2024-2025學(xué)年遼寧省鞍山市高三上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．集合，，求（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．3 B．2 C． D．13．“”是“點(diǎn)在圓外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知平面向量與的夾角為，，，則的值為（

）A． B． C． D．5．函數(shù)中的圖像可能是（

）A． B．C． D．6．的展開(kāi)式中系數(shù)為（

）A．180 B．90C．20 D．107．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足為，若，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，則（）A．10000 B．10082 C．10100 D．10302二、多選題（本大題共3小題）9．如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度（單位：）由關(guān)系式確定，其中.小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)后，第一次回到最高點(diǎn)，則（

）

A．B．C．與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為D．與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為210．如圖，在直三棱柱中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，M為的中點(diǎn)，P為線段上的點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面ABMB．三棱錐的體積的取值范圍是C．存在點(diǎn)P，使得BP與平面所成的角為60°D．存在點(diǎn)P，使得AP與BM垂直11．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知，則的值為.13．已知是等差數(shù)列，，則.14．過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直，垂足為點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的角平分線與x軸交于點(diǎn)M，且點(diǎn)M到OA與AF的距離都為，則雙曲線C的離心率為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求角C；（2）若，求的面積.16．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍：(2)若直線與的圖象相切，求a的值．17．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，對(duì)角線，F(xiàn)為的中點(diǎn)，平面，.現(xiàn)沿將翻折至的位置，使得平面平面，且點(diǎn)和E在平面同側(cè).（1）證明：平面；（2）求二面角大小的正弦值.18．短視頻已成為當(dāng)下宣傳的重要手段，東北某著名景點(diǎn)利用短視頻宣傳增加旅游熱度，為調(diào)查某天南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)，該景點(diǎn)對(duì)當(dāng)天前來(lái)旅游的500名游客調(diào)查得知，南方游客有300人，因收看短視頻而來(lái)的280名游客中南方游客有200人.(1)依據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成如下列聯(lián)表，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游是否與收看短視頻有關(guān)聯(lián)：（單位：人）游客短視頻合計(jì)收看未看南方游客北方游客合計(jì)(2)為了增加游客的旅游樂(lè)趣，該景點(diǎn)設(shè)置一款5人傳球游戲，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余4人之一，現(xiàn)有甲,乙等5人參加此游戲，球首先由甲傳出.（i）求經(jīng)過(guò)次傳遞后球回到甲的概率；（ii）記前次傳遞中球傳到乙的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中；附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.(1)求軌跡的方程；(2)在軌跡上是否存在點(diǎn)，使得過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線互相垂直？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：(3)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，射線交軌跡于點(diǎn)，射線交橢圓于點(diǎn)，求四邊形面積的最大值.

答案1．【正確答案】C【詳解】由可得，則，于是.故選C.2．【正確答案】C【詳解】由，得，所以，所以，所以.故選：C.3．【正確答案】B【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，有，解得∴“”是“點(diǎn)”在圓外”的必要不充分條件.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選：B.5．【正確答案】D【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，又，所以為奇函?shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除A、B，又時(shí)，，所以，所以，故排除C；故選：D6．【正確答案】A【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)公式，其各項(xiàng)次數(shù)依次為,所以的系數(shù)是的一次項(xiàng)系數(shù)2乘以展開(kāi)式的的系數(shù).由展開(kāi)式通項(xiàng)公式知解得，所以系數(shù)為.故選：A.7．【正確答案】A【詳解】如圖所示：設(shè)為準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所以，而在中，，所?故選：A.8．【正確答案】C【詳解】中，令得，，故，故，其中，，，……，，上面99個(gè)式子相加得，，令得，在中，令得，故.故選C.9．【正確答案】BD【詳解】由題可知小球運(yùn)動(dòng)的周期，所以，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，.又，所以，故A錯(cuò)誤；則，所以與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10．【正確答案】BC【詳解】解：由題意得．則，，所以與不垂直．故A錯(cuò)誤；，點(diǎn)B到平面的距離為，由，所以，所以，又，則，故B正確；BP與平面所成的角即為BP與平面ABC所成的角，設(shè)為，易知當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，最小，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，最大，此時(shí)，，此時(shí)，故存在點(diǎn)P，使得BP與平面所成的角為60°，故C正確；若，設(shè)中點(diǎn)為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，則平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋逝c不垂直，故不合題意，故D錯(cuò)誤．故選：BC11．【正確答案】ABC【詳解】函數(shù)與互為反函數(shù)，則與的圖象關(guān)于對(duì)稱，將與聯(lián)立，則，由直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，作出函數(shù)圖像：

則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于A，由，解得，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)椋吹忍?hào)不成立，所以，故B正確；對(duì)于C，將與聯(lián)立可得，即，設(shè)，且函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，，，故函數(shù)的零點(diǎn)在上，即，由，則，，故C正確；對(duì)于D，由，解得，由于，則，故D錯(cuò)誤；故選：ABC12．【正確答案】【詳解】因，則，.故13．【正確答案】3【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?故3.14．【正確答案】【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線為，，如圖，設(shè)點(diǎn)A在第一象限，則點(diǎn)F到漸近線的距離為，所以，過(guò)點(diǎn)M分別作于點(diǎn)N，于點(diǎn)T，又于A，所以四邊形MTAN為正方形，得，所以，又，所以，得，則，所以，故，即雙曲線的離心率為.故答案為.15．【正確答案】（1）；（2）．【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，，所以；?）由（1），，而，所以，．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）記在上單調(diào)遞減，對(duì)恒成立，，而，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.所以a的取值范圍為（2）設(shè)直線與的圖象相切于，，由題意可知，代入，，左邊式子關(guān)于單調(diào)遞減且時(shí)，左邊17．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）取中點(diǎn)O，連，∴F為的中點(diǎn)，∴，又面面.∴平面，，∴，又∵平面平面，平面平面.∴平面，又平面，∴.又平面，平面，∴平面，平面.∴平面平面，因?yàn)槠矫妫云矫?（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為.∴令，則設(shè)平面的法向量為.∴令，則.∴.∴二面角的正弦值為.18．【正確答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，無(wú)關(guān)(2)（i）；（ii）【詳解】（1）將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：游客短視頻合計(jì)收看未看南方游客200100300北方游客80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游與短視頻無(wú)關(guān)聯(lián)．，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為南北方游客來(lái)此景點(diǎn)旅游與收看短視頻有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.（2）（i）設(shè)經(jīng)過(guò)次傳遞后回到甲的概率為，，，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（ii）（方法一）設(shè)第次傳遞時(shí)甲接到球的次數(shù)為，則服從兩點(diǎn)分布，，設(shè)前次傳遞中球傳到甲的次數(shù)為，，因?yàn)椋?（方法二）設(shè)第次傳遞時(shí)，乙接到球的概率和次數(shù)分別為與，則服從兩點(diǎn)分布，，由題可知，，又，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，，故.19．【正確答案】(1)(2)存在，或((3)【詳解】（1）設(shè)則，由得，又在橢圓上，所以代入化簡(jiǎn)得，所以點(diǎn)的軌跡的方程為（2）當(dāng)兩條切線的斜率存在時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線為，聯(lián)立，消去得則由判別式，得，設(shè)兩條切線的斜率分別為，依題意得即，又點(diǎn)在軌跡上，所以，解得