角的比較-重難點題型【知識點1角的比較與運算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小．方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【題型1角的大小比較】【例1】（寧德期末）比較兩個角的大小關系：小明用度量法測得∠AOB＝45°，∠COD＝50°；小麗用疊合法比較，將兩個角的頂點重合，邊OB與OD重合，邊OA和OC置于重合邊的同側，則邊OA．（填序號：①“在∠COD的內部”；②“在∠COD的外部”；③“與邊OC重合”）【變式1-1】（呼和浩特期末）如圖，∠AOB＝∠COD，則∠AOC與∠DOB的大小關系是（）A．∠AOC＞∠DOB B．∠AOC＜∠DOB C．∠AOC＝∠DOB D．∠AOC與∠DOB無法比較大小【變式1-2】（開封期末）如圖所示，其中最大的角是，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小關系是．【變式1-3】（門頭溝區期末）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D，O是網格線交點，那么∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【知識點2角的和、差關系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【題型2角的和差】【例2】（安慶期末）如圖，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度數．【變式2-1】（五常市期末）用一副三角板不能畫出的角是（）A．75° B．105° C．110° D．135°【變式2-2】北碚區期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕．若∠ABE＝30°，則∠DBC為度．【變式2-3】（荔灣區期末）把一副三角尺ABC與BDE按如圖所示那樣拼在一起，其中A、D、B三點在同一直線上，BM為∠ABC的平分線，BN為∠CBE的平分線，則∠MBN的度數是（）A．30° B．45° C．55° D．60°【題型3n等分線】【例3】（羅湖區校級期末）如圖，已知O為直線AB上一點，過點O向直線AB上方引三條射線OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度數．【變式3-1】（奉化區校級期末）OB是∠AOC內部一條射線，OM是∠AOB平分線，ON是∠AOC平分線，OP是∠NOA平分線，OQ是∠MOA平分線，則∠POQ：∠BOC＝（）A．1：2 B．1：3 C．2：5 D．1：4【變式3-2】（江漢區期末）如圖，射線OB、OC在∠AOD內部，其中OB為∠AOC的三等分線，OE、OF分別平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，請直接寫出∠AOC的大小．【變式3-3】（越秀區校級月考）如圖1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC內，ON在∠BOD內，∠AOM=13∠AOC，∠BON=1（1）∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，則∠MON＝°；（2）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度數；（3）∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），直接寫出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．【知識點3角平分線】從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【題型4角平分線】【例4】（武都區期末）如圖所示，點O是直線AB上一點，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOC，若∠AOC＝68°，則∠BOF和∠EOF是多少度？【變式4-1】（南山區期末）已知三條不同的射線OA、OB、OC，有下列條件，其中能確定OC平分∠AOB的有（）①∠AOC＝∠BOC②∠AOB＝2∠AOC③∠AOC+∠COB＝∠AOB④∠BOC=12A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式4-2】（曲陽縣期末）已知將一副三角板（直角三角板OAB和直角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝30°）（1）如圖1擺放，點O、A、C在一條直線上，∠BOD的度數是；（2）如圖2，變化擺放位置將直角三角板COD繞點O逆時針方向轉動，若要OB恰好平分∠COD，則∠AOC的度數是；（3）如圖3，當三角板OCD擺放在∠AOB內部時，作射線OM平分∠AOC．射線ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB內繞點O任意轉動，∠MON的度數是否發生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．【變式4-3】（裕華區校級期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠AOB的一邊OB與射線OM重合，現將∠AOB繞著點O按順時針方向旋轉180°．在旋轉過程中，當射線OA、OB或者直線MN是某一個角（小于180°）的平分線時，旋轉角的度數為．【知識點4余角和補角】（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．（2）性質：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．【題型5余角與補角的定義】【例5】（金山區期末）如果一個角的補角的2倍減去這個角的余角恰好等于這個角的4倍，求這個角的度數．【變式5-1】（尋烏縣模擬）已知∠A是銳角，∠A與∠B互補，∠A與∠C互余，則∠B﹣∠C的值等于（）A．45° B．60° C．90° D．180°【變式5-2】（麥積區期末）一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，求這個角以及它的余角和補角的度數．【變式5-3】（沂水縣期末）如圖，已知∠AOB＝130°，畫∠AOB的平分線OC，畫射線OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度數．【題型6利用余角或補角的性質得角相等】【例6】（鹿邑縣期末）如圖，O為直線AB上一點，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的角平分線，若∠AOC＝70°．（1）求∠BOD的度數．（2）試判斷OE是否平分∠BOC，并說明理由．【變式6-1】（旌陽區期末）如圖，兩個直角∠AOC和∠BOD有公共頂點O，下列結論：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③∠AOD+∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，則OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分線與∠BOC的平分線是同一條射線，其中正確的有．（填序號）【變式6-2】（芮城縣期末）綜合與實踐已知直線AB經過點O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分線．（1）如圖1，若∠AOC＝30°，求∠DOE；（2）如圖1，若∠AOC＝α，求∠DOE；（用含α的式子表示）（3）將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉到圖2的位置，其它條件不變，（2）中的結論是否還成立？試說明理由；（4）將圖1中的∠COD繞頂點O逆時針旋轉到圖3的位置，其它條件不變，直接用含α的式子表示∠DOE．【變式6-3】（東西湖區期末）如圖1，平面內一定點A在直線EF的上方，點O為直線EF上一動點，作射線OA、OP、OA'，當點O在直線EF上運動時，始終保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，將射線OA繞點O順時針旋轉60°得到射線OB．（1）如圖1，當點O運動到使點A在射線OP的左側，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度數；（2）當點O運動到使點A在射線OP的左側，且∠AOE＝3∠A'OB時，求∠AOF∠AOP（3）當點O運動到某一時刻時，∠A'OB＝130°，請直接寫出∠BOP＝度．【題型7求幾何圖形中互余或互補角的個數】【例7】（婁星區模擬）如圖，C是直線AB上一點，CD是∠ACB的平分線．圖中互余的角有；②圖中互補的角有；③圖中相等的角有．【變式7-1】（南開區期末）如圖所示，已知O是直線AB上一點，∠BOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．（1）圖中與∠DOE相等的角有；（2）圖中與∠DOE互余的角有；（3）圖中與∠DOE互補的角有．【變式7-2】（成都期中）如圖，O是直線AB上的一點，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD．寫出圖中所有互補的角和互余的角．【變式7-3】（吳中區月考）如果∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，則下列式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③12（∠α+∠β）；④12（∠α﹣∠β）．可以表示∠A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【題型8數學思想方法與角】【例8】（河東區期末）已知∠AOB＝90°，OC為一射線，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，則∠MON是（）A．45° B．90° C．45°或135° D．90°或135°【變式8-1】（成華區期中）（1）如圖1，射線OC、OD在∠AOB的內部，射線OM、ON分別平分∠AOD、∠BOC、且∠BON＝50°，∠AOM＝40°，∠COD＝30°，求∠AOB的度數；（2）如圖2，射線OC、OD在∠AOB的內部，射線OM、ON分別平分∠AOD、∠BOC、且∠AOB＝150°，∠COD＝30°，求∠MON的度數【變式8-2】（無錫期末）如圖，∠AOB＝150°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，則2∠BOE﹣∠BOD＝°．【變式8-3】（鎮海區期末）新定義問題如圖①，已知∠AOB，在∠AOB內部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC、∠BOC、∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．（本題中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）【閱讀理解】（1）角的平分線這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）【初步應用】（2）如圖①，∠AOB＝45°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC的度數為；【解決問題】（3）如圖②，已知∠AOB＝60°，射線OM從OA出發，以每秒20°的速度繞O點逆時針旋轉，同時，射線ON從OB出發，以每秒15°的速度繞O點逆時針旋轉，設運動的時間為t秒（0＜t＜9）．若OM、ON、OA三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊的角的“幸運線”，求出所有可能的t值．

角的比較-重難點題型（解析版）【知識點1角的比較與運算】角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小．方法2：疊合比較法．把其中的一個角移到另一個角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【題型1角的大小比較】【例1】（寧德期末）比較兩個角的大小關系：小明用度量法測得∠AOB＝45°，∠COD＝50°；小麗用疊合法比較，將兩個角的頂點重合，邊OB與OD重合，邊OA和OC置于重合邊的同側，則邊OA①．（填序號：①“在∠COD的內部”；②“在∠COD的外部”；③“與邊OC重合”）【解題思路】根據題意畫出圖形，由∠AOB＜∠COD，圖形直觀得出答案．【解答過程】解：如圖，由于∠AOB＜∠COD，因此OA在∠COD的內部，故答案為：①；【變式1-1】（呼和浩特期末）如圖，∠AOB＝∠COD，則∠AOC與∠DOB的大小關系是（）A．∠AOC＞∠DOB B．∠AOC＜∠DOB C．∠AOC＝∠DOB D．∠AOC與∠DOB無法比較大小【解題思路】先根據∠AOB＝∠COD得出∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，故可得出結論．【解答過程】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠DOB．故選：C．【變式1-2】（開封期末）如圖所示，其中最大的角是∠AOD，∠DOC，∠DOB，∠DOA的大小關系是∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．【解題思路】直接根據圖形即可得出結論．【解答過程】解：由圖可知，最大的角是∠AOD；∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．故答案為：∠AOD，∠DOA＞∠DOB＞∠DOC．【變式1-3】（門頭溝區期末）如圖所示的網格是正方形網格，點A，B，C，D，O是網格線交點，那么∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）【解題思路】取格點E，作射線OE，則∠AOB＝∠COE，依據疊合法即可得出結論．【解答過程】解：如圖所示，取格點E，作射線OE，則∠AOB＝∠COE，由圖可得，∠COE＞∠COD，∴∠AOB＞∠COD，故答案為：＞.【知識點2角的和、差關系】如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．【題型2角的和差】【例2】（安慶期末）如圖，已知∠BOC＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝20°，求∠AOB的度數．【解題思路】此題可以設∠AOC＝x，進一步根據角之間的關系用未知數表示其它角，再根據已知的角列方程即可進行計算．【解答過程】解：設∠AOC＝x，則∠BOC＝2x．∴∠AOB＝3x．又OD平分∠AOB，∴∠AOD＝1.5x．∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝1.5x﹣x＝20°．∴x＝40°∴∠AOB＝120°．【變式2-1】（五常市期末）用一副三角板不能畫出的角是（）A．75° B．105° C．110° D．135°【解題思路】一副三角板的度數有30°，45°，60°，90°，這幾個度數進行加減組合，可以簡間接畫出其他度數：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°，180°．【解答過程】解：75°可以用三角板的30°和45°畫出，105°可以用三角板的45°和60°畫出，110°用一副三角板不能畫出，135°可以用三角板的45°和90°畫出．故選：C．【變式2-2】北碚區期末）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕．若∠ABE＝30°，則∠DBC為60度．【解題思路】根據折疊思想，通過角的和差計算即可求解．【解答過程】解：∵BD、BE為折痕，∴BD、BE分別平分∠CBC′、∠ABA′∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，∠DBC＝∠DBC′∵∠A′BE+∠ABE+∠DBC+∠DBC′＝180°∴∠ABE+∠DBC＝90°∴∠DBC＝60°．故答案為60°【變式2-3】（荔灣區期末）把一副三角尺ABC與BDE按如圖所示那樣拼在一起，其中A、D、B三點在同一直線上，BM為∠ABC的平分線，BN為∠CBE的平分線，則∠MBN的度數是（）A．30° B．45° C．55° D．60°【解題思路】由角平分線的定義可知∠CBM=12∠ABC=12×60°＝30°，∠CBN【解答過程】解：∵BM為∠ABC的平分線，∴∠CBM=12∠ABC∵BN為∠CBE的平分線，∴∠CBN=12∠EBC∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．故選：B．【題型3n等分線】【例3】（羅湖區校級期末）如圖，已知O為直線AB上一點，過點O向直線AB上方引三條射線OC、OD、OE，且OC平分∠AOD，∠2＝3∠1，∠COE＝70°，求∠2的度數．【解題思路】所求角和∠1有關，∠1較小，應設∠1為未知量．根據∠COE的度數，可表示出∠3，也就表示出了∠4，而這4個角組成一個平角．【解答過程】解：設∠1＝x，則∠2＝3∠1＝3x，∵∠COE＝∠1+∠3＝70°∴∠3＝（70﹣x）（2分）∵OC平分∠AOD，∴∠4＝∠3＝（70﹣x）∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°∴x+3x+（70﹣x）+（70﹣x）＝180°解得：x＝20（5分）∴∠2＝3x＝60°（6分）答：∠2的度數為60°．【變式3-1】（奉化區校級期末）OB是∠AOC內部一條射線，OM是∠AOB平分線，ON是∠AOC平分線，OP是∠NOA平分線，OQ是∠MOA平分線，則∠POQ：∠BOC＝（）A．1：2 B．1：3 C．2：5 D．1：4【解題思路】依據OM是∠AOB平分線，OQ是∠MOA平分線，可得∠AOQ=12∠AOM=14∠AOB，依據ON是∠AOC平分線，OP是∠NOA平分線，可得∠AOP=12∠AON=14∠AOC=1【解答過程】解：∵OM是∠AOB平分線，OQ是∠MOA平分線，∴∠AOQ=12∠AOM=1∵ON是∠AOC平分線，OP是∠NOA平分線，∴∠AOP=12∠AON=14∠AOC=1∴∠POQ＝∠AOP﹣∠AOQ=14（∠AOB+∠BOC）?1=14∠∴∠POQ：∠BOC＝1：4，故選：D．【變式3-2】（江漢區期末）如圖，射線OB、OC在∠AOD內部，其中OB為∠AOC的三等分線，OE、OF分別平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，請直接寫出∠AOC的大小．【解題思路】分兩種情況：當∠AOC＝3∠BOC時和當∠AOC=32∠【解答過程】解：①當∠AOC＝3∠BOC時，設∠BOC＝x，∠DOF＝y，∵OB為∠AOC的三等分線，OF平分∠COD，∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝x+2y，∵OE平分∠BOD，∴∠EOD=12∠BOD=12∵∠EOF＝14°，∴12x+y﹣y解得x＝28°，故∠AOC＝3x＝84°．②當∠AOC=32∠設∠BOC＝2x，∠DOF＝y，∵OB為∠AOC的三等分線，OF平分∠COD，∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝2x+2y，∵OE平分∠BOD，∴∠EOD=12∠BOD＝x+∵∠EOF＝14°，∴x+y﹣y＝14°，解得x＝14°，故∠AOC＝3x＝42°．綜上，∠AOC＝84°或42°【變式3-3】（越秀區校級月考）如圖1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC內，ON在∠BOD內，∠AOM=13∠AOC，∠BON=1（1）∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，則∠MON＝100°；（2）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度數；（3）∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），直接寫出所有使∠MON＝2∠BOC的n值．【解題思路】（1）當∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，可得∠MON＝∠MOB+∠BON，再根據已知條件進行計算即可；（2）根據∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），分兩種情況畫圖：①當0＜n＜60時，如（圖1），②當60＜n＜120時，如（圖2），結合（1）進行角的和差計算即可；（3）根據∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），∠MON＝2∠BOC，分兩種情況畫圖：①當0＜n＜60時，如圖3，②當60＜n＜180時，如圖4，結合（2）進行角的和差計算即可．【解答過程】解：（1）∵∠AOM=13∠AOC，∠BON=1∴∠MOC=23∠AOC，∠DON=2當∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，∴∠MON＝∠MOB+∠BON=23∠AOC=23×＝80°+20°＝100°；故答案為：100°；（2）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），①當0＜n＜60時，如（圖1），∵∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣n°，∴∠MON＝∠MOC+∠BOC+∠BON=23（120°﹣n°）+n°+1＝100°；②當60＜n＜120時，如（圖2），∵∠BOC＝n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝120°﹣n°，∠BOD＝∠BOC﹣∠DOC＝n°﹣60°，∴∠MON＝∠MOC+∠DOC+∠DON=23（120°﹣n°）+60°+2＝100°；綜上所述：∠MON的度數為100°；（3）∠COD從圖2中的位置繞點O順時針旋轉n°（0＜n＜180且n≠60a，其中a為正整數），∠MON＝2∠BOC，①當0＜n＜60時，如圖3，∵∠BOC＝n°，∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°+n°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，∴∠MON＝∠MOC+∠DOC﹣∠DON=23（120°+n°）+60°?2＝100°，∴2n°＝100°∴n＝50；②當60＜n＜180時，如圖4，∵∠BOC＝n°，∴∠MON＝2∠BOC＝2n°，∴∠AOC＝360°﹣（∠AOB+∠BOC）＝360°﹣（120°+n°）＝240°﹣n°，∠BOD＝∠BOC+∠DOC＝n°+60°，∴∠MON＝360°﹣∠AOM﹣∠AOB﹣∠BON＝360°?13（240°﹣n°）﹣120°?1＝140°，∴2n°＝140°，∴n＝70；綜上所述：n的值為50或70．【知識點3角平分線】從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠【題型4角平分線】【例4】（武都區期末）如圖所示，點O是直線AB上一點，OE，OF分別平分∠AOC和∠BOC，若∠AOC＝68°，則∠BOF和∠EOF是多少度？【解題思路】由角平分線的定義，結合平角的定義，易求∠BOF和∠EOF的度數．【解答過程】解：點O是直線AB上一點，則∠AOB＝180°，若∠AOC＝68°，則∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝180°﹣68°＝112°，∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=12∠BOC又∵OE平分∠AOC，∴∠EOF=12∠AOC+1故∠BOF和∠EOF分別是56°和90°．【變式4-1】（南山區期末）已知三條不同的射線OA、OB、OC，有下列條件，其中能確定OC平分∠AOB的有（）①∠AOC＝∠BOC②∠AOB＝2∠AOC③∠AOC+∠COB＝∠AOB④∠BOC=12A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】根據角平分線的定義即可判斷．【解答過程】解：①由∠AOC＝∠BOC能確定OC平分∠AOB；②如圖1，∠AOB＝2∠AOC所以不能確定OC平分∠AOB；③∠AOC+∠COB＝∠AOB不能確定OC平分∠AOB；④如圖2，∠BOC=12∠不能確定OC平分∠AOB；所以只有①能確定OC平分∠AOB；故選：A．【變式4-2】（曲陽縣期末）已知將一副三角板（直角三角板OAB和直角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝30°）（1）如圖1擺放，點O、A、C在一條直線上，∠BOD的度數是60°；（2）如圖2，變化擺放位置將直角三角板COD繞點O逆時針方向轉動，若要OB恰好平分∠COD，則∠AOC的度數是75°；（3）如圖3，當三角板OCD擺放在∠AOB內部時，作射線OM平分∠AOC．射線ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB內繞點O任意轉動，∠MON的度數是否發生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．【解題思路】（1）利用∠BOD＝∠AOB﹣∠COD進行計算；（2）先由OB恰好平分∠COD得到∠COB=12∠COD＝15°，然后根據∠AOC＝∠AOB﹣∠（3）先根據OM平分∠AOC，ON平分∠BOD得到∠DON=12∠BOD，∠COM=12∠AOC，則∠DON+∠COM=12（∠AOB﹣∠COD），所以∠MON＝∠DON+∠COM+∠COD=12（∠【解答過程】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠COD＝60°，故答案為：60°；（2）∵OB恰好平分∠COD，∴∠COB=12∠COD∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣15°＝75°；故答案為：75°；（3）∠MON的度數不發生變化，∠MON＝60°．理由如下：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，∴∠DON=12∠BOD，∠COM=1∴∠DON+∠COM=12（∠BOD+∠AOC）=12（∠∴∠MON＝∠DON+∠COM+∠COD=12（∠AOB+∠COD）【變式4-3】（裕華區校級期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠AOB的一邊OB與射線OM重合，現將∠AOB繞著點O按順時針方向旋轉180°．在旋轉過程中，當射線OA、OB或者直線MN是某一個角（小于180°）的平分線時，旋轉角的度數為40°或100°或160°．【解題思路】經分析，可能存在3種情況：射線OB是某一個角（小于180°）的平分線；射線OA是某一個角（小于180°）的平分線；直線MN是某一個角（小于180°）的平分線．然后，根據角平分線的定義解決此題．【解答過程】解：∠AOB繞著點O按順時針方向旋轉180°時，如圖3．①在順時針旋轉過程中，當射線OA是某一個角（小于180°）的平分線，如圖4．∴∠MOA＝∠AOB＝40°．∴旋轉40°時，射線OA平分∠MOB．②在旋轉過程中，當射線OB是某一個角（小于180°）的平分線，如圖5．∴∠AOB＝∠BON＝40°．∴∠MOB＝180°﹣∠BON＝180°﹣40°＝140°．∴順時針旋轉140°，射線OB平分∠AON．③在旋轉過程中，當直線MN是某一個角（小于180°）的平分線，如圖6．∴∠AOM＝∠BOM=1∴旋轉20°，直線MN平分∠AOB．綜上：在旋轉過程中，當射線OA、OB或者直線MN是某一個角（小于180°）的平分線時，旋轉角的度數為20°或40°或140°．故答案為：20°或40°或140°．【知識點4余角和補角】（1）定義：一般地，如果兩個角的和等于90°(直角)，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°(平角)，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．（2）性質：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．【題型5余角與補角的定義】【例5】（金山區期末）如果一個角的補角的2倍減去這個角的余角恰好等于這個角的4倍，求這個角的度數．【解題思路】利用題中的關系“一個角的補角的2倍減去這個角的余角恰好等于這個角的4倍”，作為相等關系列方程求解即可．【解答過程】解：設這個角的度數為x°，2（180﹣x）﹣（90﹣x）＝4x．解得x＝54．所以這個角的度數是54°．【變式5-1】（尋烏縣模擬）已知∠A是銳角，∠A與∠B互補，∠A與∠C互余，則∠B﹣∠C的值等于（）A．45° B．60° C．90° D．180°【解題思路】根據互余兩角之和為90°，互補兩角之和為180°，結合題意即可得出答案．【解答過程】解：由題意得：∠A+∠B＝180°，∠A+∠C＝90°，兩式相減可得：∠B﹣∠C＝90°．故選：C．【變式5-2】（麥積區期末）一個角的補角加上10°后，等于這個角的余角的3倍，求這個角以及它的余角和補角的度數．【解題思路】設這個角為x°，則得出方程180﹣x+10＝3（90﹣x），求出即可．【解答過程】解：設這個角為x°，則180﹣x+10＝3（90﹣x），解得：x＝40，即這個角的度數是40°，即這個角的余角是90°﹣40°＝50°，補角是180°﹣40°＝140°．【變式5-3】（沂水縣期末）如圖，已知∠AOB＝130°，畫∠AOB的平分線OC，畫射線OD，使∠COD和∠AOC互余，并求∠BOD的度數．【解題思路】先畫∠AOB的平分線OC，及滿足條件的射線OD，而射線OD有兩個位置，如圖1，圖2，由角平分線的定義及余角的定義可求解∠COD的度數，圖1可由∠BOD＝∠BOC﹣∠COD，圖2可由∠BOD＝∠BOC+∠COD計算求解．【解答過程】解：如圖：因為∠AOB＝130°，OC平分∠AOB，所以∠BOC＝∠AOC=12∠因為∠COD和∠AOC互余，所以∠COD＝90°﹣∠AOC＝25°，所以∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝65°﹣25°＝40°（圖1），或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝65°+25°＝90°（圖2）．【題型6利用余角或補角的性質得角相等】【例6】（鹿邑縣期末）如圖，O為直線AB上一點，∠DOE＝90°，OD是∠AOC的角平分線，若∠AOC＝70°．（1）求∠BOD的度數．（2）試判斷OE是否平分∠BOC，并說明理由．【解題思路】（1）根據角的平分線的定義求得∠AOD的度數，然后根據鄰補角的定義求得∠BOD的度數；（2）首先根據∠DOE＝90°，即∠COD+∠COE＝90°，即可求得∠COE的度數，然后根據∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE，求得∠BOE的度數，從而判斷．【解答過程】解：（1）∵OD是∠AOC的角平分線（已知），∠AOC＝70°∴∠AOD＝∠COD=12∠AOC∵∠AOD+∠BOD＝180°∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣35°＝145°；（2）答：OE平分∠BOC．理由∵∠COE+∠COD＝∠DOE，∠DOE＝90°，∴∠COE＝∠DOE﹣∠COD＝90°﹣35°＝55°．∵∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣35°﹣90°＝55°，∴∠COE＝∠BOE＝55°，∴OE平分∠BOC．【變式6-1】（旌陽區期末）如圖，兩個直角∠AOC和∠BOD有公共頂點O，下列結論：①∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°；③∠AOD+∠BOC＝180°；④若OB平分∠AOC，則OC平分∠BOD；⑤∠AOD的平分線與∠BOC的平分線是同一條射線，其中正確的有①③④⑤．（填序號）【解題思路】①由∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，可得∠AOB＝∠COD；②∠AOB+∠COD＝90°不一定和是90°；③∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°；④∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝45°，所以OC平分∠BOD；⑤由已知可得∠BOE＝∠COE，∠AOE＝∠DOE，所以∠AOD的平分線與∠BOC的平分線是同一條射線．【解答過程】解：∵∠AOC＝∠BOD＝90°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠COD．故①正確；又∵∠AOB＝∠COD不一定等于45°，∴∠AOB+∠COD≠90°，故②錯誤；又∵∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD＝90°，∠AOD＝∠AOC+∠COD，∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC＝90°+90°＝180°，故③正確；又∵OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠BOC=12∠AOC=45°，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣45°＝45°，∴∠COD＝∠BOC，∴OC故④正確；又∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOD的平分線與∠BOC的平分線是同一條射線，故⑤正確．∴綜上，正確的有①③④⑤．故答案為：①③④⑤．【變式6-2】（芮城縣期末）綜合與實踐已知直線AB經過點O，∠COD＝90°，OE是∠BOC的平分線．（1）如圖1，若∠AOC＝30°，求∠DOE；（2）如圖1，若∠AOC＝α，求∠DOE；（用含α的式子表示）（3）將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉到圖2的位置，其它條件不變，（2）中的結論是否還成立？試說明理由；（4）將圖1中的∠COD繞頂點O逆時針旋轉到圖3的位置，其它條件不變，直接用含α的式子表示∠DOE．【解題思路】（1）如圖1，根據平角的定義和∠COD＝90°，得∠AOC+∠BOD＝90°，從而求得：∠BOD＝30°，由角平分線定義得：∠BOE=1（2）同理可得：∠DOE=12（3）如圖2，根據平角的定義得：∠BOC＝180°﹣α，由角平分線定義得：∠EOC=12∠BOC＝90°?（4）同理可得：∠DOE＝∠COD+∠COE＝180°?12【解答過程】解：（1）如圖1，∵∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+60°＝150°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠∴∠DOE＝75°﹣60°＝15°；（2）如圖1，由（1）知：∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣α，∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+90°﹣α＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12∠BOC＝90?∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝90°?12α﹣（90°﹣α）=（3）將圖1中的∠COD繞頂點O順時針旋轉到圖2的位置，其它條件不變，（2）中的結論還成立，理由是：如圖2，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC＝90°?∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°?12α）=（4）∠DOE＝180°?1如圖3，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝α，∴∠BOC＝180°﹣α，∵OE平分∠BOC，∴∠EOC=12∠BOC＝90°?∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝90°+（90°?12α）＝180°?【變式6-3】（東西湖區期末）如圖1，平面內一定點A在直線EF的上方，點O為直線EF上一動點，作射線OA、OP、OA'，當點O在直線EF上運動時，始終保持∠EOP＝90°、∠AOP＝∠A'OP，將射線OA繞點O順時針旋轉60°得到射線OB．（1）如圖1，當點O運動到使點A在射線OP的左側，若OA'平分∠POB，求∠BOF的度數；（2）當點O運動到使點A在射線OP的左側，且∠AOE＝3∠A'OB時，求∠AOF∠AOP（3）當點O運動到某一時刻時，∠A'OB＝130°，請直接寫出∠BOP＝95°或145°度．【解題思路】（1）設∠POA′＝∠A′OB＝x，構建方程求解即可．（2）分兩種情形：①當點O運動到使點A在射線OP的左側，射線OB在∠POA′內部時，②當點O運動到使A在射線OP的左側，但是射線OB在∠POA′外部時，分別構建方程求解即可．（3）分兩種情形，分別畫出圖形求解即可．【解答過程】解：（1）∵OA′平分∠POB，∴設∠POA′＝∠A′OB＝x，∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOB＝3x，∵∠AOB＝60°，∴x+2x＝60°，∴x＝20°，∴∠BOF＝90°﹣2x＝50°．（2）①當點O運動到使點A在射線OP的左側，射線OB在∠POA′內部時，∵∠AOE＝3∠A′OB，∴設∠A′OB＝x，∠AOE＝3x，∵OP⊥EF，∴∠AOF＝180°﹣3x，∠AOP＝90°﹣3x，∴∠AOF∠AOP∵∠AOP＝∠A′OP，∴∠AOP＝∠A′OP=60°+x∴OP⊥EF，∴60°+x2+3∴x=120°∴∠AOF∠AOP②當點O運動到使A在射線OP的左側，但是射線OB在∠POA′外部時，∵∠AOE＝3∠A′OB，設∠A′OB＝y，∠AOE＝3y，∴∠AOP＝∠A′OP=60°?y∴OP⊥EF，∴3y+60°?y∴y＝24°，∴∠AOF∠AOP（3）①如圖3，當∠A'OB＝130°時，由圖可得：∠A'OA＝∠A'OB﹣∠AOB＝130°﹣60°＝70°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝35°，∴∠BOP＝60°+35°＝95°．②如圖4，當∠A'OB＝130°時，由圖可得∠A'OA＝360°﹣130°﹣60°＝170°，又∵∠AOP＝∠A'OP，∴∠AOP＝85°，∴∠BOP＝60°+85°＝145°；綜上所述：∠BOP的度數為95°或145°．【題型7求幾何圖形中互余或互補角的個數】【例7】（婁星區模擬）如圖，C是直線AB上一點，CD是∠ACB的平分線．①圖中互余的角有∠1與∠3；②圖中互補的角有∠ACD與∠BCD、∠ACE與∠1；③圖中相等的角有∠ACD＝∠BCD．【解題思路】①根據角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD=12∠②根據互補的定義，結合圖形即可得出答案③根據角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD．【解答過程】解：①∵C是直線AB上一點，CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠BCD=12∠∴∠1+∠3＝90°，即∠1與∠3互余；②∵∠ACD+∠BCD＝180°，∠ACE+∠1＝180°，∴互補的角有：∠ACD與∠BCD、∠ACE與∠1；③由①得∠ACD＝∠BCD．故答案為：∠1與∠3；∠ACD與∠BCD、∠ACE與∠1；∠ACD＝∠BCD．【變式7-1】（南開區期末）如圖所示，已知O是直線AB上一點，∠BOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD．（1）圖中與∠DOE相等的角有∠AOF；（2）圖中與∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC；（3）圖中與∠DOE互補的角有∠BOF、∠EOC．【解題思路】（1）由垂直的定義得到：∠AOF+∠EOF＝90°，∠DOE+∠EOF＝90°，等量代換即可得解；（2）根據余角的定義解答；（3）根據補角的定義解答．【解答過程】解：（1）∵∠BOE＝90°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝90°，∴∠AOF+∠EOF＝90°，∵∠FOD＝90°，∴∠DOE+∠EOF＝90°，∴∠AOF＝∠DOE，故答案為：∠AOF；（2）∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠AOF+∠EOF＝90°，∠BOD+∠DOE＝90°，∠DOE+∠EOF＝90°，∵OB平分∠COD，∴∠BOD＝∠BOC，∴∠BOC+∠DOE＝90°，∴與∠DOE互余的角有：∠EOF、∠BOD、∠BOC；故答案為：∠EOF、∠BOD、∠BOC；（3）∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∠BOE＝90°，∴∠AOF+∠EOF＝90°，∠DOE+∠EOF＝90°，∠DOE+∠BOD＝90°，∴∠AOF＝∠DOE，∠EOF＝∠BOD，∵∠AOF+∠BOF＝180°，∴∠DOE+∠BOF＝180°，∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD＝∠EOF，∴∠BOF＝∠COE，∴∠DOE+∠COE＝180°，∴與∠DOE互補的角有：∠BOF、∠EOC．故答案為：∠BOF、∠EOC．【變式7-2】（成都期中）如圖，O是直線AB上的一點，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD．寫出圖中所有互補的角和互余的角．【解題思路】根據已知條件求出∠BOD、∠DOE、∠BOE、∠AOE、∠OCD、∠OCE的度數，再根據補角余角定義進行判斷．【解答過程】解：∵∠AOD＝120°，∴∠BOD＝60°．∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=1∴∠AOE＝150°，∠OCD＝30°．∴∠OCE＝60°．∴互補的角：∠AOC和∠BOC，∠AOD和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠AOE和∠DOE，∠AOE和∠COD．互余的角：∠COD和∠BOD，∠AOD和∠BOD，∠AOE和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠AOE和∠DOE，∠AOE和∠COD．【變式7-3】（吳中區月考）如果∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，則下列式子中：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③12（∠α+∠β）；④12（∠α﹣∠β）．可以表示∠A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【解題思路】互補即兩角的和為180°，互余即兩角的和為90°，根據這一條件判斷即可．【解答過程】解：已知∠β的余角為：90°﹣∠β，故①正確；∵∠α和∠β互補，且∠α＞∠β，∴∠α+∠β＝180°，∠α＞90°，∴∠β＝180°﹣∠α，∴∠β的余角為：90°﹣（180°﹣∠α）＝∠α﹣90°，故②正確；∵∠α+∠β＝180°，12（∠α+∠β∴∠β的余角為：90°﹣∠β=12（∠α+∠β）﹣∠β=12（∠α﹣∠∴可以表示∠β的余角的有：①②④．故選：C．【題型8數學思想方法與角】【例8】（河東區期末）已知∠AOB＝90°，OC為一射線，OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，則∠MON是（）A．45° B．90° C．45°或135° D．90°或135°【解題思路】解答此題首先進行分類討論，當OC是∠AOB里的一條射線時，根據題干條件求出一個值，當OC是∠AOB外的一條射線時，根據平分線的知識可以得到角之間的關系，進而求得∠MON的大小．【解答過程】解：如圖所示：Ⅰ、OC在∠AOB內部，∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，∴∠COM=12∠BOC，∠CON=1∴∠COM+∠CON=12∠BOC+1即∠MON=12×又∵∠AOB＝90°，∴∠MON＝45°；Ⅱ、如圖，當OC在∠AOB外部時，有以下兩種情況：①∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，∴∠AON＝∠NOC=12∠AOC，∠BOM＝∠MOC=1∴∠MON＝∠NOC+∠MOC＝（360°﹣90°）÷2，∴∠MON＝135°，②∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，∴∠COM=12∠BOC，∠CON