知函數，若，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，可得函數為偶函數，當時，則，可得，構建，則，令，解得；令，解得；所以在上單調遞減，在上單調遞增，可得，即在上恒成立，故在上單調遞增，又因為，且，所以，即.故選：D.【例4-2】（2023·甘肅定西·統考模擬預測）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c【答案】D【解析】設，則恒成立，所以函數在上單調遞增，因為，所以，則，即，則.故選：D.【例4-3】（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學校考模擬預測）已知則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，則，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，故，所以，當時取等號.所以，令，則，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，故，所以，當時取等號.所以，即.故選：C.【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，則，，的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以構造函數，因為，由有：，由有：，所以在上單調遞減，因為，，,因為，所以，故A，B，D錯誤.故選：C.2．（2023·山西·校聯考模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，，，令，則，，所以在上單調遞減，又因為，所以，即．故選：D.3．（2023·河北·統考模擬預測）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設函數，則，當時，，當時，，故在單調遞增，在上單調遞減，又，，，因為，故，即，故選：B考法五單調性的應用--解不等式【例5-1】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）已知函數，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】均為偶函數，故函數為偶函數，令則，，即在R上單調遞減，又在恒成立，故函數在上遞減，在遞增..故選：C.【例5-2】（2023春·四川涼山·）已知函數滿足，且的導函數，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，因為，所以，即函數在上單調遞減，則，即，即，所以，即的解集為.故選：D【一隅三反】1．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知函數，則不等式的解集是______.【答案】【解析】因為函數，所以，即函數為奇函數，且，則函數為增函數，則不等式等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：2．（2023春·江蘇鹽城）已知函數的定義域為R，為的導函數，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據題意，構造函數，則，所以函數在R上單調遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D.3．（2023·廣東深圳·統考模擬預測）已知函數，，若，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】由，函數是定義在上的偶函數，又，令且，則，故在上遞增，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上遞增，則上遞減，，則，，即，即，在上單調遞增，，即，解得．故答案為：．考法六含參函數單調性的分類討論【例6-1】（2023·河北·模擬預測）已知函數.討論函數的單調性；【答案】答案見解析.【解析】函數，，則，當，即時，恒成立，即在上單調遞增；當，即時，令，解得，+0↗極大值↘綜上所述，當是，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.【例6-2】．2023·廣東佛山·校聯考模擬預測）已知函數，討論的單調性；【答案】答案見解析【解析】的定義域為，，當時，，在上為增函數；當時，由，得，由，得，所以在上為減函數，在上為增函數.綜上所述：當時，在上為增函數；當時，在上為減函數，在上為增函數.【例6-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中校考二模）已知函數，討論函數的單調性；【答案】答案見解析【解析】，令，則兩根分別為.1.當時，在恒成立，故的單調遞增區間為，無單調遞減區間；2.當時，令得或，令得，所以單調遞增區間為，單調遞減區間為；3.當時，令得或時，令得，所以單調遞增區間為，單調遞減區間為.綜上當時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為；當時，單調遞增區間為，單調遞減區間為.【例6-4】（2023·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統考三模）已知函數，討論函數的單調性；【答案】答案見解析【解析】因為，該函數的定義域為，.因為，由得：或.①當，即時，對任意的恒成立，且不恒為零，此時，函數的增區間為，無減區間；②當，即時，由得或；由得.此時，函數的增區間為、，減區間為；③當，即時，由得或；由得.此時函數的增區間為、，減區間為.綜上所述：當時，函數的增區間為，無減區間；當時，函數的增區間為、，減區間為；當時，函數的增區間為、，減區間為.【例6-5】（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）已知函數，討論的單調性；【答案】答案見解析【解析】的定義域為R，，，對于，則，當時，，在上單調遞增，當時，由得，當和時，，當時，，在單調遞增，在上單調遞減，綜上，當時，在上單增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；.【一隅三反】1．（2023·陜西咸陽）已知，討論函數的單調性；【答案】答案見解析【解析】由題知，.當時，當時，；當時，，在區間上是?函數，在區間上是增函數；當時，；當或時，；當時，；在區間上是增函數，在區間上是減函數，在區間上是增函數；當時，在區間上是增函數；當時，；當或時，；當時，；在區間上是增函數，在區間上是減函數，在區間上是增函數；綜上所述，當時，在區間上是減函數，在區間上是增函數；當時，在區間上是增函數，在區間上是減函