/福建省南平市埔上中學2020-2021學年高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設等差數列的前項和為,則(

)A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：C略2.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：D3.已知函數，則函數的圖象在處的切線方程為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C分析：先根據導數的幾何意義求得切線的斜率，再由點斜式方程得到切線方程．詳解：∵，∴，∴，又，∴所求切線方程為，即．故選C．

4.過雙曲線的右支上一點P，分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（

）A.10 B.13 C.16 D.19參考答案：B試題分析：由題可知，，因此，故選B．考點：圓錐曲線綜合題．5.如圖，正方形的四個頂點為O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），曲線y=x2經過點B，現將一質點隨機投入正方形中，則質點落在圖中陰影區域的概率是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】CF：幾何概型．【分析】本題考查的知識點是幾何概型的意義，關鍵是要找出圖中陰影部分的面積，并將其與正方形面積一塊代入幾何概型的計算公式進行求解．【解答】解：由已知易得：S正方形=1S陰影=∫01（x2）dx=故質點落在圖中陰影區域的概率P==故選B6.參考答案：D7.已知二次不等式ax2+2x+b＞0解集為{x|x≠﹣}，則a2+b2﹣a﹣b的最小值為（）A．0 B．1 C．2 D．4參考答案：A【考點】基本不等式在最值問題中的應用；簡單線性規劃．【分析】根據一元二次不等式的解集得到a，b滿足的條件，利用配方法結合基本不等式進行求解即可．【解答】解：∵二次不等式ax2+2x+b＞0解集為{x|x≠﹣}，∴，則a＞0且ab=1，則a2+b2﹣a﹣b=（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab=（a+b）2﹣（a+b）﹣2=（a+b﹣）2﹣，∵a+b≥2=2，∴當a+b=2時，a2+b2﹣a﹣b取得最小值此時a2+b2﹣a﹣b=22﹣2﹣2=0，故選：A【點評】本題主要考查一元二次不等式以及基本不等式的應用，利用配方法和轉化法是解決本題的關鍵．8.設有一個回歸方程為，變量增加一個單位時，則（

）A．平均增加2個單位

B．平均增加3個單位[C．平均減少2個單位

D．平均減少3個單位參考答案：B略9.等比數列中，公比，且，則等于（

）A．

B．

C．

D．或參考答案：C10.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，則邊C的值是()A．8B．C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數的圖象與函數的圖象恰有兩個交點，則實數的取值范圍是______________.參考答案：略12.已知=b-i(a,b∈R),其中i為虛數單位,則a+b=

參考答案：3略13.設圓C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，過圓心C作直線l交圓于A，B兩點，與y軸交于點P，若A恰好為線段BP的中點，則直線l的方程為

．參考答案：y=2x﹣1或y=﹣2x+11【考點】直線與圓相交的性質；直線的一般式方程．【分析】由題意可設直線L的方程為y﹣5=k（x﹣3），P（0，5﹣3k），設A（x1，y1），B（x2，y2），聯立，然后由方程的根與系數關系可得，x1+x2，x1x2，由A為PB的中點可得x2=2x1，聯立可求x1，x2，進而可求k，即可求解直線方程【解答】解：由題意可得，C（3，5），直線L的斜率存在可設直線L的方程為y﹣5=k（x﹣3）令x=0可得y=5﹣3k即P（0，5﹣3k），設A（x1，y1），B（x2，y2）聯立消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根與系數關系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A為PB的中點∴即x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直線l的方程為y﹣5=±2（x﹣3）即y=2x﹣1或y=﹣2x+11故答案為：y=2x﹣1或y=﹣2x+1114.一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1,一個面上標以數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上的數之積的數學期望是______參考答案：.解：一個均勻小正方體的6個面中，三個面上標以數0，兩個面上標以數1，一個面上標以數2．將這個小正方體拋擲2次，向上的數之積可能為ξ=0，1，2，4，15.若等比數列滿足，則前項___

__.參考答案：16.已知復數z滿足，則的最小值是

▲

．參考答案：4；17.已知函數f（x）=的值域為R，則實數a的取值范圍是．參考答案：[0，）【考點】函數的值域；分段函數的應用．【分析】根據分段函數的表達式，分別求出每一段上函數的取值范圍進行求解即可．【解答】解：當x≥1時，f（x）=2x﹣1≥1，當x＜1時，f（x）=（1﹣2a）x+3a，∵函數f（x）=的值域為R，∴1﹣2ax+3a必須到﹣∞，即滿足：，解得0≤a＜，故答案為：[0，）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數列為，表示，．(1)若數列為等比數列，求；⑵若數列為等差數列，求．參考答案：解：⑴，所以．

⑵，，因為，兩邊同乘以，則有，兩邊求導，左邊，右邊，即（*），對（*）式兩邊再求導，得取，則有所以．略19.平頂山市公安局交警支隊依據《中華人民共和國道路交通安全法》第90條規定：所有主干道路凡機動車途經十字口或斑馬線，無論轉彎或者直行，遇有行人過馬路，必須禮讓行人，違反者將被處以100元罰款，記3分的行政處罰．如表是本市一主干路段監控設備所抓拍的5個月內，機動車駕駛員不“禮讓斑馬線”行為統計數據：月份12345違章駕駛員人數1201051009085（Ⅰ）請利用所給數據求違章人數y與月份x之間的回歸直線方程；（Ⅱ）預測該路段7月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數．參考公式：，．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）66人.【分析】（Ⅰ）計算出和，然后根據公式，求出和，得到回歸直線方程；（Ⅱ）根據回歸直線方程，代入【詳解】解：（Ⅰ）由表中數據，計算；，，，所以與之間的回歸直線方程為；（Ⅱ）時，，預測該路段月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數為66人．【點睛】本題考查最小二乘法求回歸直線方程，根據回歸方程進行預測，屬于簡單題.20.已知函數f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）．（1）求函數f（x）的單調區間；（2）若函數F（x）=f（x）﹣在[1，2]上有且僅有一個零點，求a的取值范圍．參考答案：考點：利用導數研究函數的單調性；函數零點的判定定理．專題：導數的綜合應用．分析：（1）先求出函數的導數，通過討論a的范圍，得到函數的單調區間；（2）分離參數得，令（x∈[1，2]），通過求導得到函數g（x）的單調性，從而求出g（x）的最大值、最小值，進而求出a的范圍．解答： 解：（1）f′（x）=ex﹣a，當a≤0時，f′（x）≥0，則f（x）在（﹣∞，+∞）上單調遞增，當a＞0時，f（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，f（x）在（lna，+∞）上單調遞增．（2）由，得，令（x∈[1，2]），則令，h′（x）=x（ex﹣1），當1≤x≤2時，h′（x）＞0，∴h（x）在[1，2]上單調遞增，∴，g′（x）＞0，∴g（x）在[1，2]上單調遞增，∴在[1，2]上的最小值為，最大值為，∴當時，函數在[1，2]上有且僅有一個零點．點評：本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，（2）中分離出a，求出相關函數的單調性是解答本題的關鍵，本題是一道中檔題．21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PCD⊥底面ABCD，，底面ABCD是直角梯形,.（1）求證：BC⊥平面PBD；（2）設E為側棱PC上一點，，試確定的值，使得二面角的大小為45°.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據線面垂直的判定定理，即可證明結論成立；（2）先由（1）得兩兩垂直，以點為坐標原點，以方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，根據向量夾角余弦值與二面角的大小，即可求出結果.【詳解】（1）因為側面底面，，所以底面，所以；又底面是直角梯形,，所以，因此，所以；又，且平面，平面，所以平面；（2）由（1）可得兩兩垂直，因此以點為坐標原點，以方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系