階段回扣練3導數及其應用

(建議用時：90分鐘)

一、選擇題

1.(?哈師大附中檢測)設函數f(x)=axlnx(a￡R,a和)，若f(e)=2,則f(e)的值為

()

A.1B,

C.eD.2e

解析f(x)=alnx+a,故F(e)=2a=2,得a=l,

故f(x)=xlnx,f(e)=e.

答案C

2.(?大連模擬)曲線y=x2+Inx在點(1,1)處的切線方程為()

A.3x-y-2=0B.x-3y+2=0

C.3x+y-4=0D.x+3y-4=0

解析yr=2x+￡故y1x=l=3,故在點(1』)處的切線方程為y-l=3(x-l),化簡整理得

3x-y-2=0.

答案A

3.三次函數f(x)=mx3-x在(-叫+8)上是減函數，則m的取值范圍是()

A.(-00,0)B.(-co,1)

C.(-00,0]D.(-00,1]

解析f(x)=3mx2-1,依題意可得m<0.

答案A

4.設函數g(x)=x(x2-1),則g(x)在區間[0,1]上的最小值為()

A.-1B.0

C.-挈D.坐

,

解析g(x)=x3-x,Sg(x)=3x2-l=0t

解得x二日或邛(舍去).

當X變化時，g，(x)與g(x)的變化情況如下表：

a

X0近1

:。T)3

g'(x)一0+

g(x)0極小值0

所以當x=乎時，g(x)有最小值小里)=-挈.

答案c

5.(?濟寧一模)已知函數f(x)的導函數F(x)=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則函數f(x)的圖象

可能是()

解析由導數的圖象可得原函數f(X)圖象在(-8.0)上“減”，在(0.+8)上先“增”后“減”，

與之相符的只有D.

答案D

6.設f(x),g(x)在[a,b]上可導，且F(x)>g，(x),貝IJ當a<x<b時，有()

A.f(x)>g(x)B,f(x)<g(x)

C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a)D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b)

解析,??r(x)-g，(x)>0,.?.(f(x)-g(x)y>0,「.f(x)-g(x)在⑶b]上是增函數，.??當a<x<

b時f(x)-g(x)>f(a)-g(a),/.f(x)+g(a)>g(x)+f(a).

答案C

7.(?湛江模擬)已知函數丫-3-3乂+(:的圖象與乂軸恰有兩個公共點，貝IJc;()

A.-2或2B.-9或3

C.-1或1D.-3或1

解析?.?y'=3x2-3,.?.當y'=0時,x=±l廁y',y的變化情況如下表;

X(-8,-1)-1(-L1)1(1,+8)

y'+0—0+

yc+2c-2

因此，當函數圖象與x軸恰有兩個公共點時，必有c+2=0或c-2=0,.?9=-2或c=2.

答案A

8.(■石家莊模擬)若不等式2xlnx2-x2+ax-3對x￡(0,+8)恒成立，則實數a的取值范圍

是()

A.(-00,0)B.(-00,4]

C.(0,+oo)D.[4,+00)

解析2xlnx>-x2+ax-3,貝IJa<21nx+x+],設h(x)=21nx+x+^(x>0),貝IJh'(x)=

x+3x-1

―無一.當xE(O,l)時，hXx)<0,函數h(x)單調遞減；xE(l,+8)時，hXx)>0,函數h(x)

單調遞增,所以h(x)iiiin-11(1)-4.所以a0i(x)miii-4.故a的取值范圍是(-8,4].

答案B

9.(?青島一模)已知函數f(x)=x3+bx2+cx的圖象如圖所示，貝IJx2+x2等于

2

A-B

3

8

C-D

3

解析由題圖可知f(l)=0,f(2)=0,

fl+b+c=O,fb=-3,

,[8+4b+2c=0,解得fc=2.

f(x)=x3-3x2+2x,

f(x)=3x2-6x+2.

由圖可知xl,x2為f(x)的極值點，

2

-

..xl+x2=2,3

48

xl+x2=(xl+x2)2-2x1x2=4-4=q.

答案C

10.(?湖北卷)已知函數在乂)二武|1^-2*)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是

()

A.(-co,0)B.(0,￡)

C.(0,1)D.(0,+8)

解析由題知，x>0,f(x)=lnx+1-2ax,由于函數f(x)有兩個極值點，則F(x)=0有兩個

不等的正根，即函數y=lnx+l與y=2ax的圖象有兩個不同的交點(x>0),則a>0；設函數

y=lnx+1上任一點(x0,l+lnxO)處的切線為1,則kl二y?擊，當1過坐標原點時，士二

1+InxOA11

=xO=1,力2a=1=a=],結合圖象知0<a<2，故選B.

答案B

二、填空題

x2+a

11.若函數f(x)=x+]在x=1處取極值，則a=.

2xx+1-x2+ax2+2x-a

解析由“x)=——=x+12=0,

.?.x2+2x-a=0,x#-l,又f(x)在x=I處取極值，

x=1是x2+2x—a=0的木艮，.'.a=3.

答案3

12.(?煙臺三模)f(x)=1x-；sinx-乎osx的圖象在點A(xO,f(xO))處的切線斜率為白,貝IJtan

2x0的值為.

解析F(x)Heosx+坐sinx,「?f(x0)=；-；cosx0+坐sinx0=1,

A2tanx0洪

即小sinxO-cosxO=0,tanxO=號，tan2x0=-7=^3.

1-tan2xO一

匕

答案小

13.(?佛山模擬)設0<agl,函數f(x)=x+吃g(x)=x-lnx,若對任意的xl,x2E［1,e］,

A

都有f(xl)Ng(x2)成立，則實數a的取值范圍是___________________.

a2x2—a2

解析r(x)=l-方=F-，當0<aJ且xE［l,e］時，f(x)>0,在［1,e］上是增

函數，f(xl)min=f(l)=l+a2,又g'(x)=1-1(x>0),易求g'(x)>0,"(x)在［1,e］上是增

函數，g(x2)max=g(e)=e-1.由條件知只需f(xl)minNg(x2)max.即1+a2Ne-1..，.a2Ne-2.即

*\Je-2<a<l.

答案［而21］

14.某商場從生產廠家以每件20元購進一批商品，若該商品零售價為p元，銷量Q(單位：

件)與零售價p(單位：元)有如下關系：Q=8300-170p-p2,則該商品零售價定為

元時利潤最大，利潤的最大值為元.

解析設商場銷售該商品所獲利潤為y元,貝!ly=(p-20X8300-170p-p2)=-p3-150p2

+11700p-166000(p>20),貝lj/=-3p2-300p+11700.令y'=0得p2+lOOp—3900=0,

解得p-30或p--130(舍去).貝Jy,y，隨p的變化情況如下表：

p(20,30)30(30,+oo)

y'+0—

y極大值

故當p=30時，y取極大值為23000元.又y=-p3-150p2+11700p-166000在［20,+oo)

上只有一個極值，故也是最值.所以該商品零售價定為每件30元，所獲利潤最大為23(XX)

元.

答案3023000

15.(?揚州模擬)已知函數f(x)=lnx-?(mER)在區間［1,e］上取得最小值4,貝IJm:

A

1mx+m

解析f(x)=-+^2=-^-(x>0),

當m>0時,?(x)>0,f(x)在區間［1,e］上為增函數，f(x)有最小值

f(l)=-m=4,得m=-4,與m>0矛盾.

②當m<0時，若-m<l,RPm>-1,f(x)min=f(l)=-m=4,

得ni--4,與HI>-1矛盾；若-inW[l,c],

即-e<m<-1,f(x)min=f(-m)=ln(-m)+I=4,

解得m=-e3,與-e￡mS-1矛盾；若-m>e,

即m<-e時，f(x)min=f(e)=1-^=4,

解得m=-3e,符合題意.

答案-3e

三、解答題

16.(.北京海淀模擬汜知函數f(x)=|x3+ax2+4x+b,其中a,b￡R且a#).

⑴求證：函數f(x)在點(0,f(0))處的切線與f(x)總有兩個不同的公共點；

⑵若函數f(x)在區間(-1,1)上有且僅有一個極值點，求實數a的取值范圍.

⑴證明由已知可得f(x)=x2+2ax+4.

又A在處的切線方程為氏

f(0)=4,f(0)=btf(x)x=0y=4x+43+ax2+4x+b=4x+b,

整理得(x+3a)x2=0./.x=0或x=-3a,又?/a#),

???-3a#),「.fa)與切線有兩個不同的公共點.

⑵解???f(x)在(-1,1)上有且僅有一個極值點，

f(x)=x2+2ax+4在(-1,1)上有且僅有一個異號零點，由二次函數圖象性質可得f(-l)f(l)

<0.

BP(5-2a)(5+2a)<0,解得a>|或a<—|,即a的取值范圍是(-%+￡).

17.(?合肥質量檢測)已知函數f(x)=(a+l)x2-2ax-2lnx.

⑴求證:a=0時,f(x)>l恒成立；

(2)當aE[-2,-1]時,求f(x)的單調區間.

(1)證明a=0時，f(x)=x2-21nx,xE(0,+8).

22x+lx-I

令

f(x)=2x-A-=-A--,r(x)=0,

解得X-l(x--1舍去).

當xE(0,l)時，r(x)<0,f(x)在(0,1)上單調遞減；

當x￡(l,+8)時，f(x)>0,f(x)在(1,+8)上單調遞增.

??.f(x)min=f(l)=1.所以，VxG(0,+oo),f(x巨1.

⑵解f(X)的定義域為(0,+8),

21a+1x2-ax-1]

f(x)=-----------；-----------.

2x—1

①當時，此時在+8)上單調遞增，在上單調遞減.

a=-lf(x)=—A—,f(x)(1,(0,1)

②當-2<a<-l時，-1<a+1<0,1<--77.

3?1

，???解r(x)<0得xE(0,l)或xE(一缶，

f(X)=+00

解F(x)>0得x￡(l,一岳)

即f(x)的單調增區間為0,一尚，單調減區間為(0/)和(-Wr，+°°)

-2x-12

③當a=-2時，此時？(x)二一1」，

,xe(0,+8)均有F(x)W0,f(x)在區間(0,+00)上單調遞減，無單調增區間.

綜上，a=-l時，f(x)的單調遞增區間為(1,+8),單調遞減區間為(0,1)；

-2<a<-1時,f(x)的單調遞增區間為(1,一言［)單調遞減區間為(0,1)和(一法7，+。；

a=-2時，f(x)的單調遞減區間為(0,+00),無單調增區間.

18.(?南平質檢)已知函數f(x)=sinx,g(x)=mx-卷(m為實數).

⑴求曲線y=f(x)在點6，g))處的切線方程；

(2)求函數g(x)的單調遞減區間；

(3)若m=l,證明：當x>0時，f(x)<g(x)+卷.

⑴解由題意得所求切線的斜率k=O=cos卜坐切點P(/當)則切線方程為y-日

二嚶X-*即xHy+1一卜6

⑵解gr(x)=m-1x2.

①當左0時，gf(x)<0,則g(x)的單調遞減區間是(-8,+oo);

(2)當m>0時，令g<x)<0,解得x<而或x><赤，則g(x)的單調遞減區間