第1講機械振動知識梳理

一、簡諧運動1.五個概念物理量定義意義回復力F回促使振動物體返回①平衡位置

的力來源:振動物體在②振動方向

受到的合力位移x由③平衡位置

指向質點所在位置的有向線段描述質點振動中某時刻的位置相對于④平衡位置

的位移,是矢量振幅A振動物體離開平衡位置的⑤最大距離

描述振動的⑥強弱

和能量,是標量周期T振動物體完成一次⑦全振動

所需時間描述振動的⑨快慢

,兩者關系:⑩

T=?

頻率f振動物體在⑧單位時間

內完成全振動的次數2.三個特征及表達式(1)受力特征:F回=

-kx

。(2)運動特征:a=-

x。x、v、a均按

正弦或余弦

規律發生周期性變化(注意v、a的變化趨勢相反)。(3)能量特征:系統機械能守恒,振幅A不變。3.簡諧運動的表達式與圖像(1)表達式x=

Asin(ωt+φ0)

,其中ωt+φ0為相位。(2)圖像a.從平衡位置開始計時,函數表達式為x=Asinωt,圖像如圖甲所示。甲乙b.從最大位移處開始計時,函數表達式為x=Acosωt,圖像如圖乙所示。4.簡諧運動的兩種模型

彈簧振子單擺示意圖

特點(1)忽略彈簧的?質量

和摩擦力(2)彈簧對小球的彈力提供?

回復力

(1)忽略細線的質量且細線不可?伸縮

(2)小球的直徑和擺角要?

足夠小

公式回復力F=?-kx

回復力F=?-?x

周期T=?2π?

1.自由振動、受迫振動和共振

自由振動受迫振動共振受力情況系統內部的相互作用力驅動力作用驅動力作用振動周期或頻率由系統本身性質決定,即固有周期或固有頻率由驅動力的周期或頻率決定,即T

=T驅或f=f驅T驅=T固或f驅=f固振動能量振動物體的機械能不變由產生驅動力的物體提供振動物體獲得的能量最大常見例子彈簧振子或單擺(θ<5°)機械工作時底座發生的振動共振篩等二、受迫振動和共振2.共振曲線

由圖可知當f驅=f0時振幅①最大

。

1.簡諧運動的平衡位置是指

()A.速度為零的位置B.回復力為零的位置C.加速度為零的位置D.位移最大的位置B答案

B簡諧運動的物體,平衡位置是回復力為零的位置,而合外力是

否為零,不同的系統是不同的,因此加速度不一定為零,比如單擺在平衡

位置時存在向心加速度。簡諧運動的物體經過平衡位置時速度最大,位

移為零。2.懸掛在豎直方向上的彈簧振子,周期為2s,從最低點的位置向上運動

時開始計時,它的振動圖像如圖所示,由圖可知

()

A.t=1.25s時振子的加速度為正,速度為正B.t=1.7s時振子的加速度為負,速度為負C.t=1.0s時振子的速度為零,加速度為負的最大值D.t=1.5s時振子的速度為零,加速度為負的最大值C答案

C彈簧振子振動時,加速度的方向總是指向平衡位置,且在最大

位移處,加速度值最大,在平衡位置處加速度的值為0,由圖可知,A、B、

D均錯誤,只有C正確。3.彈簧振子在光滑的水平面上做簡諧運動,在振子向著平衡位置運動的

過程中

()A.振子所受的回復力逐漸增大B.振子離開平衡位置的位移逐漸增大C.振子的速度逐漸增大D.振子的加速度逐漸增大C答案

C由F=-kx知,振子向著平衡位置運動過程中,位移x逐漸減小,回

復力減小,加速度逐漸減小,速度逐漸增大,只有C對。4.如圖所示,一單擺懸于O點,擺長為L,若在過O點的豎直線上的O'點釘

一個釘子,使OO'=L/2,將單擺拉至A處釋放,小球將在A、B、C間來回振

動,若振動中擺線與豎直方向夾角小于5°,則此擺的周期是

()

A.2π

B.2π

C.

+

D.π

答案

D

T=

+

=π

+π

,故選D。D深化拓展考點一簡諧運動的“五個”特征考點二簡諧運動的圖像考點三單擺的周期公式的應用考點四受迫振動和共振深化拓展考點一簡諧運動的“五個”特征1.受力特征:回復力滿足F=-kx,即回復力大小與位移的大小成正比,方向

與位移的方向相反。2.運動特征:簡諧運動是變速運動,位移x、速度v、加速度a都隨時間按

正弦或余弦規律周期性變化。當振子靠近平衡位置時,a、F、x都減小,

v增大;當振子遠離平衡位置時,a、F、x都增大,v減小。3.能量特征:振幅越大,能量越大。在運動過程中,動能和勢能相互轉化,

機械能守恒。4.周期性特征相隔T或nT的兩個時刻振子處于同一位置且振動狀態相同。5.對稱性特征(1)如圖所示,振子經過關于平衡位置O對稱(OP=OP')的兩點P、P'時,速

度的大小、動能、勢能相等,相對于平衡位置的位移大小相等。(2)振子由P到O所用時間等于由O到P'所用時間,即tPO=tOP'。(3)振子往復運動過程中通過同一段路程(如OP段)所用時間相等即tOP=

tPO。

【情景素材·教師備用】1-1一彈簧振子的位移y隨時間t變化的關系式為y=0.1sin2.5πtm,時

間t的單位為s。則

()A.彈簧振子的振幅為0.2mB.彈簧振子的周期為1.25sC.在t=0.2s時,振子的運動速度為零D.在任意0.2s時間內,振子的位移均為0.1mC答案

C由y=Asinωt和y=0.1sin2.5πtm,可知A=0.1m,ω=2.5πrad/s;

又有T=

,得T=0.8s,則A、B均錯誤。當t=0.2s時,彈簧振子位于最大位移處,此時振子的運動速度為零,C正確。0.2s是四分之一周期,而四

分之一周期內振子的位移是不確定的,故D錯誤。1-2

如圖所示,彈簧振子在B、C間振動,O為平衡位置,BO=OC=5cm,若

振子從B到C的運動時間是1s,則下列說法正確的是

()

A.振子從B經O到C完成一次全振動B.振動周期是1s,振幅是10cmC.經過兩次全振動,振子通過的路程是20cmD.從B開始經過3s,振子通過的路程是30cmD答案

D振子從B→O→C僅完成了半次全振動,所以周期T=2×1s=2s,

振幅A=BO=5cm。振子在一次全振動中通過的路程為4A=20cm,所以

兩次全振動中通過的路程為40cm。3s的時間為1.5T,所以振子從B開始

經過3s,振子通過的路程為30cm。考點二簡諧運動的圖像1.圖像的物理意義圖像描述的是振動物體對平衡位置的位移隨時間的變化情況,不是物體

的運動軌跡。2.從簡諧運動的圖像上獲得的信息(1)確定振動物體在任一時刻的位移;(2)確定振動的振幅;(3)確定振動的周期和頻率;(4)確定各質點的振動方向;(5)比較各時刻質點加速度的大小和方向。

【情景素材·教師備用】2-1

(2016北京理綜,15,6分)如圖所示,彈簧振子在M、N之間做簡諧運

動。以平衡位置O為原點,建立Ox軸。向右為x軸正方向。若振子位于N

點時開始計時,則其振動圖像為

()

答案

A振子在N點時開始計時,其位移為正向最大,并按正弦規律變

化,故選項A正確。2-2如圖是一彈簧振子在水平面內做簡諧運動的x-t圖像,則下列說法

正確的是

()A.t1時刻和t2時刻具有相同的動能和動量B.t2到1.0s時間內加速度變小,速度減小C.彈簧振子的振動方程是x=0.10sinπt(m)D.t2等于3倍的t1

C答案

C由x-t圖像知,t1時刻和t2時刻振子的速度大小相等、方向相反,

彈簧振子具有相同的動能,動量大小相等,方向則相反,A錯誤;由題圖知t2

到1.0s時間內位移變小,則加速度變小,速度增大,B錯誤;由題圖知彈簧

振子振動周期T=2.0s,則ω=

=πrad/s,故振動方程為x=Asinωt=0.10sinπt(m),即C正確;由三角函數知識可知,t2應為t1的5倍,D錯誤。考點三單擺的周期公式的應用1.單擺的周期公式T=2π

,該公式提供了一種測定重力加速度g的方法。2.l為等效擺長,表示從懸點到擺球重心的距離。3.g為當地重力加速度。4.T=2π

只與l及g有關,而與振子的質量及振幅無關。

【情景素材·教師備用】

3-1如圖甲所示是用沙擺演示振動圖像的實驗裝置,此裝置可視為擺

長為L的單擺,沙擺的運動可看做簡諧運動,實驗時在木板上留下圖甲所

示的結果。若用手拉木板做勻速運動,速度大小是v。圖乙所示的一段

長度是s。下列說法正確的是

()

A.可估算出這次實驗所用沙擺對應的擺長B.若增大手拉木板的速度,則沙擺的周期將變大C.若減小沙擺擺動時的最大擺角,則沙擺的周期將變小D.若增大沙擺的擺長,保持拉動木板的速度不變,則仍將得到與圖乙完

全相同的圖樣答案

A由圖乙知λ=

,T=

=

=2π

,得L=

,選項A正確。沙擺的周期T=2π

,由擺長和重力加速度決定,與手拉木板的速度和沙擺擺動時的最大擺角無關,選項B、C錯。增大沙擺的擺長,拉動木板的速

度不變,由λ=vT及T=2π

知,λ將變長,選項D錯。3-2宇航員在某星球表面以初速度v0豎直上拋一小球,經過時間t小球

落回原處。若他用發射裝置在該星球表面以速度v水平射出一個小球,

小球恰好不落回星球表面。星球表面沒有空氣。不考慮星球的自轉。

引力常量為G。求:(1)宇航員質量為m時,他在該星球表面的重力為多大?(2)擺長為L的單擺,在該星球表面的固有周期是多少?(3)該星球的平均密度。答案(1)

(2)π

(3)

解析(1)由豎直上拋運動知v0=g·

g=

G重=mg=

(2)單擺周期T=2π

=2π

=π

(3)以速度v水平發射一個小球,小球恰好不落回星球表面則知

=m

,ρ=

,V=

πR3得ρ=

考點四受迫振動和共振1.受迫振動(1)概念:系統在驅動力作用下的振動。(2)振動特征:受迫振動的頻率等于驅動力的頻率,與系統的固有頻率無

關。(3)受迫振動中系統能量的轉化:受迫振動系統的機械能不守恒,系統與

外界時刻進行能量交換。2.共振(1)概念:驅動力的頻率等于系統的固有頻率時,受迫振動的振幅最大的

現象。(2)共振條件:驅動力的頻率等于系統的固有頻率。(3)特征:共振時振幅最大。(4)共振曲線:如圖所示。

4-1(多選)某振動系統的固有頻率為f0,在驅動力的作用下做受迫振動,

驅動力的頻率為f。若驅動力的振幅保持不變,下列說法正確的是

(

)A.當f<f0時,該振動系統的振幅隨f增大而減小B.當f>f0時,該振動系統的振幅隨f減小而增大C.該振動系統的振動穩定后,振動的頻率等于f0D.該振動系統的振動穩定后,振動的頻率等于fBD答案

BD受迫振動的振幅A隨驅動力的頻率變化規律

如圖所示,當驅動力的頻率f接近固有頻率f0時,振幅增大,A項錯誤,B項正

確;穩定時系統的頻率等于驅動力的頻率,C項錯誤,D項正確。

4-2(多選)如圖所示為受迫振動的演示裝置,當單擺A振動起來